Generation of Non-classical Light via Optical Parametric Amplification and Photon Detection

光パラメトリック増幅と光子検出による 非古典光の生成

Generation of Non-classical Light

via Optical Parametric Amplification and Photon Detection

2017 ^年 2 ^月

早稲田大学大学院 先進理工学研究科 物理学及応用物理学専攻 光物理工学研究

髙橋 佑太

Yuta TAKAHASHI

1

目次

第1^{章 序論} 3

1.1 ^研究背景 . . . 3

1.2 ^{本論文の構成} . . . 3

第2^{章 量子光学} 7 2.1 ^{非線形光学} . . . 7

2.2 ^第2^{高調波発生}. . . 9

2.3 ^{パラメトリック増幅} . . . 9

2.4 ^{電磁場の量子化} . . . 11

2.5 ^{スクィージング} . . . 13

2.6 ホモダイン検出器の原理 . . . 19

第3^章 分散によるスクィージングと光子統計への影響 21 3.1 ^{光子統計推定} . . . 21

3.2 ^実験系 . . . 22

3.3 ^実験結果 . . . 24

3.4 ^まとめ . . . 27

第4^章 Schr¨odingerの猫状態の生成時における光子検出器の影響 29 4.1 ^背景. . . 29

4.2 ^{スキーム比較} . . . 30

4.3 ^実験系 . . . 31

4.4 不完全な光子検出器を用いた際のフィデリティ . . . 34

4.5 PNRD^{を用いた場合の解析} . . . 35

4.6 ^不完全なSPD^{を使用した場合の問題} . . . 41

4.7 近年の実験結果との比較 . . . 45

4.8 ^まとめ . . . 46

第5^{章 結論} 49 付録A ^{位相整合条件} 51 A.1 ^{角度位相整合} . . . 51

A.2 ^{擬似位相整合} . . . 53

付録B F_n1n2n3 ^とP_n1n2n3 ^{の計算方法} 55 付録C バランスドホモダイン検出器 57 C.1 ホモダイン検出器の製作 . . . 57

付録D 各分布の光子対統計について 61 D.1 ^{単一光子検出器の計数} . . . 61

D.2 ^{各状態の統計} . . . 63

D.3 ^{各分布の検出計数} . . . 64

付録E ^公式 67 E.1 角運動量演算子の交換関係 . . . 67

E.2 ^{消滅・生成演算子} . . . 70

E.3 Campbell-Baker-Hausdorff^公式 . . . 71

付録F Schr¨odinger^の猫状態 73 F.1 ^{変位演算子} . . . 73

付録G 最尤推定法による量子状態の推定 75 G.1 最尤推定法による量子状態の推定 . . . 75

G.2 Wigner^関数W(x, p)^の定義. . . 76

G.3 Wigner^{関数の性質} . . . 77

G.4 ^{密度行列から}Wigner^{関数を求める方法}. . . 81

謝辞 83

研究業績 85

参考文献 91

3

第 1 ^章

序論

1.1 ^研究背景

近年、量子情報処理と呼ばれる量子力学の原理を取り入れた情報処理の研究が注目を浴び ている。量子情報処理は量子力学の性質を利用することにより、従来の情報処理の性能限界 を超えることが可能で、既存のスーパーコンピュータでも解くのに宇宙の年齢ほどかかる問 題を瞬時に解く量子コンピュータや物理的に盗聴が不可能な量子暗号通信、シャノン限界を 超えた通信が可能になることなどが知られている。量子情報処理のキャリアは、光子、原 子、半導体中の電子といった量子であり、光を使った量子情報処理は、その系の安定性から めざましい発展を遂げている。光の量子情報処理のリソースは、単一光子、偏光エンタング ルメント光子対、スクィーズド光、光のSchr¨odingerの猫状態といった非古典光であり、こ れらの光源開発に関する研究が盛んに行われている。

そこで本論文では、特にスクィーズド光とSchr¨odingerの猫状態に焦点を当て、これらの 光の生成条件について解析を行った。スクィーズド光は光の直交位相振幅を情報の基底とし た連続量を用いた量子情報処理で重要となるリソースであり、シャノン限界を超える通信を 実現するにも欠かせないリソースであると考えられている。Schr¨odinger^{の猫状態は量子コ} ンピュータや微弱力測定への応用方法が知られており、重要な光源の一つとなっている。ま

た、Schr¨odingerの猫状態はスクィーズド光から生成できることが知られており、スクィー

ズド光の応用例として位置づけることも可能である。

1.2 ^{本論文の構成}

本論文は５章からなり、第１章では序論として、光の量子情報処理について概説し、ス クィーズド光やSchr¨odingerの猫状態の研究背景について述べる。第２章では、非線形光学

や量子光学を中心に本論文で必要となる物理について解説する。第３章、第４章は、それぞ れスクィーズド光、Schr¨odingerの猫状態の生成についての研究内容について述べ、第５章 をまとめとした。

第３章では、フェムト秒レーザーにより光パラメトリック増幅を行った際の非線形結晶 中の分散のスクィーズド光に対する影響について議論する。十分減衰させたレーザー光は コヒーレント状態とみなせることが知られているが、コヒーレント状態は古典的にはノイ ズの存在しない正弦波であるが、量子的な観点から見ると,位相と振幅の不確定性関係から 生じる量子的なゆらぎに起因するショットノイズが存在する。スクィーズド光は1976^年に Yuenによってショットノイズを抑圧する光源として、その存在が理論的に予言され、1985

年には、Slusher らによって非縮退の四光波混合で実験的に生成と検出に成功した。以来、

光のショットノイズを抑える光源として期待され、さまざまな研究が行われてきた。量子情 報処理では効率よく高いスクィーズレベル（ショットノイズの抑圧比）を実現することが要 求される。スクィーズド光の代表的な生成法の１つにパラメトリック増幅を用いたものがあ るが、この方法で高いスクィーズレベルを得るためには大きな非線形効果を生み出す必要が あり、効果的な方法の１つは共振器を用いる方法である。これはいわゆるパラメトリック発 振と呼ばれるもので、高いスクィーズレベルが得られるが、共振器の制御が必要なため系が 大きくなるという欠点がある。もう１つはパルス光のピークパワーを利用して結晶を励起す る方法である。結晶にパルス光を入射させるだけなので、簡単な装置で高いスクィーズレベ ルが実現可能である。

