【論 文】 Lls漣 讐 Journal of Sl鼬 1
’
菊441号・
1992年 1コ月 ]J.
No、
441,
Nov.
,
1992等速
移
動 点
加
振
力
に
対
す
る
3
次
元 均
質
等 方
弾
性
体
の
基
本
解
に
関
す
る
研
究
交
通振 動
による地盤
の応 答性状
に関
する解析 的
研究
ASTUDY
ON
THE
FUNDAMENTAL
SOLUTION
OF
A
HOMOGENEOUS
ISOTROPIC
ELASTIC
MEDIUM
DUE
TO
A
MOVING
EXCITATION
WITH
CONSTANT
VELOCITY
An
analytical study onthe
dynamic
response of a soildue
to atraffic
excitation福 和 伸 夫
*,梅 村 健 次
* *, 多 賀 直 恒
* * *Nobuo
FUKUWA
,
Kenji
UMEMURA
and
Naotsune
TA
GA
In
ord 宇r to study thedynamic
response of a soildue
to trafficloads
such as a mobi 旦e and atrain
,
thefundamental
solution of a threedimellsional
homogeneous
isotropic elastic mediumdue
to a point excitation which moves with constant velocity is
derived
heTe usingFourier
inte
’
gralmethod and convolution technique
.
A frequency response and a time response are explicitly pre−
sented
.
An
effect of the moving velocity is exarhinedf
τom the view points of thefrequency
con.
tent
,
envelope and atteriuation.
These results are compared with those Qf twodimensional
andthree dimensional solutions of a
fixeCl
poi.
nt harmonic excitation.
KeywerdS
: 0 痂 9催 0加 が0η, three
dimensional
,
eLastic medium,
fundamental
solution ,D
吻 伽 罐 ‘∫,
Fourfer
integrat,
conzmplution移動 加 振, 3次 元 弾 性体, 基 本 解, ドップラ
ー
効果 , フー
リエ 積 分 , 合 成積L
は じ め に 近年,
科 学 設 備,
生 産 設 備,
情 報 機 器な どの精 密 化に 伴い,
地 盤の微振 動が精密機 器 設 置上 ク リ ティカルな問 題と な る 建 築 物 が増えて き た。 半 導 体工場,
電 子 顕 微 鏡 施 設, 加 速 器 施設な どの施 設がこれに当た る。 これ らの 施 設が道 路や鉄 道に近 接 し た 場所に設置 さ れ る例も多 く,
交 通 振 動 問 題が設 計上重 要な テー
マ と なっ て き た。
一
方,
駅 再 開 発に伴い高 層 建 築 物が線 路上に建 設される 計画も多く,
居 住 性の観 点か らの検 討の必 要 性 も高まっ て い る。
こ うい っ た交通 外 乱に伴う振 動は,
車 両などの 加 振 源が移 動し な が ら 地盤に振 動外 力を与え,
地盤 内を 波 動 伝 播し, 構造物と地 盤と の動 的相互作用を介し て構 造 物に入力さ れ る。
し た がっ て,
交通振 動 問題 を考え る う えで は,
移勤 加 振 源に対 す る 地 盤 応 答性 状を考 察す る こと が第一
の出発点と な る。 そ こで本研究では,
交通 振 動外乱 によ る地 盤の応答性 状に関す る基礎資料を得ることを 目的と して, 交通外乱 を等 速で移 動す る定常点 加 振 力に置換し,
地 盤を 3次元 均 質 等 方 全 無限弾 性 媒体で置き換え た場 合の弾性波動解 を誘 導 する。
解の誘 導は, フー
リエ 積分法に基づいて行 い,
既往の3
次 元 点 加 振解])お よび2
次元点 加 振 解z) と の 比較を 通 し て,
解の性 状を考 察する。
弾 性 体の支 配 方 程 式か ら出 発し て,
時 間と座 標に関する フー
リエ 変換を 行っ た後に,
フー
リエ 変 換 場の変 位 解 を 誘 導 する。 2次 元,
3次 元 定 常 点 加 振力,
な ら びに,
3次元等速移 動 定 常点加 振 力を定 義し た う えで,
フー
リエ逆変換を施 すこ と に よ り,
各 基本解を統一
的に誘 導す る。 た だ し,2
次 元お よ び 3 次元 点 加 振解は陽な解析 表現が可 能と な るの に対し,
移 動 点加 振解は 振 動 数 成 分の陽な 表現は で きる もの の振 動 数に関す る無 限積分が残っ た形と な る。
そこ ’ 名 古 屋大 学工学 部建築 学 科 助 教 授・
博士 〔工学〉 * * 名古 屋 大 学工学 部 建 築 学 科 大 学 院生 榊零 名古屋大学 工 学 部 建築学 科 教授・
博士 (工学 )Assoc
.
Prof.
,
Dept.
of Architecture,
Facu量ty Qf Eロgineering,
Nagoya Unlv.
,
Dr.
Eng.
Graduate Student
,
Dept.
of Architecture,
Faculty of Engineering,
Nagoya Univ
.
