Handlebody presentation of a clasp disk and its inducing invariants

(1)

Handlebody presentation of a clasp disk and its inducing invariants

門上晃久

(

^{華東師範大学数学系})^∗¹

河村建吾氏との共同研究

(

大阪市立大学大学院理学研究科)^∗² 2013年12月20日発表

概要

S³^内のknot^が張るsingular diskがある種の条件を満たすときclasp disk^といい、

claspの数の最小値をclasp numberと定義する。clasp diskからband presentation

とhandlebody presentation を定義し、それらの基本変形を一応今回の主定理とす

る。この基本変形からclasp diskのirreducibilityを定義し、clasp number決定法の基本方針を述べる。特に2-bridge knotの場合に予想を立てる。clasp disk から誘導される基本群不変量を定義する。

1. Spanning singular surface of a link

図

1: singular surface

Definition 1.1 (link, singular surface) f : ⨿

ⁿi=1

(S

¹

)

i !

→ S

³ を連続な埋め込みとするとき、空間対

(S

³

, Im(f ))

を

n-component link

という。特に

1-component

のとき

knot

という（

wild

な状況は仮定しない）。

K

i

= f ((S

¹

)

i

)

を

L

の第

i

成分といい、

L = Im(f ) = K

1

∪ · · · ∪ K

n と表す。

F

g,nを

n

個の境界成分を持つ

genus g

連結有向曲面とする。!

f : ⨿

^kj=1

F

gj,nj

→ S

³ を、

以下を満たす

generic map

とする。

(1)

^∀

j, n

j

≥ 1, n = n

1

+ · · · + n

k

, (2) f

!

|

^!^k_j=1∂F_{gj ,nj}

= f .

このとき、空間対

(S

³

, Im( f

!

))

を

L

の

k-component (spanning) singular surface

という

(cf.

図

1)

。

S

j

= f

!

(F

gj,nj

)

を

S

の第

j

成分といい、

S = Im( f

!

) = S

1

∪ · · · ∪ S

k

と表す。

((g

1

, n

1

), . . . , (g

k

, n

k

))

を

S

の

type

といい、特に全ての

j

で

g

j

= 0

のとき、

(n

1

, . . . , n

k

)

を

S

の

type

という。

∗1中華人民共和国上海市閔行区東川路500^号, 200241^{華東師範大学数学系} e-mail:[email protected]

web:http://math.ecnu.edu.cn/~ mshj/intro_c.html?language=1&id=173

∗2〒558-8585大阪市住吉区杉本3-3-138 大阪市立大学大学院理学研究科数物系専攻数学科

e-mail:[email protected]

(2)

triple point

double lines

loop clasp

branch point

ribbon

図

2: singularities

Definition 1.2 (singularities) Definition 1.1

の状況下で、Σ

= { x ∈ S |

♯(

f

!⁻¹

(x)) ≥ 2 }

を

S

の

singular set

、

Σr

=

⎧⎨

⎩

{ x ∈ S |

♯(

f

!⁻¹

(x)) = r } (r ≥ 2),

Σ

\ { x ∈ S |

♯(

f

!⁻¹

(x)) ≥ 2 } (r = 1)

とおくと、Σ

=

Σ1

∪

Σ2

∪

Σ3

∪

Σ4

∪ · · ·

となる。必要なら少し動かせることにより、

r ≥ 4

で Σr

= ∅

を仮定してよい。このとき、Σ1

,

Σ3 は有限個の点で、Σ2 は

compact singular arc

の有限和集合となる。

x ∈

Σ1 を

branch point

、

y ∈

Σ3 を

triple point

、

compact singular arc

成分 α

⊂

Σ2 を

double line

という

(cf.

