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等速移動点加振力に対する3次元均質等方弾性体の基本解に関する研究 : 交通振動による地盤の応答性状に関する解析的研究

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(1)

【論  文】     Lls漣 讐 Journal of Sl鼬 1

菊441号

1992年 1コ月 ]

J.

 No

441

 Nov

 1992

等速

動 点

3

元 均

等 方

      

振 動

による

地盤

応 答性状

する

解析 的

ASTUDY

 

ON

 

THE

 

FUNDAMENTAL

 

SOLUTION

 

OF

 

A

 

HOMOGENEOUS

 

ISOTROPIC

 

ELASTIC

 

MEDIUM

 

DUE

 

TO

 

A

 

MOVING

 

EXCITATION

                  

WITH

 

CONSTANT

 

VELOCITY

An

 analytical  study  on  

the

 

dynamic

 response  of a soil 

due

 to a 

traffic

 excitation

    福 和 伸 夫

,梅 村 健 次

* *

, 多 賀 直 恒

* * *

Nobuo

 

FUKUWA

, 

Kenji

 

UMEMURA

 and

 

Naotsune

 

TA

 

GA

 

In

 ord 宇r to study  the 

dynamic

 response  of a soil 

due

 to traffic 

loads

 such  as a mobi 旦e and  a

train

 the 

fundamental

 solution of a three 

dimellsional

 

homogeneous

 isotropic elastic  medium  

due

to a point excitation  which  moves  with  constant  velocity  is 

derived

 heTe using  

Fourier

 

inte

gral

method  and  convolution  technique

 A frequency response  and  a time response  are explicitly  pre

sented

 

An

 effect  of the moving  velocity  is exarhined  

f

τom  the view  points of the 

frequency

 con

tent

 envelope  and  atteriuation

 These results  are compared  with  those Qf two 

dimensional

 and

three dimensional solutions  of a 

fixeCl

 poi

nt harmonic excitation

 

KeywerdS

:  0 痂 9催 0加 が0η

, three

 

dimensional

eLastic medium

, 

fundamental

 solution , 

D

吻 伽 罐 ‘∫

        

Fourfer

 integrat

 conzmplution

         移動 加 振, 3次 元 弾 性体, 基 本 解, ドップラ

, フ

積 分 , 合 成積

L

は じ め に  近年

科 学 設 備

生 産 設 備

情 報 機 器な どの精 密 化に 伴い

地 盤の振 動が精密機 器 設 置上 ク リ ティカルな問 題と な る 建 築 物 が増えて き た。 半 導 体工場

電 子 顕 微 鏡 施 設, 加 速 器 施設な どの施 設がこれに当た る。 これ らの 施 設が道 路や鉄 道に近 接 し た 場所に設置 さ れ る例も多 く

交 通 振 動 問 題が設 計上重 要な テ

マ と なっ て き た

駅 再 開 発高 層 建 築 物線 路建 設 計画も多く

居 住 性の観 点か らの検 討の必 要 性 も高まっ て い る

こ うい っ た交通 外 乱に伴う振 動は

車 両などの 加 振 源が移 動し な が ら 地盤に振 動外 力を与え

地盤 内を 波 動 伝 播し, 構造物と地 盤と の動 的相互作用を介し て構 造 物に入力さ れ る

し た がっ て

交通振 動 問題 を考え る う えで は

移勤 加 振 源に対 す る 地 盤 応 答性 状を考 察す る こと が第

の出発点と な る。  そ こで本研究では

通 振 動乱 によ る地 盤の応答性 状に関す る基礎資料を得ることを 目的と して, 交通外乱 を等 速で移 動す る定常点 加 振 力に換し

地 盤を 3次元 均 質 等 方 全 無限弾 性 媒体で置き換え た場 合の弾性動解 を誘 導 する

解の誘 導は

リエ に基づいて行 い

既往の

3

次 元 点 加 振解]) よび

2

次元点 加 振 解z) と の 比較を 通 し て

解の性 状を考 察する

弾 性 体の支 配 方 程 式か ら出 発し て

時 間と座 標に関する フ

リエ 行っ た後に

リエ 変 換 場の変 位 解 を 誘 導 する。 2次 元

3次 元 定 常 点 加 振力

な ら びに

3次元等速移 動 定 常点加 振 力を定 義し た う えで

リエ逆変換を施 すこ と に よ り

各 基本解を統

的に誘 導す る。 た だ し

,2

次 元お よ び 3 次元 点 加 振解は陽な解析 表現が可 能と な るの に対し

移 動 点加 振解は 振 動 数 成 分の陽な 表現は で きる もの の振 動 数に関す る無 限積分が残っ た形と な る

そこ ’ 名 古 屋大 学工学 部建築 学 科 助 教 授

博士 〔工学〉 * * 名古 屋 大 学工学 部 建 築 学 科 大 学 院生 榊零 名古屋大学 工 学 部 建築学 科 教授

博士 (工学 )

