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エネルギー機能材料学特論

第

5

回目

担当：西野信博

A3-012

号室

2

授業の内容

• プラズマを記述する基礎方程式（支配方程式）を求める

– Fundamental plasma equation

– 前回は、単粒子運動について調べたが、プラズマ中にはアボガドロ数程 度の多数の粒子が存在する – これらの粒子の運動方程式を一つ一つ解いて、プラズマの挙動を予測 することは不可能である • こうした場合、以下の二通りのアプローチがよく使用される。 – 運動学的(微視的, 統計的)方法 • ==>分布関数を使用する – 流体的(巨視的, 連続体近似)方法 • ==>流体モデルといわれるもの • 両者を概説するため、まず、位相空間の概念を述べる 粒子の分布を詳細に記述 平均操作により、滑らかに Fluid model Distribution function

速度空間の概念

Concept of “velocity space”

• 通常、我々は3次元空間に住んでいると認識している – この場合、3次元とは、x、y、zなどに代表される位置の座標系である • 粒子がある場所(x0 , y0 , z0)に粒子がいる場合、 xyz座標系の一点 (x₀ , y₀ , z₀)にその粒子の印をつけることで、粒子の場所を示す • 粒子の軌道を追う場合、3次元空間での点列を追えば、粒子の空間的な 挙動がわかる • しかし、 • この軌道（軌跡）、あるいは、この座標系には、粒子速度の情報はない • つまり、粒子挙動の全容はわからないことになる • そこで、同時に速度情報も空間に入れることを考えた。

速度空間とは

Velocity Space

• 位置座標(x , y , z)だけでなく、速度(vx, vy, vz)も座標とする空間を考える • つまり、ある位置(x0 , y0 , z0) で、速度(vx0, vy0, vz0)を持つ粒子は、 座標系 xyz-v_xv_yv_zの速度空間上の一点(x0 , y0 , z0 , vx0, vy0, vz0)にその粒子の印を つける • これが、速度空間の概念である • 位置座標と速度座標は独立であるから、幾何学的には、直交している • 位置座標で3次元、速度座標で3次元、合計6次元の座標系となる

• 速度分布関数，Velocity space distribution function

x

y

z

x

V

y

V

z

V





6 dimensions

位相空間

Phase Space

• このような座標によって作られる空間を位相空間という • 再掲すると、 • 位置(x0 , y0 , z0)にある粒子が、速度(vx0, vy0, vz0)を持っているとすると、 • 位相空間上の一点(x0 , y0 , z0, vx0, vy0, vz0)にその粒子の印をつけること になる • 速度の代わりに、運動量(px, py, pz)を用いる場合もある この場合も位相空間とよぶ • 先ほどの速度の代わりに、(x0 , y0 , z0, px0, py0, pz0)となる

x

y

z

x

V

y

V

z

V



6 dimensions

6

統計的手法のBoltzmann方程式、および、流体の式

Boltzmann equation and equations of fluid dynamics

• Boltzmann方程式とは、基本的には粒子の保存則で、6次元位相空間 の分布関数 で粒子の移流、拡散を表した式となっていて、 Plasmaの方程式の基礎を与える。 • Boltzmann方程式は、以下の式 – 左辺第１項は，分布関数ｆの局所時間変化 – 左辺第２項は，分布関数ｆの実空間での移流， – 第３項は速度空間での移流を表す[移流(advection)とはｆが形を変え ずに移動すること] – 右辺は，分布関数ｆの源（ソース）項で，本質的な源が無くても,衝突 などがある場合は，以下のように記述する v

f

_{f a}

_{f S}

t

     



v

( , , )

f

r v

t

coll f S t       _{ } ( x, y, z)         v ( v ,x v ,y v )z         x0 x₀

Boltzmann equation

: velocity space distribution function : velocity

: acceleration=F/m

: Source term and/or collision term

v

f

_{f a}

_{f S}

t

     



v

( x, y, z)         v ( v ,x v ,y v )z        

f

v

a

S

x

y

z

x

V

y

V

z

V





6 dimensions

忘れた人は、思い出しましょう

-Remainder-ポテンシャルV中の質量mの粒子の２次元での運動方程式は、デカルト座 標をｘ、ｙとして、ｘ成分のみ表記すると 例えば、これを極座標で書くと？ 真面目に式変形すれば、 cos , sin x r座標変換が必要



y r





_{cos 2 sin} 2 _{cos sin}



mx m r 



 r

  

 r 

  

 r sin cos V V V x  r r   _  _    



_{cos 2 sin} 2 _{cos sin}



_{cos V} sin V

m r r r r r r              _        よって、以下のような式を得る（ｘ成分のみ分表記） これではとても解けないから、y成分も合わせて式変形した後