本研究では、現在の光通信への応用を考え、通信波長帯である1550 nm^{帯においてス} クィーズド光の生成を行っている。非線形性を高めるために周期分極反転LiNbO3^結晶と フェムト秒パラメトリック発振レーザーを採用している。フェムト秒レーザーを用いてパラ メトリック増幅を行う場合、高いピークパワーで励起できるという利点があるが、群速度分 散による影響を無視できない。本研究の目的は、フェムト秒レーザーで励起した際に、結晶 中での群速度分散がスクィーズド光に与える影響の解析である[1]^。長さ0.9 mm^、10 mm の結晶と、焦点距離8.2 mm^、50 mmの集光レンズの組み合わせで、パラメトリック増幅の 相互作用長0.4 mm^、0.9 mm^、8.6 mmの条件を作り出し解析を行った。これまでの研究で は、ホモダイン測定によるスクィーズド光の雑音の測定が主であったが、本研究では加えて ２台の単一光子検出器による光子統計の推定を行うことにより、雑音だけでなく、光子統計 の側面からも群速度分散の影響の解析[2]を可能にしている。実験の結果、一定以上相互作 用長が長くなるとスクィーズレベルが増強されないこと、相互作用長を長くすると光子対統 計が熱平衡分布からポアソン分布になることがわかった。これらの結果は、群速度分散によ る時間的多モード化が原因であると結論づけている。

1.2 ^{本論文の構成} 5 第４章では、スクィーズド光から光子引抜をして、光のSchr¨odinger^{の猫状態を生成する} 際の光子検出器の特性について議論する。ここで言う光のSchr¨odinger^{の猫状態は、位相を} 反転したコヒーレント状態同士の重ね合わせ状態を指しており、1986^年にYurke^とStoler によって、初めて生成方法が提案された[3]。しかし、提案された方法は光Kerr^{効果の使用} を想定しており、この方法を実現するのに十分な３次の非線形性を持ったデバイスが現在で も開発されていないため、未だ実現されていない。1997^年にはDakna^{らによって、別の方} 法として、真空スクィーズド状態から光子を引き抜く方法が提案されており[4]^{、近年、各研} 究機関によって実験の成功報告がなされている[5, 6, 7, 8, 9, 10]。その方法は、生成したス クィーズド状態をビームスプリッターで分割し、片側のポートで光子検出を行い、もう一方 のポートから出力される状態に対して、光子検出に成功したイベントのみ状態として採用す ることにから猫状態が生成される。光子検出器のポートでN光子を検出した時のイベント のみ、状態として採用すれば、N光子を引き抜いたスクィーズド状態が生成される。真空ス クィーズド状態は偶数個の光子の重ね合わせ状態であるため、このN ^{光子を引き抜いたス} クィーズド状態はSchr¨odingerの猫状態に似ており、引き抜いた光子の数が多いほど、猫状 態とのフィデリティが高まることが知られている[4]。量子情報処理では、大きな振幅の猫 状態が求められるため、効率よく振幅を大きくする必要がある。そこでNielsen^とMølmer は補助的なコヒーレント状態を加えて、光子検出を行うことによって、同数の引抜き光子

数でDaknaの提案したスキームより大きな振幅を持った猫状態が生成されることを示した

[11]^。

本研究では、Nielsen^とMølmer の提案方法が未だ実験的に実現されていないことから、

彼らの論文で提案された実験系に対してより簡略化した実験系を提案し、さらに実験的な不 完全性を追加して、彼らのスキームの実現性を検討した[12]。新たに提案した実験系では補 助的なコヒーレント状態の入力数を削減でき、ロックしなければならない位相の数を減らせ るという利点がある。元の論文では光子数識別器の使用を前提としていたが、より入手が容 易な光子検出器として、光子数識別能力がなく、光子の有無のみを判別可能な単一光子検出 器についても解析を行った。光子検出器としてはガイガーモードのアバランシェフォトダイ オードを、光子数識別器としては超伝導転移端センサーのパラメータを採用して解析を行う ことで、結果として、現在の技術でも0.9以上のフィデリティを達成することができ、十分 に彼らのスキームを実現可能であることを示した。

第５章では、第３章、第４章の結果をまとめ、今後の展望について述べる。

7

第 2 ^章

量子光学

パラメトリック下方変換を利用した真空スクィーズド状態の生成には非線形光学の原理を 理解する必要がある。本章では非線形光学において重要な第二次高調波やパラメトリック増 幅の概念を説明し、これらを量子化してスクィージングの説明を行う。

2.1 ^{非線形光学}

結晶中のMaxwell^{方程式は式}(2.1)^〜式(2.4)^{のように表わされる。}

∇ ×E+µ∂H

∂t = 0 (2.1)

∇ ·B= 0 (2.2)

∇ ×H− ∂D

∂t = 0 (2.3)

∇ ·D= 0 (2.4)

電束密度Dと電場Eには次の関係があり

D =ε₀E+P   (2.5)

となる。レーザー光など入射電場強度が高い場合には分極P _は電場E_{に対して線形ではな} く、2次以上の非線形効果も現われる。

P =ε₀χE+P_NL (2.6)

ここでχは電気感受率である。式(2.1), (2.3), (2.5), (2.6)より非線形媒質中を伝播する電 磁波の波動方程式は

∇²E =µε∂²E

∂t² +µ∂²P_NL

∂t² (2.7)

となる。ただし、ε=ε0(1 +χ)^{、一様媒質}(∇ ·E= 0)を仮定した。以後の議論では簡単の ため非線形分極P_{N Lと電場}Eが平行だとし、スカラー量で考えることにする。

次に電場が角周波数ω₁, ω₂, ω₃ ^でz ^{方向に伝播する式}(2.8)^のような3^{つの平面波で構} 成されている場合を考える。

E^(ω1)(z, t) = 1 2

(A₁(z)e^{i(k1z−ω1t)}+c.c.) E^(ω2)(z, t) = 1

2

(A₂(z)e^{i(k2z−ω2t)}+c.c.)