Assoc

 Prof

 Dept

 of Architecture

 Facu量ty Qf  Eロgineering

 Nagoya Unlv

Dr

 Eng

Graduate Student

 Dept

 of Architecture

 Faculty of Engineering

Nagoya Univ

Prof

Dept

 of Architecture

 Faculty of Engineering

 Nagoya  Univ

Dr

 Eng

(2)

別途

,3

次 元 点 加 振 解から イン パ ル ス応 答を求め

加 振 外力 を等 速 移 動させ た場 合の合成積を評価す る こ と に よ り移動点 加 振 解を誘 導する方 法につ い ても 示 す

法 を用いた場 合に は

,一

定積分が含ま れ る も の の

かな り見 通し の よい解を得るこ と が可 能と な る

 

移動 外 乱に舛す る 既往の研究と して は

半 無限地 盤の 地 表 面 を静 荷 重が等 速移動す る問 題 を解 析 的に取り扱っ た

EaSQn3

}や

Gakenheimer

ら4) よる研 究

定 常 移 動 加 振 外力に対 す る薄層法と有 限 要 素 法に よる花里 ら5)の研 究な ど が あ る

断 層 震 源モ デル の研 究 分 野におい て も移 動 震 源 問 題とし て の取り扱いが 行わ れて いる が, 交通 振 動 問 題の観 点か ら

動 的な移 動 加 振 力が作用 した問 題 を 弾 性 波 動 論に基づいて解析 的に検 討し た研究はない

解 析 解は解を陽に現で き るの で

加 振外 力の移動に伴 う効 果 を 解の表 現か ら 洞察する こと ができ

離散解で は 得 ら れない考察が可能である

本 論で は, 解の解析表現 な ら びに変 位 応 答性状を2次 元 解および

3

次 元 解と比 較 する ことにより

加 振 源の移 勤 速度の効 果につ い ての考 察を行う。 考察のポ イン トは加 振 源の移 動に伴う応 答 波 形の振 動 数 特 性

包 絡 形 状

継続 時間, 距 離 減 衰 特 性に つ い て で ある

な お

本論で対 象 とする の は全 無 限媒体 で あ るの で実 体 波の み が存在する問 題と なる。 ラブ波 や レ

波な ど の表面波 が 存 在 する問 題につ い て は次報 以 降で紹介す るこ と とする

2.

動 弾性問 題の基本式

 

3次 元弾 性体の 配 方 程 式は下 式で与え ら れ る

まず ひずみ ε、fと変 位 Ut の関係は,

 

  

・、丿

S

{・. + u・

・)

…一 ・

一 ……一 ・

…・

(1) と な るe こ こ に

下 添 字

i,

」は方 向成 分 を示 し

総 和 規 約 を用い る こと と す る。 ま た, 応 力 σw とひずみ の関 係は

ラ メ の定 数μ

λを用い る ことに よ り

   

alJ= λεα αδ‘,十2μεi 丿

 

………・

……

 

…・

…・

…・

(2) と, 釣合方 程 式は,

 

 

 

・、、J・

x

……・

…・

…・

…・

…・

…・

一 ・

(・) と表さ れ る

こ こ に

δ‘丿は クロ ネッカ のデル タ関 数

Xt

は単 位 体 積 当た りに作用す る物体 力, ρ は質 量 密 度 で ある

上 3式か ら以 下のナ ビエの方 程 式が得ら れ る

 

 

 

i・U。 、+〈・+… 。

。 ・・牌

…・

一 ・

(・)

3.

リエ積 分 法によ る基 本 解の誘導  (4 )式を時間 tと座

Sk

 Xi,τ 2

 x3 に関して フ

変 換 する。

   

z

k

 t・)

∬伽

(Xl

x・

・x…

t

46

      

e

t

ω

tetlt

ietec2ettsXSdtdxld コc2dx3

 (

5

) 結果と し て

4

)式は フ

リエ 変 換 場で は

    

μ

ka

彦tr万i

(λ十μ)

h

k

,1丿十ρω宛‘十

X

=0

       

 

(6) と な り, フ

リエ 変 換 場の変 位に対す る連 立代数方 程 式 とな る

(6)式 を変 位に関し て解く と

 

 

 

・・−

t

,・

r

,・

、、

,・

、,

・・

 

一・

 

一・

 

