電気回路学

(1)

電気回路学 Ⅱ

コミュニケーションネットワークコース

5

セメ

山田博仁

(2)

ラプラス変換における初期条件の扱

1.

キャパシタの初期電荷

い

2.

コイルの初期電流

C

i(t)

q(0)

i(t) L

i(0)

 _ _   _ 

 ^ ^ ^ ^ ^



 

t t

t

q i t dt

dt C t i dt

t C i

dt t C i

t

v

0 0

0

1 ( 0 ) ( )

) ( )

1 ( )

1 ( ) (

+

の意味

 ^q ⁱ ^t ^dt  _sC ^q ^I _sC ^s

t C

v

^t

( 0 ) ( )

) ( )

0 1 (

)

( 

^￡

 

0

  

￡

これをラプラス変換すると、

v(t)

流れる電流と両端の電圧との関係は、

初期電荷

q(0)

により発生する電圧が

v(t)

と同一方向なら

+

、逆なら ‒

dt t L di t

v ( )

) ( 

) 0 ( )

( )

( t sLI s Li

v  

￡

これをラプラス変換すると、

流れる電流と両端の電圧との関係は、

初期電流

i(0)

が

i(t)

と同一方向なら ‒、逆なら +

(3)

過渡関数波

過渡関数波とは

?

単位ステップや単位インパルスを、時間微分或いは積分した関数で表される一連の波形を過渡関数波と呼ぶ。

単位ステップと単位インパルス

0 t 1

a

0 a t a

1

¹

⁽ ⁾ 

₁

⁽ ⁾ 

₁

⁽ ⁰ ⁾ ¹ ⁰ ¹  ^u

₀

⁽ ^t ⁾ 

s s u

t u dt s

t

du

￡￡

￡

      

 

 



 

図

(a)

の波形を時間

t

で微分すると図

(b)

の波形を得る。

(a)

(b)

a → 0

の極限を考えると、図

(a)

の波形は単位ス

テップ

u

_–1

(t)

となり、図

(b)

の波形は単位インパルス

u

₀

(t)

となる。

) ) (

(

0

1

u t

dt

t

du

^



即ち、

(4)

過渡関数波

単位ダブレット

0 2a t a

1 a

(a) (b)

a → 0

(d) 0 t a 1

2a a a

 1

a

 2

)

~ (

1

t u t

図

(a)

の三角波を時間微分すると、図

(b)

のような正および負の方形波が続いて現れる波形となる。これを　　　　で表せば、　　　　の時間積分は

0

となるが、　　　の

1

次モーメント　　　　を考えると、図

(d)

のようにその時間積分は − 1 となることが分かる。そこで、

a → 0

の極限を考えて

、を考えると、図

(c)

のように高さは無限に高く、幅が無限に小さい正と負のインパルスが、

t = 0

の時刻に同時に存在する波形となる。これを単位ダブレットと呼び、その

1

次モーメントは − 1

となる。

(c) 0 t

2

1 a

2a a

)

~ (

1

t u

2

1  a

)

~ (

1

t

u ~ ( )

1

t

u ~ ( )

1

t u )

~ (

1

t u t

) ( )

~ (

1

t u t

u 

0 t

)

1

( t +∞ u

–∞

1 )

1

(  



^^^

^tu ^t ^dt

  ^s

dt t t du

u 

 

 

 ( )

)

(

⁰

1 ￡

￡

また、単位ダブレットは単位インパルスを時間微分したものであるから、そのラプラス変換は、　　　　　　　となる。

(5)

過渡関数波

高次の特異波形

単位インパルス

u

₀

(t)

を

k

回微分した特異な関数を

u

_k

(t)

で表す。それは、正負のインパルスが時刻

t = 0

に同時に

k + 1

個発生する波形である。

 







 



^^

k n k k dt n

t u

t

ⁿ _k _k

! ) 1 ( ) 0

(

 ^u

_k

⁽ ^t ⁾  ^ ^s

^k

また、ラプラス変換は、　　　　　　　　　となる。￡その

k

次モーメントは、

であり、有限確定値をとる。

0 t

)

1

( t +∞ u

–∞

t

で微分

t

で微分

0 t

)

2

( t +∞ u

–∞

0 t

)

3

( t +∞ u

–∞

t = 0

で同時

(6)

過渡関数波

単位ランプ

0 t 1

u

_–1

(t)

u

₀

(t)

を

k

回積分して得られる関数を

u

_–k

(t)

で表す。

1

回積分したものは、図

(a)

の単位ステップ

u

_–1

(t)

で、

2

回積分したものは図

(b)

に示すように、時刻

t = 0

から直線的に増加する波形であり、

3

回積分したものは図

(c)

に示すように、時刻

t = 0

から放物線的に増加する波形となる。これら一群の関数を単位ランプと呼ぶ。

(a)

単位ステップ

u

_-1

(t) (b)

単位半無限ランプ

u

_–2

(t) 0 t

1 u

_–2

(t)

