一次的基底と代数的基底について
中 田
道 孝
ベクトル空間の一次的基底や，体の超越的拡大の代数的基 底については，基底の集合としての濃度が有限の場合はよく 知られています。（例えば浅野啓三「行列と行列式」共立基 礎数学講座，正田建次郎「代数学提要」共立出版，B・L・
van der Waerden「Algebraj参照のこと）
S七eini七zはこれ等の理論を基底の濃度が無限の場合に拡張 したが，このことは余り多くの人には知られていないと思い ますので，簡単に紹介します。
［1］ ベクトル空間の一次的基底
この節ではGを斜体△上のベクトル空間とする。
よってGは加群で，かつ，△∈廿αG∈廿▽に対してαvが 定義され，
1 avEG
2．α（u＋v）コ伽＋αv
3． （ u＋19）u＝： fuu＋3u 4． （（uB）u＝＝a（3u）
5 1 u＝＝u
Gの元Vと，Gの部分集合Uに対し， Uの適当な有
限個の元u、，……，u、が存在して，βキ0で Bv＋Biui＋ ＋Bnun＝：O
という一次関係が成り立つとき，vはuに一次従属である という。このことは
v＝＝alul十 十anun
と表わされることと同値である。
定理1．U∋Uaに対して， uはUに一次従属である。
定理2．vが｛u｝uUに一次従属で，Uには一次従属で ないならば，Uは｛V｝UUに一次従属である。
証明Vは｛U｝UUに一次従属だから， Uの適当な有限個 の元u・，……，u、が存在して，βキ0で
βv＋βユu1＋一。・・… ＋βnUn・＋βノu＝＝0
ここでβ ＝oならばvはUに一次従属となって矛盾。
よってβノキ0。
これはuが｛v｝UUに一次従属なことを示す。
定理3．wがVに一次従属で， V∋廿▽がUに一次従
属ならばwはUに一次従属である。
証明wはV｝C一一次従属だから，Vの適当な有限個の元
V1，…，▽mをとれば W＝配IV1十……＋αmVm
各v至はUに一次従属だから，Uの適当な有限個の元
u1，……， Ul、をとれば
Vi＝β孟1uユ＋・・・… ＋βfllu1、（i＝1，……∫皿）
のユ む ねミ れユ
W＝Σα二（Σ BijUj）＝ΣΣα主βij U」＝Σ（Σαiβi」）Uj
i＝1 」＝1 i＝1j＝1 j＝1 i＝1これよりwはuに一次従属になる。
定理4．wがVに一次従属ならばV⊆Uに対し， wはU
に一一次従属になる。
証明V∋Uvに対し，▽∈Uだから定理1によりvはU
に一次従属となる。よって定理3よりwはUlc一一．次従属となる。
定義Uのどの元をとっても，それが残りの元に一次従属 でないとき，Uは一次独立であるという。これはUの任
意の有限個の元Ul，……， Ul，に対し
a・IUi 十・……偽Uユ、＝0
ならばev1＝＝……＝ ev1、 ・ Oになるという意味である。
定理5Uが一次独立で｛u｝UUが一 i次独立でなけれ ばuはUに一次従属である．
証明H ｛U｝UUは一次独立でないから，
｛u｝UUの中に適当な元が存在して，残りの元に一・次従
属になる。
その適当な元がuならば証明は終り。
その適当な元がuとは別なvであるとすれば，
vは（｛U｝UU）一｛V｝＝｛U｝U（U一｛V｝）に一次従属 である。
Vは勿論Uが一次独立なことによりU一｛V｝には・一 次従属でない。よって定理2によりuは｛v｝u（U一｛v｝）
＝Uに一次従属である。
定理6Uの適当な一次独立な部分集合をとれば， Uの全 ての元がこれに一次従属になるように出来る。
証明U∋uキ0に対し｛u｝は一次独立になる。
51
津山高専紀要（第1巻 第2号）
そこでUの一次独立な部分集合の全体をΣとすれば，
Σは集合の包含関係のもとに順序集合となる。
Σの任意の全順序部分集合Trをとり，．s・＝ UPとおく。
PE ll
S．が一次独立でなければ，Sの中に適当な元vが存在し て，vは残りの元に一次従属となる。
よってVでないSの有限個の元V1，……，V．が存在して，
αキOで
av ＋ divi ＋ evnvn ＝＝ O
v∈ヨP∈T，Vi∈ヨPi∈T（i二1，……， n）
Tの全順序性よりMax（P， P1，……，：P。）＝＝・P。とおけば，
v， vi， ・・… ， vnET［￡
これはP。が一一・L次独立なることに反する。
よってSは一次独立となりS∈Σ SはTのΣにおける上限に外ならない。
これよりΣは帰納的順序集合となり，Zorn ．の補題によ り極大元S。を．もつ。
U∋廿uに対し，u∈S。ならば定理1よりuはS。に一次