一・

 (7 が得ら れ る。 こ こ に

上 式の各 諸 量は, Vs

v

・一 〜

1

ん・

ξ2;

haha

 

 

γ

=−

i

である

一 ・

………

8

 一

Xt 軸 上を振 動 数 p の定 常 点 加 振 力が等速度

V

で移 動しな が ら作 用 する問題を 想定す る と

物 体 力は

   x

‘=

f

,δ(x,)δ(Xt

− Vt

)δ(x3)e ‘pt

…・

…・

……・

(9) と定義できる。 これ は

リエ 変換場で は,     

X

、= 2頑 δ(ω

P

− h

V

一 ………・

………

(10) と なる

ちな み に

,3

次元点 加 振 問 題で は

物体力は

      XIJtMz

t

 

   X

‘;

乙δ(x,)δ(x2)δ(x3)etpt

 

  

X

2

π丿

1

δ(ω

P)               

一 ………・

一 ・

………

11

) と

,2

次元点加 振 問 題で は

      Xl

 

:2Xs

t

 

   X

↓=

f

,δ(xl)δ(x3)ei ρt

 

《→

 X

‘ニ 4π 2fi δ(

k2

)δ(ω

P)               

 (

12

) と定 義さ れ る。 求め るべ き変 位 解は (7 )式の物体力の 項に (10)

12

)式 を代入 し, フ ニ リエ逆 変 換す ること に より得ら れ る

以 降で は

加 振 外 力が

Xs

方 向の み に 作 用す る と考え る こ と に す る (ゐ≠O

f

f2

0

 

10

(ユ

2

) 式か ら

れの力もフ

リエ 変換 で は

h

hs

に依 存し ない ので, 最 初に

h

,と

k

, に関し て フ

リエ 変換す る

これはハ ンケル逆変換に置換で き

    

A =A

(x、,

k

,,τ,,ω)

  

  

lz

(・

・>e

th

X

e

”t

x ’

dh

dh3

  

  

ζ(鳩 砿 ・)・・(ζ・)・ζ

……・

(・3 )  こ こ に

 r2

xf+工詈

 ζ2=

ki

k

§ と な る

ただ し

上式 中の

A

は A (

h

,,

k

,, 

h

,,ω)

=klh

B

(島

ω)の 形で表さ れ るこ と を前提と し てい る

結 果 とし て 以 下の積分 公式 (文6〕 [6

532

4])を利 用す るこ と が で きる

 

 

岩∬

ζ・ +、

、、、・・ζ・…

ne

(3)

      た だ し

0

≦arg (

hl

− hk

)〈2π

….

…一 ・

(14 ) し た がっ て

(7 )式 は

(14)式を利 用る ことに よ り

 

 

i

・・

u,(x,

 

k

 x… )

・・(・飜 )

π

 

 

 

 

             

 

一・

 

−t・

 (15) と

h

,と島 に関 して フ

リエ 逆 変 換さ れ る。

 

2 次元 点 加振問題の場 合に は

上 式に (12)式を代入 して tと秘 に関して フ

リエ 逆 変 換

   

駈 礪 =

酬 ・》鷹 )

……

個 の関 係

 

  ∬

艀 唖 罵 )・(

h

、)・(・

・)

    

e‘it

et“tdhtda )

鋸 1(

h

、r)e ’Pt

……一

17

 

こ こ に・

ks一

κ・

を用い るこ と に より     

 

 

 

u・1

一Ht2

) (

hsr

a

」S

 

 

 

 

 

2

鷹 ・

HL・ 〈

h

・・

M

             

……・

……・

……tt・

…………・

(18 ) と変 位 解 を 求める こと ができる

こ こ に

上添 字 (2) は 2次 元 点 加 振 解で あ ること を表す

(18)式は

微 分 を施 すこ とに より,

 

 

 

7

− H

・ (

h

・・)aJ3

 

 

 

 

 

72

・瞞 ・・

− H

・・’・・、r)

1

 

  

 

 

1

・・岬 (

k

・・)

岬 (

le

・・)

1

(ノ

1,・)

      

 

 

L…

 

(19 > と陽な変 位 解が求め ら れ る。

 

次に 3次元点 加振 問 題の場 合に は (11 )式 を (

15

) 式に代入 し

積分 公式 (文s)6

677

5])

 

  

κ・(7

)・

t・

x

dk

ifk

 e

t・・R

   ,

       

…・

……・

……・

…・

………・

20

)  こ こ に

R

VMI

ffFfft

  3 を用いることに よ り,

 

 

 

・劉

ke

t・

R・JS ・

・…

 

  

 

