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02 ≦  r (0) r 

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(1)

[ 東京工業大学 1977 年 ７ ]

cos sin

sin cos

r r

r r

 

 

  

 

  ( r  0)

の形の相異なる

3

個の行列からなる集合

S

が，

条件：

S

に属する任意の行列の積はふたたび

S

に属する。

を満たすとき，次の問に答えよ。

(1) cos sin

sin cos

r r

r r S

 

 

  

  

 

のとき，

r

を求めよ。

(2) S

を定めよ。

(1) cos sin

( ) sin cos

A  

  

  

  

 

とおく。

S

に属する行列は

rA ( ) 

と表され，条件より

r A

2

(2 ),  r A

3

(3 ),  

はすべて

S

に属する。

ここで，

r  1

とすると

r A n

n

(  ) ( n  1, 2, 3,  )

はすべて異なる行列で，

S

の元が

3

個であることに反する。よって

r  1

(2) S

の要素を

A  

（

0 ≦ 2

）とすると，

 

A

2

，

A

3

 

も

S

の要素であることが必要であり，

条件よりこの

3

つは異なるので

 

2

 

A   A

，

A

2

  A

3

 

，

A

3

  A  

…①

である。このもとで，

A

4

  A   , A

4

  A

2

  , A

4

  A

3

 

のいずれかが成り立つ。

E

を単位行列として

   

A

4

  A

のとき，

A

1

 

をかけて

A

3

  E

より

A   3 E

となり，

cos 3   1

より

3   2 k  ( k  0, 1, 2)

から

2 4

0, ,

3 3

   

   

4 2

A   A

のとき，

A

1

 

をかけると

A

3

  A  

より③に矛盾する。

   

4 3

A   A

のとき，

A

1

 

をかけると

A

3

  A

2

 

より②に矛盾する。

(2)

したがって

  0 , 2 , 4

3 3

S   A A A

   

 

となる。

逆にこのとき，

S

は条件を満たしている。

したがって求める

S

は

1 3 1 3

1 0 2 2 2 2

, ,

0 1 3 1 3 1

2 2 2 2

S A

     

  

     

 

     

                               

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