仕事
なめらかな平面上で静止した物体に、水平方向に一定の力 F[N]を加えて移動させる。力の方向に移動した距離
（変位）をs[m]とするとき、
W = Fs …(1)
を力が物体に対してする（ ）という（単位ジュール[J]）。
例題） 物体に力2.0 Nを加えて1.0 m 移動させたとき、物体に対してした仕事は( )Jである。
一般に、物体を曲線CにそってAからBまで移動させたとき、仕事は W = ∫ FAB⃗ ∙ d𝑙
として得られる。ただし、d𝑙 はCに沿う線積分要素である。
運動エネルギー
力Fが一定の場合、物体の運動は等加速度直線運動となる。x軸上の運動とすると運動方程式は、
F = md2x
dt2 これを用いると、
W = ∫ F dx = ∫ mddt22xdxdtdt =1
2m (dx
dt)2=1
2mv2
仕事をされた物体は他の物体に対して仕事をする能力を持つ。そこでこのされた仕事を物体の速さvで表した量
1
2mv2のことを、物体のもつ( )という。
T =12mv2
運動エネルギーの単位は、[kg・(m/s)2]=[N・m]=[J]
なお、物体が初速度v0を持つ場合は、T0=12mv02 とすると、
W = T − T0
と表すことができる。物体がされた仕事が運動エネルギーの変化となることを表す。
問１）質量2.0 kgの物体が速さ3.0 m/sで運動しているときの物体のもつ運動エネルギーは（ ）Jで ある。
問２）質量6.0 kgの物体が速さ5.0 m/sで運動しているときの物体のもつ運動エネルギーは（ ）Jで ある。
問３）物体の質量が変わらずに速さが2倍になると、運動エネルギーは（ ）倍になる。
問４）10J の運動エネルギーをもっていた物体が、12J の仕事をされた。このとき物体の運動エネルギーは
（ ）Jとなる。
問５）速さ1.0m/sで運動している質量4.0kgの物体が6.0Jの仕事をされた。このとき物体の速さは（ ） m/sになる。
重力による位置エネルギー
地面から高さh[m]の場所にある質量 m[kg]の物体が重力によって落下する。重力加速度の大きさを𝑔[m/s2]と
すると、物体が地面に到着するまでに重力によってされる仕事WはW = ( )[J] である。その分、物 体の運動エネルギーが増加し、他の物体に仕事をすることができる。
このことから、地面から高さhの場所にある物体は潜在的にU [J] = Wのエネルギーをもっていると考えるこ とができる。U を重力による（ ）（ポテンシャルエネルギー）という。このとき地面 のことを基準面という（必ずしも地面を基準面にとる必要はない）。
基準面において、Uは常にゼロである。また、物体が基準面より低い位置にあるとき、Uは負の値をとる。
質量 m の物体が、基準面である地面 B より h１高い位置 A にあるとき、重力による位置エネルギーU=
（ ）である。また、地面よりh2低い位置CにあるときはU=( )である。一方、C の位置を基準面にした場合は、物体がAの位置にあるとき、U＝（ ）である。ただし、重力加 速度の大きさを𝑔とする。
例題） 地面を基準面とするとき、質量 2.0 kg の物体が地面より0.50m高い場所にあるとき、重力による位置 エネルギーは( ) J であり、地面より 0.50m 低い位置にあるときの重力による位置エネルギーは
（ ）Jである。ただし、重力加速度の大きさを9.8m/s2とする。
力と位置エネルギー
物体がある力Fのはたらく空間（場）の中にあるとする。力Fによって物体がA点からB点に移動したとき、
力のする仕事がAB間の変位のみに依存し、その経路によらないときFを保存力という。このとき、それぞれの 力による位置エネルギーを考えることができる。位置エネルギーの代表的な例として、
◎ 重力による位置エネルギー U = m𝑔h
◎ ばねの弾性力による位置エネルギー（弾性エネルギー） U=1
2𝑘𝑥2
◎ 静電気力による位置エネルギー（静電エネルギー） U = 1
4𝜋𝜀0 𝑞1𝑞2
𝑟
◎ 万有引力による位置エネルギー U = −G𝑀𝑚𝑟
などがある。位置エネルギーUが与えられたとき、力は𝐹 = −∇⃗⃗ 𝑈 として得られる（Uのグラディエント）。 このように、保存力に対して、物体のもつ位置エネルギーが1対1に対応する。
保存力でない力（非保存力）としては、動摩擦力、垂直抗力、空気の抵抗力などが挙げられる。
問）以下の場合の、ばねに蓄えられている弾性エネルギーを求めなさい。
(1) ばね定数k=50 N/m のばねを、0.20 m 引き伸ばした場合。
(2) ばね定数k=60 N/m のばねを、0.30 m 押し縮めた場合。
力学的エネルギー保存の法則
保存力のする仕事と位置エネルギーとの関係
物体に対して保存力が仕事 W をすると、その保存力による位置エネルギーはそのぶん減少する。位置エネルギ ーの変化を⊿Uとすると、
W ＝ －⊿U
A点における位置エネルギーをUA、B点における位置エネルギーをUBとすると、物体がAからBまで移動す る間に保存力がする仕事WABは