 

ik

 e

‘’C

R1

1

一 ・

…………・

…・

…一

(21) と解が得 ら れ

微 分 を実 行す ることに よ り

 

 

 

・笋』 た

i・…」S + (

1 ・J3 ・

1

・+堀

… n

1ih ・R)a・・ +

13

+3疏・

R −

k

R

) ’

1

・…R

…・

(22 ) と

陽な変 位 解が求 めら れ る。 な お, (19 >式お よび(

22

> 式に示 し た結 果は既 往の解に

致して い るILz ,。  

3

次元移 動点加 振 問題の場 合に は

(10 )式を (ユ5> 式に代入 し

波数 秘 と振 動 数 ω て フ

リエ 逆 変

換す ることに よ り解が得ら れる

 

 

・轡』

、、,

ω

2

 

  

 

4

2

ω

P

t

 

  

 

ω Vp

2

ω

P

e・・u

x2/nd

一一

窰藩

Vs

ω

2

ω

 

  

 

 

2

9tP

 

  

 

ω

2

ω

P

2

… (・

x・/・

d

 

 

Htt

tt

ω

1

 

 

 

 

Vs

ω

 

2

9tP

2

 

  

 

±

ω

P

2

e・…

・ ・/・

d

・  た だ し

 

 

・・<arg

ω

2

ω

・ ・ ・一 ・

     

 

t−・

 (23) し か し

移 動 加 振 問 題の場 合に は

振 動 数に関す る無 限 積分 が残っ た形で解が表 現され る

この こ と は

加 振 源 の移 動に よっ て すべ ての振 動 数 成 分 が励 起さ れる こ とを 意 味して お り

その振 動 数成 分は 23)式の被積分 関 数 とし て陽に示され る

な お, (23)式 第 3式の第 1項の み は積 分 公 式 を用い て解

的に積分す ること ができ る

す な わ ち

 

  

。,・ v

…・

…・

……・

……

24) な る変 数 変 換を行い

積 分 公 式 (文G [6

616

4})を用 い ること に よ り

加 (

4

 

t

ω

P

el・lt

Xi ・ ・

d

(4)

一 ,

。 eh  

(t

i−i:

ft

) ・

(1

 

1 

e‘ 膏耐

v=

工x・

晒 〔トv’]rf}

・・

e・・…

x

/・

d

・   4πμ    x

− Vt

t十(1

v: )rt と求める ことが で きる

 

25

4.3

次 元イ ンパル ス応 答か らの移 動 加 振 解の誘 導   移 動 加 振 解は

3次 元 点 加 振 解か らも誘 導す ること が で き る。 すなわ ち

3次元点 加 振 解 (21)式か らイン パ ル ス応 答を求め

加 振 力を等 速で移 動さ せ な が ら合 成 積 を評 価する ことに よ り得ること がで き る

まず

,3

次 元 点 加振 解の ンパル ス応 答 超 関の フ

リエ変換の 性

Pt

’)

δ

 

− ’

v

Rt

g

  卜

R

θ

 26 ) を 用い て

以 下の よ うにめ るこ と が で き る

・J・t・一

k

   

Rt

・J3

 

 

 

 

 

 

一y

  

Rt

π

u

   

   

  

Rt

一 ・

伽 こ こ に

V

(t)は ス テップ 関 数であり

 h(t)はインパル ス応 答 を表すもの と する

な お

上 式の微 分 を実 行する と

下 式が得 られ る。 ・ω

t

   

  

(・・a

・X」xコ}

t

u

t−

E

   

  

σ

 

 

t

 

 

 

− 一

 ▼

 ・

ny

7

e

      怖      

Vp

     

Vp

     

Vs

   

yp

     

v

.      

………・

一 ……・

………

(28) 移 動 加 振 解は 上 式に お い て R の代わ りに     

R こ

  (コじ2

− ll

τ)2十 r2

 

 

一・

 (29 ) を 用い

時 間 変 数 τに関する以下の合 成 積 を評 価して

過 去 (時間τ)に作 用し た加 振外 力の影響を考慮す るこ と に よ り得ら れ る。

x ・Xs

3レ

・ δ、、

p

3‘

δ

t

a

xXs

2

Vs

一一

t

tユ

岳川

48

・野・

1

卜 ・)・tp・

d

…・

……・

…………

(・・) こ こ で

関 数 を引き数 とす るディラック のデルタ関 数の 性 質ne 利用する ことに よ り

  

 

・(・

…} 助 → 灘

郷 ;

R

π

 

τ

δ な る関係が得ら れ る

こ こに

Rs=

(x2

− Vt

)2十(

1一

ガ)〆

…・

……・

31

Rp

=  (X2

− y

の2十(1

”2γ2)rl    

Yst−

vx2

− Rs

       