(2.8) E^(ω3)(z, t) = 1

2

(A₃(z)e^{i(k3z−ω3t)}+c.c.) 全電場は

E =E^(ω1)(z, t) +E^(ω2)(z, t) +E^(ω3)(z, t) (2.9) となる。非線形分極P_NL ^は2^{次まで考え},

P_NL =d_effE² (2.10)

とする。ここでd_eff は物質によって決まる非線形光学係数である。式(2.8),(2.9), (2.10)^を 波動方程式(2.7)に代入し、それぞれの角周波数成分ごとに式を分ける。ただし、角周波数 ω1, ω2, ω3には

ω₃ =ω₁+ω₂ (2.11)

の関係があるとする。式(2.11)^{を考慮すれば角周波数}ω1の成分の式は次のようになる。

∇²E^(ω1)=µε1∂²E^(ω1)

∂t² +µdeff ∂²

∂t²

[A3(z)A^∗₂(z)

2 e^{i[(k3−k2)z−(ω3−ω2)t]}+c.c.]

(2.12)

式(2.8)^を式(2.12)に代入して整理する。ただし、媒質中を進行する光の振幅は波長に比べ

てゆっくり変化すると仮定し

k1

dA₁(z) dz

≫

d²A₁(z) dz²

  (2.13)

とする。整理された式は

dA₁

dz = iω₁ 2

õ

ε₁d_effA₃A^∗₂e^i∆kz (2.14)

2.2 ^第2^{高調波発生} 9 となる。ただし∆k =k3−k1−k2 である。ω2, ω3 も同様に

dA^∗₂

dz = iω₂ 2

õ

ε₂d_effA₁A^∗₃e^−i∆kz (2.15) dA₃

dz =−iω₃ 2

õ

ε₃d_effA₁A₂e^−i∆kz (2.16) となり、式(2.14)^〜(2.16)の式は非線形媒質中の光同士の相互作用を記述する基本方程式で ある。

2.2 ^第 2 ^{高調波発生}

角周波数ω の光を非線形結晶に入射させ、角周波数 2ω ^{の光を発生させる第}2 ^高調波 発生(second harmonic generation: SHG) ^{について考える。式}(2.14)^〜(2.16)^{において、}

ω₁ =ω₂ =ω, ω₃ = 2ω^とする。

dA^(2ω)

dz =−iω

√µ εd_eff[

A^(ω)]2

e^−i∆kz (2.17)

A^(ω)はほとんど変換されず一定であるとすると A^(2ω) =−iω

√µ εdeff

[

A^(ω)]2 e^−i∆kL−1

−i∆k (2.18)

である。第2^{高調波の光強度は}

A^(2ω)

2 = µω²d²_eff ε

A^(ω)

4L²sin²(∆kL/2)

(∆kL/2)² (2.19)

に比例するため、効率よくSHG^{を起こすには位相整合}∆k = 0が必要であることがわかる。

∆k = 0を実現するためには、複屈折結晶や疑似位相整合結晶を使う必要があり、位相整合 については付録A^で扱う。

2.3 ^{パラメトリック増幅}

パラメトリック増幅の原理はブランコの振幅を2倍の周波数で屈伸運動することにより増 幅させることと全く同じで、角周波数ω^、2ωの光を非線形結晶に入射させ、角周波数ω ^の 光を増幅するパラメトリック増幅(optical parametric amplification: OPA)^{を考える。式} (2.14)^〜(2.16)^{において、}ω₁ = ω₂ = ω, ω₃ = 2ωとする。結晶の変換効率の低さからポン

プ光(^角周波数ω3)の振幅は一定、位相整合条件(^付録A^参照)を満たしているものとする。

このとき、式(2.14)^は

dA

dz =−i1

2gA^∗ (2.20)

g =ωdeff

õ

εA3 (2.21)

となる。ただし、A₁, A₂ は区別しないので添え字は落とした。ポンプ光とシグナル光(^角周 波数ω)の相対的な位相が重要なので

A₃ =i|A₃| (2.22)

とすれば式(2.20)^{は次のようになる。}

dA dz = 1

2|g|A^∗ (2.23)

複素振幅Aを次のように実部と虚部に分ける。

A=a₁+ia₂ (2.24)

式(2.24)^{のように分ければ式}(2.23)^は da₁

dz = 1 2|g|a₁ da₂

dz =−1

2|g|a₂ (2.25)

となる。結晶長がL^{だとすれば}

a1(L) =a1(0) exp (1

2|g|L )

a₂(L) =a₂(0) exp (

−1 2|g|L

)

(2.26) となる。シグナル光のパワーP^(ω)は

P^(ω)(L) = 1 2

√ε

µ|A(L)|²

= (cos²θe^|g|L+ sin²θe^−|g|L)P^(ω)(0) (2.27) となる。ただし、A=|A|e^{iθとした。式}(2.22)^、(2.27)から分かるようにポンプ光とシグナ ル光の複素振幅が同位相のとき（θ = 90^{◦）は減衰が起こり、}90^◦ 位相がずれたときは増幅

2.4 ^{電磁場の量子化} 11 が起こる。上記の計算結果を図2.1に示す。ポンプ光を除去するフィルタを非線形結晶の出 力光を制限することにより、パラメトリック増幅したシグナル光を抽出している。

式(2.21^）,^（2.27^）からOPA^{の大きさは結晶長},^{ポンプ光強度}P^{(2ω) 、結晶の非線形性に} 依存することが分かる。したがって、ゲインG± は次のようになる。

G_± = exp(

±α√

P^(2ω)L)

(2.28) ただし、αは物質によって決まる定数である。

図2.1 ^{パラメトリック増幅}

2.4 ^{電磁場の量子化}

改めて結晶中の電場に関する方程式を書き下す。

∇ ·D= 0 (2.29)

∇ ·B= 0 (2.30)

∇ ×H = ∂D

∂t (2.31)

∇ ×E=−∂B

∂t (2.32)

D=ε₀E+P (2.33)

B=µ₀H (2.34)

非線形結晶中にレーザー光を入射する場合、その強電場のため分極P が電場Eに比例しな くなる。

P =ε0χ⁽¹⁾:E+ε0χ⁽²⁾:EE+ε0χ⁽³⁾:EEE· · · (2.35) ただしχ^(j)はj+ 1^{階のテンソルを表す。}

ここで次式のようなベクトルポテンシャルA˜= (A0,A)^を導入しMaxwell^{方程式を満た}

すラグランジアンを構成する。

E=−∂A

∂t +∇A₀, B=∇ ×A (2.36)

