基本物理量の相互関係に基づく地盤と基礎の動的相互作用解析

【論　 文

1

UPO ；624

．

131

．

55 ：624

．

15 ：624

．

042

．

7 日本 建築 学 会 構 造 系 論 文報告集 第 367 号

・

昭和 61 年9 月

基

_{本 物}

理 量

の

相

_互

_関係

に

_基

_{づ く}

_{地 盤}

と

_基礎

の

_{動 的}

_相

_互

_作

用

_解

_析

正 会員 正 会 員 正 会 員

吉

藤

藤

長

義

大

田

_幽

谷

井

行

＊

信

＊＊

地

＊ ＊ ＊ 　 1

．

序 　地 盤と基 礎の_動的相互作 用 問 題に は

，

インピ

ー

ダン ス

の_実部と虚部

，

及び地 震 強 制 力 （

Seismic

　exciting 　

for−

ce

_，

　Driving　force_）

．

なる 3個の基本物理量が存在す る。 これ らの _量か ら

，

コ ン_プライアン ス はイン ピ

ー

ダン スの 逆数と して

，

基 礎入力 動は地 震 強 制 力 を インピ

ー

ダンス で割っ た 量 と して求める ことが できる

。

　

基 本物 理 量を解 析 する手 法の 1つ に_， 動 的

Green

関 数 （点 加 振解

，

リン_グ状

線

加 振 解 ）を用い る境 界 積 分 方 程 式 法が あ る

。

こ の手 法では

，

特に半 無 限 弾 性 地 盤 を対 象とする_{場 合， 逸散 波動}の_{効 果 を厳 密}に評 価す ることが で き る。

　

1965年に

Lysmer

瑠 〕_は ， 円 板 を 同 心 リングに分 割し， Reissnerの解3） を応用 し た リン グ内で接 触 圧 を

一

定とす る垂 直 方 向加 振解を重ね合わ せ ること によ り

_，．

剛 板 仮 定 を満足 する円板 基礎の垂直 方 向コ ンプライア ン ス を求め ている

。

ま た， 1976年Wong とLuco4 〕_は

_，

_{基 礎 領 域 を} 接 触 圧

一

定の矩 形小要素に分 割し

，

_．Thomson

と

Kobori

の並 進 運 動の解5 〕

・

6〕_{を重ね合わ} せる こ とに よっ て接 触圧 を離散 的に_求め

，

矩 形 剛 基 礎の コ ンプライアン ス を評価 し てい る

。

さ ら に

，

実体 波に よ る基 礎 入 力 動の解 析7）_も 行っ てい る

。

　 　 　

’

　これに対し 1980 年頃よ り， 地表面点加 振 解 をGreen 関 数とする積 分 方 程 式 を立て

，

これ を有限 要素法 的に離 散化し て解く境 界 積分方 程 式 法の研 究 が 盛 んに行 わ れて い る。 川 瀬

，

吉 田ら は， 成 層 地 盤 上の剛 基 礎 8｝ や複数基 礎の相 互 連 成 系9〕_{の インピ}

ー

_{ダン スお よび基 礎入力} 動の 解 析を対象に こ の方 法の適 用 を 試み てい る

。

ま た

，

小 林】°）_は

_，

_{地 表 面 点 加 振 解の計} 算法 を改 良す るこ と に よ り 計 算 量 を短 縮し

，

基 礎の柔 性 を考 慮したインピ

ー

ダン ス 解 析11｝_{を行っ てい る}

_。Iguchi

_と

LucOlz

｝ も矩形 基 礎の 剛 性をパ ラ メ

ー

タ とするよ り詳細な_{解 析 例}を_示して い る。 これらの研 究は

，

境 界 積 分 方 程 式 法に よ る半解 析 的な離 散 化 手 法が動 的 相互作用 問 題 にお け る基本 物理 量 を 混合 本 論文 は参 考文献

．

15）に 加筆し

、

ま と め た もの であ る

。

　ホ 広 島大 学 　 助手

・

工博 ＊1 広 島大 学 　 助教 授

・

工 博

＊

＊

＊

_{広 島 大 学　大 学院 生}

_・

_{工 修} 　 ｛昭和6］年4月17日原 稿受理｝ 境 界 値 問 題の解 として総合 的に解析し得ること を示し た もの と言える。　 　

’

　

一

方

，

地 中 点 加 振 解を 用い た境

界

積分 方程 式法の埋 込 み基 礎へ の適用も， 1982 年 Maedai3 ）_{に よ} っ て試み られ て い る。 しか し， 埋込 み基礎に対 する境 界 積 分 方 程 式 法 の適 用 例は_，

Green

_{関 数}の_代わ り に基 本 解で ある動 的 Kelvin解 を用い た

Dominguezz5

）_{の研 究な どを 除き}

_，

_い ま だ極 めて少 ない

。

こ の _要因 は地中に載 荷 点 を もつ

Green

関 数が地 表 面 載 荷に よ る もの に比 して複雑にな る こ と

，

また埋込み基 礎の_解析で は

Green

_{関 数}の_{変 位 解} ば か りでな く応 力 解の計 算 を も要 求さ れ， 計算量 が大幅 に増大す ること な どの点にある

。

　そこで， 本 論 文で は求め るべ き基本 物理 量の間に存在 す る相互関 係14）_{を境 界 積 分 方 程 式 法に利用 す ること に} よっ て地 盤の応 力に関 する情 報 を

．

直 接 用いずにすべて の 基本 物理 量 を求め る解 析 法 を提案する15 ）_。 　境 界 積 分 方 程 式 法の定 式 化に は直 接 法と間接法が あ る