Vpt−

v7t 厂

R

ρ t・= (1

覗 一 ・

rl

v・ γ・)、v .

fis

Rl

ts

雫 撃

Rs

R

Rl

27

                 

 

 

7・

一・

 

r・

(32 ) で あ る

た だ し

上式におい て は

,V

Vs

を仮 定して いる。 ま た

,ts

お よ び

tp

は加 振 位 置か ら受 振 位 置まで にす る

S

波お よびP波の伝 達に相当する。 な お

V

Vs

の場合に は (31)式は

2

つ の デル タ関数の和で 表さ れ, 以 下の ように な る

 

 

 

t

 

 

 

 

r

 

 

 

       

Vs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Vst

vx2

− Rs

广 (1

Vs

      v(x,

− Vt

− Rs

      十                      (

1−

vt

Rs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ

  

Vst−

vコじ2十

Rs

τ

(1

v・ )

y5

33 ) これ は, 同時に 2箇所か ら波 動 が 到 達する ことを意 味 す る

た だ し, 波 動 が到 達す る範 囲は

   

Vt −

Xa≧

VEJEi

r≧

0

と与え られ る ま た, y=  V,の状 態で は, 波 動は衝 撃 1波と なる

以 下で は V〈

Vs

を 仮 定 する (通 常の地上走 行 車 両はこ の条 件を満 足 する)

31

)お よ び (

32

)式を 用い るこ とに より

    R t

τ

Tr

・tp・

d

・−

e 竺

  c

R

      

v

α       Rα

f

 

t一

τ 

R

   

v

α

e・・

dr −

∫:

・臓

f

t−

i

e’prd ・

一一

               

 

一・

 (34 ) なる関 係が得られ る

(34 )式を 用い るこ とに よ り, 移 動 点 加 振 解は, 以 下のよ う に求め ら れ る。

(5)

…)

 

τ e% ・

 

 

k

 

 

 

 

k

tiP

u・

(ト の

VT ・…

d

 

 

t・))

 

 

ft

・蹄

u・・)

θ

1

3

1

τ

・・

… i・ ・

d

 

 

R

2・v・(t

… })

− y

1

R

・v・・

t−

tP・・

            

 ∵

 (

35

) 上 式は (23)式に対 応 す る解であり

定 積 分が含ま れ て い るもの の無限積分は避 けら れて い る

結 果と し て,

3

次 元 点 加 振解の ン パ ル ス応答の合 成 積 を評価す るこ と に よ りか な り見 通 しの よい解を得る こ と が で きた

なお (35 )式 第3式の第 1

(25)式と

致し てい る

5.

無 次元 量 の導入      

 

一.

 

解の性 状の考察を容 易にす る た めに以 下の無 次元量を 導 入 する。

1

1

1 1        at

ptp

こ れらを用い ると

2次 元 解は

 

 

 

・尹

α

− H

。(a,)

a

、3         

2

αTμ為

α鵠 3          十     s        αγ       aXJax3        α

f

と, 3次 元 解は,

 

 

 

・ヲ

ll

 

 ・

1

・q

 

a

・       αrlαr

     

 

α蒹

 

  

  

(・+・

・ ・

・Rs

ll

; … aRp

tt

 

R

at,

ρ

ts,

r S         P

R

 

R

p

π

p

π

α 爺 α 籌 α み P

…・

36

}γ

HL2

,(γar)

− Hl

『) (ar>

i

1

欄 ・・r}

……

(・・)

 

 

  

 

  

 

  凝

(ユ+t・・)・iコ・

    

」・+・

i

・ 厂 ・

ian

 

 

   

α

勤 “・+ ・

i

… :r・ak}

…aft

……

lt

……・

38 0 膏

} ×

o o 轡 【a)u 10 と

移 動 点 加 振 解は

  

us・)

α

幽 .       iMs

   

+ e3 (。i、

− 2

(。r 。、

))         ais aRs

 

 

 

… iP

一 妬 〉)

…}

α

9

・’

)〈

, y

〃α∂ ・%

   

・(。 冖 a,s) e

四 5       (α済s

2(at

α z

))        ai∫aAs 0 酔 も 斐

1

{0             0             10       喞       〔b)v 図

1 移 動 点 加 振解 の 時刻 歴 O 膏   爻

110 o 轡   w 10 0 膏   餐

rl10

  0   轡 (a)全 10 O 巨 〜 貿

IO        O         10        x!dn       〔b 〕第噸 図

2 加 振 方 向変位の各 項の寄 与 0 膏   黄

1。     o     卿 (c)菓2項力1ら4項 10

(6)

ay

va ・e

i

・… P

P

3a 茎  a

1a15

(・・

・∂・ ta

daT

  

