等価電源

等価電源

1

^st

. 2005/04/10 L

^st

. 2021/03/09

v1.4 Mar.2020

電源変換（テブナン-ノートン変換）

²

C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits Forth ed., pp.135-136, McGraw-Hill, 2009 a

b

等価回路とは・・・

もとの回路と同一のv-i特性が得られる回路のこと。

a

b

S S

v  i R

つまり、左と右の回路は、端子a-bにおいて、同一の電圧電流特性が得られれば等価 となる。電源をオフにしたとき（左の回路ではv_S=0で電源短絡に等しく、右の回路では i_S=0で電源開放を意味する）、端子a-bにおける抵抗はともにR[Ω]となって等しい。

i

ab

i

_ab

R

v

S

i

_S

R

a

b

a

b

i

ab

i

_ab

R

v

S

i

_S

R

一方、端子a-bを短絡したとき、左の回路を流れる電流は i_ab=v_s/R [A]、右の回路を流 れる電流はこれと同じ値 i_ab=v_S/R [A] になれば等価となるので、i_S=i_ab（抵抗Rに電流は 流れない）より、i_S=v_s/R [A]となる。ただし、R=0では成立しない。

ab S

i  i

_ab

v

^S

i  R

S S

i v

  R

a

b 120 V

50Ω

120 V

I=0 a

b 2.4 A

50Ω 120 V

Open

I=0

Open

端子ab間を開放したとき、短絡したとき、整合負荷としたときの電圧-電 流特性は全て一致しているので、左の電源と右の電源は等価である。

a

b 120 V

50Ω

0 V I=2.4 A

a

b 2.4 A

50Ω 0 V

Short

^{I=2.4 A}

Short

a

b 120 V

50Ω

I=1.2 A

a

b 2.4 A

50Ω

Load

^{I=1.2 A}

Load

50Ω 50Ω

60 V

60 V

電源変換の具体例 テブナンの等価電源

⁴

C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits Forth ed., pp.139-140, McGraw-Hill, 2009 a

b

a

b

I R

Th

V

Th

線形 2端子 対回路

I

V V

Load Load

a

b

a

b

0 I  R

Th

V

Th

線形 2端子 対回路

0 I 

oc Th

v  V V

_Th

in Th

R  R R

in

①負荷を開放したとき、未知回路の開放電圧v_ocは右の等価回路ではV_Thに等しい。

②すべての独立電源がオフにされたとき（右の等価回路では電源V_Th=0：電源短絡に相当）

、二つの回路は等価なので、端子abから見込んだ入力インピーダンスはともにR_Thとなる。

未知 回路

テブナンの等価回路とは・・・

線形2端子対回路は、直列抵抗R

_Th

が接続された電圧源V

_Th

と等価であ る。ただし、V

_Th

は開放電圧で、R

_Th

は全ての独立電源をオフ（V

_Th

=0）に したときの入力抵抗である。

1883, M. Leon Thevenin (1857-1926)

ノートンの等価電源

⁵

C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits Forth ed., pp.145-146, McGraw-Hill, 2009 a

b

a

b

I

R

N

I

N

線形 2端子 対回路

I

V V

Load Load

a

b

a

b

I

N

線形 2端子 対回路

i

sc

sc N

i  I

V

N

in N

R  R R

in

①負荷を短絡したとき、未知回路の短絡電流i_scは右の等価回路ではI_Nに等しい。

②すべての独立電源がオフにされたとき（右の等価回路では電源I_N=0：電源開放に相当）

、二つの回路は等価なので、端子abから見込んだ入力インピーダンスはともにR_Nとなる。

未知 回路

ノートンの等価回路とは・・・

線形2端子対回路は、並列抵抗R

_N

が接続された電流源I

_N

と等価である

。ただし、I

_N

は短絡電流で、R

_N

はすべての独立電源をオフ（I

_N

=0）にした ときの入力もしくは等価抵抗である。

1926, E. L. Norton (1893-1983)

I

N

R

N

テブナンの等価電源の証明

⁶

C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits Forth ed., pp.149-150, McGraw-Hill, 2009

0 1 1 2 2 3 1 4 2

0 0

s s s s

v A i A v A v A i A i A i B

    

 

v  B

0

まず、①端子ab間を開放したとき、外部に接 続された電流はi=0となるから、(1)より 簡単のために、未知回路の内部に4つの独立 電源（電圧源 v

_s1

, v

_s2

および、 電流源 i

_s1

, i

_s2

） が含まれている場合を考える。このとき、端子 abの電圧は、未知回路内部の回路定数をA

₀

, A

₁

, A

₂

, A

₃

, A

₄

とすると

次に、②端子ab間に電流iを流した状態で、

未知回路内の全ての独立電源をオフにする とB

₀

=0となるので、(1)より

v  A i

0

(1)

(2)

(4)

(3)と(5)を(1)に代入すると

0 0 Th Th

v  A i  B  R i V 

これは右の等価回路そのものを示している。

(6)

線形

2端子 対回路 未知

v

回路

i

a

b

v i

a

b R

Th

V

Th

i i

このとき、右の等価回路は電源オフ即ち、

V

_Th

=0より、R

_Th

に電流iが流れた回路なので、

0 Th

v  B  V ⁽³⁾

0 Th 0 Th

v  A i  R i  A  R

このとき、右の等価回路では開放電圧V

_Th

が 生じるので、

(5)

ノートンの等価電源の証明

⁷

C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits Forth ed., pp.149-150, McGraw-Hill, 2009