Prof
.
,
Dept.
of Architecture,
Faculty of Engineering,
Nagoya Univ.
,
Dr.
Eng.
で
,
別途,3
次 元 点 加 振 解から イン パ ル ス応 答を求め,
加 振 外力 を等 速 移 動させ た場 合の合成積を評価す る こ と に よ り移動点 加 振 解を誘 導する方 法につ い ても 示 す。
こ・
の方法 を用いた場 合に は,一
部,
定積分が含ま れ る も の の,
かな り見 通し の よい解を得るこ と が可 能と な る。
移動 外 乱に舛す る 既往の研究と して は
,
半 無限地 盤の 地 表 面 を静 荷 重が等 速移動す る問 題 を解 析 的に取り扱っ たEaSQn3
}やGakenheimer
ら4)に よる研 究,
定 常 移 動 加 振 外力に対 す る薄層法と有 限 要 素 法に よる花里 ら5)の研 究な ど が あ る。
断 層 震 源モ デル の研 究 分 野におい て も移 動 震 源 問 題とし て の取り扱いが 行わ れて いる が, 交通 振 動 問 題の観 点か ら,
動 的な移 動 加 振 力が作用 した問 題 を 弾 性 波 動 論に基づいて解析 的に検 討し た研究は少ない。
解 析 解は解を陽に表現で き るの で,
加 振外 力の移動に伴 う効 果 を 解の表 現か ら 洞察する こと ができ,
離散解で は 得 ら れない考察が可能である。
本 論で は, 解の解析表現 な ら びに変 位 応 答性状を2次 元 解および3
次 元 解と比 較 する ことにより,
加 振 源の移 勤 速度の効 果につ い ての考 察を行う。 考察のポ イン トは加 振 源の移 動に伴う応 答 波 形の振 動 数 特 性,
包 絡 形 状,
継続 時間, 距 離 減 衰 特 性に つ い て で ある。
な お,
本論で対 象 とする の は全 無 限媒体 で あ るの で実 体 波の み が存在する問 題と なる。 ラブ波 や レー
リー
波な ど の表面波 が 存 在 する問 題につ い て は次報 以 降で紹介す るこ と とする。
2.
動 弾性問 題の基本式3次 元弾 性体の 支配 方 程 式は下 式で与え ら れ る
。
まず ひずみ ε、fと変 位 Ut の関係は,・、丿
一
S
{・. + u・.
・)’
…一 ・
一 ……一 ・
・
…・
一
(1) と な るe こ こ に,
下 添 字i,
」は方 向成 分 を示 し,
総 和 規 約 を用い る こと と す る。 ま た, 応 力 σw とひずみ の関 係は,
ラ メ の定 数μ,
λを用い る ことに よ りalJ= λεα αδ‘,十2μεi 丿
…
………・
……
…・
…・
…・
(2) と, 釣合方 程 式は,・、、J・
x
,一
・籌
……・
…・
…・
…・
・
…・
…・
一 ・
・
(・) と表さ れ る。
こ こ に,
δ‘丿は クロ ネッカ のデル タ関 数,
Xt
は単 位 体 積 当た りに作用す る物体 力, ρ は質 量 密 度 で ある。
上 3式か ら以 下のナ ビエの方 程 式が得ら れ る。
i・U。 、+〈・+… 。
,
。 ・・牌窒
…・
一 ・
・
…
(・)3.
フー
リエ積 分 法によ る基 本 解の誘導 (4 )式を時間 tと座Sk
Xi,τ 2,
x3 に関して フー
リエ 変 換 する。z
− ・(・,,
k
、,
・・.
t・)一
∬伽
(Xl,
x・,
・x…t
)一
46
一
・
e’
tω
tetlt・
「
ietec2ettsXSdtdxld コc2dx3・
・
…
(5
) 結果と し て,
(4
)式は フー
リエ 変 換 場で は,
一
μka
彦tr万i−
(λ十μ)h
,k
,1丿十ρω宛‘十X
‘=0
・
・
一
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
け
(6) と な り, フー
リエ 変 換 場の変 位に対す る連 立代数方 程 式 とな る。
(6)式 を変 位に関し て解く と,
・・−
t
[
,・煢
r
讐
(
,・呈
、、一
,・…
、,)
・・]
・
・
…
一・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
…
(7 > が得ら れ る。 こ こ に,
上 式の各 諸 量は, Vs−
〜
厚
v
・一 〜呼
1
摩魯
ん・講
ξ2;haha
・γ
=−
i
「」 である。
一 ・
………
(8
)一
方,
Xt 軸 上を振 動 数 p の定 常 点 加 振 力が等速度V
で移 動しな が ら作 用 する問題を 想定す る と,
物 体 力は,
x
‘=f
,δ(x,)δ(Xt− Vt
)δ(x3)e ‘pt…・
…・
・
……・
・
(9) と定義できる。 これ は,
フー
リエ 変換場で は,X
、= 2頑 δ(ω一
P− h
、V
)一 ………・
・
………
(10) と なる。
ちな み に,3
次元点 加 振 問 題で は,
物体力は,
XIJtMz.
tX
‘;齟
乙δ(x,)δ(x2)δ(x3)etpt⇔
X
‘!
