平成
27
年度後期試験問題 基礎数学2
解答2016.2.3
担当 永野 解答はすべて解答用紙に記入せよ。解答は論理が分かるように整然と書くこと。特に答は 明示せよ。計算過程も詳しく書くこと。問題１
(1)、(2)
の関数は微分し、(3)、(4)の関数は不定積分を求めよ。(1) y = x 5 − 2x 4 + x 2 − 3x + 1 (
答）y ′ = 5x 4 − 8x 3 + 2x − 3 (2) y = cos 2 x (答） y ′ = − 2 sin x cos x(= − sin 2x)
(3) y = ln x + x 2 (
答）∫
ydx = x ln x + 1 3 x 3 − x + C(C :
積分定数) (4) y = xe − x (
答）∫
ydx = − (x + 1)e − x + C(C :
積分定数)
問題
2 (1)
は極限値を求め、(2)
は定積分の値を求めよ。(1) lim
x → 0
tan x x 3 (解) lim
x → 0
tan x
x 3 = lim
x → 0
(tan x) ′
(x 3 ) ′ = lim
x → 0
1
3x 2 cos 2 x = ∞
・・・（答）(2)
∫ π
0
sin 2xdx (
解)
∫ π 0
sin 2xdx = [ − 1
2 cos 2x ] π
0 = − 1
2 (cos 2π − cos 0) = − 1
2 (1 − 1) = 0
・・・（答）問題
3
区間[0, π
2 ]
で曲線y = cos x
をx
軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ。(
解)
回転体の体積は
2π
∫
π2
0
cos 2 xdx = 2π
∫
π2
0
1 + cos 2x
2 dx = π
∫
π2
0
(1 + cos 2x)dx
= π [
x + 1 2 sin 2x
]
π2
0 = π {
( π 2 + 1
2 sin π) − (0 + 1 2 sin 0)
}
= π 2
2
・・・（答)
問題4
逆正弦関数
y = f (x) = sin − 1 x
について次の各問いに答えよ。(1)
第1
次導関数f ′ (x)
を求めよ。(
解)
求めるのは、dy
dx
であるが、逆関数の微分法からdy
dx = 1
dx
dy
今、y
= sin − 1 x
に対して、x= sin y
より、dx
dy = cos y sin 2 y + cos 2 y = 1
よりcos y =
√
1 − sin 2 y = √ 1 − x 2 ゆえに、
(sin −1 x) ′ = dy dx = 1
dx dy
= 1
√ 1 − x 2 ・・・(
答) (2)
第2
次導関数f ′′ (x)
を求めよ。
(解)
商の微分法（(f
g ) ′ = f
′g g −
2f g
′）を用いて、f ′′ (x) = − (
√ 1 − x
2)
′1 − x
2= x
(1 − x 2 )
32・・・（答）
(3)
第3
次導関数f ′′′ (x)
を求めよ。(解)
商の微分法（(f
g ) ′ = f
′g g −
2f g
′）を用いて、f ′′′ (x) = (1 − x 2 )
32− x((1 − x 2 )
32) ′
(1 − x 2 ) 3 = 1 + 2x 2 (1 − x 2 )
52・・・（答）
(4)
第4
次導関数f (4) (x)
を求めよ。(
解)
商の微分法（( f g ) ′ = f′g g −
2f g
′）を用いて、
f (4) (x) = (1 + 2x 2 ) ′ (1 − x 2 )
52− (1 + 2x 2 )((1 − x 2 )
52) ′
(1 − x 2 ) 5 = 9x + 6x 3 (1 − x 2 )
72・・・（答）
(5)
第5
次導関数f (5) (x)
を求めよ。(
解)
商の微分法（( f g ) ′ = f′g g −
2f g
′）を用いて、
f (5) (x) = (9x + 6x 3 ) ′ (1 − x 2 )
72− (9x + 6x 3 )((1 − x 2 )
72) ′
(1 − x 2 ) 7 = 9 + 72x 2 + 24 4 (1 − x 2 )
92・・・（答）
(6)
関数f(x)
の5
次近似式を求めよ。(解)
前問(1)
から(6)
までから、f(0) = 0, f ′ (0) = 1, f ′′ (0) = 0, f ′′′ (0) = 1, f (4) (0) = 0, f (5) (0) = 9
であるので、f(x) = sin − 1 x ≃ x + 1
6 x 3 + 3
40 x 5・・・（答）
(7) sin π 6 = 1 2 から、逆正弦関数の5
次近似式を用いて、円周率π
の近似値を少数第3
位
を四捨五入して第2
位まで求めよ。（注：途中は厳密な値で計算を行い近似計算は、最後
に行う。）
(
解)
sin π 6 = 1 2 から sin − 1 1 2 = π 6 ・・・(a)
(a)
一方、前問