1 (c)

単位放物線ランプ

u

_–3

(t) 0 t

1 u

_–3

(t)

1 , 

2 , 1 ),

)! ( 1 ) (

(

₁

1



 

^ _



u t k

k t t

u

k k

(7)

過渡関数波

単位ランプのラプラス変換は、

 ^u

__k

( ^t )  ^

￡

_ ^ 

0^t

^u

__k_1

( ^t ) ^dt _ ^ ^

￡

_ ^  

0^t



0^t

^u

0

( ^t )( ^dt )

^k

_ ^ ^ ^s

^^k

￡となる。

例

5.3.1

例

5.3.2 f(t)

が

t = a

で連続なら、

) ( )

( )

0

( t a f t dt f a

u  



^

の関係が成り立つ。

u

_-1

(t)sinωt u

_-1

(t) sinωt

時刻

t = 0

に突然現れる正弦波

u

₀

(t)

を用いて

(8)

過渡関数波

繰り返す波形のラプラス変換

−∞

から時刻

t = 0

まで

f(t) = 0

で、

t > 0

では周期

T

をもって同じ波形が繰り返されるようなとき、その波形

f(t)

を、

0 < t < T

の

1

周期の間で

のみ

f(t)

に等しく、それ以外の全ての時刻

t

では

0

になる波形

f

₀

(t)

を

もって表せば、

f ( t )  f

₀

( t )  f

₀

( t  T )  f

₀

( t  2 T )  

となる。従って、ラプラス変換

F(s)

は、

sT

sT sT

st st

e s F

s F e

e e

s F e

s F s

F

dt e T t

f dt

e T t f dt

e t f dt

e t f s

F



 

 





















    

1 ) (

) ( ) 1

( )

(

) 2 ( )

( )

(

0

0 2

2 0

0 0

0



ただし、

^F

0

( ^s ) ^ 

0^

^f

0

( ^t ) ^e

^^st

^dt ^ 

0^T

^f ( ^t ) ^e

^^st

^dt

F

₀

(s)

を、ウェイデリッチによる定常ラプラス変換と呼ぶ。

あるいは、

   

である。

e

sT

t t f

f

_

  1

) ) (

(

￡ ⁰

￡

f

₀

(t)

0 T _2T 3T t

f(t)

(9)

過渡関数波

例

5.4.1

図に示すように、

t < 0

で

0 、 t >

0

では方形波が繰り返すような波形のラプラス変換

F(s)

は、

 

 





 

T t t

t T t

f

, 2 0 0

0 2 1

)

0

(

として、

0 t 1

2 T

_T

T

2

3

2T

T

2 5

 

 



 

 



 





 



 

^ ^



^ ^ ² ^ ²

0 2

0

0 0

0

1 1

) ( )

(

sT T

T st st

st

e

s s

dt e e dt

e t f s

F

従って、

 

 

 



 

 

 

 



2 2

1 1 1

) 1

(

_T

sT s sT

e e s

s s e F

f

₀

(t)

(10)

過渡関数波

展開定理

F(s)

のラプラス逆変換を求めるにあたり、 F(s) を部分分数に展開し、展開

式の各項についてラプラス逆変換するのが便利。例えば、



^at



at

e

e a a a a

s a

a s s a a

s s



     

 

 

 

 

 



 



 



 





 

 



 





 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

) (

1

₁ ₁ ₁

1 ￡￡￡

￡

(1) F(s)

が

1

位の極のみからなるとき

n n

s s

C s

s C s

s s C

F   

 

   

3 3 2

2 1

)

1

(

と書ける。

ここで、

s

_j

(j = 1, 2, ‥‥ , n)

は

F(s)

の

1

位の極であり、

C

_j

(j = 1, 2, ‥‥ , n)

は極

s

_j の留数である。

 

 

sj

j s

j

s s F s

C   ( )

_

従って、

  _   _    

 





  



ⁿ

j s s

st j

n

j

t s

j j

j

s s F s e

e C s

F t

f

1 1

1

( ) ( )

)

(

￡

t s j

e

j

s

s 

 





 







₁

1

￡より、 F(s) のラプラス逆変換は、

となる。

(11)

過渡関数波

展開定理

(2) F(s)

が

2

位以上の極をもつとき

      ⁽ ⁾

)

(

₁

1 1 2

1 13 1

1 12 1

11 1

1 1

1

F s

s s

C s

s C s

s s C

F

_k _k _k ^k



 

 



_ _

 

と書ける。

ここで、

F

₁

(s)

はもはや、

s

₁ に極を持たない有理関数であり、

C

_1j

(j = 1, 2,

‥‥ , k

₁

)

は定数である。従って、

    ^ ^ ^ ^  

   ⁽ ⁾ 

!