2



V _,



₂ 2



V m r r m rr r r     _              を得る V mx F x       8

デカルト座標から極座標へ

Descartes coordinates Polar coordinates

, V V mx my x y           結局



2



V _,



₂ 2



V m r r m rr r r











_

             見た目がずいぶん変わってしまった！ 0, 0 i i i i d L L d L L dt x  x  dt y  y  dt rd L_i  Lr_i  0, dtd L



_i  



L_i  0 しかし、ラグランジュ方程式を使うと なんと、解り易いことか！ 各自、確認してください。但し、以下の変換は最低必要ですが…



2 2



1 2 L T V   m x y   V 1



2 2 2



2 L  m r r 



 V

10

物理的概念

physics concept

• ボルツマン方程式 • の意味を考える • 粒子はその座標，速度及び時刻ｔによって指定される • より一般的には，正準変数q １ ,q ２ ,q ３ ,p １ ,p ２ ,p ３ 及び時刻ｔで記 述しても良い。後者の場合, 運動方程式に従う粒子の位相空間 における微小体積Δ（= δq １ δq ２ δq ３ δp １ δp ２ δp ３ ）は,以下 のように保存される。 v

f

_{f a}

_{f S}

t

     



v

ラグランジュ形式を使えば、 デカルト座標をだろうが、極座標だろうが、 他の

どんな座標系であろうが、方程式の形が変わらないことを思い出そう。

運動エネルギーT、ポテンシャルVとして、ラグランジアンLは

解析力学を使って証明

Proof by using mathematics

L T V  運動方程式は 0 上のドットは時間微分を表していた。 i i d L L dt x  x  特に、デカルト座標にこだわらないため、一般に座標をqで書き、一般化座標と呼ぶ。 0 i i d L L dt q  q  ラグランジュアンLをルジャンドル変換し、ハミルトニアンHを導入する 一般化運動量pは i i L p q    i i i H 



p q L  座標の変換を行い、対称性をよくしている

ラグランジュ方程式からハミルトン形式へ

Lagrange’s eq. => Hamilton’s eq.

• すると、位相空間における粒子の運動はハミルトン方程式によ って記述される。 • この時,位相空間における粒子群の占める微小体積Δ • の時間変化は 1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) d q d p d _{p q q p q p} dt dt dt d q _p d p _{q q p q p} dt dt



_



_{    }



_



_

_{   }

 _{ }  _       _  _    ( , , ) i i i i dq H q p t dt   p ( , , ) i i i i dp H q p t dt    q 12 1 2 3 1 2 3 q q q p p p

     

 

• よって， • これで,位相空間における体積保存（リューヴィユの定理）が証明された • 位相空間の微小体積中の粒子数を • で表した時, を位相空間における分布関数と定義する • もし，衝突などによる粒子の散乱がなく，粒子群が運動方程式に従って,移 動するとすれば,微小体積Δも保存されるから,粒子数保存の法則より粒子 密度である分布関数も保存される

リューヴィユの定理

Liouville’s theorem

 

i 2 i i i i d _q H H _q dt   p p q       _{ }      

 

i 2 i i i i d _p H H _p dt   q q p        _{ }        2 2 0 i _{i i i i} d H H dt 



_  p q   q p _ 

( , , )

_{i i i i}

f q p t q p

 

( , , )

_{i i}

f q p t

ここで、

14

ボルツマン方程式

Boltzmann equation

• よって， の満たすべき方程式は、 • さらに,粒子の衝突を考慮すれば, • これを位相空間（位置座標+速度座標)で表すとボルツマン方程式となる 0 df dt  i i i i i 0 dq dp f f f t dt q dt p    _  _  _   



