であるとする.ただし,である.

全文

(1)

システム制御工学 B レポート課題解答 (2014 年 7 月 11 日出題)

問題

図1の制御系において,非線形要素N(X)は図2のようなヒステリシス要素であり,線形要素G(s)

A) 3

) 1 ) (

(

s s K G

または

B) 2 2

2

) 2 (

n n n

s s s

G 

であるとする.ただし,a,,n,K 0である. 図2の非線形要素N(X)の記述関数は

1

4 1

1

0 ) (

2 2

X a X

j a X

a X

X>

a X

N

である.目標値をr(t)0として,次の問に答えよ.

1) X aのとき,

X a ja

X

N

2 2

4 ) (

1 であることを示せ.

X a ja

X j a X a X

X a X

a

X j a X

a X

X j a X a X

j a X a

X j a X

a X

X j a X a X

X N





2 2 2

2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2

2 2 1

2 2

1 4 1 4

1 4

1 1

1 1 4

4 )

( 1

2) A)の場合においてa1とするとき,安定なリミットサイクルが存在するためのゲイン定数Kの範

囲を示せ.

X a ja

X

N

2 2

4 ) (

1

を図示すると,下図の黒い太線のように,X aのとき

  , 4 0 a から始まり,Xのとき左方に発散する実軸に平行な直線になる.また,

3 ( )

1 3

3

(1)

) ( 3 ) 1 (

) 3 ( 3 1 1 3 3 1

3 3 )

1 ) (

(

2 2

2 2

2 2

2 3 2

3 3

j K j

j j

j K G

s s s

K s

s s

K s

s s

K s

s K G

であるから,G(j)は,下図の青い太線のようになり,分母の実部が零となる

(2)

3 0 3

3

1 2 [rad/s]

のとき,虚軸と交差する.これを(1)に代入して

  8 3 9 1

9 3

9

3 3 1 3

3 3

3 3 3

3 3 )

( 3 2 K

K j K j

j j

j K

G

 









(2)

安定なリミットサイクルが存在するためには,

) ( 1

X

N G(j)が交差しなければならない.

すなわち,

9 3 2 9

3 2 9

3 8 4 3 4

8

9 a K a K

a K K

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2

1

実部

虚部

4

a

X

3) B)の場合においてa1とするとき,安定なリミットサイクルが存在するための減衰定数 の範囲を

示せ.

) 3 2 (

2 ) ) (

(

2 ) 2

(

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

2

2









j j

j j G

s s

s s s

G

n n

n n

n

n

n n

n n

n n

より,G(j)が虚軸を交差するのは,(3)の分母の実部が零となる

n

のときであり,これを(3)に代入すると,



2 1 ) 2

(

2

j j j

G

n n

n

である.

) (

1 X

N G(j)が交差するためには,

2 2

4 2

1

a a

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