。

変位と応 力の関 係 を 直接 定 式 化す る ものが直接法で あ る。 これに対し

，

ソ

ー

ス分 布 （加 振強度分布 ）を介し て変 位と応 力 を別 個に表 現 するものが間接法である。 　 本 論で は

Green

関 数の応 力 解の 計 算 を 避け る た めに 間 接 法 を採 用す る。 最 初に

，Green

関 数の変 位解とソ

ー

ス分 布に よっ て表現さ れ る変位 場 を 導 く_。 イン ピ

ー

ダン ス解析にお け る放 射 場の_変位は

，

基 礎と地 盤の接 触 面に 密 着 条 件を導入し

，

ソ

ー

ス分 布 を 決 定 す れ ば求まる。 通 常の 間 接 法で は_， さ らに

Green

_{関 数}の_{応 力 解}を計 算し

，

これを決 定 されたソ

ー

ス分 布に従っ て重ね合わ せ ること に よっ てインピ

ー

ダンス を 求 め る

。

本 論で はこの よ う な 計 算 量の新たな負 荷 を避け， 基本物 理 量の相 互 関係に基 づき

，

ソ

ー

ス分 布か ら直接ま た は間接 的な方 法に よりす べ て の基 本 物理 量 を求め る。 イン ピ

ー

ダン ス の定 義 式と ソ

ー

ス分布の_関係を_論じ

_，

_イン ピ

ー

ダン ス虚 部 と静 的 イ ンピ

ー

ダン スがソ

ー

ス分布か ら直接 求め られ ることを示 す

。

　次に

，

インピ

ー

ダン ス虚部か ら

Hilbert

変換を用い て イン ピ

ー

ダン ス実 部を求める計 算 法 を 示す

。Hilbert

変 換の 計算を実行する に は上 述の イン ピ

ー

ダン ス虚 部と静 的 イン ピ

ー

ダン ス が 必要であ る が

，

Hilbert変 換が無 限

一 103 一

積 分で表さ れ てい る た め

，

イン ピ

ー

ダン ス虚 部は全 振 動 数 領 域にわ たっ て計算さ れ ていな けれ ば な らな い

。

しか し

，

これ は 数 値 解 析 上 不 可能で あ る

。

　ところで

，

_基礎表面か ら放 出さ れ る進 行 波 成 分の基 礎 表面近傍に お け る挙 動は_， 高 振 動 数 域で平 面 波 状の実 体 波 と な る

’

6レ

_。

こ の こと は地 盤の質 量と実 体 波の伝 播 速度 の積を 粘 性 係 数 とす る Winkler 型の 三次 元 粘 性 ダン パ

ー

に よっ て基 礎 が 支 持 されて いること を意 昧す る。 こ の モデル よ り計 算さ れ る基 礎の粘 性抵抗は_高振動数域に お け るインピ

ー

ダン ス虚 部の漸 近 解であ る。 そこで解 析 の対 象 とし た振 動 数 領 域におけるインピ

ー

ダン ス_虚部の 数値解とこの漸 近 解 を 中 間 振 動 数 領 域で滑ら か に接 続 し

，Hilber

し_{変 換}の_{積 分}を実行す る

。

これにより通 常の 数値 解析法では不 可 能であっ た全 振 動 数 領 域に わ た る イ ン ピ

ー

ダンス の_{実 部}と虚 部が算 定で き る

。

　ソ

ー

ス分布は基 礎の内部領域 と外 部領域の各 領 域にお け る応 力の基 礎 表 面に おける不 連 続 性 を表 す量で あ る。 地 震 強 制 力は

，LucoM

の示 し た イン ピ

ー

ダン ス解析で 得ら れ る地 中応 力 と地 震 強 制 力との _{関 係}を表す式に

，

こ の不 連 続 量 を導 入し

，

地 中応 力の情 報を消 去す る と，ソ

ー

ス分 布と 入反射場変位の _積と して表現 さ れ る

。

　最 後に以上の定 式 化を 地中リング状ね じれ線加 振解IS｝ を 用いた軸 対 称 埋 込み剛基礎の ね じ れ動 解析に適用す る

。

まず半 球 剛 基 礎の解析を行い

，

厳密解と比較す るこ とにより定 式 化の妥 当 性 を確 認 する。 次に円 筒 剛 基礎の 解析 を行い

，

既 往の数 値 解と比 較 することに よ り提案す る解析 法の有 効 性 を 明らか にする

。

　な お本解 析 法は， 次の仮 定に立 脚 する。 　1） 地 盤は半 無 限三次 元 線 形 弾 性 体で

，

かつ _{均 質等 方} 　 　 性を有す る もの とす る。 　2） 地 盤に材 料 減 衰は無い _もの と す る。 　

3

＞地 盤のボアソ ン比は

0．5

未満と す る

。

　4_）解 析に用い る各 量の 時 間 因 子 をettdt （i：虚 数 単 　 　 位， ω ：円振 動 数，

t

：時 間 ）とし， 以 下の記 述で 　 　はこれを省略す る

。

　

2．

境 界 積 分 方 程 式 法による変 位 場 表 現 　図

一

1に示す よ う な

P

点に おける i方 向 点 加 振によ る

Q

点で の ノ方 向の 変 位 と 表 面 力 をそれぞれ Ut丿（

P

； 図

一

1 半 無限場の領 域 と境 界

一

₁₀₄

一

Q

），p“（

P

；

Q

）と表記す る。表 面 力の方 向 を 定める法 線は

，

境 界か ら地 盤 領 域 V 内に向か う もの とする。 ま た

，

方 向 を 表す添 字 i

，

ノは

，

任 意の三次 元 直交座 標系におい て定 義さ れ， 例え ば

j

＝

1

，

2

，

3とする。

S

ノ上の 自 由 地 表 面 条 件と遠 方

S．

にお け る波 動の進 行 波 条 件を考 慮し て

，

外 部 領域 V の P 点に お け る

i

方 向変 位Ut を 直 接 法によっ て表 現 する と次 式と な る19）。

　

　　

u・（・）一

厶

｛恥 （・・

Q

）蝋

Q

）

−

_u ・（・・

Q

）・・（

Q

）｝

dS

｛

Q

） 　　 　 　　 　 　 　　

・

………・

………・

……・

……・

・

（1 ） 上式で

，

_{添 字}は総 和規 約に従う

。

また

，

uKQ _）とρJ（

Q

） は そ れ ぞ れ領 域

y

におい て定義さ れ た地 盤と基 礎の接 触 面

S

．上の変 位と表 面 力で あ る。 　

一

方

，

内 部 領 域 V

’