図

2)

。

branch point x ∈

Σ1 に対し、

x ∈

∂α を満たす

double line

α

⊂

Σ2 が存在する。

triple point y ∈

Σ3 に対し、

y = Int(α

1

) ∩ Int(α

2

) ∩ Int(α

3

)

を満たす

3

本の

local arcs

α1

,

α2

,

α3

⊂

Σ2 が存在する。

α

⊂

Σ2 を、

branch point

を持たない

double line

とし、∂α

= { x, y }

とおく。このとき

f

!⁻¹

(α) = a

1

∪ a

2

∪ (finite points)

の形。ここで

a

i

(i = 1, 2)

は

arc

。∂ai

= { p

i

, q

i

} , x = f

!

(p

1

) = f

!

(p

2

), y = f

!

(q

1

) = f

!

(q

2

)

とおくとき、

(1)

α

: loop ⇐⇒ a

1

, a

2

: loops

(2)

α

: ribbon ⇐⇒ { p

1

, q

1

} ⊂

∂Fgi,ni

& { p

2

, q

2

} ⊂ Int(F

gj,nj

).

(3)

α

: clasp ⇐⇒ p

1

∈

∂Fgi,ni

, q

1

∈ Int(F

gi,ni

) & p

2

∈ Int(F

gj,nj

), q

2

∈

∂Fgj,nj

. Definition 1.3 (C-complex, R-complex, C-surface, R-surface, clasp disk, ribbon disk) L

を

n-component link

、

S

を

L

の

type (g, n) k-component singular surface

でΣ1

=

Σ3

= ∅

となるものとする。ここで

g = (g

1

, . . . , g

k

), n = (n

1

, . . . , n

k

), (g, n) = ((g

1

, n

1

), . . . , (g

k

, n

k

)).

全ての

j

で

S

j が

non-singular

のとき

S

を

Seifert complex

という。特に全ての

j

で

n

j

= 1 (k = n)

のとき

L

は

boundary link

、

S

が

non-singular

で

k = 1

のとき

S

は

Seifert surface

である。

S

は

Seifert complex

とする。

(1)

Σ2

= { clasps } ⇐⇒ S : C-complex of type (g, n).

(3)

(2)

Σ2

= { ribbons } ⇐⇒ S : R-complex of type (g, n).

(3)

Σ2

= { clasps & ribbons } ⇐⇒ S : RC-complex of type (g, n).

以下、いくつか（或は全て）の

S

j が

singular

であるのを許す。

(1)

Σ2

= { clasps } ⇐⇒ S : C-surface of type (g, n).

(2)

Σ2

= { ribbons } ⇐⇒ S : R-surface of type (g, n).

(3)

Σ2

= { clasps & ribbons } ⇐⇒ S : RC-surface of type (g, n).

特に

g = 0 = (0, . . . , 0)

のとき、

(1) S : C-planar surface of type n.

(2) S : R-planar surface of type n.

(3) S : RC-planar surface of type n.

特に

n = k = 1, g

1

= 0

のとき、

S

を

singular disk

といい、さらに

(1) S : clasp disk.

(2) S : ribbon disk.

(3) S : RC-disk.

Lemma 1.4 L

を

n-component link

として、

(n

1

, . . . , n

k

)

を

n

の任意の（正整数）分割とするとき、

(g

1

, . . . , g

k

)

が存在し、

S

が

L

の

type ((g

1

, n

1

), . . . , (g

k

, n

k

)) k-component C-complex

。

Problem 1.5 (Minimal genus problem) Lemma 1.4

の設定で、（ある意味で）最小の

(g

1

, . . . , g

k

)

を定めよ。

Lemma 1.6 (1)

任意の

knot K

に対し

clasp disk

が存在する。

(2) knot K

に対し、

ribbon disk

が存在するとき、

D

⁴ 内で

K

が張る

proper disk

が存在する。

Definition 1.7 (clasp number, ribbon number) L

を

n-component link, g = (g

1

, . . . , g

k

), n = (n

1

, . . . , n

k

), (g, n) = ((g

1

, n

1

), . . . , (g

k

, n

k

))

とする。このとき、

c

(g,n)

(L) = min {

♯(clasps of

S) | S : L

の

type (g, n) C-surface }

を

L

の

type (g, n) clasp number

、

r

(g,n)