WAB ＝ －（UB－UA）＝UA－UB
と表される。
例）質量5.0kgの物体が高さ5.0mの場所から2.0mの場所まで落下した。このとき重力のした仕事は（ ）
Jであり、位置エネルギーの変化は（ ）Jである。ただし、重力加速度の大きさを9.8m/s2とする。
力学的エネルギー保存の法則
時刻t=tAにおいてA点にあった物体が、保存力による仕事WABをされて時刻t=tBにおいてB点に移動したと する。t=tAおよびtBにおける運動エネルギーをそれぞれTA、TBとすると、運動エネルギーの変化は保存力が物 体にした仕事WABに等しいから
TB － TA ＝ WAB
一方、
WAB ＝UA－UB
これらより、
TA+ UA= TB+ UB
この式は、時刻t=tAにおける運動エネルギーと位置エネルギーの和がt=tBにおけるそれと等しいことを示して いる。運動エネルギーと位置エネルギーの和のことを（ ）といい、それが時刻に よらず一定の値に保たれることを（ ）の法則という。
非保存力が仕事をする場合は、一般に力学的エネルギーの法則は成り立たないが、以下の関係が成り立つ。
∆E = W非
ここで、∆E は、ある時刻から別の時刻までの物理系の力学的エネルギーの変化量であり、Ｗ非はその間に非保存 力がする仕事の総量である。
問題1）質量mの物体が高さhの崖から水平方向に速さv0で打ち出された。力学的エネルギーが保存すると仮 定して、地面に達する直前の速さvを求めよ。ただし、重力加速度の大きさを𝑔とする。
解）地面を基準面とすると、打ち出された瞬間の力学的エネルギーは、1
2mv02+ m𝑔h であり、地面に達する直前 の力学的エネルギーは、1
2mv2+0。力学的エネルギー保存の法則より、1
2mv02+ m𝑔h =12mv2+0。これを解くと、
v=( )。
問題2）滑らかな水平面を速さ5.0m/sで進んでいた質量0.80 kgの物体が、摩擦のある面に入り、しばらく進ん で静止した。この間に摩擦力が物体に対してした仕事W摩を求めなさい。ただし、摩擦力以外の力は物体に対し て仕事をしなかったとする。
解）位置エネルギーの変化は0より、物体の力学的エネルギーの変化∆Eは運動エネルギーの変化に等しい。∆E = 0 −12× 0.80 × 5.02= −10J。一方、∆E = W摩より、W摩= −10J。
力学的エネルギー保存の法則の応用 なめらかな曲面上の運動
基準面からの高さがhの位置Aにあった質量mの物体がなめらかな斜面にそって落下し、基準面にあるB点に 達し、速さvとなった。この間に物体には重力のほかに、斜面から垂直抗力がはたらくが、垂直抗力は常に運動 の方向に対し垂直なので、垂直抗力のする仕事は（ ）である。よって、力学的エネルギーは保存される。
力学的エネルギー保存の法則より
（ ） よってv = ( )
ばね振り子
なめらかな水平面上に片端を固定されたばね定数 k[N/m]のばねの他端に質量 m[kg]のおもりをつけ、自然長か らｘ[m]だけ引き伸ばす（または押し縮める）。このとき、ばねに蓄えられるエネルギー（弾性エネルギー）は
m k
v
0
x
（ ）である。手をはなすと、物体はばねの弾性力をうけて、振動を始める（単振動）。このとき、物 体にはたらく垂直抗力は物体に対して仕事をしないので、力学的エネルギーは保存する。物体の速さが最大にな るのは、ばねが自然長になるときで、そのときの速さをv[m/s]とすると、力学的エネルギー保存の式は、
（ ）となるので、
v = ( )である。
また、ばねの自然長からの伸びがx
2 [m]のとき力学的エネルギー保存の式は
（ ）となるので、
v = ( )である。
万有引力による位置エネルギー
以下の問に答えよ。ただし、万有引力定数をG、地球の質量をM、地球の半径をRとする。
１．地球の中心から距離rの位置にある質量mの物体の万有引力による位置エネルギーUは、
U ＝（ ）・・・①
と表される。ただし、無限遠点を位置エネルギーの基準点とする。
２．地球を中心とした半径rの円周上を速さvで等速円運動する質量mの物体の運動エネルギーKは K ＝（ ）・・・②
この物体にはたらく万有引力と遠心力のつり合いの式は （ ）・・・③
①、②、③より、UはKを用いて U ＝ （ ）
と表される。よって、物体の力学的エネルギーEは、Kを用いて E =（ ）
と表される。
３．地表から質量mの物体を速さv0で真上に打ち上げる。この物体が地球から無限に遠ざかったとき（r=∞）
速さv=0となる場合、力学的エネルギー保存の法則より、
（ ）＝0 これより、v0はG,M,Rを用いて
v0 = ( )
と表される。一方、重力加速度の大きさgはG、M、Rを用いて
g = ( )
と表されることから、v0は、g, Rを用いて v0 = ( )
と表される（第２宇宙速度）。これは第１宇宙速度の（ ）倍であり、g = 9.8 m/s2, R = 6.4 × 106 mを用いて計算すると、
v0 = ( ) m/s である（有効数字２桁）。