従属である。
UξS。ならば｛U｝US。はもはや一次独立でないから定理 5よりuはS。に一次従属である。
S。は定理の性質を満す集合である。
定義，2つの部分集合U，Vは， Uの各元がVに， Vの 各元がUに一一次従属なとき，同値であるという。
同値という性質は定義から対称的，定理1か日反射的，定 理3から推移的である。
1つの元wが同値な部分集合の一方に一次従属ならば，
定理3よりwは他方にも一次従属であ多。
定理6より，すべての部分集合は適当な一次独立な部分集 合に同値になる。
定理7Vは一次独立で， Vの各元はUに一次従属と する。Uの適当な部分集合U。をとると， U。一V で， U の1＝［コでU。をVで入れかえてできた新しい集合とUを 同値にできる。従って特にV〈Uである。（但しUはU
の集合としての濃度を表わす。）
証明V⊇｛v｝に対し，v∈｛v｝はUに一次従属だか
ら，Uの適当な有限個の元Ul，……， u、に対し，βキOで
3v＋evlUl rF evnUn＝O
vキ0だからα1，……，α1、の全ては0でないから，eViギO とすればU1はUの中でUlをVで入れかえた集合に一次
従属となる。
よってUの中でU1をVで入れかえた集合はUに同
値になり｛Ul ｝ ・ ｛v｝＝1である。
よって｛V｝に対して定理は成立っ。
そこで定理が成立つVの部分集合Sの全体を考える。
Sに対してUの部分集合丁が存在して，Uの中でTを
Sで入れかえた集合がUと同値に出来て，S＝T，そこでS＝TとなるSからTの上への一対一一一・対応をψ，
として＠，S，T）なる組の全体Σを考える。
（op， S， T），（ψア， S7， Tノ）∈Σに対して， S⊆Sノ， T⊆Ttでかつ，
S∋Uuに対してψ（u）＝qノ（u）のとき，（q， S， T）≦（qノ， S，， Tノ）
として順序を定義すれば，Σは順序集合となる。
Σの任意の全順序部分集合Tに対して，
S。＝US，T。一UTとおく。
Cq．S，T）e ｛ip，s，T）EJ
T。∋廿uに対し，ヨ（q，S，T）∈T，u∈T
よってuはUの中でTをSで入れかえた集合がUに
同値になる過程でSの元，従ってS。の元に入れかえられ ている。だからUの中でT6をS。で入れかえた集合はU
に同値になる。
S。∋Uvに対し，ヨ＠， S， T）∈T， v∈S
qo（v） ＝＝ op （v） EIT［To
と定義すればq。はs8からT。の中への対応となる。
この時別の（q ，S ， Tt）∈Tに対し， v∈Sfとすれば， Tの
全順序性から，（q，S， T）〈（opノ， Sノ， Tつとすれば，
q（u）＝op （u）
よってq。は（q， S， T）の選び方に関係せず，一・意的であ
る。
q。がS。からT。の上への一対一対応であること．も，容 易に確かめられ，S。＝T。 ∴＠。，S。，T。）∈Σ
（q。，S。，T。）はTのΣにおける上限となる。
Σの任意の全順序部分集合がΣにおいて上限をもつから，
Σは帰納的順序集合となり，Zornの補題により，極大元
（OP＊， S＊， U。）をもつ。
S＊⊆VだがS＊⊂Vと仮定すれば，ヨves＊，V
VはUに一次従属だから，これに同値なUの中でU。
をS＊で入れかえた集合に一次従属となる。
よってe牛。として
3v＋tgivi＋ ＋3nvn＋eviui＋ ＋evmieSm＝O vE S＊， uj（IIIU−Uo
（一β）V＋（一β1）Vユ＋・・・… ＋（一βn）Vn ＝＝ evlUI＋・・・… α1nUln
Vは一次独立だから上の等式は左辺が0でなく，従って右 辺も0でない。
よってα1キ0とすれば，UlはUの中で｛Ul｝uU。を
｛v｝Us＊で入れかえた集合に一次従属になる。
従って，Uの中でU。をS＊で入れかえた集合は， Uの
一52一
申田道孝 一次的基底と代数的基底について
中で｛U、｝UU。を｛V｝US＊で入れかえた集合に同値になる。
よってUの中で｛U1｝UU。を｛V｝US＊で入れかえた集
・合は U に同値になる。
q＊（v）＝u1とψ＊ を拡張すれば
（ go ￥ ， S＊， U．） 〈 （gp＊， ｛v｝ U S＊， ｛ui｝ U Uo） E Z
これは（q＊，S＊，U。）が極大元であることに反する。よっ
てS＊＝VとなりUの中でU。をVで入れかえた集合が
Uに同値になり，U。＝＝V定理8一次独立な二つの集合UとVが同値ならば，それ
らの集合の濃度は等しい。