(L) = min {

♯(ribbons of

S) | S : L

の

type (g, n) R-surface }

を

L

の

type (g, n) ribbon number

という。

特に

g = 0

のとき、

c

n

(L) = c

(0,n)

(L), r

n

(L) = r

(0,n)

(L)

、

n = 1 = (1, . . . , 1)

のとき、

c

g

(L) = c

(g,1)

(L), r

g

(L) = r

(g,1)

(L)

、

g = 0, n = (1)

のとき、

c(L) = c

n

(L),

r(L) = r

n

(L)

とおく。

(4)

以下が主問題である。後に限定された場合に再度問題提起する

(cf. Question 2.16)

。

Problem 1.8

任意の

n-component link L

に対し、

c

(g,n)

(L), r

(g,n)

(L)

を定めよ。

Definition 1.9 (sign of clasp) L

を

oriented link

、

S

を

L

の

C-surface

、

c

を

S

の

clasp

とする。このとき

c

の

sign sign(c) = +1

または

− 1

は以下の図

3

で定められる。

+ clasp

+ −

− clasp

図

3: signs of clasps

clasp

の

sign

の一つの解釈を与える。

Lemma 1.10 L = K

1

∪ · · · ∪ K

n を

oriented n-component link, S = S

1

∪ S

2 を

L

の

type ((g

1

, n

1

), (g

2

, n

2

)) 2-component C-surface

とする。ただし

n = n

1

+ n

2 で、∂S1

= L

1

= K

1

∪ · · · ∪ K

n1

,

∂S2

= L

2

= K

n1+1

∪ · · · ∪ K

n とする。

C = { clasps from S

1

∩ S

2

}

とおくとき、

lk(L

1

, L

2

) =

%

i∈{1,...,n1}

j∈{n1+1,...,n}

lk(K

i

, K

j

) =

%

c∈C

sign(c).

Definition 1.11 (surface-homotopy, component-isotopy) L

を

n-component link

、

S = S

1

∪ · · · ∪ S

k を

L

の

k-component singular surface

とする。ただしΣ1

=

Σ3

= ∅

。

f : ⨿

ⁿi=1

(S

¹

)

i !

→ S

³ を、

L = Im(f )

である埋め込みとし、

f

!

: ⨿

^kj=1

F

gj,nj

→ S

³ を

f

!

|

⨿^k_j=1∂F_{gj ,nj}

= f , S = Im( f

!

)

である

generic map

とする。このとき、任意の

t ∈ [0, 1]

で

H | (

⨿^kj=1∂F_{gj ,nj}

)

×{t}

= f , H

0

= f

!となる

generic map H :

&

⨿

^kj=1

F

gj,nj

'

× [0, 1] → S

³ において、

S

^′

= Im(H

1

)

が Σ1

=

Σ3

= ∅

である

k-component singular surface

のとき、

H

を

surface-homotopy

といい、

S

と

S

^′ は

surface-homotopic

という。

S

を

Seifert complex

、つまり任意の

j

で

S

j が

non-singular

とする。このとき、任

意の

t ∈ [0, 1]

で

H | (

⨿^kj=1F_{gj ,nj}

)

×{t} が埋め込みのとき、

H

を

component-isotopy

とい

い、

S

と

S

^′ は

component-isotopic

という。

Theorem 1.12 L

を

n-component link

、

S

と

S

^′ を

component-isotopic

な

L

の

k- component C-complex

(1) ([1]) k = 2

とする。

S

と

S

^′ は

(C1), (C2)

の有限列で移り合う。

(2) ([4]) k ≥ 3

とする。

S

と

S

^′ は

(C1), (C2), (C3)

Theorem 1.13 ([4]) L

を

n-component link

、

S

と

S

^′ を

surface-homotopic

な

L

の

k-component C-surface

S

と

S

^′ は

(C1), (C2), (C3), (C4)

(5)

(C1)

(C2)

α

α β

(C3)

(C4)

図

4: fundamental moves

2. Band presentation and handlebody presentation of a clasp disk

Definition 2.1 (smoothing of a clasp) sign

付き

clasp c

から

sign

付き

band b

に変えることを、

c

の

smoothing

という

(cf.

