) 成功的でない解決過程のいくつかの観点からの分析

上越数学教育研免 第 1 2 号,上越教育大学数学教室 ,1 997 年 ,pp. 21 ‑30.

成功的でない解決過程のいくつかの観点か らの分析

布川 和彦

1 .はじめに

｢ 問題場面の構造｣( Nunoka wa , 1994b) を 視点 とした解決過程の記述 ･分析を目指 し､

筆者は同一被験者に対 し 9 回の問題解決を行っ てもらった｡そ してその第 2 回 ( Nunoka wa , 1 9 9 4 a ,C , i mp r e s s ) ､第 3 回 ( 布川,1 996b) ､第

5 回 ( 布川,1 995) ､第 7 回 ( Nunoka wa ,1 9 93 , 1 996) ､第 9 回 ( 布川,1 996a) についての分析 を行い､解決過程 に関 してい くつかの知見を 得てきた｡本稿ではこの 9 回のセ ッシ ョンの うちの第 8 回目をとりあげ､ リソース､発見 法､モニタリング といった問題解決に関す る 基本的な観点 ( DeCor t ee ta l ,1 996;

sc hoe n f e l d,1 985) か らの考察､お よび これま での分析か ら得 られてきた知見を利用 した考 察を行ってい く｡

2. データの収集および解決の概要 2. 1 データの収集

本稿で分析 され る第 8 回の解決では次のよ うな問題が扱われた｡

問題 :次数 n の多項式 p( I ) が条件 k = 0, I ,2/･ ･ ,n に対 しP( x) =

を満たすとき ､p( n '1 ) を求めよ｡( クラムキン, 1 9 9 0, p. 8 )

解決者にはこれを発話思考 法で解いてもらい､

また解決後にはどのよ うに して考えたかのイ ンタビューを行った｡それ らをATR とVTR

で記録 し､その記録 をもとにプ ロ トコルを作 成 した ( Nunoka wa,1 99 4 Cも参照) ｡

2 . 2 解決の概要

第 8 回のセ ッシ ョンでの解決は､おおよそ 以下のような流れであった｡

( i )次数 1 の ときに P( x ) ヨal X+a Oとおき､条件 より係数を求め､さらに P( n+1 ) の値を 1 と 求める｡ ｢ 漸化式が とれるんか ｣ ｢ 帰納的に 決まるか｣ と言いなが ら次数 Zの ときを同じ ように始めるが途 中で中断す る｡次に条件式 か ら p( k ‑1 ) =1 +( 1 / k ) とし､ さらに k を P( k ll ) を用いて表そ うとす るが､ ｢ P ( k ) は求まっ てんだか ら意味ねえ ｣ として止める｡ 次数

2 の ときの計算を再開 し､ P( x ) ‑( ‑ 1 / 6 ) x 2

+ ( 2 / 3 ) x と求め､さらに P( 3) ‑ 1 / 2 を求める｡

( i i ) ｢ パタンない とわかんないん じゃないの｣

と発話 し､また ao が必ず 0になることを確 認 した後､ ｢ 一般的に書いてみ よ うか｣ とし て､ P( k ) =k / ( k +1 ) の条件式 を k ‑0,1 , 2 および k ‑nの場合に具体的に書き下 した｡そ して､

p( x ) =an x n +an ̲ l X n l l + ･ . I + al l +a Oとおき､先の k =0, I ,2 ,n のときの条件式 よ り係数について の等式を作る｡次にこれ らの等式を中括弧で 括って P( k ) =k / ( k +1 ) =かan +k n ‑ l an ‑ 1 + ･ ‑+h al

+do と書 く｡ さらに先の等式を行列の形に書 き直す ( 図 1) ｡ しか し ｢こんなん求まるわきや ねえ｣ として､特に変形は しない｡

( i i i ) ｢ 皆 目見当もつかねえ｣ と発話 した後､

｢ や っぱ り帰納的にや ってみ るよ り他ないの かなあ ｣ として､次数 1 と 2 の ときの結果を

‑

̲ I :

: ̲ ∴ 二

｢ ノ

1 さ 丁 ･

′

一一

図 1

書き直す｡次に次数 3 の ときの条件の式 を､

図 1 と同 じ様 に 3×3 行列を用いて表す｡多 少蹄措 した後に ｢ 規則的だか らなあ､まや っ てみ ようか｣ として､行列の形で連立方程式 を解 き始める｡ しか し途 中で ｢ めん どくさそ うだ､や めた｣ として中断 し､ ｢ こ うバラす んかなあ｣ と発話 して P( n+1 ) = が ( n+1 ) a +と 書 くがす ぐに線 を引いて消す｡その後､再び 先の行列の計算に戻る｡そ して図 2 のよ うな 形に して ｢これ出来たけど ｣ としなが らも､

