バ イ オ メ ディカ ル
・
フ ァ ジ ィ・
システ ム学 会 誌 Vol．
14，
No．
1，
pp．
71−
76 （2012）Copyright
◎2012 Biomedical Fuzzy Systems Associat｛on［
Original
article ］ （2011
年11
月30
日Accepted
）量
子
神 経
理
論
の
基礎
：古 典
と
量
子 力
学 的情
報
古 典 的 情 報理論か ら量 子情 報力学へ松
浦
弘幸
1，根
本
哲
也 1 ，久 保
田怜
1D
国立長 寿医療 研 究セ ン タ
ー，
長 寿 医 療工学 研 究 部 要 約 ： 我々 は，
従 来か ら有 名な情 報理論の ベ イズ定理 を 量子 力 学 的方法を用い て書き換え た．
そ れ に は，
古 典 的 な確 率 定理 を全て確 率 演 算了一
，
確 率 振 幅，
そ して，
演 算子 に読み替 え る 必要が あっ た，
占典 的 （従 来のベ イズ 定 理）と 量 了 力学
形 式の 最大 の相 違は，
干渉項の有
無で ある．
量子力 学 的 な 表 現で は，
初 期 状 態ベ ク トル がた とえ純 状 態で あっ て も，
終 状 態で は混 合 すること を要 求 する．
これは，
純 状 態の重ね合わせ の原理に相 当する．
ニ ュー
ラ ル ネ ッ トで は， この 量 子 混合
状 態は， エ フ ァ プス の よ うな 軸索
間のP
渉， ま た， 神 経 終 板， シ ナ プス 等が想 定 されて い る．
神 経の結 合 様式では，
図式的に は収 束型で あ る が，
数 学 的 方 法 と し て は 発散タ イ プの推 計を 行 う事になる，
結 合 部では多くの情
報 が混 合 する が，
こ の 中でも幾
らか は 以前の情報 を保 持し て い る．
こ の 情 報の拾い 出 し が量子力 学の期 待 値を取る こ とに 相 当 する．
キー
ワー
ド ： ベ イ ズ定理 ， ポ ラ リ トン，
シュ レディ ンガー
方稗 式，
シナプス，
エ ファプス，
量 子ベ イ ズ形式，
状態ベ ク トル，
量子 干 渉，
純 状態，
混合
状態Quantum
Nero
−
theory
，Circuit
， and
Quantum
Dynamical
lnformation
−
1
（
Way
from
Classical
lnformation
to
Quantum
Dynamical
lnformation
，No
1．
）
Hiroyuki
MATSUURAI
，
Tetsuya
NEMOTOi
，
Ryou
KUBOTA1
／丿Department
q
〆』
Gerontech
刀0’09γ，
National
Cen
ずθ”ノ∂rGeria
〃AiCS
and G8 厂0〃tolO9 ／レ．
4bsかαc ” 馳 rewrote theプ
d
’
mous
B
のノes ’theOtツinto
quantum
Bayes
’Form
，
」
ln
order topractice
thαt
pr
・ce∬，
a〃ρプ
C〜α ∫∫ノCα1
P
厂・ろαろilities
were necessarythat
they “・ere reinterρreted
int
・ （）1
フー
erators
，
state vectors，prob
αbil
め
）amplitu ゴと， and expectati （冫η values
．
η〜θ
dijflarence
between
C1α ∬ 〜Cα〜version and （
luantum プ
b
’
rm M」as whether
intenyfbrence
’
sterm
exists or not．
（
〜
uantt 〃ηB
のノes’
form
had
the
additiOna 〃e厂mRe
d
η t）
．
At
／
unctions，α
1
〜（〜プ
pure
states were mixed．
SOme
