静水圧型外荷重を受ける円弧アーチの安定問題

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service

Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

【

研 究 論 文

】

UDC ：624

．

Oア4

．

32 ：624

．

074

．

43 ：624

．

042 日本建築学 会 構 造系論文 報告 集 第 360 号

・

昭 和 61 年 Z 月

静

水 圧 型 外

荷

重

を

受

け

る

円弧

ア

ー

チ

の

_安定

_問題

正 会 員

　 大

森

博

司

＊

　

1．

既

往

の 研

究 と

本

論

の

目的

　

薄 肉 弾 性 体

，

特

に シェ ル

構 造 物

につ い ての

弾

性 安

定 性

を

検 討

す る

際

に

，

そ の

安

定

限 界

荷 重

を

変 動

さ せ る

要 因 と

して は

種

々

考

え

ら

れ

，

歴 史 的

に も さ ま

ざ

まの

_要

因が そ の

検 討

の

対 象

と し て

研 究

さ れ て き てい る

。

シェ ル

構 造 物

の

弾 性

安

定

に

関

す る

研 究

に つ い て は

，

主

とし て

実 験 値

と

理

論 値

の

間

のギャッ

プ

を 埋 めるた めの

努 力

そ の

も

のが

，

こ の

分 野

の

，

こ こ

_約

40

_年

の

歴

史

で

あ

る

と

いえ

よ う

。 そ れ ら の

研 究

の

中

で も

，

最

も

精

力 的

に

研 究

され て

き

た

も

のと して

，

系

の

有 す

る

初 期 不 整

，

初期

ひ

ず

み_， あるいは

応 力

，

さ

らには

境 界 条 件

の

影 響

に

関

す る

研

究

を

挙

げ る

こと

が

で き る

。

こ丸 ら の

諸 要

因は

，

_系

の

_安

定

限

界 状 態

に

微 妙

に

影

響 を与

え る

も

の で

，

場 合

に よっ て は，

安

定 限 界 荷 重

を

大

き く

変

動 さ せ る

要

因に も な り

得

る

も

の で

あ

る こと が

，

こ れ までの

研 究 報 告

に よ り

指 摘

さ れて きてい る】）

”

51

。

　 本論

で

扱

う，

荷 重

そ の

も

の の

持

つ

特 性

に

関

しても

，

そ の よ うな

研 究

の

歴 史

の

中

で

問 題 意 識

が 生 ま れ， 研

究

対

象

と なっ た

。

1942

年

，H ．

　

Tsien6

〕は

，

等 分 布 外 圧 を受

け る

球 殻

の

安 定 解 析

を 通 して

，

外

力の

特 性

の

評 価

の

相 違

，

す

な わ

ち

，

圧 力型

の

_{外 力}

の

_変

_{形 依}

_存性

を

考

慮

する か

否

か の

相 違

が

，

シェ ル の

安

定

限 界 を

変 動

させ る

場 合

が

あ

り

，

系

の

持

つ

_{初 期 不 整}

，

_{初 期}

応 力

，

あ るい は ひ

ず

み

_，

境 界 条

件

に

対 す

る

と 同様

に

検 討 を加

え ること が 必

要

で ある こと

を指 摘

して い る

。

外 力

の

特 性

と

弾 性 体

の

安

定

問

題 と を

，

こ うし て

明

ら か に

関 連 付

け て

議 論

した

研 究 報

告 は

，

お そ らく こ れ が

最 初

の

も

の で あ ろ う。 その

後

，G ．

　

W ．

　

H ．

StevensT

〕_は

_，

_{弾 性}

FL

_］

_弧

_リン

_グ

_が

_，

_等

_分

_{布 荷 重 下}

_に

_置

_か れ た

場 合

の限

界

荷 重 が

，

外 力の評 価

方 法

によっ て

，

大

き く

変

化 するこ とを

示

し

，

ま た

，

A

．

P

．

　

BoresiS

］は

，

　

Fig

．

1−

1

お よ び

Fig．

1

−

2

に

示 す よ う

に

，

円 弧

リン

グ

に

3

種類

の

異

なっ た

特 性

を

持

つ

_{等 分 布}

外

圧 を

加

え た 場

合

の

弾 性

限

界

を

求

め

，

これ らが 互い に異 な る

値

と なるこ と を

示

し て い る。 ま た

，

G

．

　

A ．

　

Wempner

と

N ．E ．

　

Kestig

） は，

両 端

固 定

の

種

々 の

開 角

を

持

つ _{円 弧 ア}

ー

_{チ が}

，Fig．

1

−

3

に

示

す よ う な

3

種 類

の荷 重 を 受 け た 場

合

につ い て

，

座

屈

時

の

軸

方 向

ひ

_ず

み が ない と

考

え た

上

で

、

線

形

固

有

値 問 題

と して こ れ を

解

き

，Table

　

l

に

示

す ような

弾 性 安 定 限 界 荷 重

を

求

めて い る。 この

結 果

は

，

外

力の

評 価 方

法の

相

違に より

，

安 定 限 界 荷 重

に

変 動

が

生 ず

るこ と を

明 確

に

示

して いる。 さ ら に

，C ．

　

Oran

_と

R ．

　

S．

　

Reagani

°1は

，

円 弧

ア

ー

チの

境 界

が

，

弾 性 支 持

さ れ た 場

合

につ い て

，

荷 重の

特

性 評

価

法

の

相

違

に よ り，

限 界

値

に

複雑

な

変化

が

見

ら れ ること

を

　ShnPE 　oE　EIasヒte 　Rt1S

　Shnpe 　gf　Elss

℃

ic 　Rin巳

（

日

1　Cen

二

【

al⊥ア　Di

【

ec

」

±onal 　Pressure

〔b ｝　ConStSn

こ

ly 　Dire

：

t ±e

冂

al　Ptessu

匸

e

〔c｝　Pu

匸

e　N

り

【

mal 　P

匸

e

！

su

【

臼

Fig

．

1

−

1　

Etastic

　

Ring

　sロ

b

_亅ected 　

to

　

Three

　

different

　

Types

　of 　 　 　 　

Externa

【

PressureSl

4

．

5

　 　 　

D

　 　 　 　 　 　 　 5 　 　 　 4 　 　 　 　 　 　

　