で は次 式が成 立する。

　　

o−

f

，

．

　

IP

・（P ・

Q

）u；（

Q

）

−

u・」（

P

・

Q

）P；（

Q

）

ldS

（

Q

｝ 　 　　 　 　 　　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　〈

2

） こ こ に

，

u：

・

，

　p_；は領域

y ’

内で_定義さ れ る量である。

　S

．上で Ui

＝

u2 と し

，

（1 ＞式か ら （2）式 を 差し引 く とソ

ー

ス分布 η∫を 用い た間 接 法によ る変 位 場の表 現 が え ら れ る

。

蝋・）

痂

・’（・・

Q

｝nJ（

Q

｝・

S

〈 

・

…・

………・

（・） こ こ に

．

、

　　　

ηJ（

Q

）

一・

ρ

1

（

Q

）

−

PJ（

Q

｝

・

…・

……・

…・

………・

・

…

（4） 　（3）式 を

P

点の座標で_微分す ればひずみ や応 力の表 現が得られ るが

，

本 論では そ れ らの情 報を用いずに解 析 を進め る

。

　

3．

静 的 イン ピ

ー

ダンス と イ ン ピ

ー

ダン ス虚部 　イン ピ

ー

ダン スを求め る た めに

，

_（

3

_）式で点

P

を

Su

上に移 動 し

，

　

Su

上にお け る基礎と地 盤の_密着 条 件

　　　

ttt_（

P

）＝uf（

P

）

＝

_鉱島（

P

）ノt丿

・

………・

……・

…・

…

（5 ） を 導入 す る

。

こ こ に

，

罐 は基 礎の

i

方向加振変位

，

uS は_基礎が加 振モ

ー

ド_ん で運 動する と きの

i

方向 変位成 分

。

ま た， モ

ー

_{ドを表 す 添 字 ノは}

_，

_{基 礎が剛 体で あ}れ ば

j

； 1

−

6と な る

。

　上 式に対 応する放 射 場の ソ

ー

ス分 布を （4 ）式 か ら次 の よ うに置 く

。

　　　

ηt＝ _ηuAJ ； （P 訂

一

_ρ

b

）ん

…・

一 …・

・

……・

・

…・

・

（

6

） こ のと き， （

3

）式は次 式 とな る

。

　　

　

ufJ（・）

一

五

… （・・

Q

）・・（

Q

）・・（

Q

）

………一

（・） 　上 式は

S．

上の ソ

ー

ス分 布 η届

Q

）を未知 関数と す る積 分 方 程 式である

。

これを解く と放 射 場の ソ

ー

ス_分布が_得 られ る。 　インピ

ー

ダンス Kw（ω）は次 式で定 義され る

。

　　

　

K

、（・）＝＝

k

・’（・）・

i

・・“（・）

一一

／

．

　

・

k

_・

kdS

　 　　 　 　 　　 　 　

…………・

…一 ・

………

（8 ）

F

k

　　　　　

t

’

→ _m

’

1n

　 　 　 　

I

図

一

2　 内 部 抵 抗と外 部 抵 抗 Ok MoC （8 ）式に _{（6 ）式}の_関係を用いる と

，

　　　

K

・（・）

一

惹

儡 ・一 嘱 ）

dS

・

・

………・

一

（・） 右 辺 第 2項は領 域 y

’

の 内 部 インピ

ー

ダン ス で ある

。

（9＞式 を 概 念 的に示 し た図

一

2によれば， （

9

）式は内 部 抵 抗［

h’

一

ω27π

’

］と外 部 抵 抗 ［

h

（

＝

h

。

一

ω 2m 。）＋ ‘ωc］の 総 和である全 インピ

ー

ダン ス か ら内 部 インピ

ー

ダンス を 差 し引い た ものが求 めるインピ

ー

ダン スであること を表 して い る

。

第2項は

，

仮 定2）よ り実 数であ

rl

　_t さ らに ω

＝

・

Oの とき領 域 V

’

が剛 体 移 動するこ とか ら零とな る

。

したがっ て

，

次 式が成 立す る

。

　　　

・w（・）一

厶

_{・竃… ［・} ・（・

一

・）］・・

…・

・

……・

…・

（1・）

　　　

・・J（・〉

一

（1／・）

惹

撒 ［_・・］・

S ・

…・

・

…・

…・

…

（ll ） 　 すなわ ち

，

静 的 イン ピL _ダ ン ス とイン ピ

ー

ダン ス の虚 部は地 盤 応 力 を 求める ま で も な く， （7 ）式で決定 さ れ る ソ

ー

ス分 布よ り直ちに計算す ること が で き る。 　

4．

イン ピ

ー

ダン ス

’

実 部 　複 素 振

Ut

数　z

＝

ω十 iyの関 数 　 　 　

H

（z）

＝HKz

）十

iHl

（z_） が次の条 件 　

1

）ー の下半 平面におい て正 則

。

　

il

） 実軸上で有界

。

　

iii

）z の下半 平面で

lzl

→ 。 。 の と き H（z）

→

0 を満足 する とき

，

関 数の実 部と虚部の間に Hilbert変 換 が成 立する20〕

_。

　

　

　

HK

・・一

一

1

・

∬

鷙

｝・…

一 ・

一

・・2

−

1・

　

　

　