・。

1911

°ts (a、

− 2

(・ 厂 ・ts))         αi,aRs

 

 

 

1

・・ a・

・…

… )

1

               

 

一・

 (39 ) と示される

(39) 式に おいて v=

o,

o

を代 入する と , 定積分は はずれ (38)式の 3次 元点 加 振 解に

致する ことが確 認で き る。  こ の よ うに し て得ら れ た移 動 点 加 振 解 を 図

一1

に不 す。 た だ し

ボ アソ ン比 y; O

4

移 動 速

fi

 v

0

4

無 次元距 離 ax

α。

而万,  ay=

O.

 Oを採 用 した

図に示 され るよ うに

加 振 方 向 変 位 w は他に比べて継 続 時 間 が長く応 答レベ ル も高い

こ れ は

(39) 式 第 3式の第 1項の寄 与の た めと想 像さ れ る。 この こと を検討 す る た めに (39) 式 第

3

式の加 振 方 向 変 位 ω を項別に評 価し た結 果を 図

2に示す

図よ り, 第2項 以 下の各項は第 1 項に比 較して継 続 時 間が短く かつ 応 答 振 幅が小 さい。 したがっ て, 第 1項が加 振 方 向 変 位の主 要 項で あると判 断で き る

加 振 方 向に直 交 する変位成分に は

第 1項に相 当する項が存 在し ないた めに

上 述の傾 向が現れ た もの と推 察され る。

6.

加 振 源 の移 動 効 果に関 する考察

 

2次 元, 3次 元 加振 解 お よ び移 動 加 振 解の加 振 方 向変位の第

1

項の比 較 を 行っ て み る

すな わ ち (

37

39

)式 第3式 の第 1項を 比較す る

これ は

受振 点が 加 振 点か らあ る程度離れ た場 合に主と し て寄 与する項で あ る

考察 を 容 易にする た めにx2

Oの位 置で の値 を評 価 する。       じの

2−di

・ ・」

島{・・}

     

1

  1

i ゆ

    

4μ石

7r

θ 3

dim

1e ・…

・・−         4πμ ar

     hs

  e

撮 〔毋

lu翩 7+α

v

la

〕   move        4πμ vat t1

vta4      

一幽

一・

 (40)

 

まず

応 答 性 状の理 解のた め に, (40 ) 式に示 し た各 応 答 値 を 図

3お よび 図

4に示す。 図

3に示され る よ う に, 移 0 酔   爻

10 0 膏 } x 苣 蔓 ず x 動 点 加 振 解は定 常 加 振力に対し て も応 答 波形の振 動 数 お よび振 幅が時 間と共に変動し ている。 こ の変動の仕方は 移 動 速 度比 v の 増 加 とともに顕 著と なっ てい る

す な わ ち

速 度の大とともに

波形の包絡 形の変 化が著 し く なっ て時 刻0で急 激に応 答変位が増 大し, 負の時 間で の振 動 数 が 増 加して いる

。一

一4

か らは 無 次 元 距 離の増加と ともに正 弦 波 形に 近づ い て いくこ と が理 解 でき る。

 

2

次元 お よ び 3次 元点加振解は振 動 数

p

で定常振 動す る。 これ に対し て移 動 点 加 振 解は非定 常 応 答と な る

そ こ で

移動 点 加 振 解の振動数 (周 期〉特 性につ い て討 す る

3次元点 加 振 解と移動 点 加 振 解の指 数部の比 を 求 め る と,             α盧

 (vat) 2 十(1

V’ )α;                             

 

9・

(41)      9〔α,,α,)

               (1

v2)(a厂 a

) となる

上 式で α

0 と お く と

振 動 数 比と して

ts

  0 解

π

(a}vt

O 10

10 0 膏   昌 x   0 轡 〔b)

o」 10

10   o 轡 (c,vS

4 10   0 ゆ   v司

7 10 図

3 応 答 波 形の移動 速 度 依 存 性 (ar

1

0) 10 O 鳶 、 奏

10

10 0 苣   斐

lo o

4 O 膏   斐   o へ伽 〔のs

O

1 10

o

10 Do4   0 轡 (b)a

1

O O 膏 } × 喞 〔c)a

1q

04  

10             0       吶        (d)th

1co

4 応答波形の距 離依存性       (v

O

4)

50

(7)

     

l

       at<

0

 

 

 

・幅 + 1

α

L

v

      

了マ万 αt>

o

             