_   _ i i i i i coll dq dp f f f f t  dt q dt p  t  _  _  _{  }     



_   _{  } v coll f _{f f} f t m t  _{      }   v F _{ } F  q(E v B  ) ボルツマン方程式はプラズマを記述する出発点となる基礎方程式である。 粒子群（ここでは、プラズマ）を表す分布関数 f の時間変化を与える式である f ここに、

運動論から巨視的方程式へ

Deviation of the macroscopic equations

• プラズマの挙動を，運動論的な方程式で追うには，前のボルツマン方程 式を解けばよい • しかし，分布関数は６次元空間の関数であり，これを解く事は数値的にも 容易ではない • そこで， • 変数が少ない巨視量の方程式を導入する • 元のボルツマン方程式 • から、よく知られた流体の方程式を導出する v coll f _{f f} f t m t  _{      }   v F _{ }

• その方法は、 • に，ｒ，ｖ，ｔの関数であるｇ（r,v,t）を掛けてｖで積分する – これを，速度モーメントという • この時,分布関数で平均した量を＜＞で表す • g=1で、密度に関する方程式（連続の式）を得ることができる • g=mｖで、運動量 に関する方程式（運動方程式）を得ることができる • g=mv2_{/2で、エネルギーに関する方程式を得ることができる}

速度モーメントを求める

Getting the n’th moment of the velocity

( , , ) ( , , ) ( , ) ( , , ) g t f t d g t f t d 





v v r v r v v r r v v v coll f _{f f} f t m t  _{      }   v F _{ }



g

d d d

v v v

x y z  

 

_v

平均量での操作

Averages of g weighted by distribution function

• 分布関数 は粒子数を表すので,

• すると，前ページの式は,以下となる

• 部分積分を用いると,以下の式を得る (By integrating by parts)

( , ) ( , , ) n tr 



f r v t dv ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) n t g tr r 



g r v t f r v t dv f g d n g n g t t t  _  _    



v v_i v_i v_i i i i f g d n g n g x x x  _  _    



v F _F v v i i i i f n g d g m    m 



v f

18

プラズマでは

In case of plasma

• 前ページ最後の式は,力 がローレンツ力だから， • よって， • 従って,ボルツマン方程式の速度による積分から





q    F E v B _vF 0i i    F _F v v i i i i f n g d g m    m 



v

 

v coll g n n g n n g n g g t t m f g t





 _  _{     }      _{ }  



v v F F

具体的な式を得る

Getting fluid eqs.

• g=1とすると， – 密度 に関する連続の方程式を得る • g=mvとし，いくつかの式変形の後に – 運動方程式を得る。ここに、Fは外力、pは圧力（p=nT)、Πは応力テンソ ル、Rは衝突による運動量の増加 • g=mv2_/2とし，いくつかの式変形の後に – エネルギーの輸送方程式，ここに、ｑは熱伝導項，Qは発熱項 coll n _n f _d t





t  _{    }   v



_{ } v ij j j d mn n p dt x      



v F R

( , )

n n t

 r

3 3 _v 2 2 ij i ij j p _{p p Q} t x  _{ } _{   }  _{  }    _ v _ v



 q

速度モーメントの考え方

Concept of the n’th moment of velocity

ij ij ij P p



  前項のような速度ｖをかけて積分することを、速度のモーメントを取るという。そして、 速度をランダムな速度（熱運動）と平均的な運動速度（流体的な速度）に分ける。 すると、圧力テンソルPは r   v v v v_r  0 v v ij ri rj ij P nm



等方的である場合、 2 2 v v / 3 ij ri ij r ij ij P nm



 nm



 p



一般的に、 2 v v ( v / 3) ij nm ri rj r



ij    また、他粒子との衝突の効果を表す衝突項は r coll f m d t





   _{ }  



R v v 熱伝導項と発熱項は、それぞれ 2 2 v _{( , , ) ,} v 2r r 2r coll m _{f r t d Q} m f _d t





    _{ }  





q v v v v 20 P: Pressure tensor _ij: Stress tensor R: Collision term

分かりやすい記号で書きなおす

Rewrite by using easy notation

• 分布関数による平均の記号 を、見慣れた表現に変えて、イオン と電子の平均速度であらわすと、 i  i v V ve  Ve 0 i i i n _n t     V e e e 0 n _n t     V





i i i i i d mn p eZn dt  x_           



V _{E V B R}





e e e i e d mn p en dt  x_           



V _{E V B R} 3 2 ne T_te e Te pe e e e V_xe Qe  _    _{ } _{      }  _  _  V  V q