=2
π丿「1
δ(ω一
P)・
一 ………・
・
一 ・
………
(11
) と,2
次元点加 振 問 題で は,
Xl:2Xs
,
tX
↓=f
,δ(xl)δ(x3)ei ρt《→
X
‘ニ 4π 2fi δ(k2
)δ(ω一
P)・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(12
) と定 義さ れ る。 求め るべ き変 位 解は (7 )式の物体力の 項に (10)〜
(12
)式 を代入 し, フ ニ リエ逆 変 換す ること に より得ら れ る。
以 降で は,
加 振 外 力がXs
方 向の み に 作 用す る と考え る こ と に す る (ゐ≠O,
f
]
=f2
=0
)。
(
10
)〜
(ユ2
) 式か ら,
い ずれの外力もフー
リエ 変換場 で はh
,,
hs
に依 存し ない ので, 最 初にh
,とk
, に関し て フー
リエ 逆変換す る。
これはハ ンケル逆変換に置換で き,
A =A
(x、,k
,,τ,,ω)一
毒
∬
lz
(・・
駄・
・>e−
th・
X・
e−
”t・
x ’dh
,dh3
一
岩
∬
ζ万(鳩 砿 ・)・・(ζ・)・ζ・
……・
(・3 ) こ こ に,
r2;
xf+工詈,
ζ2=ki
+k
§ と な る。
ただ し,
上式 中のA
は A (h
,,k
,,h
,,ω)=klh
,B
(島,
ω)の 形で表さ れ るこ と を前提と し てい る。
結 果 とし て, 以 下の積分 公式 (文6〕 [6.
532.
4])を利 用す るこ と が で きる。
岩∬
ζ・ +、毳
一
、、、・・ζ・…一
岩
馬 …ne
・た だ し
0
≦arg (hl
− hk
)〈2π….
一
…一 ・
(14 ) し た がっ て,
(7 )式 は,
(14)式を利 用する ことに よ り,
i
・・−
u,(x,,
k
,,
x… )一
纛
[
・・(・飜 )π
・」
農
齢 嗣 )一
齢冊
)岡
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
−t・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(15) とh
,と島 に関 して フー
リエ 逆 変 換さ れ る。2 次元 点 加振問題の場 合に は
,
上 式に (12)式を代入 して tと秘 に関して フー
リエ 逆 変 換し ,駈 礪 = 雇)
一
舌
酬 ・》鷹 )・
……
個 の関 係と,
∬
:
艀 唖 罵 )・(h
、)・(・一
・)・
e:‘it’
=’
et“tdhtda )=
鋸 1(h
、r)e ’Pt……一
(17
)こ こ に・
ks一
貴
・
κ・一
晉
を用い るこ と に より’
u}・1
一
黌
誓
[
一Ht2
) (hsr
)a
」S、
+素
∂2
賑
鷹 ・卿
一
HL・ 〈h
・・M
]
……・
……・
……tt・
…………・
(18 ) と変 位 解 を 求める こと ができる。
こ こ に,
上添 字 (2) は 2次 元 点 加 振 解で あ ること を表す。
(18)式は,
微 分 を施 すこ とに より,・
7
』響
置[
− H
・ (h
・・)aJ3・
纛
如壽
72軸
・瞞 ・・− H
・・’・・、r)1
一
三要
1
・・岬 (k
・・)一
岬 (le
・・)1
]
(ノー
1,・)・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
∴
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
:L…
(19 > と陽な変 位 解が求め ら れ る。
次に, 3次元点 加振 問 題の場 合に は, (11 )式 を (
15
) 式に代入 し,
積分 公式 (文s)[6.
677.