碗

一

_争

_∬

_駕

_d

_飾

…一 ・

……

_（・2

−

2） こ こ ・

．

・

f

は

C

・… h・ の主 値 積 分 を表す

．

　 インピ

ー

_ダン スか ら構 成 され る次の関 数 　 　 　 　　 　

hw

（ω）

−

h

、，（

0

）＋it・

lc

、J（ω）

−

c、，（

0

）｝ 　 　 　Hu（ω）

；

　 　 　 ω2 　 　 　

………・

…・

…………・

「

………

（

13

） は仮定

1

）

− 4

）の下で

，Hilbert

_変換が成立す る た めの 条件

i

）

〜

　

i

の を満_{足 す}る

。

そ の理由は次の ようである

。

仮 定 3 ）よ り縦波 速度が 無 限 大 と な ら ない た め

，

ω → ・ 。 で 勧 （ω）は有 限 値に収 束する_。 ま た

，

こ の とき後 述 する

　　　　　　

i よ うに Cw（ω）も有 限_な漸 近解_に収 束_{す る} 。 仮 定2）に よ り 砺 （ω）

，

Cw （a））はと もに ω の偶関 数とな る の で_{， （}13 ） 式の 分 子は ω

＝

0の近傍でω2以 上のオ

ー

ダ

ー

である

。

し た がっ て

，

関 数

H

_‘J（ω

1

はω

≡O

で

有

界で ある

。

また

，

仮 定1）より

，

h

“（ω），　Ce」〔ω）は実 軸上の そ の他の点にお い て も有 界である

。

_以上か ら条

件

iD

と

i

の が満 足さ れ る。 さ らに， 仮 定4）よ り条件

1

）が満 足さ れ る

。・

　

（13）式に （12＞式の関係を適用 す る と次式を得る

。

　

　

　

k

・J・・ト

箏

・

∬

、

篶

、

d

… ＋・・（・・ 　 　 　

・

−9…

　

9−・

−7・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（ユ4

−

1＞

　

　

　

c“… 一

箏

・

∬

騾

≡

筈

甼

）

d

・・… u（O） 　 　 　 　　 　 　　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（14

−

2 ） （14

−

1）式に よれば， 静 的 イン ピ

ー

ダン スとインピ

ー

ダ ン ス の虚 部か ら， インピ

ー

ダンス の実 部を算 定する こと がで き る

。

　さらに

，

（14

−1

）式に恒等式 　 　 　 　

・

・

c‘」（。 。）

　　　

・

f

。 　 　 　

da

，_o

＝

・

O

　 　 　 　　 （ω

1

一

ω2｝ を付 加し， ω → 。 。 と す る と次の関 係が得ら れ る

。

　　　

h

・〈O）

一

・・j（・・_）

一

_（・／・）

∬

颱 ）

一

_・ii（・）｝

d

・ 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t−一

一

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（15） 上 式は_， 振 動

_数

を横軸に とっ て描い たインピ

ー

ダン スの 図に お ける実 部 と虚 部の幾 何 学 的関係を示唆してい る （図

一

3）

。

ま た

，

上式は高振 動 数 域に お け る イン ピ

ー

ダ ン ス の実 部 を推 定す る手 掛か りを 与え ている が

，

この場 kil（0） ） ） oooo （ （ kc Cij （0＞ Klj（ω ）

＿

｝

　 ”

，

一

一

呷

一

一

c

．

、

（ω） 　 　 　 0　 　 　 ω　 　 　 → oo 図

一

3　 インピ

ー

ダン ス の実 部と虚 部の幾 何 学 的関係 　 　 　 ω　＋ oo

　　　　　 も

図

一

4　 インピ

ー

ダン ス虚 部の漸 近 解モデル

一 105 一

合

，

インピ

ー

ダン ス の虚部に関し 全振動数 領 域にわ た る 解析 値が必 要と な る。 　 高 振 動 数 域で基 礎 表 面か ら放 出さ れ る進 行 波 成 分は基 礎 表 面 近 傍で平 面 波 状の実 体 波とな る16｝。 す な わち

，

基 礎 表 面の任 意 点に おける外 向き法 線 n とこれに直 交 す る

2

本の接 線 s

，

tに よっ て構 成 さ れ る局 所 座 標系 （s

，

t，n）を考える と， 基 礎はそ の法 線 方 向に は P波， 接 線 方 向に は

S

波の_{粘 性 ダ}ンパ

ー

に よっ て支 持さ れ る （図

一4

）

。

これ を 式で表す と

，

　 　 　 　Ps　 　 　 垢 　 　 　 　P，

＝

‘ω ［

C

〕u ；

・

………・

………・

（16） 　 　 　 　Pn 　 　 　 　 嬬 こ こ に_，

咐

i

÷

1

ゑ

］

p

，Vs，

　

Vp

_は

，

_{そ れ ぞ れ 基礎近傍地 盤}の質量

，

横 波速度

，

縦 波 速 度であ る。 　局 所 座標系の _変位は全体座標系の_変位と座標 変換マ _ト リク ス _［

T

_］に よっ て， 次の よ うに書け る もの と す る

。

　 　 　 　 e 　 　　 　 　 　e 　 　 　 　秘ε　 　　 　　 　Ul 　 　 　 　uf 　

＝

［

T

］　 鑪 　

・

…・

一 …・

・

一 ……・

……

（17） 　 　 　 　 を 　 　　 　 　 　e 　 　 　 　u”　 　　 　　 　u3 この とき

，

基 礎の運 動に よ る粘性抵 抗係数

，

す な わち

，

インピ

ー

ダン ス の虚 部は （16）式 と （17）式 を （8＞式 に代入 す ることによ り次の よ うに表 現さ れ る

。

　