図

5)

。

+ clasp − clasp

+ −

c b c b

図

5: smoothings of clasps

Definition 2.2 (band presentation, handlebody presentation) L

を

oriented n-component link

、

S

を

L

の

k-component C-surface

、

C = { signed clasps of S }

を

S

の

signed clasp

の集合とする。このとき、

S

の全ての

clasp

を

smoothing

することにより得られる

signed band

付き

surface S

を

S

の

band presentation

という

(cf.

図

6)

。

S

の

E(L)

における近傍

H = S × [ − 1, 1]

は

S

³ 内の埋め込まれた

handlebody

であり、∂S

⊂

∂H を満たすとする。

M

を

c ∈ C

に対応する

H

の

sign

付き

meridian m

c

の集合とする。このとき、

(H;

∂S,

M )

を

S

の

handlebody presentation

という。

Remark 2.3

講演タイトルでは

handlebody presentation

を中心に置いたが、むしろ

band presentation

の方が有用に思われる（論文化の際、

band presentation

の方に入れ替える予定）。

Lemma 2.4

以下の

canonical

な対応がある。

{ C-surfaces } ←→

^1:1

{ band presentations } ←→

^1:1

{ handlebody presentations } .

(6)

=

m-half twists

m

−2n

C(−2, 2n)

−2n

+

−2n

+

band presentation handlebody presentation

T(2, 5)

= ₊

+

+ +

図

6: band presentation, handlebody presentations

以下

(

図

7)

は

band presentation

の基本変形である。

(H1)

(H2) +

− +

−

− +

+ −

(H4) + −

(H3)

+ −

+

− + − + + −

−

+ +

+ + +

−

+ +

+

−

− − +

−

− − −

+

− − + − + +

+ −

− −

−

図

7: fundamental moves of band presentations

Theorem 2.5 L

を

n-component link

、

S

と

S

^′ を

component-isotopic

な

L

の

k- component C-complex

(1) k = 2

とする。

S

と

S

^′ は

(H1), (H2)

(2) k ≥ 3

とする。

S

と

S

^′ は

(H1), (H2), (H3)

Theorem 2.6 L

を

n-component link

、

S

と

S

^′ を

surface-homotopic

な

L

の

k-

component C-surface

S

と

S

^′ は

(H1), (H2), (H3), (H4)

(7)

Definition 2.7 (irreducible C-surface) L

を

n-component link

、

S

を

L

の

C-surface

、

S

を

S

の

band presentation

とする。

S

に

band

を減少させる方向の

(H1), (H3), (H4)- move

を施すことができるとき、

S

と

S

が

reducible

といい、できないときを

irreducible

という。

S

が

clasp disk

の場合に限定して、

Definition 2.2

中の

H

が

incompressible

のとき、

S

が

totally knotted

という

(

中川

[9])

。

Definition 2.7

の

irreducibility

は

totally

knottedness

より真に強い概念になっている。

Lemma 2.8 L

を

n-component link

、

S

を

L

の

type (g, n) clasp disk

のうち

c

(g,n)

(L)

を実現するもののとき、

S

は

irreducible

。

a

₁

− a

₂

a

₃

− a

_n

C ( a

1

, a

2

, …, a

n

)

C(2, 4, −6, −2)

S

₀

S

₁

S

₂

図

8: clasp disks of 2-bridge knots

C(a

1

, a

2

, . . . , a

n

) (a

i

∈

Z

\ { 0 } ; i = 1, . . . , n)

を

2-bridge knot

の

Conway

表記とする

(cf. [6])

。この

Conway

表記が

even type

とは、

n = 2m

が

even

、全ての

a

i

= 2b

i が

even

のときをいう

(

図

8)

。この状況下で、

c

r

=

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

%m j=1

| b

2j

| (r = 0),

%r i=1

| b

_2i−1

| +

%m j=r+1

| b

2j

| (1 ≤ r ≤ m − 1),

%m i=1

| b

_2i−1

| (r = m).