3

降

_゜

国 』

8

づ 雪 昌 h 円 ¢ H 呂 　 0 　 3 凵 O 凵 U 悶 國 2

．

5

Cent

τally 　Direc にioual 　LoadB （り

＝

0

．

00 ）

Nor皿al　

Loads

（り

＝

O

．

3D ）

HG 

l

　

Loads

_（り

冒

0

．

00 ）

事 _{名 古 屋 大 学}

_助手

・

_工

_博

　 〔昭 和

59

年 ll 月

8

日原 稿 受 理

1

0　 　 　　 　 　

0

，

05

　 　 　 　　 　 　 　0

・

10 　 　

Thickne55

　Divided by工nner 　Radiu3 　　

h

／a

　 　　　

Fig

．

1

−

2　

κ



versus



h

／

aS

，

一

一

　

94

　

一

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NII-Electronic Library Service

Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

＼

f

匚

1

［

SLi

・

ktch

n 「ormed 　sh

口

P

冒

　u 【　ElaS

匸

t4

、

L匚

h

．

！

〔

自

）　G

匸

11

匚

匸

自

11y 　Dir

邑

c

し

ton

；

1 　FrEsuur

こ

／

一 一 一

＼

∴

… ＿

　 　 　

I

Fig

_．

₁

−

₃



ELastic

　

Circular

　

ATch

　subjected 　to　

Three

　

Different

　 　 　 　

Types

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External

　

Pressureg

）

Table

　

l

　

Critical

　

Loads

　of　the　

Circu

_旦ar　

Arch9

） α：

Opening

Angle of　

the

　

Arch

£

．

1

．

’

rec 口on 　　　of 　　

Load

　

　

030

　

　

060

　

　

090

　

　

　

0180Fr 已eRing

Nor

皿_旦

1

73

，

318

．

18

．

03

．

03

．

O

Constanr

80

．

519

．

49

．

05

．

64

．

0

CentraL

80

．

520

．

2

］LO

．

96

．

54

．

5

報 告

して い る

。

　

変 形 依 存 型

の

外 力

が

，

球

形 シェ ル

，

円

弧

ア

ー

チ

，

あ る い は リン

グ等

の

弾 性

限 界 に影 響 を 及 ぼ す ことにつ い て は_，

上 述

の よ うに_， い くつか の

_{報 告}

があ る が

，

これ らは_， その い

ず

れ

も

が_，

線 形 固 有 値 問 題

と し ての見

地

か らの

座

屈

を

扱

う

も

の であり

，

ま た

，

座 屈 時

に おい て

，

軸 方 向

ひ ず み を 起 こさ ぬ

．

い わ ゆ る

伸

び な し

変 形

を

仮 定

し ており

，

特

に座

屈 前

におい て

，

非 線 形 性

を

伴 う曲 げ変 形

を

生

ず る よ う な 場

合

に は

，

大

き な 誤

差

を

生 ず

る

可 能 性

が ある

。

ま た

，

これ らの

報 告

において は

，

外 力

の

_変

形

依 存 性

を

，

幾

何

学 的

な

力

のつ り

合

条

件

か ら

評 価

す ること に よ り

基 礎

式

を 定式 化

してい る が

，

球

形 シェ ル

，

円 弧

ア

ー

チ あるい は リン

グ

の よ うに

，

弾 性 体

の

_{境 界}

が

変 形 拘 束

］4）_を

_受

_{けて い} る よ う な も の に

作

用

す る 圧

力 型

の

外 力

は

，

ポ テンシャ ル

カ

と な り

，

これ を

直

接

離散

化

して

基 礎 式

と す る 正

確

な

扱

いが

可

能である

。

　 本

論

では

，

両 端 ピ

ン

支

持

の

円

弧 ア

ー

チ を

例

題 と して

，

その

定 式 化

過

程

を

示

し

，

その

結

果

求

め ら れ る

基 礎 式

を も と に し て

，

外 力

を 正

確

に評 価 し た幾 何 学 的 非 線 形 解

析

を

行

い

，

外 力

の

変 形 依 存 性

が

，

系

の

弾 性 安 定 性 状

に

及

ぼ

す

影 響

につ い て

検 討

を

加

え る と と

も

に

，

弾 性 安 定 解 析

に

多

用 さ れ る 固

有

関 数 展 開 を 用い たノ

ー

マ ル モ

ー

ド法 がこ の

種

の問 題に

適

用 され た 場 合の

_精

度 を 検 討 す る た めに

，

、

有

限

要 素

法

を 用い た 場

合

との比

較

につ い て も

言 及

す る。

　

2．

静

水

圧 型

外

力

の

ポ

テ ン シャ ル

表示

　

本 論

で は

，

シェ ル等の

弾

性 体 表 面に対 して

，

法

線

方 向 に

作 用

する

変 形 依 存 型 外 力

の

最

も

一

般

的

な もの と し て

静

．

水 圧 （

従 動 型 等 分 布 荷 重 ） を 考

え

，

以 下

これにつ いて の

定 式 化 過 程

を

示

す

。

　

2

−

1

一

般

の

曲 線 座 標

に

対 す

る

ポ

テン シ ャ ル

表 示

　 今

，

静 水

圧

型

の

外

圧

（

厳 密

に は

液 体

の

深 度

に

よ

り

変 化

す る が

，

こ こ で は こ の

影 響

は

考 慮

か ら

除 外

し

，一

定

とし て

扱 う）

を

受 け

る

弾 性 体

が

す

べ て の

境 界

に

変 形 拘 束 を 受

けて いる

も

の と す れ

ば

，

単 位 表 面 積

あた り に

作 用 す

る

外

圧 を ρ

（

一

定

）

，

そ れを

受

け て

弾 性 体

が

変 形

し

，

そ の

結 果

，

その

基 準 面

が

移 動

し た

部 分

（

Fig

．

2

−

1

で

微 小

六

面 体

P

’

_Q

’

S

’

R

’

−

PgRS

の

部 分 ）

の

体 積

を

AV

と す れ ば

，

外

力 仕

lj

　

AW

は

次

式で

_表

され る11）

_。

　　　

