数学特論 10( 確率論 )& 確率論大意 — 数理ファイナンス入門

数学特論 10( ^確率論 )& ^{確率論大意} — ^{数理ファイナンス入門}

谷 口 説 男 ( 九州大学基幹教育院・大学院数理学府 ) 2013 年度後期 (9/20/2013 版 )

目 次

1 市場モデル 1

2 投資戦略 3

2.1 投資戦略 . . . . 3

2.2 セルフファイナンシング . . . . 3

2.3 裁定機会 . . . . 6

2.4 複製 . . . . 8

3 期待値と条件付き期待値 10 4 マルチンゲール 16 5 同値マルチンゲール測度 18 5.1 無裁定 . . . . 18

5.2 価格公式 . . . . 18

6 数理ファイナンスの第 1 基本定理 21 7 数理ファイナンスの第 2 基本定理 24 8 CRR(Cox-Ross-Rubinstein) モデル 26 8.1 無裁定と完備 . . . . 26

8.2 ヨーロピアン・コールオプション . . . . 28

9 3 項モデル 32 9.1 確率測度の特徴づけ . . . . 32

9.2 同値マルチンゲール測度 . . . . 35

1. 市場モデル

まず，いくつかの記号を導入する．

• T ∈ N : 満期時刻 (T 年後，T カ月後などなど)

• T = { 0, 1, . . . , T }

• N ∈ N ，Ω = { ω

, . . . , ω

} (有限集合)

• F = 2

= { A | A ⊂ Ω }

Def 1.1. (i) 関数 P : F → [0, 1] が確率 (probability measure) であるとは，次が成り立つ ことをいう．

(a) p

= P( { ω

} ) > 0, α = 1, . . . , N ， ∑

α=1

p

= 1，(b) P(A) = ∑

α:ωα∈A

p

(ii) G ⊂ F が加法族 (field) であるとは，

(a) ∅ , Ω ∈ G ，(b) A ∈ G ⇒ A

= { ω ∈ Ω | ω / ∈ A } ∈ G ，(c) A, B ∈ G ⇒ A ∪ B ∈ G が成り立つことをいう．

(iii) {∅ , Ω } = F

⊂ F

⊂ F

· · · ⊂ F

= F を満たす加法族の増大列 F = {F

}

をフィ ルトレーション (filtlation) という．

Rem 1.2. F

は，投資者が時刻 t において保有できる情報量をモデル化している．

Assumption

以下，確率 P とフィルトレーション F = {F

}

を固定する．

Def 1.3. (i) 関数 X = (X

, . . . , X

) : Ω → R

を R

- 値確率変数 (random variable) と呼 ぶ．n = 1 のときは，簡単に確率変数ともいう．

(ii) R

- 値確率変数 X

= (X

, . . . , X

) : Ω → R

, t ∈ T の列 X = { X

}

を R

- 値確率過 程 (stochastic process) という．

(iii) R

-値確率過程 X = { X

= (X

, . . . , X

) }

が適合 (adapted) であるとは，各 X

が F

- 可測であること，すなわち，次が成り立つことをいう．

{ ω | X

(ω) ≤ a } ∈ F

, t ∈ T , 1 ≤ i ≤ n, a ∈ R .

(iv) S = { (S

, S

, . . . , S

) }

を適合な R

-値確率過程とする．さらに，

S

(ω) = 1, S

(ω) > 0, t ∈ T , 0 ≤ i ≤ d, ω ∈ Ω

が成り立つと仮定する． (Ω, F , P, T , F , S) を市場モデル (market model) と呼ぶ．

(v) β

= 1

S

とおいて，割引率 (discount factor) という．

Rem 1.4. (i) S

は安全な証券 (国債，預金など) の時刻 t における価格を表す．S

, 1 ≤ i ≤ d は危険な証券 ( 株式など ) の時刻 t における価格を表す．

(ii) 国債価格などで割り引くことで実質的な株式市場の成長率が表記できることに鑑み，

S

= { S

}

を基本財 (num´ eraire) と呼ぶ．

2. 投資戦略

2.1. 投資戦略

Def 2.1. (i) R

-値確率過程 X = { X

= (X

, . . . , X

) }

が可予測 (predictable) である とは，X

= X

であり，さらに各 X

が F

-可測であること，すなわち，次が成り立 つことをいう．

{ ω | X

(ω) ≤ a } ∈ F

, 1 ≤ t ≤ T, 1 ≤ i ≤ n, a ∈ R .

