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18-NGYsri-i-1-kakunin-r : 2018/09/14 (09:36)

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(1)

18-NGYsri-i-1-kakunin-r : 2018/09/14 (09:36)

1

| †

118.

図のような直方体

ABCD¡EFGH

を考え る.以下の問いに答えよ.

Ñ

線分

CE

と三角形

AFH

との交点を

J

とす る.

J

が三角形

AFH

の重心となることを示せ.

Ò

線分

CE

と三角形

BDG

との交点を

K

とす る.三角形

AEJ

,三角形

AJK

,三角形

ACK

の 面積がすべて等しくなることを示せ.

(18 名古屋市立大・経,医)

! š

c

話の流れ的には,直線

EC

と平面

AFH

の交 点を求めるというのが自然である.

¡!

EF;¡!

EH;¡!

EA

を基底 として

¡!

EJ

を表す.

a ! ¡!

EC =¡! EF +¡!

EH +¡!

EA

である.

J

は直線

EC

上にあるから,

¡! EJ =s¡!

EC =s(¡! EF +¡!

EH +¡!

EA) ...1

と書ける.また,

J

は平面

AFH

上にあるから,

x+y+z= 1

として

¡! EJ =x¡!

EF +y¡!

EH +z¡!

EA ...2

と書ける.

¡! EF;¡!

EH;¡!

EA

1

次独立であるから

1,2

の係数を比べ

x=y=z=s

である.x

+y+z= 1

に代入して

s= 1

3

を得る.

¡! EJ = 1

3(¡! EF +¡!

EH +¡!

EA)

であり,

J

は三角形

AFH

の重心である.また,

J

EC

1 : 2

に内分する.

"

同様に,対称性より(あるいは,

¡!

CD,¡! CB,¡!

CG

で 考えれば

¡!

CK = 1 3(¡!

CD +¡! CB +¡!

CG)

となり)

EC

と平面

BDG

の交点

K

は三角形

BDG

の重心であり,

K

CE

1 : 2

に内分する.ゆえに

J,K

EC

3

等分する.

EJ = JK = KC =a

とし,

A

から

CE

に下ろした垂線 の長さを

h

とすると

ÇAEJ =ÇAJK =ÇACK = 1 2ah

であり,

ÇAEJ

ÇAJK

ÇACK

の面積はすべて等しい.

(2)

18-KIO-kankyo-3-kakunin-r : 2018/09/14 (09:34)

1

| †

177.

実数

x

に対して,

[x]

x

以下の最大の整 数とする.数列

fang

fbng

a1= 1; an+1=an+!B n+ 1– b1= 1; bn+1=bn+ (¡1)n!B

n+ 1–

(n

= 1;2;3;Ý

)で定義すると

Ñ a10=

,b

10=

である.

Ò an ¸100

となるのは

n ¸

のときで ある.

Ó bn= 5

となる最初の項は

n=

のとき である.

Ô

一般に,m

=!B

n–

とすると

an= mn+ m + m2+ m

となる.

(18 慶應大・環境情報)

! š

a !

与式は見づらいから

an=Ý, bn

の形に書き換える.

a1= 1; an=an¡1+!B

n– (n¸2) b1= 1; bn=bn¡1+ (¡1)n¡1!B

n– (n¸2) a2=a1+ [B

2] = 1 + 1 a3=a2+ [B

3] = 1 + 1 + 1 a4=a3+ [B

4] = 1 + 1 + 1 + 2

このように,平方数を境に階差が変わる.階差

!B n–

が同じになる

an

で群を作る.ただし,第何群という言 い方はしないでおく.

a4»a8

は(

5

個ある)階差は

2 a9»a15

は(

7

個ある)階差は

3 Ý

ak2»a(k+1)2¡1

は(

2k+ 1

個ある)階差は

k Ý

a(m¡1)2»am2¡1

は(

2m¡1

個ある)階差は

m¡1 m2·n <(m+ 1)2

のとき階差は

m

である.

a10

は階差が

3

の群(その第

1

項は

a9,

2

項は

a10

である).

a10= 1¢3 + 2¢5 + 3¢2 =19

となる.

b2=b1¡[B

2] = 1¡1 b3=b2+ [B

3] = 1¡1 + 1

b4=b3¡[B

4] = 1¡1 + 1¡2

添え字が偶数のときに新たに加算される値は負,添え字 が奇数のときに新たに加算される値は正である.

b4»b8

は(

5

個ある)階差は

¡2;2;¡2;2;¡2

となり,

ここでの階差の総和は

¡2

a9»a15

は(

7

個ある)階差は

3;¡3;3;¡3;3;¡3;3

と なり,ここでの階差の総和は

3

b10= 1 + (¡1 + 1) + (¡2 + 2¡2 + 2¡2) +(3¡3) =¡1

" an= 1¢3 + 2¢5 + 3¢7 + 4¢9 +Ý

となっていく.

a24= 1 + 1¢2 + 2¢5 + 3¢7 + 4¢9 = 70

あと

30

増えるのは

6

項後で,

a30=a24+ 5¢6 = 100

である.a

n¸100

になるのは

n¸30

のときである.

# b1= 1; b2= 0; b3= 1

で,以後,

b4»b8

は階差が

¡2;2;¡2;2;¡2

bn

¡1;1;Ý;¡1 b9»b15

は階差が

3;¡3;Ý;3

bn

2;¡1;Ý;2 b16»b24

は階差が

¡4;4;Ý;¡4

bn

¡2;2;Ý;¡2 b25»b35

は階差が

5;¡5;Ý;5

bn

3;¡2;Ý;3 b36»b48

は階差が

¡6;6;Ý;¡6

bn

¡3;3;Ý;¡3 b49»b63

は階差が

7;¡7;Ý;7

bn

4;¡3;Ý;4 b64»b80

は階差が

¡8;8;Ý;¡8

bn

¡4;4;Ý;¡4

とくり返す.そして

b81=¡4 + 9 = 5

bn= 5

となる最初の項は

n=81

のときである.

$ n¸4

のとき.m

¸2

であり,

an=m P¡1

k=1k(2k+ 1) + (n¡m2+ 1)m

=m P¡1

k=1(2k2+k) + (n¡m2+ 1)m

= 2¢ 1

6m(m¡1)(2m¡1) + 1

2m(m¡1) +mn¡m3+m

= 1

6m(m¡1)f2(2m¡1) + 3g+mn¡m3+m

= 1

6m(m¡1)(4m+ 1) +mn¡m3+m

= 1

6(4m3¡3m2¡m) +mn¡m3+m

= 6mn¡2m3¡3m2+ 5m 6

n= 1;2;3

のとき

,m= 1

でこの式は成り立つ.

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