 

t−

(42 が得ら れ る

こ の よ うに

加 振 源の移 動 軸 上で は の 時 間

す な わ ち

加 振 源が近づい て く ると きに は高 振 動 数で, 正の時 間で は低 振 動 数で振動 し

加 振 振 動 数に対 する振 動 数比 は速 度 比 v の み で与え ら れ るこ と が分か る

こ れ は

荷 重の移 動 効 果による周知の ドッ プラ」 効 果 を表 し ている。

加 振 源の移 動軸か ら離れ た位 置 で は (41 )式で与え ら れ

       1

9

(at→

oo ,α。)

       1

v        1 9(α、→ ±

0,

α。)=

        厨

・(・ゼー

ar

  

 

 (43 か ら理 解 できる よ うに

時 間の経過 と ともに振 動 数が連

的に減少す る

v

=0.

4の場 合につ いて

加 振源の移 動 軸からの無 次 元 距離をパ ラ メ

タと し た 振動数の経 時 変化を図

5に示す

図に示 さ れ る ように 時間と と も に振 動 数が減 少するが, 無 次元 距離が大きいと振 動 数の 変化の仕方がゆるやかに な ること が分か る

し た がっ て 加 振軸か ら離れた位 置で は加 振 振動 数 近傍の正弦 波 形 的 な応 答と な る。

 

移動 加 振 解に含 まれ る振 動 数 成 分にっ いて は

移動 加 振解の積 分 表 示 式である (23)式 第

3

式の第 1項か ら

 

  群

ω

Vs

2

9iiLP

t

e

・Wx

fV     iq

2fv

_

pe4iliV

ε

価 ⊥ ・、 」

ω −

v

働 oH         こ こ に あ

… ”… ”… … … … 7… ’

傾 ) と求め るこ と がで きる。 (44)式 を用いて, 移 動 加 振 解 主要 項の フ

リエ振 幅を求 めた結 果 を 図

6および 図

7に示す

図か ら も明ら か な ように

(42)式に示 し た 2つ の振 動 数 比で ピ

ク を 有 し

こ の両 側および内側で 振 幅が減 少する振 動 数特 性を示してい る。 速 度 比 v が 大きい ほど 2つ の ピ

ク振 動 数が離れ

無 次 元 距 離 a

が増 大するほどピ

ク振 動数 以 外の振 動数成 分 が相 対 的 に増 加して い る

以 上の結果, 移動加振 力に対す る応 答 の移 動 成 分の移 動 速 度 比お よび無次元 距離へ 依 存の仕 方が明 確と なっ た

 次に

応 答 波 形の包 絡 形にして検 討す る。 (40)式 よ り移 動 加 振 解の包 絡 形 状は

    ks     .

1                    

 (

45

)      4πμ vα t)2+(1

v’)α孕 の無 次 元 時 間の変 化に対す る応 答値で与え ら れる

上 式 よ り包 絡 波 形は移 動 速 度比お よび無 次 元 距 離に依 存し,

時 間に対し て対 称 とな ることが 分 か る

ま た

包絡 形の 最 大 値は時 刻0の時に生 じ る

一8

お よび図

9に包 絡波形の移 動速度比 および無 次元距 離依存性を示す。 速 度の 増 加と無 次 元 距 離の減 少によ り包 絡 波 形が鋭い ピ

ク を持つ よ うに な る

波 形の継 続 時 間の 1つ の尺度 と して

包 絡 形の最 大 値の 1/α 以 上の振 幅とな る時間 帯を採 用 する と

  

 

・ 一 一

…一 …・

tt

46

へ 哩 げ 通  

10       0       10       {伽 図

一5

振 動 数の経 時変化の距 離 依 存 性       (レ

0

4) 2 2

v

o

1

    

ぐ  丶 丶       vdi1   0     0         2           4   6       8      10       ゆ 図

6 フ

リエ 振 幅移 勤 速 度依 存 性      (a

O 1 巨 } x v

0

0 ’

kYX

      ノ

   

ノ !

il

’\

_

4

 

  

丶、

_.

o          v

10      0       10       喞 図

8 包 絡波形の移 動 速 度 依 存 性       (α

1

0> 10854 養   養 2 ?10 ar

io

ft

0

監 藍 。 吶 1

1

0 図

9  包絡 波形の距離依存性       くv

O

4) 10 3

   昌

1

2

  1         s

10    

__

       

       

 

L−コ

ttt

  

人 戴

_.