｢ 違 うよ うな気がす る｣ と言い､結局 ｢こ う い うや り方 じゃダ メ｣ と結論す る1 ｡

2 ･ Y o o ^{/ ,} o テ 0 レナ

I‑ r卜

d O

V

/ / 図 2 ( i v) ｢ なんかあんだ ろ うな規則が｣ と発話 し

1 の ときを反省す るとして､次数 1 の ときの 条件 を行列で書き直す ( α Oは書かないので､

1× 1 行列で書 く) ｡次数 2 と 3 の ときの結 果 も行列を使 って書き表す｡

( V) ｢ 係数を求めるよ うな ことは止めよ う ｣ として しば らく考 えた後､ p( x) の一般式 を 書き､次にそれに x=n+1 を代入 した p( n+1 ) = an( a+1 ) a+an‑i ( n+l ) all + ･ ･ ･ +a2( n+1 ) 2+al ( n+1 ) +α Oを書 く｡ この各項を展開 して､以下のよ

うな式を書 く( 以下式 ( * )とす る);

an( nr z +nCl nn‑1 +nC2nn‑ 2 +‑+n C n‑l n+i ) +an‑i ( nnll +a‑1 Cl nn‑2 + ･ ･ ･ +a‑1 Cn‑ 2n+I ) +

n2 +2Cl n+I ) n+I )

‑22‑

この対角線部分にある各段の最高次の部分を なぞ り ｢ ここはまず出来 る ｣ ｢ n には帰着で きる｣ とす る｡それ以外の部分 を ｢こんだけ 余 ってんだ｣ として囲んだ後､各段最後の 1

を縦 に囲んで ｢ここも an 足す 1 を持 ってき た｣か らいい としている｡ ｢ 組み合わせてや

らな くちやだめ｣ として組み合わせの部分の

, l C l , nC2 な どを n の式 として書き換 えて変形 しようとす る｡

( vi ) ｢ わか りそ うでわかんね え｣ として中断 した後､ ｢ 具体的にや ってみ るよ りはかない のかな｣ として､次数 1 とZの ときの( * )に あたるものを書 く｡次数 2 の ときには図 3 の よ うにそれぞれの部分 を囲み､右の縦の囲み と中央の三角の囲みをするときには ｢ 余 っちゃ う｣ と発話する｡その後 P l ､ P2 と何度か

1

p ( 1 11 ) , al ( l十l) I A､( l tt i)

8

)

ノ 図 3

繰 り返 し言っている｡次数 3 の とき も同様の 式 を書き､各段の最高次の項 を斜 めに囲み､

最後の 1 を縦に囲んで ｢ これ とここか､ここ はいいよね え⊥ とす る｡ ｢ 見方 を変 えない と ダ メなのかなあ｣ と発話 しなが らも､次数 4 の場合の同様の式 を書いてい く｡やは り各段 の最高次を斜めに囲み､また最後の 1 を縦に 囲んで ｢ここは出る｣ とす る｡ さらにそれ以 外の部分 を三角に囲んで ｢ 残 りが出ないんだ よなあ｣と発話する｡ しば らく考えているが､

｢ ダ メかなや っぱ りこれでも､ えーどうして､

システマティ ックにな っているよ うな気がす るんだけどなってね え ｣ と発話す る｡

( v ii ) 条件の式 p( k) =k/ ( k+1) を書いた後 ､ ｢ こ れ 1違 うってい うとこ使 ってない｣ とする｡

さらに ｢これで割 った として もダ メだな ｣ と 言い､ ｢ この条件は使えないのかな ｣ とする｡

以前に書いた次数 4 の ときの ( * )に当たる式

に戻 り､ ｢ 真ん 中の三角はわかんない ｣ とす る｡次に具体的 に係数 を求 めない とダ メとし ながら､一方で一つ一つが求ま らないとする｡

｢ どうしてこの条件が使えないんだ ろ ｣ とし､

また P( k) =k / ( k+1) に下線 をつけて ｢ここに現 れるんだか ら｣ とも発話す る｡

( vh i ) しば らく考 えた後 ､n= 1の ときは al =? ∴ n=2 のときは a2 =? , a2+al = ? ､n=3 の ときは a3 =? , a3+a2 =? , a3+a2+ al = ?と考 えてい く｡

n=4 のときもや りか けるが ､a4=? , a4+a3=?

とした暗点で ｢ 係数違 っちゃ う ｣ ｢ それが分 かったとした ってダ メか｣ として止める｡続 けて α4 +α3+α 2 =?,α4+ α3+α2 +α1 = ?とす るが､

｢ や っぱダ メだな うま くいかね えな｣ として それ以上は計算等は しない｡

( i x ) ｢ 少しち ょっとじゃチェックしてみっか ｣ として問題文を読み直 した後､次数 4 の とき に関 して､ P ( 1 ) ,P( 2) ,P( 3) ,P( 4) を具体的に 式で書いてい く( 図 4)が､ P( 4) については

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図 4

｢ あそこで使 える｣ とす る｡ さらに P( 1 ) と P( 4) の前に印をつけて ｢これ とこれ とは分か っ た｣ とす る｡ ｢ そ こが うま く出てきそ うもね え｣ と発話 した時点で､実験者の方か ら介入 して解決を終了させた｡所要時間は約 9 5 分で あった｡なお事後 のイ ンタ ビューの中で被験 者は､第 8 回の問題がそれ までの 8 回の中で 最 も難 しか った と感想 を述べ ている｡