5]),
岩
∫
:
κ・(7嗣
)・−
t・・
x・
dk
・−
ifk
e−
t・・R,
・
・
…・
……・
・
……・
…・
・
………・
(20
) こ こ に,R
=VMI
:ffFfft
3 を用いることに よ り,・劉
一
艦
[
ke
−
t・・
R・JS ・毒
、纛
債
・一
・…−
ik
e−
‘’C・
R1]
・
・
1・
一 ・
…………・
…・
・
…一
(21) と解が得 ら れ,
微 分 を実 行す ることに よ り,
・笋』 た
濫
城く
意
・−
i・…」S + (添
[
一
(1+細 ) ・J3 ・黌
1
・+堀一
(副
・一
… n−
(斎
[
二
(1+ih ・R)a・・ +雫
13
+3疏・R −
(k
。R
) ’1
]
・一
・…R>
…・
(22 ) と,
陽な変 位 解が求 めら れ る。 な お, (19 >式お よび(22
> 式に示 し た結 果は既 往の解に一
致して い るILz ,。3
次元移 動点加 振 問題の場 合に は,
(10 )式を (ユ5> 式に代入 し,
波数 秘 と振 動 数 ω に関して フー
リエ 逆 変・
換す ることに よ り解が得ら れる。
・轡』
ま
器
、、,讒
∫
:
(
ω)
2・
[
畷
・4
(
貴
)
2−
(
ωヲ
P)
t)
一
畷
・(
ω Vp)
2−
(
ωラ
P)
’)
]
e・・u−
x2/nd ・♂
一一
ぎ
窰藩
∫
:
(
Vs
ω)
2(
ωラ
・)
・
[
畷
・2
−
(
9tP
)
:)
一
畷
・(
ω)
2−
(
ωラ
P)
2)
]
… (・−
x・/・d
・鰐
識
∫
:
[
Htt
・(
・(
tt
)
:一
(
ωラ
・)
1)
・
(
Vs
ω)
黠
圃
・2
−
(
9tP
)
2)
一
畷
・(
&
)
±一
(
ωヲ
P)
2)
}
]
e・…一
・ ・/・d
・ た だ し,
一
・・<arg{
(
ω)
2−
(
ω訓
・ ・ (・一 ・,
・)・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t−・
・
・
…
(23) し か し,
移 動 加 振 問 題の場 合に は,
振 動 数に関す る無 限 積分 が残っ た形で解が表 現され る。
この こ と は,
加 振 源 の移 動に よっ て すべ ての振 動 数 成 分 が励 起さ れる こ とを 意 味して お り,
その振 動 数成 分は (23)式の被積分 関 数 とし て陽に示され る。
な お, (23)式 第 3式の第 1項の み は積 分 公 式 を用い て解析
的に積分す ること ができ る。
す な わ ち,
・
一
;
一
、…
。,・ v一
蚤
…・
…・
・
……・
・
・
……
(24) な る変 数 変 換を行い,
積 分 公 式 (文G [6.
616.
4})を用 い ること に よ り,
轟
加 (
・4
t
−
(
ωラ
P)
!)
el・lt−
Xi ・ ・d
・一 ,
轟
。 eh.
(t−
i−i:ft
) ・∫
:
岬(
饗
早
(1ヨ
訴
1
e‘肯 膏耐一
v=・
一
工x・一
晒 〔トv’]rf}一
・・)
e・・…−
x・
/・d
・ 4πμ (x!− Vt
)t十(1−
v: )rt と求める ことが で きる。・
・
・
・
・
・
・
…
一
一
(25
)4.3
次 元イ ンパル ス応 答か らの移 動 加 振 解の誘 導 移 動 加 振 解は,
3次 元 点 加 振 解か らも誘 導す ること が で き る。 すなわ ち,
3次元点 加 振 解 (21)式か らイン パ ル ス応 答を求め,
加 振 力を等 速で移 動さ せ な が ら合 成 積 を評 価する ことに よ り得ること がで き る。
まず,3
次 元 点 加振 解の インパル ス応 答は, 超 関数の フー
リエ変換の 性Pt
’),
δ(
− ’
v
Rt
’
g
)
為
・一
制(
卜「
R
再
)
ひ(
卜長
)
∴
⇒
θ一
制・
・
・
…
(26 ) を 用い て,
以 下の よ うに求め るこ と が で き る。
・J・t・一姦
[
k
・(
一
Rt
)
・J3一y
耋論
詁
{
(
一
Rt
π
)
u
(
・長
)
一
(
一
耳
Rt
)
・(
磯
川
一 ・
一
伽 こ こ に,V
(t)は ス テップ 関 数であり,
h(t)はインパル ス応 答 を表すもの と する。
な お,
上 式の微 分 を実 行する と,
下 式が得 られ る。 ・ω一
轟
俵
・(
t一
伽
・
蓄
[
(・・a ・一
・X」xコ}t
(
u
(
t−
{
E
)
一
σ(
t
− 一
▼
・
ny
7)
)
・長
(
職e
ユ
)
怖Vp
Vp
Vs
yp
v
.………・
一 ……・
………
(28) 移 動 加 振 解は, 上 式に お い て, R の代わ りに,R こ
(コじ2− ll
τ)2十 r2・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
+
・
・
・
…
一・
…
(29 ) を 用い,
時 間 変 数 τに関する以下の合 成 積 を評 価して,
過 去 (時間τ)に作 用し た加 振外 力の影響を考慮す るこ と に よ り得ら れ る。一
x ・Xs(
3レラ
、)
)
・(
・一
巻
)
ユ
(
・・ δ、、(
卜窪
p)
一
頑
3‘ユ
)
)
・
δ(
t−
a
)
−
x・Xs〔
(
丑)
2(
Vs
)
・
碗
一一
)
一
(
)
t(
tユ)
痴
一
岳川
〉
一
48
一
・野・イ
1
・・(卜 ・)・tp・d
・・
…・
……・
…………
(・・) こ こ で,
関 数 を引き数 とす るディラック のデルタ関 数の 性 質ne 利用する ことに よ り,
・
(
卜砥
礁
・(・一
…} 助 → 灘些
郷 ;)
R
πτ
一
置(
δ な る関係が得ら れ る。
こ こに,
Rs=
(x2− Vt
)2十(1一
ガ)〆・
…・
・
・
……・
・
(31
)Rp
= (X2− y
の2十(1−
”2γ2)rlYst−
vx2− Rs
Vpt−
v7t 厂R
ρ t・= (1一
覗 一 ・rl
−
v・ γ・)、v .fis
−
Rl
・・
ts」
雫 撃
卉
RsR
・・
=
Rl
.=
,.