可予測な R

-値確率過程の全体を P

と表す．

(ii) θ = (θ

, θ

, . . . , θ

) = { θ

= (θ

, θ

, . . . , θ

) }

∈ P

を投資戦略 (strategy) という．

投資戦略の全体を S と表す．

(iii) θ = { θ

= (θ

, . . . , θ

) }

∈ S に対し，

V

(θ) = θ

· S

=

∑

θ

S

とおく．確率過程 { V

(θ) }

を，投資戦略 θ の価値過程 (value process) という．

Rem 2.2. (i) θ

は時刻 t における第 i 証券 S

の所有高を表す．投資戦略は，市場モデル の次元 (d + 1) には依存するが，どのような証券価格過程 S を考えるかには依存してい ない．

市場モデル (Ω, F , P, T , F , S) においては，投資家は S

, 0 ≤ i ≤ d の所有によってのみ 資産運用を行っていると仮定する．したがって， V

(θ) は時刻 t における投資家の資産 高を表す．とくに，V

(θ) は投資家の初期資産高を表している．

(ii) 時刻 t における所有高は，そのひとつ前の時刻 t − 1 の市場の情報に基づいて決定され る．すなわち，加法族 F

にしたがって決定される．これが， θ ∈ S に可予測性を仮 定する理由である．

2.2. セルフファイナンシング

Def 2.3. θ = { θ

= (θ

, . . . , θ

) } ∈ S がセルフファイナンシング (self-financing) であるとは，

θ

· S

= θ

· S

, 0 ≤ t < T.

が成り立つことをいう．

セルフファイナンシングな θ ∈ S の全体を S

と表す．

Rem 2.4. 時刻 t に，投資戦略 θ

により，資産 θ

· S

を得た投資者は，証券の所有高 θ

を

θ

に持ち替える．セルフファイナンシングは，資産の『流出入』を行わず，すべての資産

を再び投資することを意味している．

Def 2.5. ∆S

= S

− S

, 1 ≤ t ≤ T ， G

(θ) = 0, G

(θ) =

∑

θ

· ∆S

, 1 ≤ t ≤ T とおく． { G

(θ) }

を利得過程 (gain process) という．

Prop 2.6. θ ∈ S とする．以下は同値である．

(i) θ はセルフファイナンシングである．

(ii) V

(θ) = V

(θ) + G

(θ), t ∈ T ． (iii) ∆θ

· S

= 0, 1 ≤ t ≤ T .

Proof. ∆θ

の定義より，

θ

· S

− θ

· S

= ∆θ

· S

であるから，(i) と (iii) は同値である．

つぎに，

V

(θ) − V

(θ) = θ

· S

− θ

· S

, であるから，

V

(θ) − V

(θ) = θ

· ∆S

+ θ

· S

− θ

· S

= G

(θ) − G

(θ) + θ

· S

− θ

· S

となる．これより，(i) と (ii) の同値性を得る．

R -値確率過程 η = { η

}

と R

-値確率過程 X = { X

= (X

, . . . , X

) }

に対し，ηX = { η

X

}

で，

η

X

= (η

X

, . . . , η

X

), t ∈ T

なる R

-値確率過程を表す．

Prop 2.7. 適合な実数値確率過程 ξ = { ξ

}

は，すべての t ∈ T , ω ∈ Ω に対し，ξ

(ω) > 0 を満たすとする．市場モデル ξS = { ξ

S

}

に対するセルフファイナンシングな投資戦略の 全体を S

(ξ) と書く．このとき，θ ∈ S が θ ∈ S

となるための必要十分条件は θ ∈ S

(ξ) となることである．

Proof. Prop 2.6 により，

θ ∈ S

⇐⇒

∆θ

· S

= 0, 1 ≤ t ≤ T ⇐⇒

∆θ

· ξ

S

= 0, 1 ≤ t ≤ T ⇐⇒

θ ∈ S

(ξ).