attenuated states rvere
generated
in．
gteadqプ
allpure
states at／unction，
加 neurons
，
examples 〔〜1
’
those
areαs meant ne 〃・
・一
．
synaptic卿
ctions，
帥
¢ ρ5θq
プ
礁 ・ns， and endl フ1
α’eqf
muscles ， and ・S（冫on
．
Final
stat（ノV（IC’orI
B
＞had
the
variOUS ∫理ノわr〃lation （〜〆
1e
ηVかonment α
l
state α’the
conditionsq
ズ’he
mixed and reducedpurities
．
8
‘冫，
ゲ
we wouldlike
to obtainthe
pure
state andthe
otherguantities
，
we needed take a series （〜ズmathematical （）
perations
as makin9 expect αtion values 聖 卿 0アds
：B
の・θ∫
’
伽 αツ，
ノ’0伽 醜，
Schroedinger
解 α’蝋 neuro−
synapt た、
脚 cti・n，
eρha
ρse，
guantum
βの」es
’
プbrm，
state vectors，
intelfllrences，
pure
stateHiroyuki MATSUURA
36
−
3，
Gcngo，
Morioka・
ch〔，，
Obu，
Aichi，
474−
8511，
Japan量 了神 経 理 論の基 礎
，
古 典と量 子 力 学 的 情 報1
．
はじめ に 神 経細 胞に微小 電 極 を差し込ん で膜電 位 を観 察に関 する優れ た研 究がな され，
その結果， 神 経軸 索の伝 導 に関する優れた知見 が得 られ て きた川．
先の 連の論 文 で，
我々 は神 経細 胞のイン パ ル ス の発 生 後の伝
達は， 量子論の ポ ラリトン モデル を用いて言齢r
る新たなモ デル を提 案した ［9］．
さら に ， 神経回路網 に 関 しての 軸 柵やシナ プス問の電磁 力学的 な 量子 干渉 効果 は， フ ァ インマ ン の経路積
分法を用い て 記述が適してい る事を 示 した［2］一
「5］，
実際 に， Arvanitakiは，一
方のネ）11
経線
維 に発生した 興奮が容易 に他の神経線
維に伝導
す ること を報 告した．
彼は，
こ の現 象をエ フ ァプス（Ephapse
）と命
名 し，
人コニ的 電 気シナ プス が作成可能であ ることを 示 した．
般に は，
こ のような干 渉効 果は小さいが，
神経線
維が損傷
を 受 けると軸索 間F
渉が 生じ ると言わ れてお り，
灼熱 痛（causalgina）や神 経痛 （neuralgia ）の病理 的 な原 因等の否 定的な側面 と考え られて いる．
しか し
，
我々の立場は，
こ のエ フ ァブス（Ephapse
）を 積極 的に評 価し て，
むしろ，
脳 組 織で は 小さいながら 常に 発 生し，
ヒトの脳に思いっ き，
飛躍，
錯誤，
幻覚 などの非日常的 状態 を発 生させ て，
「ヒトに 誤 りを犯 す計算
機と しての脳」 という役 目を字え，
これ らの諸 規 象を通し て ヒ トを新たな思考・
進 歩へ の道 を開 く糸 口を もた らすもの とい う肯定的な側面に基づい てい る．
今日までの一
連の論 文で は，
伝 導 や干渉 を担 う量子的 な 実 体 とし て軸
索の膜 電位の脱 分極・
分 極過 程を 量 了 モ デル化した ポ ラ リ トン（polariton
）を考えてきた［9
］．
つ ま り，
電 荷 を持っ た ポラ リ トンが軸索に沿って移 動す ることで，
興奮の伝 導が 生じる事，
そして，
竃気回路 の 対応から現象は主に経路 積分 法 を用いて表境 した．