=
27
(晋
≡
諤
蔕
…
甲
・
・
・
・
…
7・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
r・
(32 ) で あ る。
た だ し,
上式におい て は,V
〈Vs
を仮 定して いる。 ま た,ts
お よ びtp
は加 振 位 置か ら受 振 位 置まで に要す るS
波お よびP波の伝 達時間に相当する。 な お,
V
>Vs
の場合に は, (31)式は2
つ の デル タ関数の和で 表さ れ, 以 下の ように な る。
・
(
t−
r
−
麁
Vs
)
当
≡
贈
・
・(
Vst−
vx2− Rs
广 (1一
のVs
)
v(x,− Vt
)− Rs
十 (1−
vt)Rs
・
δ(
Vst−
vコじ2十Rs
τ一
(1−
v・ )y5
)
…
(33 ) これ は, 同時に 2箇所か ら波 動 が 到 達する ことを意 味 す る。
た だ し, 波 動 が到 達す る範 囲は,
Vt −
Xa≧VEJEi
「
r≧0
と与え られ る。 ま た, y= V,の状 態で は, 波 動は衝 撃 1波と なる。
以 下で は V〈Vs
を 仮 定 する (通 常の地上走 行 車 両はこ の条 件を満 足 する)。
(31
)お よ び (32
)式を 用い るこ とに より,
∫
診↓
・(
R t一
τ一
Tr)
・tp・d
・−e 竺
c。
R
v
α Rαf
二
繁
・(
t一
τ一
R
v
α)
e・・’
dr −
∫:
窒
・臓f
二
素
(
t−
・−
i
)
堆
・一
暑
)
e’prd ・一一
鞴
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(34 ) なる関 係が得られ る。
(34 )式を 用い るこ とに よ り, 移 動 点 加 振 解は, 以 下のよ う に求め ら れ る。…)
一
袈
嫡[
・τ e% ・
・
纛
煮
(k
・一
・一
副毒
畿
・k
・
一
・tiP
岡
)]
u・・
]一
器
[
・∬
(ト の黔
一
VT) ・…d
・・
纛
鰍呷
蕀
遮
一
蹴一
t・))一
毒
励備
・ft
・一
・蹄一
胡
u・・)一
、#
”[
θ窘
1
…∬
(
3蹇
1
τ
毒
)
・・一
… i・ ・d
・糲
畿
(R
・−
2・v・(t−
… })・
− y
縲
舞
1
・R
・一
・v・・t−
tP・・]
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
∵・
…
(35
) 上 式は (23)式に対 応 す る解であり,
定 積 分が含ま れ て い るもの の無限積分は避 けら れて い る。
結 果と し て,3
次 元 点 加 振解の イン パ ル ス応答の合 成 積 を評価す るこ と に よ りか な り見 通 しの よい解を得る こ と が で きた。
なお, (35 )式 第3式の第 1項は,
(25)式と一
致し てい る。
5.
無 次元 量 の導入.
一.
.
解の性 状の考察を容 易にす る た めに以 下の無 次元量を 導 入 する。
:
雌
1
:
1
:
:
訓
1 1 at,
=
ptp,
こ れらを用い ると,
2次 元 解は,
・尹
一
雪
芸
α[
− H
。(a,)a
、32
αTμ為一
α鵠 3 十 s αγ aXJax3 αf
と, 3次 元 解は,・ヲ
己
蕩
のく
ll
;
・1
・q・
a
、・
・ αrlαr,
+
α蒹
一
毒
一
(・+・羸
・ ・・一
丑
瓦
・Rs−
ll
; … aRp−
tt
R
・・
at,=
ρts,
r S P冖
R
、
R
苛
pπ
pπ
=ア
α 爺 α 籌 α み P=
「
傷・
・
…・
(36
) }γHL2
,(γar)− Hl
『) (ar>i
1
欄 ・・r}一
臙凋
・
・
……
(・・)凝
一
(ユ+t・・)・iコ・」・+・
i
・ 厂 ・司
・−
ian[
α
詈
勤 “・+ ・i
… :r・ak}]
・一
…aft>
……
lt……・
(38) 0 膏寸
} ×」
o o 轡 【a)u 10 と,
’
移 動 点 加 振 解は,.
us・)一
雑
呵
・震
’
α繋
幽 . iMs+ e3 (。i、
− 2
(。r 。、、
)) ais aRs−
・ 。畿
… iP−
… 一 妬 〉)]
・
…}一
急
[
・∬
’
(α厂9
・’:
?
)〈;
, y−
〃α∂ ・% ・。
・(。 冖 a,s) e
;
四 5 (α済s−
2(at一
α z∫
)) ai∫aAs 0 酔 も 斐.