Rem 2.8. ξS は，証券 1 ξ =

{ 1 ξ

}

t∈T

を基本財として，割引率 ξ により割り引かれた市場モ デルである．補題は，セルフファイナンシングという概念が割引率 ξ ，すなわち基本財に依 存しないことを述べている．

Def 2.9. S = βS = { β

S

}

とおき，割り引かれた市場モデル (discounted market model) という．

Prop 2.10. θ ∈ S に対し，次は同値である．

(i) θ ∈ S

.

(ii) θ

· S

= θ

· S

, 0 ≤ t < T .

(iii) V

(θ) = V

(θ) + G

(θ), t ∈ T ．ただし，

V

(θ) = β

V

(θ), G

(θ) =

∑

θ

· ∆S

と定義する．

(iv) ∆θ

· S

= 0, 1 ≤ t ≤ T .

Proof. Prop 2.7 より， (i) と (ii) の同値性を得る． V

(θ) = θ

· S

となることに注意して，

Prop 2.6 を市場モデル S に適用すれば，(ii) ∼ (iv) の同値性を得る．

この同値性を用いると，セルフファイナンシングとなる投資戦略を次のように構成できる．

Prop 2.11. (θ

, . . . , θ

) ∈ P

， a ∈ R とする．このとき， θ

= { θ

}

∈ P

が存在し，

θ = (θ

, θ

, . . . , θ

) = { θ

= (θ

, θ

, . . . , θ

) }

∈ S

であり，さらに V

(θ) = a となる．

Proof. Prop 2.10 より，θ

を θ

· S

= θ

· S

, 0 ≤ t < T

を満たすように構成できればよい．S

= 1 に注意して，内積を成分表示すれば，これより，

θ

= θ

+

∑

θ

S

−

∑

θ

S

, 0 ≤ t < T ( ∗ )

が得られる．すなわち，θ

が定まれば，この関係式により帰納的に θ

が定まる．

V

(θ) = a という条件を解けば，

θ

= a −

∑

θ

S

となる．この θ

をもとに，( ∗ ) により，求める θ

が構成できる．

2.3. 裁定機会

Def 2.12. (i) θ ∈ S

が許容投資戦略 (admissible) であるとは，

V

(θ) ≥ 0, t ∈ T が成り立つことをいう．

許容投資戦略の全体を S

と表す．

(ii) θ ∈ S

が，さらに

V

(θ) = 0, P(V

(θ) > 0) > 0

を満たすとき，裁定機会 (arbitrage opportunity) であるという．

裁定機会の全体を S

と表す．

(iii) 裁定機会が存在しない，すなわち， S

= ∅ となるとき，市場モデルは無裁定 (no

arbitrage) であるという．

Prop 2.13. (i) S

= ∅ とする．このとき，θ ∈ S

が V

(θ) = 0 を満たせば，V

(θ) = 0 である．

(ii) V

(θ) = 0, V

(θ) ≥ 0, P(V

(θ) > 0) > 0 を満たす θ ∈ S

が存在すれば， S

̸ = ∅ ，す なわち裁定機会が存在する．

(iii) V

(θ) = V

(ϕ) かつ P(V

(θ) ̸ = V

(ϕ)) > 0 ( ∃ t ∈ T ) となる θ, ϕ ∈ S

が存在すれば，

S

̸ = ∅ ，すなわち裁定機会が存在する．

Proof. (i) 定義より明らかである．

(ii) θ ∈ S

は， V

(θ) = 0, V

(θ) ≥ 0, P(V

(θ) > 0) > 0 を満たすと仮定する．

P(V

(θ) < 0) > 0 となる t ∈ T が存在しなければ，V

(θ) ≥ 0, t ∈ T となり，θ が裁定機会 となる．

P(V

(θ) < 0) > 0 となる t ∈ T が存在すると仮定する．

t

= max { t | P(V

(θ) < 0) > 0 } とおく．仮定と t

の定義より

1 ≤ t

< T, θ

· S

= V

(θ) ≥ 0, t > t

(2.1) である．

A = { ω | V

(θ)(ω) < 0 }

とおく． R

-値確率過程 ϕ = { ϕ

= (ϕ

, . . . , ϕ

) }

を，ω ∈ Ω に対し，

 