今 回の論文では，
経路積 分法を用い て占典 的 な情報 理論で有 名なベ イズ定理を取り上げて，
量子力学 的 な 記 述 を行い，
従 来の占典的な定理 と量 子力学 的 な表現 の相 違を明確に し，
占典的なベイズ定理 は量了一
力 学 的 な表 現の特殊な場 合にすぎ ない事を示す．
の絶 対値の2
乗 P（b
，
a）＝
IK
（b
，
a）2に 比例 する．
こ の暁 確 率振 幅は， 各々 の経
路の寄与 φ［x（t）］の総 和は， κψ
・
の
一Σ
。
耐 凾φ
［
・ω
1
・
各 自の経路の重 み は，
作用S
に 比 例する位 相φ
囲
］−
c・nst．
・鴎
・圃
〕
（1） （2
） を持ち，
量 子 力学
的効果は，
古典 的な作用S
に 量 子的 なゆら ぎF
が 川 え られ た和と して表 記され る．
経 路積 分 法では，
粒 子が始点A
か ら終点B
に 至 る と する，
時間的に連 続して起こる事 象に刻する確 率振幅 の刮葺：は，
時間 的に連続 する事 象の確 率振幅の掛 け算 であるとい う規則 を知っ てい る．
この時，
つ の完全 な経 路に関する確 率棚 隔は，
v．
1φ［
x（
t）
1
−lim
H
κ（
∫・1
，
i
）・
ε →〔1 厂＝
0 （3
） となる．
例 えば 自由粒子が，座標〔Xo，
T）＝
（x1＋ αT，
T
）で隔2b
の ス リッ トを 通 過 して，（Xl，
tl）か ら （x2，
t2）にE
る時， その 自由粒子の確 率振幅の表現 κ（sc 、，
Xl）＝
〈
κ1，小
，，t，〉
＝
［
2
勲膓
一
の
r
畔
詈
牆
］
を用い る と，
q
（
x）＝
広
♂・〈
．
X，，
小
1＋α小
＋ a，
・IX
。，
t
［、〉
（5
） と表 され るB
．
これ は，
点（XI＋ α，
T
）を経
由する全ての 自 由粒 チの運 動 を表現する，
電 気回路の量 子 力学的表 現 を 行 う，
ポラ リ トンが 点A
か ら点B
に流 れ る 事 に よ り状態ベ ク トルA
か ら状態 ベ ク トル B に 変イ園1
る確 率 振幅は，
lA
＞1B
＞ 一2
． 経 路
積分
法
と量
子 回路
表現
＝
＜ BIA ＞ （6
）経
路積 分法 は，P．
・Dirac
の着想を基に R．
Feynman が 体 系化した古典力 学 的な描像が想 像し易い量子化T
一
法 である．
具体 的には， 起 点（にxa）から終 ＃，
（tb，
xb ）に粒子 が移 動 歩る揚 合の確 率密度は，
カー
ネル （確 率 振輻 ） こ の途 中に散乱源の ポテン シ ャ ル （例 えば 回路のス イッチや 抵抗，
神 経軸 索の髄鞘 など）が存 在する揚 合，
ポ ラリトンはこのポテ ン シ ャノ凵章壁で散 乱 されるから，
バ イ オ メ ディカル
・
ファ ジ ィ。
システム学 会 誌Vol，
t4，
No ，
1，
pp，
71．
76 （2012） これ をハ ミル トニ ア ンのポ テン シ ャ ル演算
子とみな し て，
VL
＿
／
1
・・ 一＝
＜BIVIA
＞ （7
） と表現した．
量子力学 的 q−NOT ，
q−AND
， q《）R
の表記 は， 1 個または2
個の ポテ ン シ ャ ル Vl， V2を用い る．
点A
から点C
に 至 る量子力学 的 q−AND
回路は，
直列 なポテン シ ャ ル演 算 ∫・
に よ りip
，
1、w）［
・の
1
−
∫
dU
，〈
CIV
，1b
＞
〈
blv
，IA
＞
（8） 同 様 に 量 力学的q−OR
は並列な 2 個のポ テン シ ャ ル 演算
了一
に よ り，
φ
θ 尺「
x（
’）
1
＝
〈
Blv
，IA
＞
＋〈
BIP
〜
［
A
＞
（9
） さらに，
q−NOT
は1
個の ポテン シ ャル を 用いて，
娠
、、・
［
x（
’）
］＝
〈
B
「
1
−
V
，IA
＞
（10） と書 けば良い
．