△

W

＝

P

●

△

V ・

9・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

9・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

2−

1

_）

こ の

表 式

か ら，

静 水 圧 型

の

外 力

の

仕 事 量 を

求

め る た め に は

，

弾 性 体

の

変 形

に

伴

っ て

，

そ の

圧 力 を受

ける

表 面

が

移

動

し た

部 分

の

体 積 変 化 量

AV

を

求

め て

，

こ れ に

外 圧

p

を乗 ず

れ ば

良

いこ と が

判

る。 こ の

よ う

に

考

え れ ば

，

結 局

問

題 は

，

Fig

．

2

−

1

に お い て

，

微 小

六

面 体

PgRS

−

P

’

₉

’

R

’

S

’

の

_{体 積}

を

，

変 位

ベ ク トル u に よっ て

表 現

す

る

こ とに

帰

着

さ れ る。 こ の

図

におい て

，

各

ベク トル は

，

こ の

曲線 座標 系

の

共 変基 底

ペ ク トルを

，

g

，

，

　

g

、と す る と

次 式

の よ うに

表

さ れる。

　　　 PP

’

＝

u

，

　

QQ

’

＝

u 十 u

_、

tAxi

　　　

ss ’

＝

u ＋ u

_，

2Axt

，

　

RR ’

＝

u ＋ u

、

iAxi

＋腿

．

2△げ

　 　 　

PQ

＝

91

ムコ

c

匚

，

　

PS

＝

92

ムコ

cz

　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

一・

・

・

・

・

…

　

鹽

鹽

鹽

『

・

…

　

噛

鹽

鹽

鹽

（

2

−

2

）

P s

，

R

，

torVeo しor 　 oFig

．

2

−

1

　

Shift

　of　

the

　

Infinitesimal

　

Surface

　

ln

　

the

　

Curvilinea

［ 　 　 　 　

Coordinates

一

₉₅

一

Architectural Institute of Japan

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こ こ に

，

μ

．

t

＝

∂

u

ノ

∂

ゴ

を

表

す

。

　

こ の

表 現

を

用

い て

微 小

六

面

体

の

_{体 積}

を

求

める と，

高 次

微 小 量

を

省 略

し て

次式 を得

るf

’

ten1。

　　　

AV

−

u

・

｛

91X

_・ ・＋

毒

（u

，

1X ・・

一

・

，

・

Xgl

）

　

　　　　

＋

静

x

司

△・・ム

ゴ

・

…・

・

ttt

……一

（

2

−

3）

ゆえ に_，

全 体 積

V

は

次 式

で

表

される。

　

　　

v

−

∫

・

恒

_梅

＋

ム

（

u・

…

−

u

．

、

xgl

）

　

　　　

・

去

　

Un ・ u

_．

・

］

d

・・

dX2

………・

・

………・

・

（

2

−

4）

テ ン ソ ル

_表

示

で は_，

　　 　

u

＝

utgt

，

　

UJ

＝

uS

−

gi

十衡 ‘

_1「

i

／

9

鳶

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

tt・

（

2−

5

）

であ るか ら， これ

を （

2

−

4

）

式

に用い れ ば

次

式 を

得

る

。

　

　　

v

−

rf

_［

fg

　

u

・ ＋

麦

1

漁

5

・・バ ・

〜

・ 、、

∂

　　

　　　

＋

u

’

_u

’ （

rl

・E・・厂

r

？

… ’

）

｝

＋

き

　

・ ・

（

啝

諏

　 　　 　 　

十

_垢

駕」

rl2

ε‘犀躍十

utuftFi

εtjic

　　

　　　

・

u

・

u

・

_r

：

Fh

・m ・h

）

］

d

・・

d

・’

・

・

・

・

・

・

・

・

……

（

2−

6 ）

これ が

体

積 変 化 量 を

示

すテ ン ソ ル

表 示

である。 ただし，

共

変

基

底ベ _{ク ト}ル

g

、の

第 」成 分

を

g

、」 とし

，

g

＝

det

（

9

‘J

）

で あ り

，FS

は

Christoffel

の

記 号

，

　 ewrc は

Ed ・

dington

の

記 号

であ る。

　 2

−

2　

一

般

の

_曲

_{線 座 標}

に よ るつ り

合 式

の

表 示

　

弾

性 系

の

持

つ ひ

ず

みエ

_ネ

ルギ

ー

を

U

，

外 力 仕 事 を

W

と す れ ばつ り

合 式

は

次式

で

表

さ れ る

。

　 　　

δ

（

U 一

陞

）

＝

　

O

_あ

るい は δu

・

grad

（

U −

W

）

＝0

　 　 　 　

…

　

P7・

…

　

r777

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

…

　（

2

−

7

）

こ こ に

，

δ

u

は

変

位ベ _{ク トル}

_u

_の

_第

一

_{変 分}

_，

_grad

（

U

−

W ）

は汎

関 数

H ＝

σ

一

W

の こう

配

】9｝_を

_表

_す 。

静 水

圧

型

の

外 力

を

受

け る

場 合

，

単 位 面 積 あ

た りに

作 用

す る

外

圧 を

p

と する と

，

外 力

の

成

す

仕 事

W

は_，

（

2

−

4

）式

か ら

次式

で

表

され る

。

　　

　

w 一

_小

・

_｛

鵬

・

去

（

・

，

・× ・・

一

・

，

・×

9i

）

　　

　　　

・

去

馬 ・ u

．

・

i

…

d

…

……・

一 …一

（

2

−

8）

変分

を と る と

，

　　

　

・

W

／

・

・

　

f

， ・

U

・

19i

・

₉

・＋ ・・

Xg2

−

u

．

・

X

・・

’

＋ Un

　　

　　　　

・・

抛

…＋

［

Lf

，

，

・u

・

（

S

_・・

Xu

　　

　　　　

・

9

　

・

．

・× ・

）

・

司：

：

：

；

1

・

［

∬

δ・

　　

　　　　

く

が

×

₉₁

＋

き

・×・・

）

d

・・

11

：

1

；

：

　 　　 　 　 　　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t・

・

・

・

・

・

…

　

（

2

−9

）

こ こ に

，

デ

，

Ii

’

，

デ

，

歪2

’

は それ ぞれ

xl

，　

x2

の

変 域 境

界

に お け る

指

定

さ れ た

値

であ る もの と

す

る。

Ou

が

x

’_と

一

　