　　

c’（・・）

・

＝一

五

1

嚠 丁］ T ［

c

］［

T

］

1

・

g

’

ldS

・

……

（・

8

） 　イン ピ

ー

ダンス の虚 部か ら実 部へ の

Hiibert

_変換は_， 積 分 領 域 を インピ

ー

ダン ス の虚 部の数 値解が得ら れ てい る第 1区間

0

≦ω。≦ a）N と そ れ以 外の第

2

区間 WN ≦ω。≦ 。。 の 2つ に_分けて_行われ る。 第 1区 間で は数 値 解を最 小二乗 法によっ て有 理 代 数関数に近 似す る か

，

ま た は区 分的に連 続な代 数 多項 式 （3次ス プラ イン_関数）で補間

し_， Gauss

−

Legendre 積 分 法に よっ て Hilbert変換の積

分を行 う。 その際

，

Cauchy の主 値 積 分 周 りで は

，

座 標 変換に よっ て被積分関 数の挙 動を滑ら か に す る操 作を施

〔

ε 評

一

₁₀₆

一

図

一

5　数 値 解と 漸 近解の接 続 漸 近 解 す

。

第 2区 間で は

，

高振動数域で の イン ピ

ー

ダン ス虚 部 の漸 近 解 c‘丿（・ 。）と 数値解を接 続す る近 似 関 数 を 求め

，

積 分 を解 析 的に実 行す る （図

一5

）

。

　近 似 関 数は CCJが ω の偶関数であ るこ とを 考 慮し て

，

次のよ う な漸近 展 開形 式で表 現する

。

　　　

，、、（。）一

耄咢

・

……・

…・

・

…・

……・

…・

・

…・

一

（・9 ） 　 　 　 n

＝

0 ω 　an は

，

_{第 1 区}間にお け る後 半 部分の数 値 解 と漸 近 解 Cw（。 。_{）を 用}い て

，

最 小二_{乗 法}によ り決定する

。

　M は_第 1区 間の数値解が漸近解に滑ら かに接 続す る最 小 値 を 選 択す る

。

す な わち

，

tON で の数 値 解 と漸 近 解 を結ぶ 直 線 の_傾きの正負が WN に お ける数 値 解の接 線こ う配の正負 と

一

致す る場 合に

M ＝

1_， そ う で ない場 合は M

＝

2とす る

。

　 （19＞式 を式 （14

−

1）式に代 入 し

，

第 2区 間に お け る 積 分を解析的に行うと インピ

ー

ダン ス の実 部は次式 とな る。

　

　

　

kw

…

一

尉

争

艨

粤

・・

　

　　　　

　

・

齢 ｛

。

嘉

、

1

・gl

器

1

罕

器

1

　

　　　　

　

・ ・

翫

。

一

，。

一

｝

凪 弾 ・

｝

　 　 　

・

…・

………・

一 …一 …一

〔20） 　 （

20

）式で ω → 。 。 _{と す る と}イン ピ

ー

ダン ス実 部の漸 近 解に_対する近似式が_得られ る

。

　　

　

h

・，（・・）

・

　h，・（・｝

一

髪

［

∫

 

一

・“（ah）

ld

…

　　

　　　　

・

嵩

（ 　　　　an2n

−

_D

_ω解

一

1

］

・

………・

…一

（21） 上 式は， （15）式に示 した関係の近 似 表 現で あ る。 　

5．

地震 強 制 力 　地震 強制力は次式で定 義され るIT）

_。

　　

　

昨

ゑ

（瀬

一

pk ・

t

）

dS …・

t…………・

…・

・

（

22

） こ こ に_， uf _，ρ

1

は そ れ ぞ れ入反 射 場の変 位と表 面 力。 　 領 域

V

’

の内 部 問 題と領 域

V

の_{外 部 問 題}の

S

_。上 にお け る変 位の連 続 性 　 　　u：t＝ uk

’

_{＝ u} 急

………・

一 ………・

・

…・

（23） よ り （22 ）式は次の よ うに書く こ ともで き る

。

　　

　

・・

−

fSu

（・鰭

一

醐 ・・

・

・

…………・

…・

…・

（・4 ） 　Su上における応 力の不 連 続 性を表す （6＞式を 上式 に用い る_と ，

　　

　

鳳

（pi・・

k

’

一

鋼 …

ひ

・｛・・

…・

・

（25 ） 　 上 式の右 辺 第

1

項は

，

領 域 γ

’

における相 反 定 理によ り消え る ので_次式を得る

。

　　　

・・

−

X

_．

… ｛

dS

………・

一………一 …t・

…・

・

（・・〉

す な わ ち

，

地 震 強制力はソ

ー

ス分布と 入 反 射 場変 位の積 を基 礎表面 全 体にわ たっ て積 分し た もの と な る。 （26 ） 式は

，

計算 上

，

地中応ガに関す る情報が 必要と さ れず

，

簡 便であ る

。



_．



_．

　

6．

軸 対 称 剛 基 礎のね じれ 動 解 析 　 前節までに論じて き た本 解 析 法の有 効 性 を検 討す る た め

，

半無限

一

様 弾 性地盤の地 中リング_状ね じれ_線加振 解 を利 用し た

_軸

対 称 埋 込み剛 基 礎の ね じれ動 解析 を行う

。

解析には

，

円 筒 座 標 系 （r_，g

_，

　z） を用いる （図

一

6）

。

　6

．

1　 解 析の準 備 　軸 対 称 剛 基 礎のね じれ 動 問 題の_{変位 場}は， ep成分の み と なり

，

し かもg方 向に沿っ て変 化し ない

。

そこで

，

（7 ） 式で epに関す る積 分を実 行し て お く と_，

　　　

u＄（・）

一

・・

f

、．　 ・。 。（

PIQ

）・，（

Q

）・

C

（

Q

）

…一

（27） こ こで

，P

＝ （re

，

　z_。｝

，

　

Q

’

＝

（r

，

　z_）

，

　 Cu は軸 対 称 基 礎の 母線， Upp は次式に示す地 中リング状ね じれ線 加 振 解で ある18）

_。

　 　 　財   （re

，

　2e ；r，z）＝ 屹9〔γθ

，

9ε；r

，

z） 　 　 　　 　 　　 　 　 　　十t4ちP（re

，

−

Ze ；r

。

　z_）

’

　 　 　　 　 　　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

28

） こ こ に

_，

　　　

鳩P（r。，

・

z。；r

，

z）＝ u　 Smp （re

_，

　Ze ；r

，

z） 　 　 　 　十U3e（re

，

　Ze_；r

，

z）

・

・

・

…

　（29）

　

　

　

晦 嘔 ・…

一

_、

毒

纛

［

−

hK

・

h

・ 　 　 　　 　 　　 　 　 　　

’