1・
{0 0 10 喞 〔b)v 図一
1 移 動 点 加 振解 の 時刻 歴 O 膏 爻’
110 o 轡 w 10 0 膏 餐rl10
0 轡 (a)全項の和 10 O 巨 〜 貿’
! IO O 10 x!dn 〔b 〕第噸 図一
2 加 振 方 向変位の各 項の寄 与 0 膏 黄’
! 1。 o 卿 (c)菓2項力1ら蟹4項 10一
・・ay−
va ・e・ 。篝
i
乱
・… P−
…副
礁舞
隲
・濃
P(
3a 茎 a1a15
ず)
(・・一
・∂・ ta・
daT
・。
1911
°ts (a、,
− 2
(・ 厂 ・ts)) αi,aRs一
・・1
。讖
・・ a・・
一
・…一
… )1
]
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
…
(39 ) と示される。
(39) 式に おいて v=o,
o
を代 入する と , 定積分は はずれ, (38)式の 3次 元点 加 振 解に一
致する ことが確 認で き る。 こ の よ うに し て得ら れ た移 動 点 加 振 解 を 図一1
に不 す。 た だ し,
ボ アソ ン比 y; O,
4,
移 動 速fi
v=
0.
4,
無 次元距 離 ax=
α。掌
而万, ay=O.
Oを採 用 した。
図に示 され るよ うに,
加 振 方 向 変 位 w は他に比べて継 続 時 間 が長く応 答レベ ル も高い。
こ れ は,
(39) 式 第 3式の第 1項の寄 与の た めと想 像さ れ る。 この こと を検討 す る た めに, (39) 式 第3
式の加 振 方 向 変 位 ω を項別に評 価し た結 果を 図一
2に示す。
図よ り, 第2項 以 下の各項は第 1 項に比 較して継 続 時 間が短く かつ 応 答 振 幅が小 さい。 したがっ て, 第 1項が加 振 方 向 変 位の主 要 項で あると判 断で き る。
加 振 方 向に直 交 する変位成分に は,
第 1項に相 当する項が存 在し ないた めに,
上 述の傾 向が現れ た もの と推 察され る。6.
加 振 源 の移 動 効 果に関 する考察2次 元, 3次 元 加振 解 お よ び移 動 加 振 解の加 振 方 向変位の第
1
項の比 較 を 行っ て み る。
すな わ ち (37
)一
(39
)式 第3式 の第 1項を 比較す る。
これ は,
受振 点が 加 振 点か らあ る程度離れ た場 合に主と し て寄 与する項で あ る。
考察 を 容 易にする た めに,x2=
=
Oの位 置で の値 を評 価 する。 じの2−di
・ ・」賢
島{・・}轟
1
1−
i ゆ一
働4μ石
7r
θ 3.
dim
⊥
1e ・…一
・・− 4πμ arhs
e・
撮 〔毋一
lu翩 7+α一
v’
la・
:
〕 move 4πμ (vat >t十(1−
vt)a4・
・
一幽
・
一・
・
・
・
…
(40)まず
,
応 答 性 状の理 解のた め に, (40 ) 式に示 し た各 応 答 値 を 図一
3お よび 図一
4に示す。 図一
3に示され る よ う に, 移 0 酔 爻’
弓 10 0 膏 } x 苣 蔓 ず x 動 点 加 振 解は定 常 加 振力に対し て も応 答 波形の振 動 数 お よび振 幅が時 間と共に変動し ている。 こ の変動の仕方は 移 動 速 度比 v の 増 加 とともに顕 著と なっ てい る。
す な わ ち,
速 度の増大とともに,
波形の包絡 形の変 化が著 し く なっ て時 刻0で急 激に応 答変位が増 大し, 負の時 間で の振 動 数 が 増 加して いる。一
方,
図一4
か らは, 無 次 元 距 離の増加と ともに正 弦 波 形に 近づ い て いくこ と が理 解 でき る。2
次元 お よ び 3次 元点加振解は振 動 数p
で定常振 動す る。 これ に対し て移 動 点 加 振 解は非定 常 応 答と な る。
そ こ で,
移動 点 加 振 解の振動数 (周 期〉特 性につ い て検討 す る。
3次元点 加 振 解と移動 点 加 振 解の指 数部の比 を 求 め る と, α盧一
(vat) 2 十(1−
V’ )α;・
・
・
・
…
鹽
9・
・
(41) 9〔α,,α,)=
(1−
v2)(a厂 a,
) となる。
上 式で, α.
=
0 と お く と,
振 動 数 比と して,
’
?ts
0 解π
(a}vt.
O 10.
苳 10 0 膏 昌 x 0 轡 〔b)レ
=
o」 10一
〜 10 o 轡 (c,vS.
4 10 0 ゆ v司.
7 10 図一
3 応 答 波 形の移動 速 度 依 存 性 (ar=
・
1,
0) 10 O 鳶 、 奏一
10−
10 0 苣 斐’
夸 lo o.
4 O 膏 斐 o へ伽 〔のs・
=
O.