2. 3 解決過程 における問題場面の構造の変化 解決において見 られ る問題場面の構造の変 化は次のよ うにな る｡ この第 8 回のセ ッシ ョ ンの問題における問題場面 は､与え られた条 件を満たす多項式 p( x) である と考え られる｡

( a) ( i ) では字義通 りの構造､すなわち与えら

れた条件 を満たす次数 n の多項式 として､最 初の構造が作 られている｡ただ し､解決中の

｢ 帰納的 に決まるか ｣ とい う発話や､事後イ ンタビューでの ｢ a lのパ ターン a2 のパター ンa3のパターンが､あ､ある例 えば n の式､

で書ければ｣ とい う発話か らわかるように､

次数 n の多項式は次数 1 , 2 ,･ ･ ･の多項式の族 の中に位置づけ られ､その族 における係数は 次数 に関わ った何 らかのパタンによ り変化 し ている､ と考え られている｡ さ らにこの多項 式の族 について､次数 1 の ときが p( x) =

( 1 / 2) x ､次数 2 . の ときが P( x) =( ‑ 1 / 6) x2+( 2/ 3) x である､ とい う情報が付加 されている｡

( b) ( i i )では α Oが常に 0になる とい う情報が 付加 されている｡ また ｢ 一般的 に書いてみ よ

うか｣ とい う発話以降は､次数 を固定 した上 で k =0 , i ,2 , n の ときの条件式か ら連立方程式 のよ うな ものを作 った り､その行列表現を し た りしてお り､( i )の ときのよ うな多項式の 族の一つ としての P( x) の意味づけは弱め ら れている と考え られ る｡

( C) ( i i i )では ｢ 帰納的に｣や る として､次数 が 1 とZの場合の結果 を書いた後､次数 3 の

ときの係数 を行列か ら求めよ うとしてお り､

多項式の族 としての意味づけが表 に出てきて いる｡

( d) ( i v) の最後 には 3×3 行列の中の 2×2 の部分 を四角で囲むな どして異なる次数の場 合の関係 を考えてお り ､ ( C) と同様の構造が 与えられていた と考 え られる｡

( e)( V) では再び次数 を固定 して一般の P( I) を考 え､そ こに x=n+l を代入 した式を考え ている｡ したがって ( b) の とき と同様 に多項 式の族 としての意味づけは弱め られていると 考え られ る｡また この P( x) のx =n+ 1のとき の億が､ P( n) +P (1 ) と残 りの部分の和 として 書けること､また この残 りの部分の各項の係 数が aiXjCk といった形 を していることにつ いての情報が付加 されている｡

( f )( vi ) では次数が 1 , 2, 3, 4の ときの ( 〜 )に当

‑23‑

たる式を書いているが､事後のインタビュー では例えば次数 4 の場合に関連 して ｢ 三角ん とき 【 p( n) +p(1) 以外の残 りの部分】も他の例 えば p( 3) , P( 2) ､のときで表せるのかなと思っ た ｣ と説明 している｡ これ よ り ( v i )の時点で は多項式の族を考え､係数の変化のパタンな どをさがす とい うよりも､次数 4の ときの内 部の構造を調べていた､つま り多項式の族 と しての意味づけは弱 く､む しろ ( e) での構造 と類似のものが与えられ､それを具体的な次 数に して調べていた と考え られる｡また先の インタビューでの発言 より､ P( n+ 1 ) = cnP( n) +cn‑1 P( n‑1 ) +‑+C2P( 2) + ビI P (1 )( 以下式 ( ** ) とす る)といった構造を解決者が期待 してい たことがわかる｡一方で ｢システマティック になっているような気がす るんだけどなって ねえ ｣ とい う発話か ら分かるよ うに､先のよ うな構造を実際には兄いだせてお らず､問題 場面の構造 としてはそ うした情報は付加 され ていない と考えられる｡

( g) 条件の P( k) =k/ ( k+1 ) について､分子 と分 母が 1 違 うとい う意味づけが ここで表明され ている｡次数 4 のときの ( * )を先 と同じよう に調べていることか ら ､( f )と同様の構造が 与えられていた と考えられ る｡条件の式に下 線 をつけて ｢ここに現れるんだか ら｣ と発話 していることより､( ** )のよ うな構造を期待 していると考えられる｡

( h) 事後インタビューの中で係数の和あるい は差 を P ( 1 ) ,‑, P( n) で表す とい う試みに言及

していることより ､( vi i i )での活動は ( vi i )を 受けて､係数の和をこのように表す ことを目 指 した もの と考 えられる｡ したがって､係数 に関 して何 らかの帰納的なパ タンを求めると い うよりも､各次数での係数の和に関す る情 報を求めた と考えられ､その点では多項式の 族 とい う意味づけは弱い と考え られる｡ただ し具体的には係数についての新たな情報は得 られてお らず､ したが って ( b) と同様 の構造 が与えられていた と考えられる｡