十（2／

h

）

IK

（

h

）

− E

（

k

）｝］ 　 　 　

・

…・

…・

…・

一 …・

…・

・

…・

……

（30） 　 　 　π呂ワ（re

，

　ze ；7

・

，

z）

＝

11

／（

4

πμ）｝

　

　

　

　

∫ ｛

_詣

exp ・

一研

_ア

1・

−

Ze・）

　 　　 　

−

exp （

− qIz−

ze））

IJt

〔qr｝

Ji

（qre ｝

dq ・

…・

（

31

）

こ こ に

，

_{μ ：}地 盤の剪 断剛性， ノ＝ ω

f

　

Vs，

　

J

， ：第 1種 1 次 Bessel関 数，　K ：第 1種 完 全楕円積分

，

　

E

：第

2

種 完 全 楕 円 積 分

，k2＝4rr

。／［（r＋r。） 1 ＋（z

−

z。｝ t ］。

蜘

SH　WAVE 　 　 図

一

6 解 析モデルと 座標系 　（27 ）式は次に説 明する離 散化手法に よっ て近似 的に 解かれる。 ま ず 母 線

Cu

を

N

個の直 線 要素Cn （n

＝1

，

2，…，N

）に分 割 する

。

各 要 素 上の ソ

ー

ス分 布 を

一

定 と し_， そ の未 知 分 布 強 度を ηen とする

。

そこ で， リン グ状 ね じれ線 加 振の分 布 位 置 を要 素の中 央 点

Pn

に と ると， （27 ＞式は次のよ うな連 立 方程 式に置 換さ れ る

。

　

　　

u＄胙 ・・

名∫

・轟

Q

）・Pt；（

Q

）姻 ）

　　　　　　　

；m

＝1

，

2

，

…

　，

ハ

1…

　

99・

・

・

・

・

…



一・

一・

・

・

…



_{（32 ）} 上式 を解く と

，

ソ

ー

ス分 布は区 分 的に連 続な柱 状 関 数と し て求め ら れ る

。

　これより

，

静 的ね じ れ イン ピ

ー

ダン ス_とね じ れイン ピ

ー

ダン ス の虚 部は

，

（27）式と同様 な操 作 を （10）式 と （11 ）式に施し て次式の よ うに_表さ れ る

。

　

　　

h

・・

C

・）

一

・・

ゑ

垢・・［・・（・

一

・）］・

C …………

（・・）

　

　　

・TT（・）

一

（・・／・）

．

L

．

．

　 ・＄・m ［_・・］・C

・

……・

・

……

（34） 　 （33）

，

（

34

） 式から （20）式に より ねじれインピ

ー

ダ ン ス の実 部

k

。r（ω）を計 算 することに な る が

，

そ の と き （18）式か ら計 算 さ れる CTT（∞ _）が 必_要とな る

。

半 径 R。 の半 球 剛 基 礎 と半 径

R

。

，

埋 込み深 さ

D

の円 筒 剛 基 礎の ね じ れインピ

ー

ダン ス

K

． を無 次 元 化 振 動 数 a。（

＝

ω

R

。／ V。）を用い て，

　　　

Krr（aa｝

；2

’

π_μ

R

言

lhT7

（α o）十iα oCrT （αo）卜

……・

（35 ） と表 現 し た と き

，

c。r （a。→ 。。）は次の よ うにな る

。

た だし_， 回 転 中 心は基 礎の中 心 軸と地 表 面の_交点と する

。

　

　

　

c・…e・一

牌

。、β

1

二

搬

、。 筒、

・

・

・

・

_・… 　ま た

，

ね じ れ 地震 強 制 力は （26）式より次 式と なる。

　　　

F

・

一

・・

厶

…

5

・

C …・

一 ……・

…・

…・

…・

…

（・・） こ こ に_， μ

5

は入反 射 場の ね じれ動 成 分である

。

入射 波 を平面

SH

波とする と，　

Neumann

展 開 21 ｝ を 用い て_， 　　 　u6

＝2uticos

_（

j2

　cos θ’ ）

J

，（ゴrsin θ ’ ）

・

…

（

38

） こ こ に

_，

u、は入射波 振 幅

，

θ ’ は鉛直下方よ り計っ た 入 射角で あ る。 　

6．

2

解析例 　最初に

，

_本解析法の_精度 を調べ る た め

，

半球剛基 礎の ね じれ イン ピ

ー

ダン ス と斜め

SH

波入射を受け る場合の 基 礎入力 動の解 析 を 行う

。

離 散 化には半 球の母 線 を

16

等 分し た直 線 要 素 を 用い

，

要 素 上の 積 分は

Gauss−

Legendre

積 分 法の 2点 積 分に よっ て行う

。

た だし_， 加 振 点 を含む要 素で は

，

要 素 を2分し

，

それ ぞ れにおける 積 分を リング状ね じ れ線 加 振 解の静 的Kelvin成 分に相 当する （30＞式に対し て 26点

，

そ の他の成 分に対 し て 2点 積 分で評 価す る。 （32 ）式に よ りソ

ー

ス分 布の 解 析 値を無 次 元 化 振 動 数 α。に関し て

6．

0

まで求め て お き

，

（33）

〜

（36） 式お よ び （19）

一

（21） 式の手 順に従っ て_，

一

₁₀₇

一

ね じれインピ

ー

ダン ス を算定する

。

これ を表

一

1に示す

。

表に よ れば， 解析 値と厳 密 解 22） に は， 極め て良 好な

一

_致 が 見られる

。

　また_{， （}37 ）_， （38 ）式に よっ て SH 波に よ る ね じ れ地 震 強 制 力 を計 算し， こ れ を インピ

ー

_{ダン ス の解 析 値で割} るとね じれ 基礎入 力 動 鵡 が得 られ る

。

その絶 対 値 を表

一

₂に_示す

。SH

波の入射 角は_， 45

°

で ある

。

表 中 無 次 元化に用い たu。は 入射 波 振 幅の 2倍， す な わ ち， u。

＝

2Ui

であ る

。

表よ り解 析 値は ほぽ完 全に厳 密 解zz ｝を再 現 し てい る

。

　次に， 円筒 剛 基 礎の解 析 結 果 を 示 す。 埋 込み パラメ

ー

タは _β。 （；

D

／

R

。）　＝1である

。

要 素 数は

，

円 筒の側 面

，

お よ び底 盤の各 部 分で 8

，

合 計16 とし

，

隅 角 部の応 力 表

一

1 半 球 剛 基 礎のね じれインピ

ー

ダン ス の 　 　 　解 析 値と厳密解の比較 脚 听 籔 厳 密 鯛 5

ロ

k

τ

匸

c

　