このときラグランジアン密度は次式で表せる。

L(A˜,A˜˙) = 1 2

(

ε0E²− 1 µ₀B²

) + 1

2ε0χ⁽¹⁾_ij EiEj + 1

3ε0χ⁽²⁾_ijkEiEjEk+· · · (2.37) 最小作用の原理より

δL=

∫ t2

t1

∫

V

δLdt d³r

=

∫ t2

t1

∫

V

∑

i,j

[ ∂L

∂A_i δAi+ ∂L

∂(∂A_i/∂t)δ (∂Ai

∂t )

+ ∂L

∂(∂A_i/∂x_j)δ (∂Ai

∂x_j )]

dt d³r

= 0 (2.38)

であり、第2^項と第3項に関しては部分積分と境界条件を用いて変形するとLagrange^方程 式は次式となる。

∂L

∂A_i − ∂

∂t

∂L

∂(∂A_i/∂t) −∑

j

∂

∂x_j

∂L

∂(∂A_i/∂x_j) = 0 (2.39) i= 0^のとき式(2.29)^{、その他の}i = 1,2,3^は式(2.31)を表すことが確かめられるため、式

(2.37)のラグランジアン密度を正しく選べていることがわかる。場の一般化運動量は

Π_i = ∂L

∂(∂A_i/∂t) =−D_i (2.40)

で定義される。Π0 = 0^からA0 は正準変数にはなれないため、クーロンゲージ(∇ ·A= 0) と式（2.36）から次式で決定される。

∆A0 =−∇ ·E (2.41)

ハミルトニアンは次のようになる。

H=

∫

V

( ∑

i

ΠiA˙i− L)

d³r (2.42)

=

∫

V

1 2

(ε₀E²+ 1 µ0

B²) d³r+

∫

V

(1

2ε₀χ⁽¹⁾_ij E_iE_j+ 2

3ε₀χ⁽²⁾_ijkE_iE_jE_k+· · ·) d³r

−

∫

V

D· ∇A₀d³r (2.43)

2.5 ^{スクィージング} 13 最後の項は部分積分可能で境界条件と式(2.29)よりゼロになる。したがって、

H=

∫

V

1 2

(ε₀E²+ 1 µ₀B²)

d³r+

∫

V

(1

2ε₀χ⁽¹⁾_ij E_iE_j+ 2

3ε₀χ⁽²⁾_ijkE_iE_jE_k+· · ·) d³r

(2.44) である。次のようなテンソル積を定義して、ハミルトニアンをD_{で書き直す。}

Ei =η_ij⁽¹⁾Dj+η_ijk⁽²⁾DjDk+· · · (2.45)

H = 1 2

∫

V

1

µ₀B²d³r+

∫

V

(1

2η_ij⁽¹⁾DiDj + 1

3η⁽²⁾_ijkDiDjDk+· · ·)

d³r (2.46) 次式のような交換関係を持つように量子化する。

[ ˆA_i(r, t),Πˆ_j(r^′, t)] =iℏδ_ijδ(r−r^′) (2.47) Coulomb^ゲージ∇ ·A= 0を採用することにより、A,Dが横波として扱える。ここで波 数ベクトルk_{、偏光ベクトル}e_k,γであるモードの消滅演算子は次のように書ける。

ˆ

a^k_,γ(t) = 1

√ℏV

∫

V

e^−ik·re_k,γ·

[√ε0ωk

2

Aˆ(r, t)− iDˆ(r, t)

√2ε₀ω_k ]

d³r (2.48) 式(2.48)^{は次式を満たす。}

[ˆa^k_,γ,aˆk^′,γ^′] = [ˆa^†k,γ,ˆa^†k′,γ^′] = 0, [ˆa^k_,γ,ˆa^†k′,γ^′] =δ^kk′δ_γγ^′ (2.49)

2.5 ^{スクィージング}

ここでパラメトリック増幅を量子的に扱うため電磁場を量子化する。簡単のためE_とD が平行であり、ハミルトニアンが次のように書けるとする。

Hˆ =

∫

V

1 2

(εEˆ²+ 1 µ₀Bˆ²)

d³r+

∫

V

2

3d_effEˆ³d³r

≃

∫

V

( 1

2µ₀Bˆ²+ 1 2εDˆ²)

d³r−

∫

V

d_eff

3ε³Dˆ³d³r (2.50) ただしε =ε₀(1 +χ⁽¹⁾)^{である。式}(2.50)^の第1^項をHˆ0、第2^項をHˆ^{′とし、非線形分極} に関するハミルトニアンを摂動項として扱う。ベクトルポテンシャルA,^電束密度D^はz ^方

向に伝播する平面波であるとすれば次のように表せる。

A(z, t) =ˆ

3

∑

j=1

√ ℏ 2ε_jV ω_j

[ˆa_j(t)e^ikjz+ ˆa^†_j(t)e^−ikjz]

(2.51) D(z, t) =ˆ

3

∑

j=1

i

√ℏωjεj

2V

[ˆa_j(t)e^ikjz−aˆ^†_j(t)e^−ikjz]

(2.52)

B(z, t) =ˆ

3

∑

j=1

i k_j

√ ℏ 2εjV ωj

[ˆa_j(t)e^ikjz−ˆa^†_j(t)e^−ikjz]

(2.53)

Hˆ0 =

∫

V

( 1

2µ₀Bˆ²+ 1 2εDˆ²)

d³r (2.54)

=

3

∑

j=1

ℏωj

[ ˆ

ajˆa^†_j + 1 2 ]

(2.55) ここで相互作用表示を利用すれば

Dˆ_I(z, t)≡e^iHˆ0t/ℏD(z, t)ˆ e^{−iHˆ0t/ℏ}

=

3

∑

j=1

i

√ℏω_jε_j 2V

[ˆa_j(t)e^{i(kjz−ωjt)}−ˆa^†_j(t)e^{−i(kjz−ωjt)}]

(2.56) Hˆ^′I ≡e^iHˆ0t/ℏHˆ^′e^{−iHˆ0t/ℏ}

=−

∫

V

d_eff

3ε³Dˆ_I³d³r

≃ −ideff

3 ( ℏ

2V

)³₂ √

ω1ω2ω3

ε₁ε₂ε₃

∫

V

[aˆ1ˆa2aˆ^†₃e^−i∆kz −aˆ^†₁ˆa^†₂aˆ3e^i∆kz]

d³r (2.57) である。ここで各周波数モード間にはω3 =ω1+ω2 の関係があるとし、回転波近似により e^{i(ω1+ω2−ω3)}以外の項は振動しているので平均化され無視できる。