‑ 2

4 ‑

( i )( i x)では次数 4 の ときに P( 0) ,‑ , P( 4) を書 き､p( I )と p( 4) に印をつけていることより､

( f )での構造 と同じものが与えられていた と 考えられる｡

以上の問題場面の構造の変化において､問題 場面である p( x) を次数を 1 ,2, 3 , ‑ ,n とした

ときの多項式の族の一部 として意味づけてい る構造をタイプ A､そ うした意味づけがなさ れていない構造をタイプ B とす る｡またタイ プ B の うち､ p( n+ 1 )が P( a) +P(1) と残 りの部 分 として書けるとい う情報が付加 されたもの を添字をつけて Bl と表す｡本稿で取 り上げ た解決過程の問題場面の構造の変化は ( a) か

ら ( i ) にそって次のよ うになる : A → B → A → A ‑ → Bl

→ Bl → Blー Bl ‑ Bl ｡ 2 . 4下位 目標の変化

布川 ( 1 9 9 6 a ) と同様に下位 目標の変化も考 えてみる｡ この解決の中で解決者により設定 された下位 目標は以下のようになる｡

a: p( 〟+ l )を求める｡

β: ( aのために) P( x) の係数を求める｡

γ: (β のために)次数 を 1 , 2 ,‑ とした ときの 係数のパタンを見つける｡

∂:( β のために)条件式か ら得 られる次数 : 二 ■ 乃 のときの連立方程式を解 く｡

8:( aのために) P( a+i ) を ( * )のように具体

̀ ̀ 的に書き下す｡

E: ( Eのために) P( a+1 ) を P( k) ( k = 1 ,2 , ･ ･ ･ , n) を用いて表す｡

T l:( Eのために)係数の和や差を P( k)( k= 1 , 2 , ‑ ,a) を用いて表す｡

これ らの下位 目標 と前項の問題場面の構造を 時間経過にそってま とめると図 5 のようにな る｡

ここまで述べてきた解決の流れを見ると､

問題場面の構造は後半 Bl か ら動かな くなっ

てお り､また全体で見て も､A とBの違いが

P( x) を多項式の族の中で考えるか どうかで

時間 解決 0

10 20 30 4 0

の 下 位 日 額 段階

( i ) 叫E

(i ii)

α β‑ Y a Y

図 5 あり､基本的には問題場面 を条件を満たす n 次多項式 p( x) =an x n +an ̲1 X n ‑ 1 十･ ‑十 al X + aO と

して見ていることを考えれば､結局解決全体 で問題場面の構造はそれほど変化 してお らず､

解決はあまり進展 していなかったことになる

また､下位 目標 については､前半は β ‑ γ､

後半は 6 ‑ ;が支配的であるが､それ らを達 成す るためのさらなる下位 自席 は生成 されて いない｡

3. 問題解決 の基 本 的観 点 か らの考察 3. 1 発見法の観点か らの考察

本稿で取 り上げた解決では､前節で見たよ うに､問題場面についての新たな情報がほと んど見出されてお らず､問題場面の構造はそ れほど変化 していなか った｡2. 1 の記述か ら わかるように､解決過程において､次数が 1 ､

2 ､ 3 等の場合を具体的に扱 う場面 と､一般 の 次数 n を扱 う場合が交互に現れてお り､

このため､この両者を往復 していたことが似 たような問題場面の構造に留まった原因では

ないか､ とい う印象 を受ける ( 表 1)｡

表 1 :各段階での一般一具体 具体的にやってパタンをさがす｡

一般の形で行列に表す｡

次数 3 のときを行列で具体的にやる｡

次数 1 ､2 のときを行列で表す｡

一般の P( n +1 ) を書き下す｡

次数 1 ､ 2 ､ 3 ､ 4 の( 〜 )式を調べる｡

次数 4 のときの( * )式を調べる｡

次数 4 までの係数の和を考える｡

次数 4 のときの P( k) の式を書く｡

確かに ( i i )と ( V) での一般的な扱いをはさ み､次数 1 ､ 2 な どの具体的な扱いが 3 度行 われている｡今の問題において､次数 とい う

｢ 整数のパ ラメータに 1､ 2､ 3､‑･ を順 に 代入 し､帰納的なパタンを探す ｣

( Schoenf el d,1 98 5 , p. 1 09) ことは適当な発見 法 と考 え られる｡ しか も､次数に具体的な数 値を代入 して調べる場合に して も､解決の各 時点でその目的が異なっている｡

( i )の部分 :β ‑ γ とい う下位 目榛に沿い､

次数が 1 ､ 2 のときについて具体的に P( x ) と p( a+I ) を求め､係数の間のパタンを見出 そ うとしている｡

( i i i )の部分 : ( i i )で次数 n の場合を行列を用 いて考えよ うとしたことを受け､次数 3 の場 合を行列で計算 している｡事後インタビュー によれば この計算は係数を求めるためのもの であ り､ ｢ 多分行列､で書 くと一般的に書 く と､や りやすいだろ うか ら書いておいて ｣ と い う発話に見 られるよ うに､与えられた条件

と係数の関係な どの､係数を求める手続きに 見 られ るパタンを見出そ うとして､行列に書 くことが行われた と考えられる｡ したが って､

次数 3 の場合の行列の計算や､ ( i v) で次数が 1とZの ときの結果を行列になお しているの も､この手続きに関す るパタンを見出すため の､一連の活動の一貫と考えることができる｡