 

 



 

 

 

ϕ

(ω) =

{ 0, t ≤ t

, 1

(ω) { θ

(ω) − θ

(ω) · S

(ω) } , t

< t ≤ T, ϕ

(ω) =

{ 0, t ≤ t

,

1

(ω)θ

(ω), t

< t ≤ T, 1 ≤ i ≤ d

と定義する．ただし， 1

(ω) = 1 (ω ∈ A), = 0 (ω / ∈ A) である．定義より明らかに ϕ は可予 測であり，ϕ ∈ S である．

定義より，

∆ϕ

=

{ 0, t ≤ t

, 1

∆θ

, t > t

+ 1 となる．θ ∈ S

であるから，

t ̸ = t

+ 1 = ⇒ ∆ϕ

· S

= 0 (2.2)

となる．

∆ϕ

0+1

= ϕ

0+1

= 1

{ θ

0+1

− θ

· S

} , ∆ϕ

0+1

= ϕ

0+1

= 1

θ

0+1

であるから，再び θ ∈ S

であることにより，

∆ϕ

· S

= 1

(

{ θ

− θ

· S

} +

∑

θ

S

)

= 1

(

θ

· S

− θ

· S

)

= 0 となる．以上より， ϕ ∈ S

となる．

t ≤ t

ならば，V

(ϕ) = 0 である．t > t

ならば，

V

(ϕ) = ϕ

· S

= 1

(

{ θ

− θ

· S

} S

+

∑

θ

S

)

= 1

( θ

· S

− (θ

· S

)β

S

)

となる．(2.1) より， θ

· S

≥ 0 である．さらに，定義より，ω ∈ A ならば，θ

(ω) · S

(ω) < 0 である．したがって，t

< t ≤ T なる t に対し，

V

(ϕ) ≥ 0, P(V

(ϕ) > 0) ≥ P(A) > 0

となる．よって， ϕ ∈ S

であり，この ϕ が裁定機会となる．

(iii) t

= min { t ∈ T | P(V

(θ) ̸ = V

(ϕ)) > 0 } とおく．

まず，t

= 0 と仮定する． F

= {∅ , Ω } により， F

-可測な V

(θ − ϕ) は定数である．これ を，v

とおけば，仮定より v

> 0 となる．定数投資戦略 η ∈ S

を

η

= v

, η

= 0, t ∈ T , i = 1, . . . , d と定める． ψ ∈ S

を ψ = ϕ − θ + η ，すなわち

ψ

= ϕ

− θ

+ η

, t ∈ T , i = 0, . . . , d と定義する．このとき，

V

(ψ) = V

(ϕ − θ) + v

= 0, V

(ψ) = V

(ϕ − θ) + V

(η) = v

S

> 0

となる．ψ は (ii) の条件を満たすから， S

̸ = ∅ となる．

つぎに， t

> 0 とする． V

(θ) = V

(ϕ) なので， 0 < t

< T である．

B = { ω ∈ Ω | V

(θ) > V

(ϕ) }

とおく．一般性を失うことなく，P(B) > 0 としてよい．ψ = { ψ

= (ψ

, . . . , ψ

) }

∈ S を， ω ∈ Ω に対し，

 

 

 



 

 

 