96

一

ゴ の

_境

_界

で

消 失

す るこ と

を考 慮

する と，

結 局

、

つ り

合

式

は

次 式

で

表

現 さ れ ることにな る。

　 　 　 grad

　

l

_ノ

ー

p

（

g

，

十 u

．

i

｝

x

（

9i

十 u

、

z

）

；

O

・

・

・

・

・

…

　

（

2

−

10 ）

あ る い は_，

　 　 　

grad

　

I

ノ

ー

_P

（

δ

｛

十

utL

十

u

「Crl ，

）（

δ

S

十

uf2

　 　 　 　

＋ utrll

）

ε iJ．

gM

＝

0

……・

…・

・

…………・

tt

（

2

一

ユ

1

）

（

2

−10

）

式

あ るい は

（

2

−

11

）式

に お い て_，

_{第 2 項}

の

外 力

項

の

_変

_位

に

_関

す る

項

を

取

り

除

け ば

，

通 常

の

定 方 向 型

の

圧

力

に

対

す る

基

礎

式 と な る。

結 局

，

（

91

十 U

、

1

）

×

〔

g

：＋ U

，

2

）

の

項

は

，

系

が

変 形

す ることに より

，

外 圧

p

の か か る

部 分

の

_見

つ

_け

の

_{面 積}

が

変 化 す

るこ

と

に

よ る 影 響 を表

す

も

の

と

解

釈

す ること がで き る

。

　

3．

有 限 要 素 法

による

円 弧

ア

ー

チ の

_{弾性 安定}

_解

_析

　 本 章

で は

，

シュ ル

構 造 物 が 面 外 方 向

に

静 水

圧

型

の分

布

力

を

受 け

た

場 合

の モデル

と

して

，

最 も 簡 単

な

両 端

ピン

支

持の 円 弧ア

ー

チ を

設 定

し

，

局 部 的

な

不 安 定

現

象

を も

解

析

対 象

と す る た めに

，

_有

限

要 素 法

を

用

い て

数 値 解 析 を行 う

。

外 力

は

前 章

で

求

め た

体

積変化

暈 の

正

確

な

表

示

に

基

づ く ポ テ ン シ ャ ル を

直 接 変

分 す ることに よ り求 め ら れており

，

静 水

圧

型 分 布 力

の

評 価

を

極

めて

簡 単

に

_行

い

_得

るこ と が 示 さ れ

，

併

わ せて こ の

外 圧

の

変 形 依 存 性

が

系

の

弾 性 安 定 限

界

に

及

ぼす

影 響

につ い て の

検 討

が

加

え ら れ る

。

　 3

−

1

有 限 要 素 法

に よ る

基 礎 式

の

_{定 式 化}

　

こ こ で は

，

前 章

で

求

め ら れ た

静 水 圧 型

の

_外

圧 に

対

す る

ポ

テ ン シ ャ ル の

表 示

に

基

づ いて

，

通 常

の は り

要 素

に よ る

有 限 要

素

法

を

用

い て

離

散 化

する

。

　

は り

要 素

の

変 位

，

座

標

の

_{規 約}

は

Fig．

3−

1

に

示

す と お り で あ り

，

通

常 扱

わ れ て いる よ うに

，

面 内 変 位

u

に つ い て は

1

次

，

面 外 変 位

w につ い て は

3

次

の

代 数 内 挿

関

数

を

用

い る。 こ

う

し た

規 約

に

基

づい て

，

ひ

ず

み

一

変 位 関

係 式

は

次

式で

表

さ れ る

。

　

　

　

：

：

鶴

；

轍繍嬲

ll

；

v2

_｝

　 　 　 　

…・

・

………・

…

（

3

−

］

）

こ こ に_， ε は

軸

方

向

ひ

ず

み

，

x は

_{曲 率 変 化 率 を表 す}

_。

一

_{要 素}

_{あ た りの ひ}

_ず

_みエ

_ネ

_ルギ

_{ー ue}

_は

_，

有 限 要 素 法

の

通 常

の

手 続

に

従

っ て

次

式の よ うに

求

め ら れる

。

　 　 　

ue ＝

＝

H

急

d

£

df

十

H

_跳

d

_『

d

_∫

d

_箟

十

8

躡

dfd

望

d

覧

d

『

　 　 　 　

…・

…………一 ・

・

…・

…・

…・

（

3

−

2

＞

こ こに

，

Hf

，

，

　

H

臥

，

　

H 融

は，

要 素

の

節 点

変位

ベ ク トル

df

の並 びに

応

じて

作 成

さ れる

，

1

次

，

2

次

，

3

次

の ひ

ず

Vi w ］

・

W

Fig

．

3

−

1

　

Beam

　

Element

ゴ

ec匸±on 　八rea gment 　of 　Inertia

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service

Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

みエ

_ネ

ル

ギ

ー

に

_対

応

す る

係 数

マ _{ト リ ク}ス で

あ

る。 な お

，

こ こ で

下 添 字

i，

」

，h，

‘

等

に

関

し て は

，

総 和 規 約 を適

用

するものと し

，

以 下 特

に

_断

わら ぬ

限

り

，

こ の

約 束

に

従

う も

の

と

す る

。

　

静 水 圧 型 外 力

の

一

_要素

あ た り になす

外 力仕 事

we

を

，

（

2

−

8

） 式

に

基

づ い て

_{評 価}

すれ ば

_{次 式}

を

得

る懈 2 。

　 　　 we

．

・

ノ

t

（

△

E

_島

d

 

f

十

Pf

（

躍

）

…………・

…・

…

（

3

−

3

）

こ こ に

，A

は

静 水 圧 型 外 力

の

単 位 面 積

あ たり の

荷

重

を 表 し

，

A

は

，

こ れ が

0

の

時 定 方 向型

外

力

を

，

ま た

，

1

の

時

静

水

圧 型

外 力

，

すなわ ち

法 線 方 向 変形 依 存

型

外

力 を

表

す

便 宜 的

な

指 標

で あ る。 ま た

，

Pf

は

通 常

の

扱

い での

等

価 節 点 力

を

表

し

，E

島

は

，

外 力

の

変 形 依 存 性 を表

す

係 数

マ ト リクス で

，

これ ら は そ れ ぞ れ

次 式

の よ

う

に

表

さ れ る

。

　　　

lP

認

γ_霜 δ

［

0，1

／

2

，1

：

／

12

，

0

，

〃

2

，

− li

／

12

］

…・

・

（

3

−

4 ）

［

E

島］

＝

b

0

　