( v i )の都免 :次数が 2 ､ 3 ､ 4 のときの ( * ) に当たる式を調べている｡これは ､ ( Ⅴ) で得 られた情報 に基づき､( =)の構造の可能性を

‑2 5‑

探るものであ り､ P( n+1 ) の各要素間に見 ら れるパタンを得よ うとした もの と考えられる｡

( v ii )における活動 も同様のものである｡

( vi i i )の部分 :次数が 1 ､ 2 ､ 3 ､ 4 の とき の係数の和が どのよ うに表 されるかを調べ よ

うとしているが､特に新 しい情報は得 られて いない｡

( i x )の部分 :基本的には ( v i)の活動 と同じで あるが､次数 n の場合の P( 0) ､ P ( 1 ) ､ P( 2) ､ p( 3) ､ P( 4) を具体的な式の形で書いている｡

これは P( k ) の方の式の形か ら( ** )の構造の 可能性を探ろ うとした もの と考 えられる｡

( i i i ) ､( v i )での変化はその直前の一般的な 扱いを反映 してお り( 行列による表現､ p( k ) を用いた表現)､その意味で､解決の流れに そった変化 となっている｡

このよ うに､具体的な場合 と一般の場合の 間を往復 しなが らも､解決者は同じことを繰 り返 していたわけではな く､整数のパ ラメー タに数値を代入す るとい う発見法の適用の仕 方を､少 しずつ変化させていたのである｡ま た( i 立 )では ､Schoenf e l d( 19 85) が探求のフェー ズでの発見法 としてあげる､表記法を変える ことも行 っている｡

( i )と( i i i )とでは､表記法 と活動の目的を 変えていなが ら､各 k に対 して P( k) =k / ( k+ I ) であることと､ p( k) =k/ ( k+1 ) = かan+kr ' ‑ l an ‑1 + ‑+hal +aO とい う同 じ既知の情報 ( データ)

を用いている｡ しか し､Ta pl i n ( 1 99 5)によ れば､あるアプ ローチが行き詰まった ときに 同じデータを用いて別のアプ ローチを試み る ことは成功的な解決の特徴 とされている｡

以上よ り､発見法の観点か らは､解決者の 活動はある程度合理的な ものであった と考え

られる｡

3. 2 モニタ リングの観点か らの考察

発見法の利用では､その適用の仕方が少 し ずつ変化 しているだけでな く､以下に示す よ うに移行の部分ではモニタ リングが行われて

‑ 26 ‑

いることがわか る2 ｡ r i )か ら( i i )への移行部分

【 1 3: 30 】( 次数 1 ､ 2 の場合を具体的に求めた 後で) 2 でや ってもダ メかな うま くいかな いなあ何かパタンない とわかんないん じゃ ないのこれ､

( i i )か ら( i i i )‑の移行部分

【 1 8: 4 2 】( 条件を行列で表 した ものを見なが ら) こんなん求まるわきやね えやな､ダメだ ね､こんなの求めるわきやねえなあ､

【 1 9: 45】〝足す､で もこれ全部 くっついてき ちゃうからな､展開したとしてもダメだね､

( i i i )か ら( i v)‑の移行部分

[ 41: 30 】( 次数 3 の ときの係数を行列で一応計 算 した後)違 うような気がす るなあ､やっ ぱ りこ うい うや り方 じゃダメなんだ よきっ

と､そ うい うふ うにシステマティ ックにゃ んな くて もって気がす るんだけどなあ､

なんかあんだろ うな規則がな､ もう一回 1 ん時を反省 してみ よ う､

r i v) か ら( V) ‑の移行部分

【 43: 39 1( 次数 1 ､ 2 ､ 3 の ときの条件を行列 の形で書いた後)係数 を求めるなんてこと しない方がいいのかなあ n が 1 で n が 2 で n が 3 ､ああそ うか係数 を求めるようなこ

とはやめよ う､

( V) か ら( vi ) への移行部分

[ 6 0: 1 9] ( P( 〟+ I )を書き下 し jCk の部分を n の 式で表そ うとした後)なんかわか りそ うで わかんね えな､‑･ や っぱ り一気にあれだろ

うね具体的にや ってみ るよりほかないのか な､

( v i)か ら ( vi i ) ‑の移行部分

【 74: 34】 ( 次数 4 の ときの ( * )の式 を調べた後 で)ダ メなのかなや っぱ りこれで も､えー ど うして､システマティ ックになっている よ うな気がす るんだけどなってねえなあ､

【 75: 48 1こ うい う方針でや った としてもダメな

のかなあ､ダ メなのか､あとあそ こ処理で

きない もんね 2 ､ 3 ､船 型できねえよなあ､

i y i L ) ̲ ̲ ̲ か ら ( v i i i )‑の移行部分̲

【 8 0: 1 3】 ( 次数 4の ときの ( 辛 )の式 を調べた後 で)真ん中の三角はわかんないんだ よなあ､

【 81 : 36 に れ具体的な【 聴取不能】の係数を求め ない とダメだ ろ うね､‑係数 を一つひ とつ 求まんないんだ よな､った く､

[ 86 : 1 5] 足す､足 したってな難 しい よなこれな､ /

( v i i i )か ら( i x)‑の移行部分

【 8 8: 21 】 ( 係数の和 を求めよ うとした後)あダ メだやっぱ りこれで､係数違 っちゃうもん なあ､‑や っぱダ メだなあや っぱ りな､そ れが分かった とした ってダメか､