匸

匸

k

匸

rCrr

0

．

OL9940

，

0002

、

0000

．

OCO o

、

5L 聞2o

．

1331

．

8670

．

133 1

．

o1

．

6640

．

3321

、

6670333 2

，

0L4590

、

531 且

．

467o

．

533 3

．

o1

．

397o

．

5胛 ■

．

400o

，

600 タ

・

o1

．

3臼3o

．

魄 弓 ■

．

珊 o

，

527 5

．

o1

、

3α90

、

639L3590

．

6 朝 6

．

01

．

3唱0o

，

5腸 1

．

35ユ 0

．

5四 go ■

．

33DO

、

6651

．

3認 o

，

667 kH

＝

Re ［KTTt （IIUR

．

り ］

，

tT

．

＝

1m【KTTノ（2n幽R

．

ヨ

a

．

）コ 表

一

2 斜め SH 波入射 （θ

’

＝

4S

”

）を受け る 　 　 　 半球剛基礎の ね じ れ基礎入力 動の解 　 　 　析 値と厳密解の比較

一

₁₀₈

一

集 中を考 慮 し て不 均 等 分 割す る。 解 析の手 順は前 述の半 球 剛 基 礎の場 合 と まっ た く同じ である

。

解 析 値と

Green

関 数 分 布 法による Apse1 の結 果2s）_を表

一

_{3で比 較し て い} る。 表に記 載 されて いるLuco の解 24）_は

_，

_{静 的ねじれイ} ンピ

ー

ダン ス の_{厳密 解}であ る。 Apsel の解は

，

地 盤に材 料 減 衰 を導入 して得ら れ た もの である の で

，

低 振 動 数 域 （α・＝

0．

5

）に おけるイン ピ

ー

ダン ス虚 部に関し， 本 解 析 値と

Apsel

の解に は大き な差が見 られ るが

，

その外 表

一一

3　円 筒 剛 基 礎のね じ れインピ

ー

ダンス の 　 　 　解 析 値と既 往の_解の比較 4

．

o 3

．

o 2

．

0 1

．

0 瞬 析 懾 byA 卩6d 5

●

に

丁

粐

CrrkH ご TT 0

．

03

．

■〒o0

．

0ひ03

．

166 　 （b

野

Luc9 ） o

．

52

．

90L0

．

3■32

、

  0

．

ら27 1

．

o2

．

556o

．

7■幽 2

．

5L90

、

750 2

．

02

．

246Lo502

．

2田 LO50 3

．

o2 」79L

．

1552

，

128L

．

1嗣 1

．

02 」23 匸

．

1聞 2

，

lo9L

．

18 且 5

．

02

．

n21

．

21臨 2

，

LO61

，

197 8

．

o2JH 」

．

2222

．

u51

．

206 092

．

0941

．

248

．

，

kTr

冨

R

鱈

［KH ノ（2nμRo自＞1

，

c

叮＝

【皿【Krr！（2nμR

．

，

a

日

｝1 krT

τ ］

一

　　

／ ／

’

＼

“

｝

　

，

！

　　　　　　Ct1

　 〆

　〆

_〆

！

！

゜

’

亀

D

　

L 。 2

．

。 S

．

。 、

．

囗 5

、

。 、

．

。 　 　 　 B

．

＝

uR

．

！v

■

　図

一

7　円筒 剛 基 礎のね じ れインピ

ー

ダン ス 0

，

50 e

，

z5 0

，

00

一

〇

，

Z5 R

 

［R

囓

△

Tワ

u

．

】

　　　

d

叮

細

丶　　 　　　　 　　　　　 　　　　 　　　　 　　　 〆

、

　　　　　　　

ノ

K　 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　　 　

ヒ

！

　　　　　　

ノ

　丶

＼ ＿

／

ぺ

． 　 　 　 【m【R

，

AT

■

’u

，

ユ

　　

’

°

’

‘

宅

．

。

　

1

．

。 、

．

。 3

、

。 、

，

。 5

．

。 、

．

。 　 　 　 A

・

＝

け

R

，

’

Vg 図

一8

　斜 めSH 波 入 射による 円 筒 剛基礎の ねじれ基 礎 入 力 動

で は_， 比 較 的 良 好な

一

致 を示して い る。 表 中の本 解 析 値 を図 示す る と図

一

7と な る。 ま た

，

参 考の た め斜め 45Q 入 射 する

SH

波によるね じれ基礎入力 動を図

一

8に_示し て おく。 　7

．

結 　 論 　基本 物理 量の相互関係を境界積 分方程 式法に応用す る と

，

放 射 場に関 する内 部 問 題 と外 部 問 題の境 界 面におけ る応 力の食い違い量で あるソ

ー

ス分 布と基 本 物 理 量の間 に次の関 係が成 立する

。

　1 ＞ 静 的 インピ

ー

ダン ス は ソ

ー

ス分 布 と加 振 変 位モ

ー

　　 ドの 積 を 基 礎 と 地 盤の接 触 面 上で積 分し た量で あ 　 　 る

。

　