)

! ( 1

! 2

! ) 1

(

1 1

1

1 1 1

1 1 2

2 1 1

2 12

1 1 11

1 1 1

1 1

1

s j F

k e C t

s F e

t C t C

k C C t k

C t t

f

k

j

t s j k j

t s k k

k k

k







 _ ^



 

 

 

    

 

 

￡



￡

となる。

F(s)

を部分分数に展開

(s = s

₁ でローラン展開

)

して、

s

₁ 以外の極

s

₂

, s

₃

, ‥‥ , s

_n についても、

F

₁

(s)

について行う。

(12)

回路網関数

微積分方程式とラプラス変換

静止の状態にある

(

全ての初期条件を

0

とした

)

回路に励振を加えたとき

、応答のラプラス変換と励振のラプラス変換との比を回路網関数という。

(

応答のラプラス変換

) = (

回路網関数

)×(

励振のラプラス変換

)

全ての初期条件を

0 (i(0) = 0, q(0) = 0)

と置いてしまえば、励振

e(t)

および応答

i(t)

は、それぞれのラプラス変換

E(s)

および

I(s) 、 (

ほぼ

)1 、 1

対応する。従って、

e(t)

および

i(t)

で考える代わりに

E(s)

および

I(s)

で考えて、これらラプラス変換したものも励振および応答と呼んでいる。

また、全ての初期条件を

0

としたとき、

Z(s) = E(s)/I(s)

をインピーダンス

関数、

Y(s) = I(s)/E(s)

をアドミタンス関数と呼んでいたが、より一般的に

は次のように定義する。

回路網関数

(network function)

の代わりにシステム関数

(system function)

、伝

達関数

(transfer function)

などと呼ぶこともある。

回路網関数は、対象としている回路網の構造を与えれば一意に定まる。

(13)

回路網関数

回路網関数には、

(

電圧

)/(

電流

)

を表すインピーダンス関数

(impedance function) 、 (

電流

)/(

電圧

)

を表すアドミタンス関数

(admittance function)

、さらにまた励振と応答が同じ節点対

(

端子対

)

で測られるとき駆動点関数

(driving-point function)

、異なる節点対

(

端子対

)

で測られるとき伝達関数と

呼ばれる。

V

₁

(s)

回路網

V

₂

(s)

I

₁

(s) I

₂

(s)

例えば以下の回路網において、

V

₁

(s)/I

₁

(s), V

₂

(s)/I

₂

(s)

は、駆動点インピーダンス関数

I

₁

(s)/V

₁

(s), I

₂

(s)/V

₂

(s)

は、駆動点アドミタンス関数

V

₁

(s)/I

₂

(s), V

₂

(s)/I

₁

(s)

は、伝達インピーダンス関数

I

₁

(s)/V

₂

(s), I

₂

(s)/V

₁

(s)

は、伝達アドミタンス関数である。

(14)

複素記号演算との関係

回路網関数を

H(s)

とすると、

s

を

jω

で置き換えた

H(jω)

は、複素記号演算で得られるインピーダンスやアドミタンスと一致する。即ち、ラプラス変換による演算で定義される回路網関数

H(s)

は、複素記号演算で定義される回路網関数

H(jω)

を拡張したもので、

s ↔ jω

で相互に置き換わる。

 

 







 ^dt ^j ^s

s j

dt d

e A e

A t

A

^j ^t ^st

1 1

ˆ ) ˆ

cos(







^

(

ラプラス変換

)

(

初期条件の導入

) E(s ) ₍ ^(Y(s)E(s))

_代数演算

₎ ^I(s) ⁽

^{ラプラス逆変換}

⁾

(

微分方程式の標準的解法

)

e(t ) i(t )

周波数域解析時間域解析

微分方程式またはラプラス変換による時間域解析のプロセスを下図に示す。

線形電気回路の時間域解析

(15)

時間域解析と周波数域解析

線形電気回路の解析にラプラス変換を用いれば、初期条件も導入しながら、

多くの関数のラプラス変換がラプラス変換表を用いて機械的に行える。その後、

s

関数の代数演算によって応答のラプラス変換を求め、ラプラス変換表を用いてラプラス逆変換を行えば、時間応答が求められる。

時間域解析と周波数域解析

時間

t

の関数としての励振

e(t)

に対する回路網の応答

i(t)

を求めることを、時間域解析

(time domain analysis)

と呼んでいる。これに対し、

e(t),

i(t)

のラプラス変換

E(s)

と

I(s)

の関係を求めることを周波数域解析

(frequency domain analysis)

と言う。周波数域解析では、一般的には初期

条件を考慮しない。全ての初期条件を

0

として扱う。

ラプラス変換による演算法は、ヘビサイド

(Oliver Heaviside)

によって導入されたヘビサイドの演算子法を数学的に明確にする過程で変形されたもの。

(16)

周波数域解析における重ねの

周波数域解析における重ね合わせの理と初期条件

理

周波数域解析で初期条件を扱う必要のある場合には、初期条件に関連した項を強制振動項と同格に扱い、強制振動の一成分であると考える。

RLC

直列回路を例に見てみると、回路方程式のラプラス変換は、

電気回路学