HˆI^′ =−i 2ℏ[

gˆa₁ˆa₂ˆa^†₃−g^∗ˆa^†₁ˆa^†₂ˆa₃]

(2.58) 式(2.58)^よりHeisenberg^{の運動方程式}

daˆ_j dt = 1

iℏ

[aˆ_j,Hˆ^′I

] (2.59)

2.5 ^{スクィージング} 15 より、

daˆ1

dt = 1

2g^∗aˆ2†aˆ3 (2.60)

daˆ2

dt = 1

2g^∗aˆ₁^†aˆ₃ (2.61)

daˆ₃^†

dt =−1

2gaˆ₁aˆ₂ (2.62)

である。ポンプ光は十分強くc-^{数として扱えば} daˆ₁

dt = 1

2g^∗aˆ₂^†a₃ (2.63)

daˆ₂ dt = 1

2g^∗aˆ₁^†a₃ (2.64)

である。この式の解は、

ˆ

a₁(t) = ˆa₁(0) cosh (1

2|ga₃|t )

+e^iθˆa^†₂(0) sinh (1

2|ga₃|t )

(2.65) ˆ

a2(t) = ˆa2(0) cosh (1

2|ga3|t )

+e^−iθaˆ^†₁(0) sinh (1

2|ga3|t )

(2.66) である。ただしθ= arg(g^∗a₃)^{である。ここで}q(t),ˆ p(t)ˆ ^{を次のように定義し、}

ˆ

q(t)≡ ˆa(t) + ˆa^†(t)

2 (2.67)

ˆ

p(t)≡ ˆa(t)−ˆa^†(t)

2i (2.68)

θ = 0^にとり、r= ¹₂|ga₃|t^とすれば ˆ

q1(t)−qˆ2(t) = [ˆq1(0)−qˆ2(0)]e^−r (2.69) ˆ

p₁(t) + ˆp₂(t) = [ˆp₁(0) + ˆp₂(0)]e^−r (2.70) という関係があり、このようにシグナル光とアイドラ光の振幅に量子相関が存在することが 知られている。このような角周波数ω のポンプ光で非線形結晶を励起し、ω +δω, ω−δω の波長の異なるシグナル光とアイドラー光を増幅する方法は非縮退パラメトリック増幅 (nondegenerate optical parametric amplification : NOPA) と呼ばれている。シグナル光

とアイドラー光を入力しない場合は次のようになる。

|ΦII⟩= exp [

−iHˆ^′I

ℏ t ]

|0,0⟩

= exp[

rˆa₁(t)ˆa₂(t)−rˆa^†₁(t)ˆa^†₂(t)]

|0,0⟩

= 1

coshr

∞

∑

n=0

[−tanhr]ⁿ|n, n⟩ (2.71) このような状態は2モード真空スクィーズド状態と呼ばれている。n^{対の光子対が生成され} る確率Pnは

P_n = tanh²ⁿr

cosh²r = µⁿ

(1 +µ)ⁿ⁺¹ (2.72)

となる。ただしµ= sinh²rは平均光子対数を表す。このように光子対の分布が熱平衡分布 になることが知られている。

次にシグナル光とアイドラー光の波長が同じ場合である縮退パラメトリック増幅(degener- ate optical parametric amplification : DOPA) ^{について述べる。}DOPA^{のハミルトニア} ンは次式で与えられる。

Hˆ^′I =−i 2ℏ[

ga^∗₃ˆa²−g^∗a3(ˆa^†)²]

(2.73) Heisenberg^{の運動方程式は}

dˆa

dt =g^∗a₃ˆa^† (2.74)

であり、その解は ˆ

a(t) = ˆa(0) cosh (|ga3|t) +e^iθˆa^†(0) sinh (|ga3|t) (2.75) である。θ = 0^にとり、ξ = ¹₂|ga3|t^とすれば

ˆ

q(t) =e^ξq(0)ˆ (2.76)

ˆ

p(t) =e^−ξp(0)ˆ (2.77)

入力状態がコヒーレント状態であるとすると ˆ

a(0)|α⟩=A|α⟩ (2.78)

⟨q(t)ˆ ⟩=⟨α|q(t)ˆ |α⟩=e^ξq (2.79)

⟨p(t)ˆ ⟩=⟨α|p(t)ˆ |α⟩=e^−ξp (2.80)

2.5 ^{スクィージング} 17

OPA

図2.2 ^{パラメトリック増幅}

となり古典と同じ結果が得られる。また、それぞれの複素振幅の分散は

⟨∆ˆq(t)²⟩= 1

4e^2ξ (2.81)

⟨∆ˆp(t)²⟩= 1

4e^−2ξ (2.82)

であり、スクィージングが生じることがわかる。角周波数ωの光を入射しない場合は

⟨0|q(t)ˆ |0⟩= 0 (2.83)

⟨0|p(t)ˆ |0⟩= 0 (2.84)

⟨0|∆ˆq(t)²|0⟩= 1

4e^2ξ (2.85)

⟨0|∆ˆp(t)²|0⟩= 1

4e^−2ξ (2.86)

となり、真空場がスクィージングされる。このような状態は真空スクィーズド状態と呼ばれ、

このような過程は自発パラメトリック下方変換(spontaneous parametric down conversion

図2.3 ^{真空スクィーズド状態}

: SPDC) として知られている。次にこの真空スクィーズド状態の光子統計に注目する。

|Ψsv⟩= exp [

−iHˆ^′I

ℏ t ]

|0⟩

= exp [

−ξ

2ˆa²+ ξ 2(ˆa^†)²

]

|0⟩

= 1

√coshξ

∞

∑

n=0

[(2n)!]^1/2

2ⁿn! [−tanhξ]ⁿ|2n⟩ (2.87) 式からも分かるように真空スクィーズド状態は偶数個の光子しかもたない非古典的な光であ る。2n個の光子が生成される確率P_2n^は

P_2n = (2n)!