証明，定理7からU≦：VかつU≧Vだから
Gの部分集合Mはそれの適当な一次独立部分集合U
に同値である。UをMの（一次的）基底という。定理8より，Mのどんな基底も，濃度が一定である。こ の濃度を皿の次元と呼ぶ。
定理9：M⊇NならばNの次元はMの次元を越えない。
証明M，Nの基底をそれぞれU， Vとすれば， Vは一 次独立でVの各元はMの元だから，Uに一次従属となり，
定理6よりV≦U
〔豆〕体の超越的拡大の代数的基底
この節では9を体kの超越的拡大体とする。
ρの元vと9の部分集合uに対し，uの適当な有限
個の元Ul，……， UT、が存在して，
Vが体k（Uユ，……，U。）で代数的のときVはUに代数的 従属であるという。
即ちvは代数方程式
a。（u）vg＋a・（u）v9一1＋……＋a、（u）一〇
を満たす。
ここにai（u）はkの元を係数とするすべては0でないUl，
…一一・CU。の多項式であるQ
定理1U∋廿uに対してuはUに代数的従属である。
定理2vが｛u｝ UUに代数的従属で， Uには代数的従 属でないならば，uは｛v｝UUに代数的従属である。
証明vは｛U｝UUに代数的従属で， Uには代数的従属
でないから，Uの有限個の元ui，・・…・， U．が存在して， Vは k（u，u1……u，）で代数的で， k（u1，……u。）で代数的でない。
ki＝k（Ul，……， u。）とすれば， vはk （u）で代数的だから
ao（u）vg＋ai（u）vg一 i＋・・一…＋ag（u）＝O・・… （1）
ここにai（u）はkノの元を係数とする全ては0でないu
の多項式。
これを書きかえて，
b．（v）ui 十bi（v）uh−i十 ・ 十bh（v）＝O （2）
ここにbj（v）はktの元を係数とするvの多項式。
vはk ＝k（Ul，……， u。）で代数的でないからbj（v）＝0と なるのは恒等的に0のときに限る。
ところが全てのj＝O，1，……，hに対してb」（v）＝0とはな
らない。
もしそうならば，（1）の左辺はvについて恒等的に0とな
り，
ao（u）＝＝＝a1（u）＝……＝ag（u）一・・Oとなり，仮定に反する。
よって（2）の左辺の係数bj（v）が全部0にはならないか
ら，Uはk，（V）＝k（V， U1，……Un）で代数的となり， uは ｛V｝U Uに代数的従属になる。
定理3wがVに代数的従属で， V∋廿vがUに代数的
従属ならば，wはuに代数的従属になる。証明wはVに代数的従属だから，Vの有限個の元v1，
…… CV、が存在してWはk（V1，……， V。）で代数的になる。
各Viが代数的になるkに付加する有限個の元の全体を
Ul，……， Umとする。
Wはk（V1，……，V・）で代数的だから， k（U1，……JUm， V1，
…… D▽。）でも代数的である。又，各vlはk（u1，……， Um）で
代数的だから，k（Ul，・・…・，・Urn， Vl，……， v。）はk（Ul，……Um）
の代数的拡大である。
よってwはk（Ul，……，Um）で代数的になる。（東京図書
「現代代数学」1の140頁を見よ）
従ってwはUに代数的従属になる。
前節の定理4から定理9において一一次独立，一次従属なる 語を代数的独立，代数的従属で置きかえたものがすべて成り 立つことが同様の証明で確かめられる。
Uのどの元をとっても，それが残りの元に代数的従属で ないとき，Uは代数的独立であるという。
換言すればUの任意の有限個の元U1，……，U，、に対し て，fを多項式として，
f（ul， ・・・… ， u．） ＝O
ならばこの多項式の各係数は0である。
二つの部分集合U，Vは， Uの各元がVに， Vの各 回がUに代数的従属のとき同値であるという。
どんな部分集合も適当な代数的独立な部分集合に同値にな る。（定理6）
二つのたがいに同値な代数的独立な部分集合は同じ濃度を もっている。（定理8）
、9の部分集合Mが同値になるMの代数的独立な部分 集合をMの（代数的）基底と呼ぶ。
Mの基底の濃度は一定で，Mの超越次数と呼ばれる。
一53一
津山高専紀要（第1巻第2号）
Mの部分集合の超越次数はMの超越次数をこえない。（定 理9）
kに代数的独立な集合Uを付加して生ずる拡大のことを 純超越的拡大という。
kの拡大体9の代数的基底をUとすると，2の全て
の要素はUに代数的従属だからk（U）で代数的である。だからkの超越的拡大体9を得るには，まず純超越的 拡大k（U）を行ない，次いで代数的拡大を行なえばよい。
一54一