また例えば ( i )で k を P( k ‑1 ) で表わそ うと する場面で 【 5: 09】 ｢ [ 解 こうとしていた連立 方程式が】めん どくさそ うだな 【 聴取不能】こ れ解 くのはめん どくさそ うだなあ｣ と発話 し た り､この活動を中断 し以前のアプ ローチに 戻る箇所で 【 7: 06 ] ｢ P( k ) は求まってんだか ら な意味ねえや ｣ と発話するなど､あるアプロー チの実行途 中において もその可能性や効果を 評価 しなが ら解決を進めている｡

先の移行部分の うち､( i )か ら ( i i ) ､( i i )か ら ( i i i ) ､( i v ) か ら ( V ) ､( v ii ) か ら ( v i i i ) ､( v ii i ) か ら( i x)の移行部分は下位 目榛 の変化する箇 所でもあるが､こ うした当面す る目標の変化 の箇所はモニタ リングが重要な働きをする部 分 とされる ( 清水,1 989) ｡ この解決ではそ う

した箇所 でそれ までのアプローチの評価が行 われてお り､その意味で､モニタ リングが よ く行われている と考え られる｡ しか も､事後 インタビューを見ると､それぞれの方針に関 して､考えている試みが成功 した とした ら､

その後求めるべき p( n+1 ) が どのように して 求まるのか､を解決者が意識 していることが わかる｡以上のことか ら､モニタリングにつ いても特別な欠陥は認め られない｡

3･ 3リソースの観点か らの考察

3･ Zで見た よ うにアプ ローチの移行部分で はモニタ リングが行われていたが､その後今

度は新たな方針を開始す る箇所 での発話には 一つの傾向が見 られる｡

( i i )の一般の P( x )を書き下す部分

【 1 3: 30 】 何かパタンない とわかんないん じゃな いのこれ､

【 1 4: 30 】 一般的に書いてみ よ うか､一般的に書 いてみ よ う､一般的に書いてみ よ う一般的 に ､

( i i i )の帰納的なアプ ローチに移行する部分

【 22: 1 8 】 や っぱ り帰納的にや ってみるよ りほか ないのかなあ､

( V) の一般の P( n+ I )を書き下す部分

【 43 : 46 1 係数 を求めるようなことはやめよう､

でもやめるつったってじゃ何や りやいいん だ よなあ､

( v i )の具体的な次数の場合へ移行す る部分 [ 6 0: 36] や っぱ り一気 にあれだろ うね具体的に

や ってみるよりはかないのかな､

( i x)の次数 4 の ときへ移行する部分

[ 9 0: 11 】ど うした らいいんだろ､足す 1 だ とし た って､ うーん､少 しち ょっとじゃチェッ ク してみ っか､

また､( i )の途 中で P( k ) を k で表そ うとする 部分では 【 5: 09 1 ｢これ 【 係数を求めるための 連立方程式】を解 くのはめんどくさそ うだな あ ｣ と発話 し､その後再び次数 2 の ときの計 算を再開す る部分では r 8 : 27 1 ｢ 方針が立たな いなあ､‑･ んん､ち ょっとや ってみ よ うか ｣

と発話 している｡

これ らを見ると､積極的に新たな方針を採 用 したとい うよりも､以前の方針が行き詰まっ た り､実行か困難 と判断 された ときに､次に 行 うべき方針がないために､結果的に以前に 中断 した方針 を再開していった ことがわかる｡

つま り､方針の途中でモニタリングを行い､

その方針の有用性が疑わ しい と判断 しても､

結果的に次に行 うべき活動の方針がないため､

解決に結びつ くような移行ができない様子が 示 されている｡

sc h oe n f e l d( 1 985) があげる代表的な五つの

‑27‑

発見法 b.1 9 5) の うち､整数のパ ラメータへ の代入や下位 目榛 を設定す ることはすでに行 われてお り､また図をか く､背理法を用いる､

少ない変数 を考 えることは今の場合適用 しに くい｡また同値な問題 を考 えることや条件 を ゆるめることわ. 1 09) も今の問題では考 えに くい｡ これ よ り､ ここで必要な活動の方針は 発見法のレベルよ りも､内容固有の リソース ･

レベルのもの と考 え られ る｡

ところでクラムキン ( 1 9 91) の解答では､

条件 の式 p( k) =k / ( k+ I ) を ( k+1 ) P( k ) ‑k =0と読 み換えた上で､ Q( x) =( x+ 1 ) P( x) ‑x と置 くと､

条件 の式は Q( x) の零点についての情報 にな るので､それ を もとに Q( x) を求め､ さらに p( x) を求めるこ とが基本的なアイデア とな っ ている｡今回の多項式の問題 において､この 条件式の読み換 えが解決の一つの要件である としても､ これ を行 うことは今の問題の解決 においてそれ ほど自明のこととは考えにくい｡