(n!)²2²ⁿ

νⁿ

(1 +ν)^n+1/2 (2.88)

である。ただしν = sinh²ξ ^{は平均光子数である。}

2.6 ホモダイン検出器の原理 19

2.6 ホモダイン検出器の原理

真空スクィーズド状態のスクィーズレベルの測定方法として、バランスドホモダイン検出 (^図2.4)がある。未知の光の量子状態を測定する量子トモグラフィーにおいても有効な手段 としてしられている[13]^{。シグナル光}aˆS と局部発振光(LO^光) ˆaLOをそれぞれ50:50^ビーム スプリッターBS の入力ポートに入射させる。射出される光bˆ₁,bˆ₂^{はそれぞれ}

bˆ1 = 1

√2 ( ˆaS+ ˆaLOe^iφ) (2.89) bˆ2 = 1

√2 ( ˆaS−aˆLOe^iφ) (2.90) となる。φ^{はピエゾ素子}PZTによって作られるシグナル光とLO光の位相差である。シグ

PZT BS

図2.4 バランスドホモダイン検出器

ナル光aˆSとLO^光aˆLOを式(2.91),(2.92)のように平均値と揺らぎ部分に分ける。

ˆ

aS = ∆ ˆaS,1+i∆ ˆaS,2 (2.91) ˆ

aLO=ALO+ ∆ ˆaLO,1+i∆ ˆaLO,2 (2.92) ただし、ALOは実数である。BSからそれぞれ射出される光子の数の差∆ˆn^は

∆ˆn= ˆb₁^†bˆ₁−bˆ₂^†bˆ₂

= ( ˆaS†aˆLO+ ˆaLO†aˆS) cosφ+ ( ˆaS†aˆLO−aˆLO†aˆS) sinφ

≈2ALO(∆ ˆaS,1cosφ+ ∆ ˆaS,2sinφ) (2.93)

となる。実験ではそれぞれのフォトダイオードPDから流れる差電流の雑音電力を測定す る。電流i(t)^{は測定に要する時間を}T^{、量子効率が}1^とすれば

⟨ˆi(t)⟩

= e

T ⟨nˆ⟩ (2.94)

となり、差電流の雑音電力は

⟨∆ˆi(t)²⟩

= 4e²A²_LO

T² (cos²φ⟨

∆ ˆaS,12⟩

+ sin²φ⟨

∆ ˆaS,22⟩

) (2.95)

と書ける。式(2.95)^{から位相差}φ^がφ = 0^のときに⟨

∆ ˆaS,1

2⟩

、φ = π

2 ^のときに

⟨∆ ˆaS,2

2⟩ が測定できる。以上のようにバランスドホモダイン検出器で真空スクィーズド状態の揺らぎ の測定が可能である。実際のホモダイン検出器では差電流を増幅器で増幅し、スペクトラム アナライザで雑音を測定するかオシロスコープで差電流パルスを測定することになる。レー ザー光でホモダイン検出を行う場合、レーザーの繰返し周波数ごとに差電流の中に打ち消し きれなかったレーザーの繰返し雑音が発生する。この雑音が検出器のアンプを飽和させない ようにフィルタをつくるなどして、除去する工夫が必要である。実際、本研究で作成したホ モダイン検出器については、付録C^で扱う。

21

第 3 ^章

分散によるスクィージングと光子統 計への影響

本章ではスクィーズド光の生成実験について述べる。連続波のスクィーズド光生成実験 では、共振器を用いて非線形性を高め、高いスクィージングレベルの実現に成功している

[14, 15]。パルス光を用いたスクィーズド光生成実験では、パルス光の高いピークパワーを

利用することによりシングルパスの実験系で高いスクィージングレベルを実現でき[16, 17]^、 量子情報処理への応用に向いている。しかし、群速度分散の影響を抑えるため[18]^、相互 作用長を短くするなどの工夫が必要である[2]。今回、高いピークパワーのフェムト秒レー ザーを用いて2つの異なる結晶長の周期分極反転LiNbO3 結晶(PPLN)^{を励起しスクィー} ズド光の生成を行い、ノイズ測定を行うとともに、2つの単一光子検出器を利用することに より光子統計の推定を行い、群速度分散がスクィージングレベルや光子統計に与える影響を 調べた[1]^。

3.1 ^{光子統計推定}

生成した真空スクィーズド状態を50:50に分けそれぞれを単一光子検出器で測定した時の 同時計数率から光子統計を見積もることができる[19]。真空スクィーズド状態は光子対の重 ね合わせ状態であるとみなすこともできるので、単一光子検出器k(k = 1,2)^{で光子を検出} する確率は次式で表される。

P_Sk =

∞

∑

n=0

p(n) [

1− (

1− T η_k 2

)2n]

(3.1)

このときp(n)^はn対の光子対が生成される確率、T ^{は系の透過率、}ηkは検出器k^の量子効 率である。同様に同時計数率は

P_C =

∞

∑

n=0

p(n) [

1− (

1− T η₁ 2

)2n

− (

1− T η₂ 2

)2n

+ (

1− T(η₁+η₂) 2

)2n]

(3.2) である。

縮退パラメトリック増幅(DOPA)では真空スクィーズド状態が生成され、光子対は次の ような統計分布に従うことが知られている。

P_SV(n) = (2n)!

(n!)²2²ⁿ

νⁿ

(ν+ 1)^n+1/2 (3.3)

ただし、ν ^{は平均光子数である。}

また、アイドラー光子とシグナル光子の波長が異なるような非縮退パラメトリック増幅

(NOPA) ^では2モード真空スクィーズド状態が生成され、その光子対統計は熱平衡分布に

従う。

P2(n) = µⁿ

(µ+ 1)ⁿ⁺¹ (3.4)

ただし、µは平均光子対数である。OPA過程において光子対のコヒーレント長に対して相 互作用長が十分長い場合は、群速度不整合のため、状態が時間的に多モード化し光子対統計 はポアソン分布になってしまう。

P_M(n) = µⁿe^−µ

n! (3.5)

それぞれの分布にしたがった光子統計については付録D^で扱う。

3.2 ^実験系

ホモダイン検出器によるノイズ測定及び単一光子検出を用いた光子統計推定の実験系を図 3.1に示す。光源はフェムト秒チタンサファイアレーザー(Ti:S)を励起光としたフェムト秒 光パラメトリック発振器(Opal^、Spectra Physics^{社製、中心波長}1557 nm^{、スペクトル幅} 35 nm^{、繰返し周波数} 80 MHz) ^{を使用した。}