  0   0 図

7 100 2       4      6       8      10         飾 フ

リエ振 幅の距 離 依 存 性 (v

O

4) 80   60 馮   40     壁1ρ ?°  叫 工 o

N 、   丶 ” ・モ

α  

01   02    0

4    0

6    0

8    1 図

10 継 続 時間の移 動 速度

      距 離依 存 性

(8)

leo10110 膏

×

O

01 10D 101 旨 } x10O

Ol O

01   0

11         10       100 丐   移動 速度 依存 性 くdi

O

e) O

01   0

11         10       too l        〔b )時間依 存性 Cv

0

4> 図

11 移 動 加 振 解の距 離 減 衰 特 性 と継 続 時 間が得ら れ る

上 式の意 味で の継 続 時 間は

無 次元 距 離に比 例 して増加し

移 動 速 度 比の増 加と ともに 減 少 する。 図

10に α

10とし た場 合の 継 続 時 間の 移 動 速 度 比と無 次元距 離へ の依 存の仕 方を示す。 図か ら, 移 動速度が

0

の場合に は無 限 時 間とな っ て定常正弦振動 を示し

移動速度が せ ん断速度に

致すると継 続 時 間が 0となっ て衝撃 波と な ること が 分か る。  最 後に

移動 加 振変 位 解の距 離 減 衰 特 性 を考 察 する。 距 離 減 衰は

(45 )式の無 次元距 離に対する変 化 度 合い か ら得ら れ るe これ は

移 動 速 度 比 と無 次 元 距 離に依 存 する。 図

一11

に距離 減 衰の移 動 速 度 比お よ び無 次 元 時 間 依 存 性を示す

図中に は 2次元 お よ び 3次 元 点 加 振 解 の 距離 減 衰 特 性 も合わ せて示す。 図 よ り, 移動 点 加 振変 位解は α、

O

0の時には3 次元解と同 様に無 次 元 距 離 に反 比 例 して減少して い る。 し か し

移 動 速 度比の 増加 と と もに 1/

VF

τ倍 増 加し て い る。

 at が増 加 す ると変 位 応 答 振 幅が ほ ぼ

定と な る領域が生じ, これ は αr<at の加 振 軸 近 傍 領 域に相 当す る

こ れ よ り も離 れ た領域では無 次 元 距 離に反 比 例 して振幅が減少し てい る

これは 前 述の継 続 時 間の特徴を裏 付け てい る

7.

ま と め

 

等 速 移動定常 点加振 力に対す る3次 元 均 質 等 方 弾性体 の基 本 解を新たに定 式 化し 振 動 数成分の陽な 表 示 を 行っ た

ま た

3次 元 点 加 振 解の イン パ ル ス応 答に基づ く合 成 積の評 価か ら見 通し の よい時刻歴応 答解を得た

こ れ ら の解 析 解を 既往の 2次 元

3次元点 加 振 解と解 析

一 52 一

表現 な らびに数 値 結 果 を通して比較考 察し

加 振 力の移 動 効 果を明 確に した

そ の結 果

以 下の知 見が得られ た

1

)移 動 加 振 解は非 定 常 応 答とな り 加 振 方 向 変 位が 他の方 向 変 位に比べ て継続時 間

振 幅 と もに大き く な る

これは加 振 方 向変位の み に含まれ る主 要 項の存 在に よる。 (2 ) 加 振方 向変 位の主 要 項に よ る考 察か ら

加 振 力 が 近づ く と きに は高 振 動 数 成 分が

離れ る と きに は低 振 動 数成分が励起され るとい ういわ ゆ る ドップラ

効 果が現 れ

移動 速 度 が 大 きい ほど両 振 動数の間隔が広 がり, 無 次 元 距離が小さいほ ど振 動 数の時 間変化 が 大 き くなる。 (

3

} 応答波 形の包 絡 形 状は

移動速 度が大きく無 次 元 距 離が小さ い ほど

最 大 振 幅が増 加し

継 続時 間 が 短く な る

(4 距 離 減 衰は 3次 元 解と同様に距離に反 比 例する が

時 間の経 過と ともに加振 軸近傍での応 答 振 幅

定 領 域が増 加する。

 

本 論では

,3

次 元弾 性 体に お け る加振 源の移 動 効 果の 本質的理解を す る た め に, 実 体 波のみ が存在する全 無 限

地 盤 を象 とし た

今 後

地表 面に自由 境 界があ る 場合

さ らに は

地盤が成 層 構 造と なる場 合につ い て の検 討 を加え 表 面 波 も含め た考察を行う予 定である

参 考 文 献 1) 松岡 理

八幡 夏 恵 子 :三次元均質等方 弾性体動問題の    基 本 解 と その応 用 

Mindlin

問題 その 1 日本 建 築 学    会 論 文 報告集

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   Integrais

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松 森 徳衛

松浦 武 信 :現 代工学のた め の デル

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現 代工学 社

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参照

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