1 10’
o・
窪 10 Do4 0 轡 (b)a・
冨
1.
O O 膏 } × 喞 〔c)a昌
1q一
〇.
04−
10 0 吶 (d)th=
1co.
図一
4 応答波形の距 離依存性 (v=
O.
4)一
50
一
l
at<0
・幅 + 1
一
響
αL
ユ;
v了マ万 αt>
o
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t−
(42) が得ら れ る。
こ の よ うに,
加 振 源の移 動 軸 上で は, 負の 時 間,
す な わ ち,
加 振 源が近づい て く ると きに は高 振 動 数で, 正の時 間で は低 振 動 数で振動 し,
加 振 振 動 数に対 する振 動 数比 は速 度 比 v の み で与え ら れ るこ と が分か る。
こ れ は,
荷 重の移 動 効 果による周知の ドッ プラ」 効 果 を表 し ている。一
方,
加 振 源の移 動軸か ら離れ た位 置 で は, (41 )式で与え ら れ,
19
(at→−
oo ,α。);
1−
v 1 9(α、→ ±0,
α。)=厨
・(・ゼー …,
ar) 「嵩
・
・
・
・
…
一
・
・
…
(43) か ら理 解 できる よ うに,
時 間の経過 と ともに振 動 数が連緯
的に減少す る。
v=0.
4の場 合につ いて,
加 振源の移 動 軸からの無 次 元 距離をパ ラ メー
タと し た 振動数の経 時 変化を図一
5に示す。
図に示 さ れ る ように, 時間と と も に振 動 数が減 少するが, 無 次元 距離が大きいと振 動 数の 変化の仕方がゆるやかに な ること が分か る。
し た がっ て, 加 振軸か ら離れた位 置で は加 振 振動 数 近傍の正弦 波 形 的 な応 答と な る。移動 加 振 解に含 まれ る振 動 数 成 分にっ いて は
,
移動 加 振解の積 分 表 示 式である (23)式 第3
式の第 1項か ら,
群
畷
・(
ωVs
)
2−
(
9iiLP
)
t)
e−
・Wx・
fV iq;
2fv_
pe4iliV一
応電レ ε)
.
−一
価 ⊥ ・、 」旬
ω −v
砺(
働 oH こ こ に あ=
ア
… ”… ”… … … … 7… ’
”
傾 ) と求め るこ と がで きる。 (44)式 を用いて, 移 動 加 振 解 主要 項の フー
リエ振 幅を求 めた結 果 を 図一
6および 図一
7に示す。
図か ら も明ら か な ように,
(42)式に示 し た 2つ の振 動 数 比で ピー
ク を 有 し,
、
こ の両 側および内側で 振 幅が減 少する振 動 数特 性を示してい る。 速 度 比 v が 大きい ほど 2つ の ピー
ク振 動 数が離れ,
無 次 元 距 離 a.
が増 大するほどピー
ク振 動数 以 外の振 動数成 分 が相 対 的 に増 加して い る。
以 上の結果, 移動加振 力に対す る応 答 の移 動 成 分の移 動 速 度 比お よび無次元 距離へ の依 存の仕 方が明 確と なっ た。
次に,
応 答 波 形の包 絡 形に関して検 討す る。 (40)式 よ り移 動 加 振 解の包 絡 形 状は,
ks .
1・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
(45
) 4πμ (vα t)2+(1−
v’)α孕 の無 次 元 時 間の変 化に対す る応 答値で与え ら れる。
上 式 よ り,包 絡 波 形は移 動 速 度比お よび無 次 元 距 離に依 存し,.
時 間に対し て対 称 とな ることが 分 か る。
ま た,
包絡 形の 最 大 値は時 刻0の時に生 じ る。
図一8
お よび図一
9に包 絡波形の移 動速度比 および無 次元距 離依存性を示す。 速 度の 増 加と無 次 元 距 離の減 少によ り包 絡 波 形が鋭い ピー
ク を持つ よ うに な る。
今‘ 波 形の継 続 時 間の 1つ の尺度 と して,
包 絡 形の最 大 値の 1/α 以 上の振 幅とな る時間 帯を採 用 する と,
・ 一 一
萼
函
厨・
・
…一 …・
tt
(46
) へ 哩 げ 通・
10 0 10 {伽 図一5
振 動 数の経 時変化の距 離 依 存 性 (レ=
0.
4) 2 2鍼
v匚
口.
o1
蹴
貼
゜
’
ぐ 丶 丶 vdi1 0 0 2 4 6 8 10 ゆ 図一
6 フー
リエ 振 幅の移 勤 速 度依 存 性 (a,
=
ユ.
O) 1 巨 } x v=
0.
0 ’kYX
ノ
刈
.
ノ !il
’\_
.
.
,
.
.
.
.
一
く叢
4曜
丶
・
丶、
_.
、
.
o v・
10 0 10 喞 図一
8 包 絡波形の移 動 速 度 依 存 性 (α.
=
1.
0> 10854 養 養 2 ?10 ar=
io・
ft=
0・
監 藍 。 吶 1=
1,
0 図一
9 包絡 波形の距離依存性 くv=
O.