光源から出た光を2^{つの波長板}(HWP)と偏光ビームスプリッター(PBS)^{を用いて、そ}

3.2 ^実験系 23 れぞれローカル光(LO)、第二高調波発生のための基本波として分けた。

第二高調波発生のために結晶長0.9mm^{、分極反転周期}19.0µm^のPPLN^{のバルク結晶を} 使用した。今回、使用したPPLNはフォトリフラクティブ効果を抑圧するために5mol%^の MgOが添加されている。平均パワー300 mW^{の基本波を}PPLNに入射した際、中心波長

778 nm^{、スペクトル幅} 6 nm^{、平均パワー} 70 mWの第二高調波が発生し、この光をOPA

のポンプ光(Pump)^とした。OPAのための非線形結晶は結晶長0.9 mm^、10mm^のPPLN を使用した。

図のガラスフィルタ(GF)^{とダイクロックミラー}(DM)は基本波をカットし、第二高調波 のみを取り出すために用いている。ホモダイン検出をするときのみミラー(M) ^{を加えて測} 定を行う。

ノイズ測定を行う場合、OPAにより発生した真空スクィーズド状態とローカル光(LO) をPBS3^{で合波し、ミラー}(M) ^{で反射させ、}PBS4^で50:50に分けてホモダイン測定を行 う。ここでHWP4^はPBS4での分岐比を調節するのに用いた。

光子対統計の推定を行う場合はローカル光をブロックし、ミラー(M)^{を外し、真空ス}

Ti:S

OPO

SHG OPA

HWP1 HWP2

HWP3

HWP4 PZT PBS1

PBS4

PBS3

PBS2 DM1

DM2

DL

GF

PD1

PD2

Pump

LO

IF

SMF 50/50 fiber coupler

SPD1

SPD2

counter Homodyne

Detector

M

rf-spectrum analyzer

図3.1 実験系

クィーズド状態をシングルモードファイバ(SMF)に結合し、ファイバカップラーで50:50 に分けてそれぞれを単一光子検出器(SPD)で測定する。このとき半値幅30 nm^{、中心周波}

数1550 nm^{の干渉フィルタ}(IF)を用いてポンプ光をカットしている。

3.3 ^実験結果

3.3.1 ^{光子統計推定}

OPAによって生成した真空スクィーズド状態をシングルモードファイバ(SMF)^に結合 し、ファイバカップラーで 50:50に分けてそれぞれを単一光子検出器(SPD)^{で測定する。}

このとき半値幅30 nm^{、中心周波数}1550 nm^{の干渉フィルタ}(IF)を用いてポンプ光をカッ トしている。実験結果を図に示す。図の理論曲線は式 (3.1)^〜(3.5)^{を使用しており、結晶} 長0.9 mm^のPPLN^{を使用したとき}T = 0.13, η1 =η2 = 0.20^{である。結晶長}10 mm^の PPLN^{に焦点距離}50 mmのレンズでポンプ光を集光した場合、T = 0.14, η₁ =η₂ = 0.20 である。実験結果は結晶長が0.9 mm の場合、熱平衡分布となり、光子対の多くは DOPA よりNOPAによって生成されていると考えられる。結晶長が10 mm^{の場合ポアソン分布} に一致しており、生成される状態は群速度不整合の影響で時間的に多モード化されていると 考えられる。

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

× 10⁻³

Coincidence-count probability PC

Single-count probability PS1+PS2−PC

Single-mode squeezed vacuum Thermal distribution

Poissonian distribution

図3.2 結晶長0.9 mm、焦点距離8.2 mmの場合の実験結果

3.3 ^実験結果 25

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

0 0.005 0.010 0.015 0.020

× 10⁻⁴

Coincidence-count probability PC

Single-count probability PS1+PS2−PC

Single-mode squeezed vacuum Thermal distribution

Poissonian distribution

図3.3 ^結晶長0.9 mm^{、焦点距離}50 mm^{の場合の実験結果}

0 0.5

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Coincidence-count probability PC

Single-count probability PS1+PS2−PC

× 10⁻³

Single-mode squeezed vacuum Thermal distribution

Poissonian distribution

図3.4 ^結晶長10 mm^{、焦点距離}50 mm^{の場合の実験結果}

3.3.2 ホモダイン検出器によるノイズ測定

OPAによって生成された真空スクィーズド状態とローカル光(LO)^をPBS3^{で合波し、}

HWP4^とPBS4^で光を50^：50に分け、ホモダイン検出を行い、出力をスペクトラムアナ

ライザーで観測した。フォトダイオード(PD)^はInGaAs pin PD(Hamamatsu, ^量子効率

85% )を使用した。ここでダミーレンズ(DL)はローカル光とスクィーズド光の空間モード

を合わせるために用いている。ピエゾ素子(PZT)で振動させたミラーでローカル光の位相 を変えることによりスクィージングの測定を行った。結晶長10 mm^{、焦点距離}50 mm ^の 場合は最大1.6 dBのスクィージングしか観測できなかったが、結晶長0.9 mm^{、焦点距離} 8.2 mm^{の場合は最大}3.1dBのスクィージングを観測できた（図3.5^{）。焦点距離}50 mm^の 場合は結晶の長さに関係なく1.6 dB程度のスクィージングしか観測できなかったのはロー カル光が切り出すスクィーズド光は全く同じだからである。光子計数ではほとんど違いの見 られなかった低ポンプ光強度の領域においても明らかなゲインの違いを確認できた。時間的 に多モード化している状況では1モード当りのゲインが低く、ホモダイン検出の際には平均 化されてしまい、検出されるゲインも低くなってしまう。また、生成されるスクィーズド光 のパルス幅がローカル光よりも長くなり、検出されないモードが存在するためでもある。

-4 -2 0 2 4 6 8 10

0 10 20 30 40 50 60 70

Pump power (mW)

Squeezing level (dB)

Small focus Short crystal Long crystal

図3.5 スクィージングのポンプ光強度依存性

3.4 ^まとめ 27

-4 -2 0 2 4 6 8

0 100 200 300 400

Noise compared to vacuum (dB)