む しろそれは､多項式 の問題では零点の情報 を探 し因数分解 された形 で表す､ といった内 容固有の知識あるいはセ ミアルゴ リズム ( 清 水,1 99 2) と考 え られ る3 ｡

先の活動の方針 も､内容固有のものであれ ばやは りセ ミアル ゴ リズム と見なす ことがで きよ う4 ｡ したが って､第 8 回の解決は リソー スの点ではその欠如ない しは活性化の失敗 ( hws on & Chi nna ppa n,1 994) といった問題 を 含んでいた と考 え られ る｡

4. 問題場 面 の構 造 の観 点 か らの考 察 4. 1 探求の対象 と しての問題場面

下位 目標 Cは ( 〜 )の式 において対角線部分 が P( n) と､また右端の一列が P( 1) に対応す る､ とい う情報 を得た ことで設定 された もの と考 えられ る｡ しか し､後半ではこの Cが支 配的 とな り､ この Eの下ではタイプ Bl の構 造が与え られている｡ この Bl は . P( n+1 ) が p( n) +p(1) と残 りの部分 として書 けるとい う 情報が付加 された ものであったが､その とき

‑2 8‑

P( n) に関 してはそれが an nn+an‑1 nn‑ 1 + ‑ ･

+ a2n2 +al n である とい う点が､また p( 1) に 関 して もそれが 伽 + 伽 ‑1 +‑+α2+α1 である点 が用い らてお り､ P( k) =k / ( k+ 1 ) である とい う 情報はほ とん ど利用 されな くなっている｡

確か に､後半の解決において も､与えられ た条件が使われ ていない ことは ときどき意識 されてい る｡上で述べた ように､( ** )の構造 を目指 した ;とい う下位 目席での活動は､そ もそ もその背景 に P( k) の値が与 えられてい るとい う事実を持 っている｡またこのことは､

【 76 : 1 6 1 ｢ これ 1 違 うってい うとこ使ってない｣､

【 7 7: 1 9 】 ｢この条件 は使 えないのかな使 ってな いみたいだな｣､【 8 3: 51 】 ｢どうしてこの条件 が使 えないんだ ろ｣ といった発話にも見 られ る｡ しか しこの最初 の二つの発話の場合はそ の直後 に下位 目標 ;に関わる活動に戻ってい る｡̲ また三番 目の発話の後では､解決の流れ の ( vi i i ) で述べた よ うな活動に移行す るが､

そ こでは P( k) =k / ( k+ 1 ) とい う情報は特 には用 い られない｡ これ は､連立方程式を解 く際に P( k) の値が用い られていた前半部分 とは､対 照的である と言 えよ う｡

上で も述べた よ うに､第 8 回のセ ッシ ョン の問題 では､ P( k) =k / ( k+ 1) とい う条件を満た す n 次式 p( x) が問題場面である と考 え られ

るので､解決の後半にな り P( x) 自体ではな く p( 〟+l ) が探求 され､ しか も p( k) =k / ( k+ 1 ) とい う情報が表立 って用い られな くな った こ とは､問題場面 自体が探求されな くな った こ とを意味 しよ う｡ この よ うに､解決の後半に 入 り問題場面の構造 の変化があま り生 じな く なる一方で､問題場面 自体が探求 されな くな ることは､布川 ( 1 9 9 6a) に見 られ る成功的で ない解決過程 の特徴 と一致 し､Nunok a wa

( 1 9 96) に見 られ る成功的な解決の特徴 に反 してい る｡

4. 2 大局的再構成の観点か ら

下位 目標 と問題場面の構造の変化を示す図

5 か らわか るよ うに､第 8 回のセ ッシ ョンの

解決の後半部分では P( n+I ) を既知のもので 直接書き表す ことが 目指 されてお り､ P( x) 自 体よりも､ P( x) の x=n+ 1の場合の探求が主 に行われている｡ しか し一方で､ P( x) や p( n+1 ) に関す る新たな情報が得 られてお ら ず､問題場面の構造は Bl のままに留まって いる｡ここで成功的でない解決を分析 した布 川 ( 1 9 96a) の結果を参照す るな らば､特定の 下位目標の支配下で問題場面の構造の変化が 停滞 した場合､その下位 目榛 を一時保留 し､

元の問題場面 自体の探求に戻ることが必要で はないか と考え られる｡ また､Nunoka wa

( 1 9 9 6a) によれば､成功的な解決過程では初 期活動の後に場面の探求が行われ､その中で 大局的再構成 ( Nunoka wa,1 99 4 b) が生 じてい る｡そこで､解決を進展 させる一つの可能性 として､問題場面 自体の考察を目指 し､かつ 大局的再構成を意図的に生 じさせることが考 えられる｡

ここで今の場合において､大局的再構成 は次のように考 え られ る｡与えられた問題で は P( x) とい うn 次式があってそれが与えられ た条件を満たす とい う設定になっている｡そ こで､この問題場面 p( x)において成 り立っ̀