とおく。

Lemma 2.9 K = C(a

1

, a

2

, . . . , a

n

)

を

even type

の

Conway

表記

2-bridge knot

のとき、

c(K) ≤ min { c

r

| 0 ≤ r ≤ m } .

(8)

Conjecture 2.10 c(K) = min { c

r

| 0 ≤ r ≤ m } .

Theorem 2.11 ([8, 10]) knot K

に対し、

c(K ) = 1

であることと、

K

が

doubled knot

u(K) = g(K ) = 1

であることは同値。

S(p, q) (gcd(p, q) = 1, p ≥ 1)

を

2-bridge knot

の

Schubert

表記とする。

S(p, q) ∼ = S(p

^′

, q

^′

)

p = p

^′

& q ≡ q

^′

(mod p)

または

qq

^′

≡ 1 (mod p)

であることは同値。

S(p, q)

と

S(p, − q)

は鏡像の関係

(cf. [6])

。これより、

1 ≤ | q | < p

と仮定してよい。

p

q = [a

1

, a

2

, . . . , a

n

] = a

1

+ 1

a

2

+ 1

. .. + 1 a

n−1

+ 1

a

n

のとき、

C(a

1

, a

2

, . . . , a

n

) = S(p, q)

である。

Gabai [2, 3]

より、以下を得る。

Theorem 2.12 K = C(a

1

, a

2

, . . . , a

n

)

を

even type

の

Conway

表記

2-bridge knot

とするとき、

g(K) = n/2.

Theorem 2.13 ([5]) K = S(p, q)

を

Schubert

表記

2-bridge knot

とするとき、

u(K) = 1 ⇐⇒

^∃

d, e ∈

Z

\ { 0 } s.t. (i) q = 2e

²

& (ii) 2de = p ± 1.

Theorem 2.12, Theorem 2.13

より、以下を得る。

Corollary 2.14 K = C(a

1

, a

2

, . . . , a

n

)

を

even type

の

Conway

表記

2-bridge knot

とするとき、

c(K) = 1 ⇐⇒ n = 2 & “ | a

1

| = 2

または

| a

2

| = 2” (i.e. twist knot).

これより、

c(K) = 1

のときの

Conjecture 2.10

は正しい。

Conjecture 2.10

を支える結果をさらに得るためには以下を示すのが手始めである。

Question 2.15 c(C(6, ± 6)) = 3 ?

この稿の主目標は以下である

(cf. Problem 1.8)

。

Question 2.16 (Main Question) knot K

に対し、

c(K)

を定めよ。

c(K)

決定の基本戦略は次のようになる：

(1) K

の

irreducible clasp disk

の集合

I (K)

を決定する。

(2) c(K) = min { c(S ) | S ∈ I (K ) } (Lemma 2.8).

(1)

の

I (K)

が有限集合なら、

(2)

は有限ステップで決定できるが、

I (K)

が無限集合のとき、ある

N ∈

Z>0 で

I

^N

(K ) = { S ∈ I (K) | c(S) ≤ N }

とおく。

I

^N

(K) ̸ = ∅ &

♯(

I

^N

(K)) < ∞

なら、有限ステップで決定できる。

2-bridge knot

の場合に限定して、以下の正しければ

Conjecture 2.10

が肯定的である。

Question 2.17 K = C(a

1

, a

2

, . . . , a

n

)

を

even type

の

Conway

表記

2-bridge knot

とするとき、

I (K) = { S

0

, S

1

, . . . , S

n/2

} (cf.

図

8) ?

(9)

3. Invariants

Definition 3.1 (Hopf band presentation) L

を

n-component link

、

S

を

L

の

C- surface

、

S

) を

S

の

clasp

を

Hopf band

に置き換えた

(Seifert) surface

とする

(cf.