4) 10 3昌
1
2越
響
1 s=
10’
、
’
、
一
・
・
一
__
.
.
「
り
L−コ
!
ttt
ロ
・
ん・
人 戴.
_.
.
一
.
.
.
0 0 図一
7 100 2 4 6 8 10 飾 フー
リエ振 幅の距 離 依 存 性 (v=
O.
4) 80 60 馮 40 壁1ρ ?° 叫 工 o驢
N 、 丶 ” ・モご
α.
、
’
、
.
、
01 02 0.
4 0.
6 0.
8 1 図一
10 継 続 時間の移 動 速度・
距 離依 存 性leo10110 膏
守
}×
O,
01 10D 101 旨 } x10O.
Ol O.
01 0.
11 10 100 丐 移動 速度 依存 性 くdi=
O.
e) O.
01 0.
11 10 too l 〔b )時間依 存性 Cv=
0.
4> 図一
11 移 動 加 振 解の距 離 減 衰 特 性 と継 続 時 間が得ら れ る。
上 式の意 味で の継 続 時 間は,
無 次元 距 離に比 例 して増加し,
移 動 速 度 比の増 加と ともに 減 少 する。 図一
10に α=
10とし た場 合の 継 続 時 間の 移 動 速 度 比と無 次元距 離へ の依 存の仕 方を示す。 図か ら, 移 動速度が0
の場合に は無 限 時 間とな っ て定常正弦振動 を示し,
移動速度が せ ん断速度に一
致すると継 続 時 間が 0となっ て衝撃 波と な ること が 分か る。 最 後に,
移動 加 振変 位 解の距 離 減 衰 特 性 を考 察 する。 距 離 減 衰は,
(45 )式の無 次元距 離に対する変 化 度 合い か ら得ら れ るe これ は,
移 動 速 度 比 と無 次 元 距 離に依 存 する。 図一11
に距離 減 衰の移 動 速 度 比お よ び無 次 元 時 間 依 存 性を示す。
図中に は 2次元 お よ び 3次 元 点 加 振 解 の 距離 減 衰 特 性 も合わ せて示す。 図 よ り, 移動 点 加 振変 位解は, α、;
O.
0の時には3 次元解と同 様に無 次 元 距 離 に反 比 例 して減少して い る。 し か し,
移 動 速 度比の 増加 と と もに 1/VF
万
τ倍 増 加し て い る。一
方,
at が増 加 す ると変 位 応 答 振 幅が ほ ぼ一
定と な る領域が生じ, これ は αr<at の加 振 軸 近 傍 領 域に相 当す る。
こ れ よ り も離 れ た領域では無 次 元 距 離に反 比 例 して振幅が減少し てい る。
これは, 前 述の継 続 時 間の特徴を裏 付け てい る。
7.
ま と め等 速 移動定常 点加振 力に対す る3次 元 均 質 等 方 弾性体 の基 本 解を新たに定 式 化し, 振 動 数成分の陽な 表 示 を 行っ た
。
ま た,
3次 元 点 加 振 解の イン パ ル ス応 答に基づ く合 成 積の評 価か ら見 通し の よい時刻歴応 答解を得た。
こ れ ら の解 析 解を 既往の 2次 元・
3次元点 加 振 解と解 析一 52 一
表現 な らびに数 値 結 果 を通して比較考 察し,
加 振 力の移 動 効 果を明 確に した。
そ の結 果,
以 下の知 見が得られ た。
(1
)移 動 加 振 解は非 定 常 応 答とな り, 加 振 方 向 変 位が 他の方 向 変 位に比べ て継続時 間・
振 幅 と もに大き く な る。
これは加 振 方 向変位の み に含まれ る主 要 項の存 在に よる。 (2 ) 加 振方 向変 位の主 要 項に よ る考 察か ら,
加 振 力 が 近づ く と きに は高 振 動 数 成 分が,
離れ る と きに は低 振 動 数成分が励起され るとい ういわ ゆ る ドップラー
効 果が現 れ,
移動 速 度 が 大 きい ほど両 振 動数の間隔が広 がり, 無 次 元 距離が小さいほ ど振 動 数の時 間変化 が 大 き くなる。 (3
} 応答波 形の包 絡 形 状は,
移動速 度が大きく無 次 元 距 離が小さ い ほど,
最 大 振 幅が増 加し,
継 続時 間 が 短く な る。
(4 )距 離 減 衰は 3次 元 解と同様に距離に反 比 例する が,
時 間の経 過と ともに加振 軸近傍での応 答 振 幅一
定 領 域が増 加する。本 論では
,3
次 元弾 性 体に お け る加振 源の移 動 効 果の 本質的理解を す る た め に, 実 体 波のみ が存在する全 無 限一
様地 盤 を対象 とし た。
今 後は,
地表 面に自由 境 界があ る 場合,
さ らに は,
地盤が成 層 構 造と なる場 合につ い て の検 討 を加え, 表 面 波 も含め た考察を行う予 定である。
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