3 2 ni Tti i Ti pi i i  i Vxi Qi    _{       } _  _  _  V  V q



流体の連続の式 運 動 方 程 式 エ ネ ル ギ ー の 方

,

,

Eq. of continuity Eq. of motion

22

電磁流体力学方程式

Magneto-hydrodynamic eqs.

• 前頁までで、イオンと電子それぞれの巨視的方程式を導いたが、こ れらの方程式をつないで、プラズマを一流体として考察する。 • プラズマの質量密度ρm、平均速度V、電荷分密度ρ，電流密度ｊを次 式で定義する m n m n m n me e i i i i



  





e e e i i i e i e i i m i n m n m m Z m



  V V   V  V V V  V e i e en Zen e n



     





i e e i e e i e Zn en en n     _  _     j V V  V V i i e eT nT n p   但し,温度Tの単位はJである 電荷密度 電流密度 圧力 平均速度 （質量）密度

質量保存の式

Eq. for conservation of mass

• 全部は長くなるため,一部の式のみ式変形を導く • 電子とイオンの連続の式から 0 i i i n _n t     V 0 e e e n _n t     V me i m  0 e e e e e m n _{m n} t  _{  }  V 0 i i i i i m n _{m n} t  _{  }  V 加えると 0       _V m m t





質量保存の式 などの近似の下で，運動方程式など他の式が得 られる

1



i e

m

m

厳密に得られた

24

＋

Maxwell

方程式

+ Maxwell eqs.

• いくばくかの式変形の後に，一流体の運動方程式とオームの法則が得ら れる。それと、Maxwell方程式を合わせてMHD方程式ができる。 0 m m t



_

    V 0 t



    j t    B E 0 0 1 t





  B j E 0  B



0 E



m d_dt p _x  _



      







V _{E j B}



   E V B j 質量保存の式 電荷保存の式 Maxwell方程式 運動方程式 一般化したオームの法則



u j j



q u               _p

_

_p

_

_

t p _{( ) ( 1)} 圧力の方程式 （エネルギー保存の変形） ちなみに変数の数は14個である。

運動方程式の説明

Equation of motion

• 運動方程式の各項は, m d_dt p



V   



E j B  m d_dt p _x  _



      







V _{E j B} 質量密度と 加速度の積 圧力勾配 応力＝粘性 電場による力 電流と磁場による力 粘性の影響が小さいとして, 無視できる場合 m d_dt p _x  _



    



V 比較すると電磁力が付加されていること がわかる 参考 Navier-Stokes方程式

26

電気抵抗について

About the electric resistivity

• プラズマは荷電粒子の集合体であるから,電場Eを加えると電流が流 れるが，衝突のために電気抵抗ηが存在する

•

• 単位時間に単位体積当りの電子が電場によって受ける運動量の増 加は電気抵抗率をηとすると， より（Bに平行方向）

•

• であり,電子がイオンと一回衝突して受ける運動量の増加は • 程度であるから，単位時間に単位体積当りの電子がの 受ける運動量の増加は

•

• ここに,νeiは衝突頻度（衝突周波数）である。 • 両者は大きさが等しい（符号は逆）であるから，Te*をkeV単位として ) ( _{i e} ee n V V j   j E 



j E n e



en_e   _e  ) ( _{e i} e m V V e m m n e ei ei i e e e (V V )



//  j



//  ) ( * ln 10 3 . 2 9 _3/2 2 // m_{n e T}Z m e e ei e _{  } 









温度緩和時間

Temperature relaxation time

式の導出は省略するが、温度T,T*でMaxwell分布をした粒子群のクーロ ン衝突でのエネルギー移動による温度緩和時間は、温度Tの粒子群から 見て ここに、n＊は温度T*の粒子数密度、m＊、q＊はそれぞれ、粒子の質量、 電荷である。 上の表式を使用して、電子‐電子、イオン‐イオン、イオン‐電子間の緩 和時間 を考察する。 同種粒子の場合、分母の密度をn/2として、片方の温度を０近いとして 次ページの表式を得る 3/2 1/2 2 0 2 (2 ) 3 * * *ln ( *)mm T T * n qq m m 