ψ

(ω) =

{ θ

(ω) − ϕ

(ω), t ≤ t

, 1

(ω) { V

(θ)(ω) − V

(ϕ)(ω) } + 1

(ω) { θ

(ω) − ϕ

(ω) } , t

< t ≤ T, ψ

(ω) =

{ θ

(ω) − ϕ

(ω), t ≤ t

,

1

(ω) { θ

(ω) − ϕ

(ω) } , t

< t ≤ T, 1 ≤ i ≤ d と定義する．

∆ψ

=

{ ∆θ

− ∆ϕ

, t ≤ t

, 1

{ ∆θ

− ∆ϕ

} , t > t

+ 1,

であるから，t ̸ = t

+ 1 ならば ∆ψ

· S

= 0 となる．さらに，

∆ψ

· S

= (ψ

− ψ

)S

+

∑

(ψ

− ψ

)S

= 1

{ V

(θ) − V

(ϕ) } − 1

{ θ

− ϕ

} · S

+ 1

{ ∆θ

− ∆ϕ

} · S

= 0

となる．以上より， ψ ∈ S

を得る．

ψ の満期時の価値は

V

(ψ) = 1

{ V

(θ) − V

(ϕ) } S

+ 1

{ V

(θ) − V

(ϕ) }

= 1

{ V

(θ) − V

(ϕ) } S

となるから， V

(ψ) ≥ 0 であり，さらに P(V

(ψ) > 0) > 0 となる．

以上より，ψ は (ii) の条件を満たす．よって，裁定機会が存在し， S

̸ = ∅ である．

2.4. 複製

Def 2.14. (i) F : Ω → R を金融派生商品 (derivative) という．

(ii) 金融派生商品 F に対し， V

(θ) = F を満たす θ ∈ S

を， F を複製 ( ヘッジ ) する (duplcating) 投資戦略という．

Rem 2.15. 金融派生商品 F の売り手は，満期時 T に F を支払う義務を負う．このため，投

資戦略 θ により資金運用をし， F という資産を調達する．すなわち， F を複製する (V

(θ) = F

となる) 投資戦略 θ による資金運用を行う．

Prop 2.13(iii) より，次の主張が従う．

Prop 2.16. S

= ∅ とする．もし，θ, ϕ ∈ S

が，ともに金融派生商品 F を複製すれば，

V

(θ) = V

(ϕ), ∀ t ∈ T となる．

Rem 2.17. Prop 2.16 は「一物一価の原理」を意味している．とくに，θ を金融派生商品 F を複製する投資戦略とすれば，

無裁定な市場では，時刻 t での F の価値は V

(θ) である

という無裁定価格理論が成り立つ．

3. 期待値と条件付き期待値

Def 3.1 (期待値). (i) 確率変数 X : Ω → R の期待値 E[X] を E[X] =

∑

X(ω

)p

と定義する．ただし， Ω = { ω

, . . . , ω

} , p

= P( { ω

} ) である．

(ii) A ∈ F に対し，

E[X; A] = E[X1

] とおく．

Rem 3.2. { X(ω) | ω ∈ Ω } = { x

< · · · < x

} とおけば，

E[X] =

∑

x

P( { X = x

} ) (3.1)

とも表現できる．

Def 3.3. 確率変数 X

, X

, . . . , X

が独立であるとは，任意の x

, . . . , x

∈ R に対し，

P ( ∩

i=1

{ X

= x

} )

=

∏

P (

{ X

= x

} ) が成り立つことをいう．

Prop 3.4. X, Y は確率変数， a, b ∈ R とする．

(i) E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ].

(ii) X ≥ Y ならば， E[X] ≥ E[Y ].

(iii) p ≥ 1 に対し， E[X]

≤ E[ | X |

].

(iv) X, Y が独立ならば，E[XY ] = E[X]E[Y ].

Proof. (i) 定義より，

E[aX + bY ] =

∑

(aX + bY )(ω

)p

=

∑

{ aX(ω

) + bY (ω

) } p

= a

∑

X(ω

)p

+ b

∑

Y (ω

)p

= aE[X] + bE[Y ] となる．

(ii) X(ω

) ≥ Y (ω

) ( ∀ α) であるから，定義より，

E[X] =

∑

X(ω

)p

≥

∑

Y (ω

)p

= E[Y ]