ている条件を､ P( x) を構成す る原理 として 用いることを､大局的再構成 と見ることがで きる｡

実はこのように捉えると､ p( I) のパタンが もう少し見やす くなる｡例えば次数 2 の場合､

条件は P( 0) = 0､ P( 1 ) =1 / 2 ､ P( 2) =2/ 3 である が､まず p( o) = Oより P( x) =xR( x)( R( x) は 1 次式)と書ける｡ ここで条件 より R( 1) =1 / 2 で あるので､ R( x) =a( x‑ 1 ) +( 1 / 2) となる｡ また R( 2) =1 / 3 より a=‑I / 6 となる｡以上より､

P( x) =x( ( ‑ 1 / 6) ( x‑I ) +(I / 2) )=( ‑I / 6) x( x‑ I) +( 1 / 2) x となる｡ これは次数 1のときの結果 P( x) =( 1 / 2) x に ( ‑ I / 6) x( x‑1 ) が加わった もの と なっている｡同様 にす ると､次数 3 の ときは P( x) =(1 / 24) x( x‑1 ) ( x‑2) ペ‑ I / 6) x( x‑ 1 ) +( 1 / 2) x ､ 4 のときは P( x) = ( ‑1 / ､ 1 20) x( x‑I ) ( x‑2) ( x‑3)

+( 1 / 24) x( xll ) ( x‑2)+( ‑ I / 6) x( x‑ 1 ) +( 1 / 2) x とな り､次数が増 えるときのパタンがわか りやす い｡ また､次数 をあげた ときの P( x) の形が予 想 しやすいことより､ P( n+ 1 )の予想 される 値 も算出 しやす く､ したがって P( n+1 ) の形 についても予想を立てやすい ことが考えられ る｡その意味で､第 8回のセ ッシ ョンにおけ る被験者の解決 よりは､ P( x) の形な ど問題場 面についての多くの情報を得 られるもの となっ ている 5 ｡ クラムキンによる解決では問題場 面に対す る大きな意味づけの変更が必要 とさ れ､ある意味ではそれはセ ミアルゴ リズム と い うリソースの問題に帰着された｡ しか し､

ここでのアプローチではむ しろ解決者の手元 にあった情報 である p( k) =k / ( k+ 1 )をそのま ま用いる形 にな っている｡

以上のことより､第 8回のセ ッシ ョンの解 決において も､問題場面の構造の変化が停滞 した ときに､特定の下位 目標か ら離れて問題 場面 自体を探求す ること､その際､大局的再 構成が意図的に生ず るよう与え られた条件 を 場面の構成原理 として利用す ることで､多少 の問題場面の構造の変化を起 こす こと､ある いは解決の進展 を図ることが可能であったこ

とがわかる｡情報の生成活動 ( h ws on &

Chi nna ppa n ,1 996) が成功的な解決の一つの 特徴であることを考慮すれば､生成の系列が 継続 しえた ことは重要である｡また､前半で は P( x) 自体の形を探求 していた解決者が､後 半では直接 p( n+1 ) を求めるアプ ローチに転

じた背景には､係数等の間のパタンが容易に 兄いだせないことがあった｡上で述べた新た なアプ ローチでは式の間のパタンが分か りや すい ことか ら､こ うしたアプ ローチを解決者 が とっていた ら､ p( x) 自体の探求がさらに行 われていた可能性 も考 えられ る｡

5. おわ りに

本稿では､一連の詞壷の第 8 回のセ ッシ ョ ンの解決を分析 してきた｡ リソース､発見法､

‑2 9 ‑

モ ニ タ リング とい った 観 点 か らの考 察 で は､

結局､ ある種のセ ミアルゴ リズ ムとい うリソー スの欠如 な い しは活性 化 の失敗 が一 つ の原 因 と して考 え られ た｡ また 問題 場面 の構 造 の観 点か らの考 察 で は､解 決 が行 き詰 ま った 際 に 問題 場面 自体 を探 求 の対象 と してい なか った こ とが原 因 と して考 え られ ､ また大局 的 再構 成 を意 図的 に引 き起 こせ ば新 た な情報 の創 出 の可能性 が あ った こ とが示 され た｡

問題 場 面 の構 造 の観 点 か らの考察 が独 自の 知 見 を導 き得 た こ とは､ 問題 場 面 の構 造 とい

う観 点 の有用 性 を示す もの と考 え られ る｡

註 お よび引 用 ･参考文 献

1 . や り方は正 しいが図 2の結果は誤っている｡

2. 以下で 【 1 3: 3 0 】は開始か ら1 3 分3 0 秒 の時点での 発話であることを示す｡

3. これを同値な条件による置き換え とい う発見法 ( Sc hoenf e l d,1 9 8 5) と解釈す ることもできよう が､その変形が Q( x) を置 くことを見越 したも のであ り､ 自明 とは青いがたいことよ り､こ のように解釈 した｡

4. セ ミアルゴリズムのよ うな方針を示す知識は､

それが失敗に終わって も有用な情報を与える ことがある ( Nunoka wa,1 996) ｡その意味で単 なる解法の方針ではな く､活動の方針のレパー

トリー とな りうる｡

5. ただ し､ これを数学的帰納法で証明 した り､あ るいは P( n+I ) を求め よ うとす る と､次数が奇 数の場合は容易にできるが､次数が偶数のと きに問題が残る｡

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