線形 2端⼦

対回路 未知

v

回路

v

a

b

v v

a

b R

N

I

N

0 1 1 2 2 3 1 4 2

0 0

s s s s

i C v C v C v C i C i C v D

    

 

i  D

0

まず、①端子ab間を短絡したとき、外部に接 続された電圧はv=0となるから、(1)より 簡単のために、未知回路の内部に4つの独立 電源（電圧源 v

_s1

, v

_s2

および、 電流源 i

_s1

, i

_s2

） が含まれている場合を考える。このとき、端子 abの電圧は、未知回路内部の回路定数をC

₀

, C

₁

, C

₂

, C

₃

, C

₄

とすると

次に、②端子ab間に電圧vを加えた状態で、

未知回路内の全ての独立電源をオフにする とD

₀

=0となるので、(1)より

(1)

(2)

i i

このとき、右の等価回路では短絡電流I

_N

が逆 向きに流れるので、

0 N

i  D   I ⁽³⁾

i  C v

0

(4)

(3)と(5)を(1)に代入すると

0 0 N

N

i C i D v I

   R 

これは右の等価回路そのものを示している。

(6) このとき、右の等価回路は電源オフ即ち、I

_N

=0 より、R

_N

に電流iが流れた回路なので、

0

(1/

_N

)

0

1/

_N

i  C v  R v  C  R (5)

等価電源のまとめ

⁸

1. 等価回路とは、端子の電流-電圧特性がもとの回路と等しい 回路を指す。

2. 線形2端子回路内部は、一つの電圧源と直列抵抗からなる等 価回路で表現できる。このときの電圧源の値は、線形2端子 回路を開放したときに生じる開放電圧に等しく、直列抵抗の 値は、電源をオフ（電圧源をゼロ＝短絡）にしたときの入力抵 抗に等しい。（テブナンの定理）

3. 線形2端子回路内部は、一つの電流源と並列抵抗からなる等 価回路で表現できる。このときの電流源の値は、線形2端子 回路を短絡したときに流れる短絡電流に等しく、並列抵抗の 値は、電源をオフ（電流源をゼロ＝開放）にしたときの入力抵 抗に等しい。（ノートンの定理）

4. 直列抵抗が接続された電圧源と、並列抵抗が接続された電

流源は互いに変換できる。（テブナン-ノートン変換）

テブナンの等価電源（１）

【演習】次の回路においてa-b端子より左側をテブナンの等価電源で表現せよ。

答え．(1) 2.4 V, 1.2 Ω (2) 20 V, 8 Ω (3) -2 V, 2 Ω (4) 16 V, 1.2 Ω (5) 200 V, j20 Ω (6) V_CCR₂/(R₁+R₂) [V], R₁//R₂ [Ω]

(1) (2) (3)

a

b 2 Ω

4 V 3 Ω

a

b 100 V

40 Ω

10 Ω

a

b

2 Ω 3 Ω

1 Ω 4 Ω

10 V (4)

a

b 2 Ω

20 V

3 Ω 10 V

(5) a

b j 10 Ω

-j 20 Ω 100 V

(6)

a

b R₁

V_CC R₂

R₃

9

末武，松下電器工学院， “電気基礎講座4 プログラム学習による基礎電気工学 電気回路編” pp.97-113

テブナンの等価電源（２）

(2) a

b 100 V

40 Ω

10 Ω (a)

a

b 2 Ω

4 V 3 Ω

V

a

b 10 V

1 kΩ

1 kΩ (1)

1 kΩ

A

a

b 10 V

1 MΩ

1 MΩ (2)

V

10

【演習】次の回路においてa-b端子より左側をテブナンの等価電源で表現せよ。

テブナンの等価電源（３）

a

b 2 Ω

20 V

3 Ω 10 V I 20 10 10

2 3 5 2 A

I   



2 3 6 V 

10 V V_ab 6 10 16 V 2 3 6

2 3 1.2

2 3 5

rab     

 

a

b R₁

V_CC R₂

R₃

V_CC

a

b

V_CC R₂

R₃

V_CC

最大電力理論

a

b

線形 2端子 対回路

I

V R

_L 未知回路

a

b

I R

Th

V

Th

V R

_L

2

2 2

( )

2

Th L

L L Th

Th L Th L

V R

P R i R V

R R R R

 

        

未知の線形2端子回路をテブナンの等価 電源で置き換える。このとき、負荷にお ける消費電力は

2 2

4

2 2 2

2

4

( ) 2( )

( )

2 2 2

( )

Th L L Th L

Th

L Th L

Th Th L L Th L L

Th

Th L

R R R R R

dP V

dR R R

R R R R R R R

V R R

   

 

   

 

2 2

2

4

2

4

2

3

( )

( )( )

( )

( )

Th L

Th

Th L

Th L Th L

Th

Th L

Th L

Th

Th L

R R

V R R

R R R R

V R R

R R

V R R

 



 

 

 



負荷抵抗R_Lを変化させたとき、極値は

即ち、R_L=R_Thで消費電力は極値を取り、

そのときの最大電力は次式となる。

2 2

max

4

2

4

Th Th

Th

Th Th

R V

P V

R R

 

0 10 20 30 40 50 60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

P [W]

RL [Ω]

V_Th=100, R_Th=50

V_Th=80, R_Th=40 V_Th=50, R_Th=20

C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits Forth ed., pp.150-151, McGraw-Hill, 2009