次の節で は上記の規則を 十 台に し て（古 典 的 ）ベ イズ定理か ら量 子力 学 的ベ イズ定理へ の拡 張 を行 う．
3
．
量子
ベ イ ズ定
理のモデ
ル 情報理論で有名 なベ イズ定理では，
事象B
であ る結 果 を知っ た時に，
事 象がAk，
（k ＝
1，
2，・・，
n）であ る確 率が，
P
（
BIA
κ）
・
P （A
κ）
P
，：，（
4
・
1B
）
＝P
（
B
）
（11
） 量 了電 磁 気学
の 「期彳訓
直と してマ ックス ウェ ル 方程 式 の成立」が要 請される ように，
同様に，
「．
期待 値と し て古典的ベ イズ定 理 が 再 現 され る」事 を 要求す る．
す ると，P
（BIAK
），
P
（AK
）等は演算
子化されて，
状態ベ ク トルを作用 され る事で確 率振幅と しての我々が観
測可 能となる．
これよ り量子ベイズ定理 は，
〈
A
κP （・
・1
κIB
）B
＞
≡〈
BIP
（
BIA
κ）
・
P
（
AK
）
14
＞
Σ
〈
Blp
（
B
［
4
，）・
♪
（
A
、）図
，〉
（13
） と形式酌 な表 現が得 られる．
この状 態 を図示す ると，
状 態ベ ク トルIAK
＞が生起 確 率振 幅αK で生 じた後
，
伝 播して状 態ベ クトルIB
＞に遷 移する事である （図1
）．
4
＞
，
α1 オ 。〉
一〉
IAn
＞
ただし，
Pc
，（
B ）一
Σ
’P
（
B
A
κ）
（
12
） と して， 記述 され る．
記号 P（AK）は，
事 象AK
の牛迥 確 率であり，
ま た，
P（BIAK）は，
事tk
AK である時に事 象B
が 発 生 す る確率．
を意味する．
つ まり，
P（BIAK ）は，
事 象 AK が確率 P（AK）で発 生し た後に，
B に確率P
（BIAK
） で」伝搬 ずる状況を表 現する，
これより，P
（BIAK
）を古 典確 率の伝
播 関数と考えて よい．
我々 は，
こ れ を古 典 的ベ イ ズ定理 と名 付け る．
伝 播確 率 を伝播 関数の一
種 と見な す とい う立場を， 量 子的表現 へ と拡 張すればFig．1 伝
播 して状 態B
に 収束〉
全ての状態ベ ク トル が状 態ベ ク トルIB
＞に集ま る形 式であ り，
途中を演算
子 ηで伝
播す るモ デル である．
これは，
神経
ネッ ト網の結 合様 式の 「収 束」 であり，
伝 導の状態 が，
ηで決 め られ てい る （図2 ）．
Fig．
2
ニ ュ
ー
ロ ン収 束の模式 図 この図2
は，
図1
を神 経細胞の結合 模式図に読
み替
え たもの であ り，
丁如 3
）の 分ア・
分 母の簡略化した表現量子 神 経理論の基 礎
，
古 典と量 了力 学 的情 報 を得る た め に状態ベ ク ト1AK
＞を純 状態 に取る．
式 （13
）の分子にΣ
，
〉
〈
A
／1
−
1
を代入すれ ば，
分子 は，
〈
BIP
（
BiA
，・
）
・
R
（
A
，・
）
A
。〉
＝ （14
）Σ
］
〈
Blp
（
BA
．）
A
，〉
〈
A
、P
（
A
．）
A
，・
〉
（15
） 式（15
）の右辺の最初の項はら状 態目
A
，〉 か ら伝 播して 状態ベ ク トルIB
＞に至る遷移 確率，
また，
第2
項は，
状 態IAk
＞が発生 し て他の基 底ベ ク トル に遷移 する生 起確 率 振幅に相 当する．
計 算 を簡 略化するために次の条 件 を基 底ベ ク トル に 課す．
1．
基底は， n個
の完全 系 を 張 る．
IAK
＞， K・
1〜
nこ のために
，
任 意の状態ベ ク トル は，
これ らの某 底ベ ク トル に よ り展開可能であ る．
2 ．
基底ベ ク トル は， 直 交 陀を満足する，
〈
・
4
ノ・
4
κ〉
−51
κ （16
） 3．
確 率 振 幅の 演算
子 は， 固有方程式 を満足する．
P
（
船
劾
一 α 、δ、。紛
（17
） 4．