となる．

(iii) x 7→ | x |

凸であるから， ∑

k=1

λ

= 1 なる λ

≥ 0 と x

, . . . , x

∈ R に対し，

∑

k=1

λ

x

≤

∑

λ

| x

|

という関係式を満たす． ∑

α=1

p

= 1 であるから，m = N ，λ

= p

，x

= X(ω

) としてこ の関係式を適用すれば，

| E[X] |

= ∑

α=1

X(ω

)p

≤

∑

| X(ω

) |

p

= E[ | X |

] となる．

(iv) { X(ω) | ω ∈ Ω } = { x

< · · · < x

} , { Y (ω) | ω ∈ Ω } = { y

< · · · < y

} とおく．(3.1) に より，独立性と合わせて

E[XY ] =

∑

∑

E[XY ; { X = x

} ∩ { Y = y

} ]

=

∑

∑

x

y

P( { X = x

} ∩ { Y = y

} )

=

∑

∑

x

y

P( { X = x

} )P( { Y = y

} )

= ( ∑

i=1

x

P( { X = x

} )

)( ∑

y

P( { Y = y

} ) )

= E[X]E[Y ] となる．

条件付き期待値を次の命題を用いて定義する．

Prop 3.5. G ⊂ F を加法族とし， X を確率変数とする．次を満たす G - 可測な ( すなわち { Y ≤ a } ∈ G , ∀ a ∈ R を満たす)Y : Ω → R が唯一存在する．

E[X; A] = E[Y ; A], ∀ A ∈ G . (3.2)

Def 3.6 ( 条件付き期待値 ). 上の Y を E[X | G ] と書き， X の G に関する条件付き期待値 (conditional expectation) という．

証明のために補題を準備する．

Lemma 3.7. G ⊂ F を加法族とする．

(i) 次の性質を持つ A

, . . . , A

̸ = ∅ , ∈ G が存在する:

(a) A

, . . . , A

は互いに交わらない，すなわち，i ̸ = j ならば，A

∩ A

= ∅ ， (b) A ∈ G ならば，1 ≤ i

< · · · < i

≤ n が存在し，A = ∪

k=1

A

と表現できる．

(ii) A

, . . . , A

∈ G を (i) の通りとする．確率変数 Y が G - 可測であるための必要十分条件 は，y

, . . . , y

∈ R が存在し，次が成り立つことである．

Y =

∑

y

1

. (3.3)

Proof. (i) G \ {∅} に A ⊂ B という包含関係により順序を導入する．この順序に関する極 小元 { A

, . . . , A

} が求める性質を持つ．

(ii) Y は G -可測であるとする．ω

∈ A

を採り，y

= Y (ω

) とおく．ω

∈ { Y = y

} ∈ G で あるから， (i)(b) より， A

⊂ { Y = y

} となる． ∪

i=1

A

= Ω であり， A

, . . . , A

が互いに排 反であるから，(3.3) が成り立つ．逆は，明らかである．

Def 3.8. 上の A

, . . . , A

を G の生成元と呼ぶ．

Proof of Prop 3.5 A

, . . . , A

を G の生成元とし，

Y =

∑

E[X; A

]

P(A

) 1

(3.4)

とおく． Y は G - 可測である．

A ∈ G とする．Lem 3.7(i)(b) により，A = ∪

k=1

A

と表すと，

E[Y ; A] =

∑

∑

E[X; A

]

P(A

) E[1

; A

] =

∑

E[X; A

]

P(A

) P(A

)

= E [

X ( ∑

k=1

1

)]

= E[X1

] = E[X; A]

を得る．すなわち，(3.2) が成り立つ．

G - 可測な Y が (3.2) を満たしたとする． Lem 3.7 より，

Y =

∑

y

1

と表現できる． (3.2) で， A = A

とすれば，

E[X; A

] = y

P(A

)

となる．これより，(3.4) の表示を得る．すなわち，一意性が示された．

この証明より，

E[X | G ] =

∑

E[X; A

]

P(A

) 1

(3.5)

となる．

Prop 3.9. X, Y は確率変数，a, b ∈ R とする．

(i) E[aX + bY | G ] = aE[X | G ] + bE[Y | G ].

(ii) X ≥ Y ならば，E[X | G ] ≥ E[Y | G ].