0

　 　

− l

／

12

　 　

0

　 　 　

0

　 　 　

0

sym

．

0

　 　

− 1

／

2

1

／

2

　 　

0

♂／

12

　

00

　 　

0

　 　 　

0

9

／

12

　

0

　

0

−

　

1

／

12

　

0

　

0

　　 　　　 　　　 　　 　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

3

−

5

）

こ こ に

，b

は は り

要 素

の

幅

，

1

は同 じ く 長 さ を 表 す

。

　

（

3−5

）式

で

表 現

さ れて い るマ

_トリ

_クス

EZ

の

_非零

の

要

素

の

_{位 置}

は，

線

形

要 素 剛性

マ ト リク ス の

非 零

の

要 素

の

位

置 と

すべ _て

_ず

_{れて お}

り

，

変

形

依 存

型

外 力

の

持

つ

特 性

を

示

す もの で ある_。

_（

3

−

2）

_式

お

よ

び

（

3

−

3

）式

で

表

され る

要

素

のひ

ず

みエ

_ネ

_{ル ギ}

ー

_と

_{外 力 仕 事}

_の

_{表 現 を}

，

_{座 標 変 換 を}

’

通

して

全 体 座 標 系

での

表 示

とし

，

こ れ を

構 造 全 体

で

重

ね

合

わせ て

得

ら れ る

全

ポ テンシャ ルエ

_ネ

ル

ギ

ー

を

，

節 点 変

位

ベ _{ク ト}ルで

停

留

さ せ ることに

よ

り

，

つ り

合式 と

して

次

式 を得

る

。

　 　 　

（κσ

一

ム五

El

」

）

d

，十

KWit

〔

1

，

d

κ十 κ‘瑠 〔

均

d

κ

d

晨

＝

ノ

LPi

　 　 　 　

・

・

・

・

…

　

77・

・

7r・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

『

一・

・

（

3

−

6

＞

　

こ の

表 現

か ら

判

る と お り

，A

＝

1

，

_{す な わ ち}

_{外 力}

_の

_変

形

依 存 性

を

考 慮

す る

場 合

に は_， つ り

合

式の

表

示

中

に_，

_変

位

d

‘に

関

す る

非 線 形 項

は

も

と

よ

り

，

荷 重

パ ラメ

ー

タ

ー

A

に

関

し て も

，nd

‘の

項

を

含

んでお り

，

荷 重

パ ラメ

ー

タ

ー

を も 未 知パ ラメ

ー

タ

ー

と

考

え れ ば

，

それ

自 身

， す

で

に

非線 形

と なる

項

を

含

んでい る

。

　

（

3

−

6

）式 を変 位

に

関

し て

線

形 化

し た， いわ ゆ る

線形

つ り

合式

は

次 式

で

表

され る

。

　　 　

（

K

‘丿

一

AAE

．

）

d

丿＝＝

AP ，

一

・

…・

・

…・

…・

…・

…・

…

（

3

−

7

）

こ の

式

か ら

判

る と お り，

左

辺 の

係 数

マ ト リ クスは

，

各荷

重 値

に

応

じ て

漸 次 変 化

す る もの で

，

通

常

の

意 眛

で の

_線

形

解は

存 在

し ない

。

し た が っ て

，

物 理 的 考 察によ り

，

（

3−

7

）

式 左

辺

第

2

項

の

非 線 形 項

の

影 響

が

無 視

で き る と

判 断

で き る

場 合 （

具 体 的

に は

，

線 形 膜 解

で

十 分 近 似

でき る

場 合

等 ）

以 外 は

，

こ の 種の

_問

題に は

，

安 定 解 析

の

手 法

と し て の

線

一

PIN

−

E

Fig

．

3

−

2

　

Circular

　

Arch

形

固

有 値

問 題

と して の

扱

い

方

は

，

本 来

，

適

用で きな い

。

　

3

−

2

　

数 値

解析

　

数 値 解 析

に

_用

い たモデル は

，

Fig

．

3

−

2

に

示

す よ う な

両

端

ピン

支持

の円

弧

ア

ー

チであり

，

はり

要 素

に よる

分 割 を

20

の

均 等

分

割

と し

，

対 称 変 形

を

追 跡

する

際

に は_，

対 称

条 件

を

設

け，

都

合

10

分 割

で

解 析 を実 行

し た

。

　

な お_，

（

3

−

6 ）

式

で

_表

さ れ る

非 線 形 代 数 方 程 式

の

数 値 解

析

に は

，

帯 行

列 を 用い た 弧 長 法

t

’

ne3

が

用

い ら れ て お り， さらに

_分

_岐点

を

求

め る

手 法

につ い て は

，

通 常

の

行 列 式 を

チェ ック す る 方 法 に よっ て い る が

，

分 岐 点 近 傍

に お け る 分

岐 方 向

の探 索に は

，

普 通 よく

用

い ら れ る固

有値

解 析

に よ る

方 法

， あるい は摂 動

的

な

手 法

121 によ ら

ず

，

零

固

有 値

を持

つ マ

トリ

クス の

_{性 質}

を

利

用

し た

簡 便

な

方 法

臟 4_が

_南

い ら れ て い る

。

’

　

数 値 解 析

は

，

定 方 向 外

圧 と

変

形 依 存 型 外

圧 が

系

の

安 定

性

に

及

ぼ

す影 響 を把 握

す る た めに

_，

円

弧

ア

ー

チの

形 状

を

次

に

示

す よ うに

変 化

さ せ て

行

っ た

。

　 　　

荷 重 ：定 方

向

型

外

圧，

静

水 圧

型

外

圧

　 　　

