確率論
-練習問題
http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/˜nishioka/
2016/07/21, 西岡
1 練習問題
1 ポアソン分布
問題1. (i)サッカー・ワールドカップ決勝戦のチケットがキャンセルされる割合は0.01 %である. 1 万枚のチ ケットを販売したとき,キャンセルされるチケットの数X はいかなる確率分布に従うか意見を述べ よ. ただし, チケット購入者がキャンセルする場合,各々の行動は独立とする.
(ii)上記の決勝戦で,キャンセルが2つ以上ある確率を求めよ.
問題 2(やや難問かな). 2 つの独立な確率変数X, Y はそれぞれパラメータµ1, µ2 のポアソン分布に従う. 固 定した正の整数kに対し,X+Y =kであるとき, X=j である確率を求めよ. ただし, 0≤j≤kである.
2 連続確率分布 - 一様分布, 指数分布
問題3. 相談窓口を訪れる人の時間間隔をX 分とする. X の確率密度関数は f(x) =
{ 3e−3x x0, 0 x <0 であるとき, Xの平均 E[X]および 確率P[X <3]を求めよ.
問題4. (i) A 駅を15分毎に発車するモノレールがある. ランダムにA 駅に着くとき,乗車するまでの待ち時 間をX 分とするとX の確率密度関数f は
f(x) =
{ 1/15 0≤x≤15,
0 それ以外
Xの平均 E[X]および 確率P[X <3]を求めよ.
(ii) B 駅でモノレールを下車し,電車に乗り継ぐ. 電車はB 駅を10分ごとに発車するが,電車に乗るまで の待 ち時間をY とするとY の確率密度関数g は
g(x) =
{ 1/10 0≤x≤10,
0 それ以外
である. X とY を独立とするとき,E[X+Y] および 確率P[X+Y <6]を求めよ.
3 正規分布 N(µ, c2)
問題5. 正規分布表/コンピューターを用いて次の値を求めよ. (i) 正規分布N(5,22)に従う確率変数X が3 と9 の間にある確率.
(ii) 正規分布N(6,42)から取り出した大きさ4のサンプルX1,· · ·, X4 の標本平均X= X1+· · ·+X4
4 が8
よりも大きくなる確率.
問題6. 現在の真の内閣支持率が60%とする. ランダムサンプリングで500人の意見を聞くとき,X 人 が内閣 を支持した. P[280< X <320]となる確率を求めよ. ただし正規分布近似を用いよ.
1
2 解答
1解答. (i) E[X] = 104· 1
104 = 1だから,λ= 1のポアソン分布で近似できる.
(ii) ポアソン近似で計算する. P[X ≥2] = 1−P[X = 0] +P[X = 1] = 1−2e−1≃0.264· · ·. 2 2解答. 計算する確率は
P[X =j|X+Y =k] = P[X=j, X+Y =k]
P[X+Y =k] =P[X =j, Y =k−j]
P[X+Y =k]
=P[X =j]P[Y =k−j]
P[X+Y =k] = 1 P[X+Y =k]
µ1j
j! e−µ1 µ2k−j (k−j)!e−µ2. ここで
P[X+Y =k] =
∑k
j=0
P[X+Y =k, X=j] =
∑k
j=0
P[Y =k−j, X=j]
=
∑k
j=0
µ2k−j
(k−j)!e−µ2 µ1j
j! e−µ1 =e−µ1−µ2 k!
∑k
j=0
k!
(k−j)!j! µ2k−jµ1j= e−µ1−µ2
k! (µ1+µ2)k,
⇒ P[X=j|X+Y =k] = k!
j! (k−j)!
µ1j µ2k−j (μ1+μ2)k. 2 3解答. E[X] =
∫ ∞
0
dx3e−3xx=
∫ ∞
0
dx(−e−3x)′x=
∫ ∞
0
dx e−3x=[
−e−3x 3
]∞
x=0=1 3. P[X <3] =
∫ 3 0
dx3e−3xx=
∫ 3 0
dx(−e−3x)′x=[
−e−3x]3
x=0= 1−e−9≃0.999· · ·. 2 4解答. (i) E[X] =
∫ 15 0
dx 1
15x=[x2 15
]15
x=0= 15/2. P[X <3] =
∫ 3 0
dx 1 15 =[x
15 ]3
x=0= 1/5.
Y
X x+y=6
6 6
15 10
(ii) E[X+Y] =E[X] +E[Y] = 15 2 +
∫ 10 0
dy 1 10 y=
= 15 2 +[y2
10 ]10
y=0= 25 2 . P[X+Y <6] =
∫ 6 0
dx 1
15 P[Y <6−x] =
∫ 6 0
dx 1 15
∫ 6−x 0
dy 1 10
=
∫ 6 0
dx 1 15
6−x 10 = 1
150
[6x−x2 2
]6
x=0= 18 150.
これは 色つき部分の面積を1 としたときの 青部分の面積. よって 18/150 = 3/25. 2
5解答. (i)コンピュータによる:
∫ 9 3
dx 1
√2π·22 exp{−(x−5)2
222 ≃0.818595.
(ii) X≡X1+· · ·+X4
4 とおく. X は正規分布で E[X] = 6, σ2[X] = 42·4 42 = 4.
⇒ P[X≥8] =
∫ ∞
8
dx 1
√2π·4 exp −(x−6)2
2·4 } ≃0.158655. (最後の計算はコンピュータ) 2
6 解答. k 番目の人が“内閣を支持する⇒ Yk = 1 ” , “支持しない ⇒ Yk = 0 ”とする, i.e. {Yk} は独立 同分布の確率変数で P[Yk = 1] = 0.6, P[Yk = 0] = 0.4. ⇒ X ≡Y1+· · ·+Y500 は E[X] = 0.6×500 = 300, σ2[X] = 0.24×500 = 120の2項分布だから,その正規化Xb = X−300
√120 がN(0,1)で近似できる.
P[280< X <320] =P[−√
10/3<X <b √ 10/3] =
∫ √
10/3
−√
10/3
dx 1
√2π e−x2/2≃0.93211. . . .
(最後の計算はコンピュータ) 2
2