(iii) p ≥ 1 に対し， | E[X | G ] |

≤ E[ | X |

| G ].

(iv) X と G が独立ならば，すなわち，任意の A ∈ G に対し，X と 1

が独立ならば，

E[X | G ] = E[X].

(v) H ⊂ G も加法族ならば，E[E[X | G ] | H ] = E[X | H ].

(vi) Y が G -可測であれば，E[Y X | G ] = Y E[X | G ].

(vii) E[X | G ] は次の意味で最良の推定である

E[(X − E[X | G ])

] = min { E[(X − Y )

] | Y は G -可測である } . Proof. (i) 期待値の線形性 (Prop 3.4(i)) により，

E[aX + bY ; A

] = aE[X; A

] + bE[Y ; A

], 1 ≤ i ≤ n である． (3.5) とあわせると

E[aX + bY | G ] =

∑

E[aX + bY ; A

]

P(A

) 1

= a

∑

E[X; A

]

P(A

) 1

+ b

∑

E[Y ; A

] P(A

) 1

= aE[X | G ] + bE[Y | G ] となる．

(ii) 期待値の正値性 (Prop 3.4(ii)) により，

E[X; A

] ≥ E[Y ; A

], 1 ≤ i ≤ n である．(3.5) とあわせると

E[X | G ] =

∑

E[X; A

] P(A

) 1

≥

∑

E[Y ; A

]

P(A

) 1

= E[Y | G ] となる．

(iii) 互いに異なる x

, . . . , x

∈ R を { X(ω

), . . . , X(ω

) } = { x

, . . . , x

} と定義する． B

= { X = x

} とおけば

X =

∑

x

1

, | X |

=

∑

| x

|

1

である． ∑

k=1

1

= 1 であるから，

∑

E[1

| G ] = 1

となる． | · |

の凸性により，

| E[X | G ] |

= E

[ ∑

x

1

G ]

= ∑

k=1

x

E[1

| G ]

≤

∑

| x

|

E[1

| G ] = E [ ∑

k=1

| x

|

1

G

]

= E[ | X |

| G ] となる．

(iv) Prop 3.4(iv) と期待値の線形性より

E[X; A] = E[X1

] = E[X]E[1

] = E[E[X]1

] = E[E[X]; A]

となる．Prop 3.5 の一意性より，E[X | G ] = E[X] となる．

(v) A ∈ H とする．A ∈ G でもあるから，(3.2) より，

E[E[E[X | G ] | H ]; A] = E[E[X | G ]; A] = E[X; A]

となる．Prop 3.5 の一意性より，E[E[X | G ] | H ] = E[X | H ] となる．

(vi) A

, . . . , A

を G の生成元とし， Y = ∑

i=1

y

1

と表現する． A ∈ G とする． (3.2) により E[Y X; A] = E

[( ∑

y

1

)

X1

]

=

∑

y

E[X; A

∩ A]

=

∑

y

E[E[X | G ]; A

∩ A] = E[Y E[X | G ]; A]

となる． Prop 3.5 の一意性より， E[Y X | G ] = Y E[X | G ] となる．

(vii) G -可測な Z に対し，(vi) より

E[(X − E[X | G ])Z] = E[XZ] − E[ZE[X | G ]] = E[XZ] − E[E[ZX | G ]]

= E[XZ] − E[ZX] = 0 となる．よって， Y が G - 可測ならば

E[(X − Y )

] = E[ { (X − E[X | G ]) + (E[X | G ] − Y ) }

]

= E[(X − E[X | G ])

] + 2E[(X − E[X | G ])(E[X | G ] − Y )]

+ E[(E[X | G ] − Y )

]

= E[(X − E[X | G ])

] + E[(E[X | G ] − Y )

] が成り立つ．したがって，Y = E[X | G ] のときに最小値をとる．

Prop 3.10. G ⊂ F を加法族とし， Y : Ω → R は G - 可測であるとする． g : R

→ R と X : Ω → R に対し，次が成り立つ．

E[g(X, Y ) |G ] = E[g(X, y) |G ]

y=Y

.