2

） イン ピ

ー

ダン ス の虚 部は ソ

ー

ス分 布の虚 部と加 振 　　 変位モ

ー

ドの積 を基 礎と地 盤の接 触 面 上で積 分し た 　　 量で ある

。

　3） 地 震 強 制 力は ソ

ー

ス分 布 と入 反 射 場 変 位の積 を基 　　 礎と地 盤の接 触 面上で積 分し た量で あ る。 　インピ

ー

ダン ス の実部は

，

静的イン ピ

ー

ダン ス とイン ピ

ー

ダン ス の_虚部および解 析的に得ら れ るイン ピ

ー

ダン ス虚 部の高 振 動 数 領 域に お け る漸 近 解を利 用す れば，

Hi

旦

bert

_{変 換}に よっ て算 定す るこ と がで き る

。

し た がっ て

，

放 射 場の ソ

ー

ス_{分 布}を決 定す れば

，

すべ _{て の基本物} 理 量 を求 めること ができ る。 このよ うに

，

基本物理量の 相 互 関 係 を境 界 積 分 方 程 式 法に利 用す る と

，

地 盤の応 力 その もの に関する情 報 を

一

切 必 要 とし ない解 析 法が成 立 する

。

解 析 法の特 徴を列 挙 する と以 下の 2点であ る。 　 1） 動 的

Green

関 数の応 力

，

すな わ ち変 位の微 分値 　　 を計 算 する必 要が なく

，

計 算 量は通 常の境 界 積 分 方 　　程 式 法の約1／4で あ る。 地中リング上線 加 振 解を利 　　用する軸 対称問 題で は約 1／3と な る

。

　 2） 離散化手法では

一

般に不 可能な全振 動数領域に お 　　け るイン ピ

ー

ダン ス _{関 数}の 推 定が

Hilbert

変 換に 　　 よっ て可 能である

。

　以 上に_要約し た解析法の_{妥 当性}を検 証するた め半 無 限

一

_{様地 盤に埋 込ま れ た軸 対称剛 基 礎}のね じ れ動 解 析 を 行っ た。 基本物理 量の 解析値を既往の厳密解お よび 他の

手

法に よ る数 値 解と比較し良 好な

一

致を確認 し た

。

　な お

，

本 研 究の

一

部は

，

昭 和 60年 度文部省科 学研 究 費 補 助 金 （奨 励 研 究 （A））に よっ たこ と を付 記する_。 参考 文 献

1）Lysmer

，

　

J

．

：Vertical　Motion　of 　Rigid　Fo6tings

，

　thesis

　　presented　to　Unlversity　of　Michigan

，

　at　Ann　Arbor

，

　in

　　1965

，

in　_partlal　fulfillrnent　of 　requirements 　for　the　degree

　　of 　Doctor　of 　Philosophy

2）

　

Lysmer

，

」

．

　and　Richart

，

　F

．

E

．

：Dynamic　Response　of

　　Footings　tQ　Vertical　Loadings

，

　

Journal

　of 出e_Soil

　　Mechanics　and 　Foundations　Division

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　ASCE

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　Vol

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92

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SMI

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　_pp

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65

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91

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　Jan

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1966

Reissner

_，

　 E

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　：Stationare

，

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durch

eine　Schuttelnde　Masse　erregte　

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homogenen　elastischen 　Halbraumes

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　Ingenieur

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Archiv_，

WBand ，

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381

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396

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1936

Wong

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　and　Luco

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J．

　E

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Dynamics

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4

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1976 Thomson

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　 W

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Space

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30

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1963

小堀 鐸二

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南 井 良

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昭 和42

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3

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　and 　Luco

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J．

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　International　Journal　efEarthquake 　Engineering

and　

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　No

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1

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1978

吉田

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第 302

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　and　Luco

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Maeda

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昭和60年1b月

Day

_，

　S

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M

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：Finite　Element　Analysis　of　Seismic　Scat

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tering　Prob【ems

，

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California

，

　at　

San

　Diego

，

　

Calif

．

，

　in　I977

，

　in　_partial

fulfillment　of　the　requirements 　for　thedegree　of　Dectorof

Philosophy

Luco

，

］

．

E

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I

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SYNOPSIS

UDC:624.131.55:624.15:624.042.7

DYNAMIC

SOIL-FOUNDATION

INTERACTION

ANALYSIS

BASED

ON

INTERRELATIONS

OF

FUNDAMENTAL

PHYSICAL

QUANTITIES

byDr.NAGAYUKI YOSHIDA, ResearchAssociateof shima

Univ.,

Dr.YOSHINOBU FUJITANI,

Associate

Prof.of HiroshimaUniy,, and _{DAUI FUJ",} Graduate

Studentof HiroshimaUniv., Members ofA.I.

J.

There

exist three

fundamental

_phy$icalquantities

in

the

dynamic

soil-foundation

interaction

_problem.

These

are therealand

imaginary

partsof

impedance,

and theseismie exciting

force,

An integralequation formulationbased on the dynamic Green'sfunctionsforan elastic medium is

developed

for

use as a tool inanalyzing the

fundamental

_{physicalquantities.}A limitednumber of theevaluation

for

them

are available at _present,most of which are restricted to thecase of

flat

ioundations

because

incase of the

embed-ded

foundation

the enormous computational time isneeded

for

calculation of the

dynamic

Green's

functions.

Itis the objective of thiswork to rerneve the

limitation

by

applying

interrelations

of the _{physical quantities}to the

boundary

integral

equation method.

The

displacement

field

is

represented

by

the

displacement

component of the

Green's

functions

and the source

distribution

at the

interface

of soil and

foundations.

Bbth

of the

imaginary

_partof the

impedance

and the static

impedance

are

directly

obtained

by

the source

distribution.

The

real _partof the

impedance

is

indirectly

calcu-lated

from

them

by

the Hilberttransform.

The

seismic exciting

force

isrepresented as the _productof the source

distribution

and the

free-field

motion through use of the reciprocal theorem, Therefere, theevaluation of the physica!quantitiesreduces _totheproblem of

determining

the

intensity

of source

distribution.

The pioposed method resolves a _prevailingshortcoming inthe analysis of the embedded foundation_;the ne-cessity of calculation

for

the stress components of the

dynamic

_Green's

functions.