図

9)

。

S

)を

S

の

Hopf band surface

という。

H

を

S

)の

Hopf band

の集合とするとき、

対

( S,

)

H )

を

S

の

Hopf band presentation

という。)

S

のみで

( S,

)

H )

を表すこともある。

+ clasp − clasp

図

9: Hopf band presentation

Definition 3.2 (fundamental group) L

を

n-component link

、

S

を

L

の

C-surface

、

( S,

)

H )

を

S

の

Hopf band presentation

とする。

E(L) = S

³

\ N (L), E( S) =

)

S

³

\ N ( S)

) をそれぞれ

L, S

) の外部とし、π(L) =π1

(E(L)),

π(

S) =

) π1

(E( S))

) を

E (L), E( S)

) の基本群とする。ι

: E ( S)

) !

→ E(L)

を自然な埋め込み、ι_∗

:

π(

S)

)

→

π(L) を誘導する準同型とする。このとき、対

(π(L), Im(ι

_∗

),

ι_∗

( H ))

を

S

の

group invariant

と定義する。

c(K) ≤ n

である

knot K

の一般的構成と

Hopf band

の箇所を覚える方法：特に

n = 1

のときを述べる。まず

rigid vertex v

を持つ

n

葉の

bouquet b

を用意する。葉同士は

knot

や

link

してもよい（ここだけ一般の

n

で述べた。以下

n = 1

）。これとは別に

solid torus H

内に、

Bing double

の際の

pattern

を入れる。図

10

中で言うと黒成分と赤成分の和のこと。赤成分に

linking number 1

で自明な成分（黄色）を引っ掛ける。赤成分を ε-surgery (ε

= ± 1)

する。εは

clasp

の

sign

である。その際黄色成分は

Hopf band

の箇所として残る。この

H

を

pattern

として、

b

に

satellite

する（

H

の

meridian

は

b

の

meridian

、

H

の

longitude

は

b

の

longitude − n meridian

）と任意の

c(K) ≤ 1

である

knot K

を構成できる。他の

n

でも同様で、

H

を

genus n handlebody

として、

double

の取り方を適当に一般化する。

n = 1

のときと違い、

n ≥ 2

のときは

一意的ではないことに注意。

このようにすると、不変量を計算し易くなる。基本群なら

van Kampen

の定理、

Alexander

系不変量なら

Mayer-Vietoris

の切除定理が適用できるからである。また、

Bing double

の箇所で、

Milnor

の

µ-invariant ¯

等の適用の可能性が見えて来る。

謝辞講演の機会を与えていただいた主催者の日本大学・市原一裕先生、茂手木公彦先生に感謝します。講演後にコメントいただいた方々にも感謝します。

(10)

T(b)

b

K = D

ⁿ^ε

( b ) ε

1/n v

図

10: knot with c(K) = 1

参考文献

[1] D. Cooper ,The universal abelian cover of a link, In Low-Dimensional Topology (Ban- gor, 1979) London Math. Soc. Lect. Note Ser. 48, Cambridge University Press (1982) 51–66.

[2] D. Gabai,The Murasugi sum is a natural geometric operation, Amer. Math. Soc. Con- temp. Math. 20(1983) 131–143.

[3] D. Gabai, The Murasugi sum is a natural geometric operation II, In: Combinatorial methods in topology and algebraic geometry, Amer. Math. Soc. Contemp. Math. 44 (1985) 93–100.

[4] T. Kadokami , Component-isotopy of Seifert complexes, J. Knot Theory Ramif., 11 (2002), 683–700.

[5] T. Kanenobu and H. Murakami,Two-bridge knots with unknotting number one, Proc.

Amer. Math. Soc. 98(1986) 499–502.

[6] A. Kawauchi,A Survey of Knot Thory, Birkh¨auser Verlag (1996).

[7] A. Kawauchi, Corrections of “A survey of Knot Theory”, http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~ kawauchi/index.html

[8] T. Kobayashi,Minimal genus Seifert surfaces for unknotting number1knots, Kobe J.

Math.6(1989) 53–62.

[9] Y. Nakagawa, Elementary disks and their equivalences, Quart. J. Math. Oxford 27 (1976) 355–369.

[10] M. G. Scharlemann and A. Thompson,Unknotting number, genus, and companion tori, Math. Ann.280(1988) 191–205.