形

状

：

HIR ≡

1

／

50

，

1

／

IOe

，

1

／

200

　　　　　　Rise

／

Span＝

0

．

5

／

10

，

1

／

10

，

2

〆

10

，3

／

10，

　 　　　 　　　 　　　 　　4

／

10

，

　5

／

10

こ こで は

，

紙 面

の

都 合

か ら

，Rise

／

Span＝

2

／

le，3

／

10，

4

／

10

，

5／10

の

場 合

は

割 愛

し

，

残

りの

6

ケ

ー

ス に つ いて

結

果 を 示 す

。

文 献

18

）

にすべ て の

結

果 を

掲載

してい る。

Fig．

3−3r1〜

Fig

．

3−

4

−3

に そ れ ぞ れの

場 合

のつ _り

合曲線

の

全 貌

と 分

岐 点 付

近の つ り

合 曲線

の

詳 細

を 示 す

。

各 図 と

も

，

実 線

で

示

すつ り合

曲

線 は 定 方

向

型の

外

圧に よる

場 合

を

示

し

，

破 線

は

静 水 圧 型

の

外

圧 に よ る

場 合

を

示 す

。

又

，

詳 細 図 中

の

一

点 鎖 線

は

，Timoshenko

と

Gere13

｝ に ょ る

線 形 膜

解

か ら の

固 有 値 閥題

と し て

得

ら れ る 古 典 的 座 屈 荷

重 値

を

示

してい る が

，

これ は

次 式

か ら

求

め ら れ る もの で あ る

。

　

　

　

Per一

_号

_（

4

π2

　

2

−

1

φ

）

・

…一 …・

…・

・

…・

・

……

_（

₃

−

_8）

_．

こ こに

，

EJ

，

　

R

，

_φ

は そ れ ぞ れ_， 円

弧

ア

ー

チの

_曲

げ

_{剛 性}

_，

半径

，

全

開 角

を

表 す

。 また

，Fig．

3

−

3

−

1

は

，

　

H

／

R

＝

O．

02，

Rise

／

Span

＝

0

．

5

／

10

の

場 合

であ る が

，

こ こ で は

，

飛 移

点 に致 る まで の メ

イ

ンパ ス

上

に分

岐 点

は

_存

_在

し な かっ た。

同 図 中

に

P

，

r と

あ

る の は

，

上 述

の

Timoshenko

と

Gere

によ る 値 を

示

す。

　3

−

3　

解 析 結

果の

_{考 察}

一

₉₇

　＝ N工 工

一

Eleotronio _Library

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service

ArchitecturalInstitute of

(PRIEHxMS

O,40

O,]2

O,2"

O,16

D,08

o,ae

Japan

o,Do

o,os

o,16

o,2q

'o,32

o,qo

o,qs

Fig.3-3-1

{PWEHslor)

1[!ll

:I

D

,

[IIii-1･11j

:

1'

ff

F

ij･r

L

l

"

/f

:r,t:/:Di;NGr

RlsEfSpAN-,DS

o,2"

---r

'

l[

l

")

2,15

'..

!-

s

H-X

x

Pcr=O.825xlO-2(T

±moshenko and

'

W:

Vertical

Displacement

at

the

Apex

ef

the

Circular

Rt

Radius

H: Thickness

E:

Young's

Modulus

(HfRxlo't)

P:

External

Pressure

per

Vmt

Equilibrium

Path

CPRtEHxlcr)

o,2

,e

I7T+

l

-l

l

Gere13)

Arch Area

;/::[:oli/gio:IE:･:,l?:DTNG

-"i.;

'

±

1

.-.L.-.

xr'"

-a-.'p

7

--･--･-･

-rl

RrsEfSpAN=O,05

}

o,es

G.oe

-o,es

v1

'rr

r

'.. SN

O,08

O,l5

e,24

"..

_o,4o

G･VRtlO")

-'mL

p;.mx

Fig.3-3-2a

Equilibriuin

Path

CPRI[HilD-i)

II

e,]2

,NoN-FouaHER

1111

---

/

FoLLoHER

LuAn]Ns

Tl

L-Ll

.]

T"r-tHiR=D,9D5

I

O,2t

a,2-'

O,1

O,1.

o,o

O,O

a,oe

11 ;:

1,

...

t

IV

.LP.C-R.10,[L2,CtE..x-i-(i

'1i

.,

l

t.

Ir

L

O,l6

o,og

'O,DO

-O,08

-O,16

t.---I-M

T

1

ii1-1

/

LL

o,oo

o,lo

o,2o

e,]o

O,04

O,OS

D,1

T

i

Fig.3-3-3a

-98-{PRIEHxle")

1,12

2

O,ISl

Equilibrium

Path

tlO-L}

O.9,

O,8

O,6

o,"

os

O,1

o,o

Fig.

3-3-2

b

,I

[

nPcR=O =

1

e,4o

o,so

Equilibrium

,

FoLLovERLHIR=O,e05

1RrsEISpAreO,OS

515xlO

7 f r

l

'r

e,6o

o,7o

Path(VVRHIO{)

ll

OLLoWER11LeAD]NG'

't111-

1...-VERLeADING/'11

5

t1f

''F

rl

±

O,OS.A''tl

' '

F

1

'

x

,

t F 1 If1

llu-mm[iL'

r

..wh1

_'

.-u-r't-[1.m

ll1'

(wfRxi,e")

o,eoo,oq

o,Ds

o

Fig.3-3-3b,12

O,16

g.20

O,2i)

EquiLibrium

Path

"H-

1o,2g

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service

ArchitecturalInstitute ofJapan

o,sc

O,6C

P,40

O,2

o,o

-O,2

-o,g

RIEH.10-,)I,"･,,I1

llri'

1),"eH-FoLLoH'ERLo.xmelG

11

1FoLLo,HERLoADING

'tt

'

:

1ttt..tLtt.T-t:mtittmtu'tti"'i[[

1HIR=O,02RIsE/SpAN=O,10r

-1'---i''Lr

l...t

ttt

･!'Tjlrttttt

1lt'1-['il･7r

'r-'-T"L"'

l

.--tL-H-7.tltt...H...

[-.

1

o,i6o,32o,4so,6q,soo,96cw

..t.-t1""'

'

L1

Fig.3-4-1

a

Equilibrium

Path

CPR!Ell'･･10")

:

itoN-FoLLov!ER

LoAolNG

r-

/),2q

---l--/

_FoLloHER

_{LoAD[NGTi..."'}

l'

1

..I

I;:

2

,

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"

i

"

2

-Iil

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I

m

'

t

/

'

i

]

･

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±

N

1

'

J----.--J-rte

"

7"IZ-

'lt--1

f･

HfR-O,Ol

i

'

1

RIsEfSpAN=O,10

CW/Rx!O-,1

.