状態ベ ク トル の伝 播では，
情 報の減 衰的ポテンシ ャ ル は生 じる が，
誤 りや状態ベ ク トル の変 化は 発生 しない
．
伝 播の演算
子 をηとすれ ば，
か
。紛
一 η、δ、。1A
．〉
（18
） と約束する （誤 り無し の収 束条件 ）．
状 態ベ ク トルI
B
＞は，
多 くの情 報の伝播が集 ま り，
収 束するために 純状態で はありえ ない，
従っ て，
IB
＞ は， n個の正 規直交基底ベ ク トル で展開できる．
」
B
＞
＝Σ
c
，4
、〉
（
19
） これ らの条件 （16》（18）を 用いて式 （（15
）を書き換え る と，〈
BIP
（
BA
，）
P
（
A
。）
［
A
．〉
−c
。α。ηκ （2
・） とい う簡 単 な式になる．
分母 に関してもΣ笑
〈
Blp
（
B
A
．）
P
（
AK
）
IAK
＞
一
Σ
笑
〈
Blp
（
B
4
）
Ak
’
〉
αK 状 態ベ ク トルB
を 展開する と，
最 終的に は，
（21
）Σ
：
．
〈
BIP
（
B 隣 ）
P （
翅。）AK
＞
＝
Σ
切
偽
η ， （21
） とい う計算される．
これ らの分 了・
と分 母の結果よ り，
量子ベ イ ズ定理（13
）は，
確 率振 幅の演算に よ り書 き換 え られて，
〈
A
，・
lp
（
A
，・
IB
）
IB
＞
〈
BIP
（
BIA
．）・
P
（
躍。）
14 ＞
Σ
〈
BIP
（
BIA
、）・
P
（
A
、）
IA
、〉
＊C
κα κ77κΣ
（づ
α 、η、 ］ （22
） とな る．
この結果は，
古典的 なベ イズ定 理（11
）一
（12
）と 比較 すれ ば，
α η の展 開係 数C
だけ異なっ てい る事が 分 か る．
しか し，
最大の相違は，
量 子ベ イズ表 現 （22
） は，
確 率拡編である た め に複 素 数である が，
他方の古 典的 なベイズ表現（ll
）は，
実数であ り，
こ の数値が直 接 的に確 率 を 与え る点である．
こ の複 素数 と実 数の相 違は決 定的である．
複 素数で表 現 され た係 数 C が存在 すた めに，
量了ベ イズ形 式では位 相や 振 動数が異 なる ポラ リ トン の波がT
一
渉する，
他方，
占典 的なベ イズ形 式では干 渉は起こらない．
これが量子 的効 果である．
この量子効 果 を明確に表現 するために，
状 態 B を規 格 化と位 相 を計算する．
2〈
BIB
＞
一Σ
C
、 ＝1
（
23
） そこで， こ の条件を満た す よ うな 係 数C
をら
＝ゲ
の） ，弓
＝ r （24
） 取れば，
式 〔23
）よ り状態ベ ク トルIB
＞ の関数表現 が得 られ る．
従っ て，
多 数の状態ベ ク トル の重ね合わせ と して，
LB
＞
一Σ
叢
鴫
）
Ay
＞
（25
） であ る．
我々 が
，
直接 的 な波動 関数 表現は ， 式／25
）に左 方か ら状態ベ ク トル ＜xI を作用 させ て ，嗣
一Σ
：
Sexp
（
io
．
，）
〈
・14t
＞
となり， 通常の波動関数の座標 表 現と して，
（26
）バ イ オ メデ ィカ ル
・
フ ァ ジィ・
シス テム学 会 誌 VoL14，
No，
1，
pp．
71− 76
（2012）〈
・1
・A
・〉
一毒
蛇
（
咢
身
）
〕
（27） を 用いればよい．
我々は ，状態ベ ク トル を用い る事で，一
般 的 な議 論を行っ て き た．
式〔27
）を川い た 処 で，
こ れ ま での議 論 に何 らの影響を及ぼさない事 に 注意 する 必 要 がある．
ま た，
式 〔27 ）は，
ポラ リ トン の シュ レデ ィ ンガー
方程式に 従 うこと は 明 白 で あ る［9
］．
量 ∫ベ イズ形壇
27）に 展 開係 数C
を代入するこ とで 具体的な確率 振幅の表 現φBは，
il
・K 一鎹
綜
鵬
（
28
・ であ り，