Number of phase steps

vacuum noise squeezed

light

図3.6 3 dB^{スクィージング}

3.4 ^まとめ

相互作用長が長い場合は、光子対の発生率は高くなるが、群速度分散の影響で時間的に多 モード化され、高いスクィージングレベルを実現できないことがわかった。相互作用長を短 くすることで、時間的な多モード化を防ぐことはできるが、光子対統計が熱平衡分布になっ てしまう。これは、縮退パラメトリック増幅で発生する光子対よりも非縮退パラメトリック 増幅で発生する光子対が多いことに起因していると考えられる。期待値である真空スクィー ズド状態の分布を得るためには、検出器の前に波長フィルタを置き、非縮退パラメトリック 増幅過程で生成される光子対を取り除く必要がある。

29

第 4 ^章

Schr¨ odinger の猫状態の生成時におけ る光子検出器の影響

本章ではSchr¨odingerの猫状態の生成時における光子検出器の影響について述べる。

4.1 ^背景

偶数(+)^、奇数(−)^の光のSchr¨odingerの猫状態は次式で定義される。

|ψ_cat^± ⟩ ≡ 1

√2(1±e^−2|α|2)(|α⟩ ± | −α⟩) (4.1)

|α⟩ はコヒーレント状態で、例えばレーザー光を減衰させることで準備することができる。

複素振幅 α ^は aˆ|α⟩ = α|α⟩を満たす。このような状態は量子力学の原理証明 [20, 21, 22]

や量子情報処理（量子計算[23, 24] ,量子テレポーテーション [25] , ^{量子中継器}[26, 27]^、量

子計量 [28, 29]）で用いられることが知られている。

Yurke^と Stoler^{によって光}Kerr効果を使った最初の理論的生成方法の提案が1986^年に なされている [3]。しかし、彼らの方法を実現するためには、非線形効果が強く、ロスの無 いデバイスが必要であり、現状、実験的に成功された報告は私の知る限りない。代替案と して登場したのがDakna 達によって提案された方法で、真空スクィーズド状態から光子を 引き抜くというものである [4]^{。すでに１光子} [5, 6, 7]^、２光子 [8, 9]^、3^光子 [10]^を引き 抜く実験が報告されている。しかし、１光子引抜でよく猫状態と近似できる領域は |α|≲1 に限られてしまうが、量子情報処理ではより大きな振幅が求められる。例えばフォールト トレラント量子計算には |α| > 1.2 [24]^{、量子計量には} |α| > 1.52 [10] ^{が要求される。}

そこで解決策の1 ^{つとして、}Nielsen^とMølmer によって別の光子引抜スキームが提案さ

れている [11]。本論文中では彼らのスキームを NM^{スキームと記載する。}NM^{スキームは} Oˆ_2k ≡∏k

i=1(ˆa²−β_i²) ^とOˆ_2k+1 ≡∏k

i=1(ˆa²−β_i²)ˆaをそれぞれ真空スクィーズド状態に操 作するというものである。操作後の状態はそれぞれ偶数個、奇数個の光子の重ね合わせ状態 になるため、係数βi や入力スクィーズレベルを適切に選ぶことにより、猫状態が生成可能 である。図 4.2^{に示す実験系は}Nielsen ^とMølmer^{によって提案された}Oˆ₃ ^{の実験系であ} る。ここでβ_iは補助コヒーレント状態の複素振幅に比例する定数である。

３台の光子数識別器（photon-number resolving detector: PNRD^{）が同時に１個の光子} を検出したときに、猫状態が生成される。このオペレーションに近い方法として、Takahashi らによって時間モードで分離して２光子引抜を行う実験で|α|= 1.4^{の猫状態の生成に成功} している[8]。また、条件付きで任意の猫状態を生成する方法[30]^{も提案されている。}

Nielsen^とMølmerは論文中で検出器を理想的に取り扱っている[11]^{。しかし、現実の検} 出器は、1でない量子効率を持ち、ダークカウントも存在する。また、PNRD^{は市販されて} おらず、まだ研究段階で一部の研究者のみ使用可能なものとなっている。そのため、実際の 光子引抜実験では、PNRDの代用として、単一光子検出器(single-photon detector: SPD) が使用されている。SPD^はPNRDと異なり、光子数識別能力はなく、光子の有無のみを検 出できる検出器である。理論計算の面では、1光子引抜については、実験的不完全性を考慮 した計算結果が報告されている[31, 32]^。論文[11]^{中で、彼らは}PNRD^{の使用を前提とし} ていたが、本論文では、NMスキームを実現するために必要な検出器の特性を評価するため に、不完全なPNRD^とSPDを想定して計算している。

4.2 ^{スキーム比較}

図4.1にスキーム同士の比較を図示する。図4.1は猫状態と生成状態のフィデリティ

F = |⟨ψ⁻_cat|Oˆ3|S(ζ)⟩|²

⟨S(ζ)|Oˆ₃^†Oˆ₃|S(ζ)⟩ (4.2) をDakna^スキーム(β = 0)^とβ ^{を最適化した}NMスキームについて図示した図である。こ こではスキームの性能を比較するため、測定環境の不完全性は考慮せず、理想的な操作が行 われた場合の状態で比較する。F = 0.99^のときのα^{値はそれぞれ}0.81, 2.1^であり、NM^ス キームの方が振幅の大きい猫状態が生成可能であることがわかる。ただし、ζ^、β ^はぞれぞ れ次式で決まる[11]^。

4.3 ^実験系 31

ζ =

√

(5 +√

10)²+ 4α⁴−(5 +√ 10)

2α² (4.3)

β² = 3 7 + 2√

10α² (4.4)

Dakna scheme NM scheme

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 1 2 3 4 5

C a t- st a te f id e lit y

図4.1 生成状態に対する猫状態のフィデリティ

4.3 ^実験系

論文[11]の中で提案されたように、演算子 Oˆ₃ は、高い透過率を持ったビームスプリッ ターと2つの補助コヒーレント状態と３つの完全なPNRD^{で実現できる}(^図4.2)^。全体の 系は次式で表わせる。

|Φtotal⟩= ˆBFD(θ5) ˆBAD(θ3) ˆBEC(θ4) ˆBAC(θ2) ˆBAB(θ1)|S(ζ)⟩|0⟩|0⟩|0⟩|γ+⟩|γ−⟩ (4.5) 入力するスクィーズド状態はFock^{空間で次式となる。}

|S(ζ)⟩= (1−ζ²)¹⁴

∞

∑

n=0

√(2n)!

2ⁿn! ζⁿ|2n⟩ (4.6)