(PRIEH'11

'

O,S6

O,48

O,40

O,32

O,2"

O,16

1)

1T...-.LF7-m.L

1lt-i

l'

1s

t

_x

-

1FoLLokeERLoAD]NGx'

[1

LewERLoADI 11'fm'

ptG-11xx/t'T-t/

J"t7

lr1H/R=O,021---RlsEISpAN=O,10

l

,

l1-ti'x1-

'71-PcRta1F-,20]lt10-i

e,9E

O,08

o,oo

O,OO

(PRIEHxlO':)

1

1

7 ±

O,16

O,]2

Fig.3-4-1

ll

1`

Ll

-.-tttT

dEt--tt

(WfRxlO-2)

T

o,s

'[---e,o"

e,E-O,48

O,E4

O

b

Equilibrium

771

"-L.r"

,80

O,96

Path

l1/1111lI :/

j･

1

t"ot"-FoLLoltER

LeAD!NG

FoLLqLER

LoADI[NG

l

//

lt1

I-l--

j

1,12

o,gs

,i2

O,48

0,6"

{W)RxlO.)

Equilibrium

Path

O,]2

-O,16e,oo

o,16

o

Fjg.3-4-2a

e,IE

o,o

1l

:PcR-O

1 p

I,519xlOf]

t-111

f

7 r FTe

r

-l1n..'7.

.1

L----'

.

/

lrlR#O,Ol

1R]sE/SpAN=O,10

tr

L

{PRt1l

O,20EHilO-i}

I

il

t:oN-Foi/LowER

LaAD[NG

--l

]

l

l

1

---

:

FoLLowER

LoADING

l

'l

[l

O,IE---THfR=o,

"'

I

R[sE/SpAN=O

O,l2-t--[---

--..

i

,ooO,14o,2s

o,g2

o

Fig.

3-4-2

b,5S

O,]O

Equilibrium

O,84Path"･VRslO'])

r7.

,t

1/rXTtt"

-'-O,08r-o,e[4

05AN=O'10

1

...[---"

"t

r

-o,ego,eo

o,eg

Fig3-4-3a

O,OS

O,12

･O,15

(WfRnlO-L)

Equilibrillm

Path

:Ner"-FoLLoNERLeADING(PRIEHxlO-])

l:11LoADING1O28

,'

･1-..-..L1=:-..L1iEE

/i1

FoLLowER[1

ttt'l

'r"1-O2"

iE]'

E

"'F1

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/liNs's.

i/x

ll'

O20

:1I:

r-t//1Nx'

l'tt

/!/i x

l/･HIR=O1'eos/ii/JIxNR

Jl

1'

'

l･R[sEISpAN[O,IOIiiENNNo,l6-:1--t

i1'pcR=a,129'iD-1

1/i'.lttt-tt-

_{'j'L-.r'-t-LrJ}

''/t'

O,l21

1!/

1

L

l/1

li;,1:r

, 4

//

O08'b

l

'''

i1'

F

{1･!l///] /t

L･111[.1t

'u

t-e

_tro',04

(vrIRtlO'])

E

-O.80-O,54

-O,-8

Fig.

3-4-3

b

-e,32

-o,

EquiLibTium16

Patho,ooO,16

99

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service

Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

　

以

上

の

解 析

の

結

果 か ら

，

定 方 向 型

と

静 水 圧 型

の

外 圧

が

円 弧

ア

ー

チの

_弾

性 安 定 性 状

に

及

ぼす

影 響

につ い て

次

の よ う なこと がい え る

。

　

ま

ず

， メ

イ

ンパス につ い ては

，

各 形

状

を

通

じ て

，

両

者

の

外

圧 形 式

の

_相

違

に よっ て

，

H

／

R

が

小

さ く

，

　

Rise

／

S ・

pan

が

大

きい ほ

ど

， す なわ

ち

，

ア

ー

_チの

_{部 材 成}

_が

_小

_{さ く}

_，

ラ

イ

ズ

が 大

きい ほ

ど

，

両 者

の

間

に

差 異

を

生

ず る よ うにな る。 ま た，

両 外

圧

形 式

を

問

わ ず，

Rise

／

Span

が

大

き く な る につ れ て， 飛

移 点

が

分 岐 点 と比

べ て

極

めて

高

い

荷 重

レベ ル に

位 置

す る よ

う

に なり

，

Rise

／

Span

の

大

きいア

ー

チで は， 分

岐 点

の み に

焦 点

を

合

わ せ た

議 論

で

実

用 的に は 十 分で

あ

る

。

また

，

Fig

．

3

−

4

に

見

ら れ る よ う なメ インパ ス

上

の

複 数

の

極 限 点

は

，

系

が

小規模

な

部

分 飛 移 座 屈 を生

起

しつ つ

，

つ り

合 形 状

を

変

化 させ てい くこと を

示

す もの で

，

ラ

イ

ズの

_大

きいア

ー

チに

起

こ る もの である

。

　

分 岐 点

は

，

定 方

向

型 外 圧

と

比

べ て

，

静 水 圧 型 外 圧

の

場

合

の

方

が

，

その

_{荷 重}

レ ベ ル に おい て

，

こ こ で

扱

っ たすべ て の ケ

ー

ス に つ い て

_下

回っ て お り_， そ の

低 下

の

度 合

は

H

／

R

が

小

さ く

，Rise

／

Span

が

大

きい ほ

ど大 き

くで て い る

。

これ は

，

実

用 的に は

、

外 力

の

変 形 依 存 性 を無 視

する

と限 界 圧 力

を

危 険 側

に

見

積

る

こ と

を示

す もの で_，

注 意

を

要 す

る

場 合

が あり

得

るこ と を

意 味

し てい る

。

　