式（28
）の絶 対値の2
乗が 量子 力 学的なベ イズ 確 率を与え る，
従っ て，
る
臼
，・
・1B
）−
1
φ
。。亅
21
α 。 2 η。ド
Σ
1
α 、 2i η、「
＋2R
・伽 ）
（29
） Re （lnt）は， Re （C 聖
1CΩの実 数音IS
を意味し具 体的に書く と，
Re （lnt）
一
Σ
R
・［
・xpi（
θ 、一
θ 。）
α1
α。グ
η。］
ノ，
k，
ノ＞K （30
） を得る．
古典
的ベ イズ形 式Pc
］との比較を 明 確 に 表 現 する ために， ・。「
2 →P
， η 。 ’ →
P
（
A
．1B
）
と書 きなおすと量 了的ベ イズ形式は，
Po
（
4
B
）
＝
P
（
814
）
・
P
（
AK
・
）
（3D
4
．
ま と め と考
察
（32
）Σ
P
（
BA
、）
・
P
（
A
、）
＋2R
・（
lnt
）
となる，
古 典 的なベ イズ形式てU）と量子的ベ イズ形 式 （32 ）を比較 すると明 らかな よ うに，
量子的ベ イズ形 式 で は，
古 典論形 式に は存 在しなかっ た 干渉 項 R」e（Inf）
が存
在 する．
こ の干渉 項の存在に よ り， そ れ ま で各 自が 純 状態であっ た状態ベ クトノHAK
＞が， 伝播 後 に領 域 B に 至 り，
互 いに混 ざり合い混合 状 態ベ ク トルIB
＞を 形勾財 る．
こ の時に， 神 経伝 導に署 け る 量 子ブ丿学的 な 情 報の担 体である” ポ ラ リ トンがB に至 り”
，
互 い に 干渉を引き起こす．
我々は
，
従来の古 典的ベ イ ズ定理の確 率を演 算子化 して，”
期彳剞直で古 典的ベイズ定 理、
”
の成立を要請し た，演
算子化したベ イズ定理 を状態ベ ク トル と内積を 計算
す る事で，
量子ベイズ形式の表 規を得た，
こ の方 法で得られ た 量 子ベ イズ形 式は，
分母に互い の状態ベ ク トル が 混合し干渉 することで，
終 状 態IB
＞を構成 す る．
こ の干渉項の有
無が，
古典 的／
Y
ズ形 式 と量子 力 学的ベ イズ形式の大きな差異である．
n 個の純状 態ベ ク トル
IAK
＞が，
終状 態IB
＞に集 ま り混合 状態ベ ク トル を形 成する図式は，
本 文の図2
描いた様 な”
ニ ュー
ロ ン収 束の模 式 図”
と類 似 点 を有 する．
今回の量子神 経回路網は，
純 状態ベ ク トル （ポ プ リ トン）が軸索を伝 導した後， 1
点に収 束し て混合 状態B
を生起 する事 を考慮した．
これより，
終状 態ベ ク ト ルIB
＞は， シナプス近傍の平均 的環境
（神経
終末， シナプス問隙 シナプス後膜＋神 経 繃 包体等の各々 の 組織を）の情
報 を担っ てい る と考え られ る．
言い 換え る と伝導を規 定する演 算子 ηは，
軸 索伝導
の効果 とシ ナ プス環 境状況 との 関数 とい え る．
っ ま り，η （軸 索伝 導 ！シナプス環竟の
情
報） を 担い，
状態の重 ね合わ ピはシナ プス近傍で行われ る モデル である．
今回の論文 で取り上げた 神
経
細 胞の結 合様 式は，
誤 りの発 生が無く， さ らにシナプス後；＝ユv−一
ロ ン に 全て の状 態ベ ク トル が 収束 する タ イプで あ る，
こ の モデル は， シナ プス近 辺で電流・
情
報の混在
と干 渉が 発 生す る事を意 味してい る．
しか し，
もれ 電流の影響
は，
小 さいな が らエ ファブス（Ephapse
）を 生 じせ しめ， 軸 索問 の干 渉 を発 生させ た 後，
神経 痛や 灼麹 南の原因 と も言 わ れてい る．今
後は，
エ フ ァプス（Ephapse
）の量 幵 渉 効果を取り入れ たモ デル に発 展 させ る必要が あ る．
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