 _  _  _{ } , , ee ii ie   



 

式の導出には、例えば宮本健朗著 「核融合のためのプラズマ物理」など

それぞれ、 よって、 一般的に、イオン‐イオンの緩和時間は、電子‐電子の緩和時間より十倍 のオーダー程度長いが、電子‐イオンの緩和時間は、さらに数十倍長いこ とがわかる 1/2 3/2 3 1 1 : : 1: : 2 ee ii ie i i i e e e m T m Z m T Z m   



 

 _   _{  }    

電子やイオンの温度緩和時間

Temperature relaxation time for electrons and ions

1/2 2 1/2 3/2 0 4 (2 ) 6 ln ee e e e m T n e 







  1/2 2 1/2 3/2 0 4 4 (2 ) 6 ln ii i i i m T Z n e 







  1/2 2 1/2 3/2 0 2 4 (2 ) 3 ln ei i e e i m m T Z n e 







  28 e-e temperature relaxation

i-i temperature relaxation e-i temperature relaxation

補足

運動量緩和時間

Momentum relaxation times

• 前と同様に、運動量に関しても緩和時間があり、衝突前の速度方向 とそれに垂直方向の緩和時間は、以下で与えられる。 • テスト粒子を電子にとり、プラズマがZ価のイオンと電子からなるとす ると、 • この逆数が前々ページの衝突周波数 となる。 2 3 0 // 2 2 * 4 v lnmmr* * q



q n



 



2 2 3 0 2 2 * 2 v ln m * * q



q n



 



_ 2 3 0 //ee ee ₂ //ei ei 2 4 _lne ev e e m Z _Z n e



 

 



 







  _ ei



• 電子の電荷－e，イオンの電荷＋Zeとして，電荷保存の式を導いてみよう。但 し、プラズマは全体で準中性とする。

• レポート

• 以下の流体、もしくは、MHDでの不安定性について調べよ。

• ケルビン‐ヘルムホルツ不安定性（Kelvin–Helmholtz instability）

• Describe Kelvin-Helmholtz instability in detail.

0 t



    j 0 e e e n _n t     V 0 i i i n _n t     V ?? ? 

加えると Add two eqs.

何をかけるとよいでしょう？

What will be taken?

電荷保存の式

Report

• 電子の電荷－e，イオンの電荷＋Zeとして，電荷保存の式を導いてみよう。但 し、プラズマは全体で準中性とする。

• レポート

• 以下の流体、もしくは、MHDでの不安定性について調べよ。

• レーリー‐テイラー不安定性（Rayleigh-Taylor instability）

• Describe Rayleigh-Taylor instability in detail.

0 t



    j 0 e e e n _n t     V 0 i i i n _n t     V ?? ? 

加えると Add two eqs.

何をかけるとよいでしょう？

What will be taken?

電荷保存の式

Report

• 電子の電荷－e，イオンの電荷＋Zeとして，電荷保存の式を導いてみよう。但 し、プラズマは全体で準中性とする。

• レポート

• 以下のMHDでの不安定性について調べよ。

• 交換型不安定性（interchange instability）

• Describe interchange instability in detail.

0 t



    j 0 e e e n _n t     V 0 i i i n _n t     V ?? ? 

加えると Add two eqs.

何をかけるとよいでしょう？

What will be taken?

電荷保存の式

Report

• 電子の電荷－e，イオンの電荷＋Zeとして，電荷保存の式を導いてみよう。但 し、プラズマは全体で準中性とする。

• レポート

• 以下のMHDでの不安定性について、一つ挙げて調べよ。

• バルーニングモード（ballooning mode）、フルート不安定性(flute instability) 、キンク不安定性（kink instability)

• Describe ballooning mode, flute instability or kink instability in detail.

0 t



    j 0 e e e n _n t     V 0 i i i n _n t     V ?? ? 

加えると Add two eqs.

何をかけるとよいでしょう？

What will be taken?

電荷保存の式

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