次

に

，

分 岐 点 付 近に お ける円

弧

ア

ー

チの

挙 動

につ い て

見

てみ る と

，

こ こで

扱

っ た

形 状

の

中

で は

，

H

／

R

＝

1

／

100

，

Rise

_／

Span＝0．

5

／

10

の

場 合 を 除

い て

，

他

の

場 合

で は す べ て

安 定

分

岐 点

と な っ て い る こ と が

，

つ り合

曲 線

か ら

判

断

で き る

。

こ の

安 定 分 岐 点

においては

，

系

は

，

分

岐 点

に

対 応 す

る

荷 重

レ ベ ルか らのわ

ず

か な

荷

重

増

加

に

対

し て1

“

理 論 的

にはメ

_イ

ン パ ス以

外

に

，

分 岐 点 近 傍

に

も

うひとつ のつ り合 状 態 を

持

ち

，

そのた め 円

弧

ア

ー

チは

，

大

き な

変

形

を 生

ず

ること な く，

単

にそ れ

ま

で

と

は

別

の

様 式

で

変 形

を

進 行

さ せ るに

過

ぎ ないこ と

を 意

味

し てい る

。

し か し

，

例

え ば

Fig

．

3−3−3

や

Fig．

3

−

4

−

1

に

示

され て い る

分 岐

パ スは_，

_分

_岐

点

で の

荷 重

レベ ル よ りもわずか に

高

い

荷

重 レ ベ ルに おい て

，

分 岐

パス

上

での

飛 移 点 を持

つ

も

の で

あ

り

，

安

定 分

岐

と はい え

_，

現

象 的

に は

通 常

の

不 安 定 分 岐 点

とそ れほど

異

な る もの で は な い

。

ま た_，

_他

の

形 状

の

場 合

でも

，

分

岐点

通

過

後

に

，

系

が その

変 形 能 を大

き く

変 化

させ る こ とは

事 実

であり

，

実 際 的に は や は り不

安 定 点

と

考

え るべ きであ る。 な お

，

微小振 動

法 を用

いたつ り

合 点

の

安 定 判

別

につ い て は

付

録

5

に

詳 述

し て い る

。

HIR

お よ び

Rise

／

Span

の それ ぞれ の

値

に

対

する

弾 性 安 定 限 界 荷 重

につ いて

，

前 述

の

Timoshenko

の

値

と

比 較

し

・

つ つ

，

_定

方 向 型 外 力

，

静 水 圧 型 外 力

につ い て

，

Table

　

2

にそ れ ら の

数 値

を

示

す

。

　4

．

ノ

ー

マル モ

ー

ド

法

によ る 円 弧ア

ー

チの

弾性 安 定

解

析

　

各

種

の

構 造 物

の

弾性 安定

を

解析

す る

際

，

自由

振 動

モ

ー

ド を

用

い た

低 自

由 度

で の

安 定 解 析

が

行

わ れ るこ

と

が

多

い

。

これ は 普 通

，

ノ

ー

マ ル モ

ー

ド法 と 呼 ばれ てお り

，

対

象

と す る

系

の

自由

度

を

重

み

付

き 固

有

関

数

の

線 形 和

で

近 似

す る もの であ る。

通常

，

採 用

す るモ

ー

ドは

低

次

の モ

ー

ド

か ら

順 次 採 用 項

数 を 上 げてゆ く た めに

，

特に系 が 局

部 的

な

変 形 を伴 う

よ

う

な

不 安 定 挙 動

を

示

す

際

には

，

これ を

低

次

の モ

ー

ドだ けで

近 似

す るこ と が 困

難

で あ る た め

，

良 好

な

精 度

を

得

る た めに は

採

用モ

ー

ドを

増

や す 必

要

が

生 ず

る

。一

方

3

章

で

扱

っ た

有

限

要 素 法

の

場 合

に は，

変 位 場

が ス プラ

イ

ン

関 数

とし て

与

えられている の で

，

局 所 的

な

変

形 挙 動

に

対 応

で き るとい

う長 所

を

持

つ

一

_方

，

_{系 全 体}

_が

_滑

ら かに

変 形 す

る

場 合

に は そ れ を 正 し く

表 現

す る た めの ス

プ

ラ

イ

ン

関 数 群

を 扱 わ

ざ

る を

得 ず

，

所 要

の

精

度

を

保 持

し よ う と す れ

ば

自由

度

は

大

き く な る

。

こ の よ うに

有 限 要 素

法

とノ

ー

マ ル モ

ー

ド

法

は互い に

_{相 補的}

である と

言

え る

。

Table

　

2



Cornparison

　of　

Critical

　

Leads

｛PR／EH） 　　Rise ／

Spa

ロ H ／R 　 　

丶

0

，

5

／

101

／

10

2

／ 10

3

／

IO

4

／

10

5

／10 2

．

07xlO

’

35

．

34

κ10

凵

h2

．

48

κ

工

0

’

軽

_L47x

工

0

．

臨 ₁

．

_oo×

1

σ貼

1

／

50

2

．

D4xlO

一

ヨ

₅

．

₅₉

・

₁₀

一

辱 ₂

．

_{78 ×}

_IO

’

、

₁

．

₇₀

_×lD

’

辱

_1ユ

8

×

10

一

り 1

．

92x 工0

’

a4

，

97

×

10

−」

2

．

35

×

10

冒

鉢

1

．

43

灯 σ隔 8

．

36

×

10

’

辱

2

．

G6xlr35

．

19Kl

σ』 ₁

．

_33x10

』

向

₆

．

_20x

ユ

O

’

53

．

68

耳ユ0

’

52

．

50xlO

’

5

VIOD

1

，

78 署

IO

’

35

．

⊥

9xlO

一

坏

_L42

_メ10

匿

辱

₇

．

lO

耳

10

−

54

．

64xlO

−

52

．

84

×

1

σ5

L70xlO

一

コ

₄

．

_80xlO

一

辱

₁

．

_21xlO

’

陥

₅

．

_44xlO

−

53

．

60xlO

一

三 L97

×

IO

’

5

5

．

15

×

10

一

嶋

₁

．

_29xlO

両

₃

．

_34xlO

’

51

．

55xlO

『

59

．

20×10

う

6

．

25

×

10

’

5

V200

4

．

95xlO

’

辱 _ユ

．

_27x 上σ』

₃

．

₈₄

_×

₁₀

−

51

．

_80xlO

’

51

．

エ

9

κ

10

．

56

．

90N ユ

0

．

5

4

．

80xlO

”

」 ₁

．

_{22x1 σ}辱

₃

．

_24xlO

一

5L47

×

₁₀

齟

58

．

₇₆

_κ10

．

54

．

₅₆ ×

10

−

6

　 　 　 13 ｝

Upper



Row ；

　

TimoshenkoIs

　

Solution

Middle 　

Row

：　

Non

−

Follower

　

I

」

oad 　（

Present

　

Anialysis

）

Lower

　

_R

_。w：

_F

_。

ll

_。wer 　

L

。ad　

Cpresent

　Analysis ｝

一

₁₀₀

一