基礎数学 No.6 2006. 5.22
1.6 図形と方程式 担当：市原
図形と方程式
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方程式f(x, y) =c(cは定数)を満たす数の組(x, y)全体を考える.このような数の組を座 標としてもつ点の集まりを，f(x, y) =cが表す図形という．
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定理8 (図形の方程式と平行移動) 方程式f(x, y) =cが表す図形をx軸方向に+p,y軸 方向に+qだけ平行移動した図形を表す方程式はf(x−p, y−q) =c.
円の方程式
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• 原点を中心とする半径rの円を表す方程式はx2+y2=r2.
• 点(p, q)を中心とし半径rの円を表す方程式は(x−p)2+ (y−q)2=r2.
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問題26 次の式が表す円の中心と半径を求めなさい.
(1)x2−2x+ 1 +y2= 9 (2)x2+y2−6x+ 2y+ 7 = 0 (3)x2+y2−2y= 6(x−1)
問題27 式x2+ 2x+ 1 +y2+ 4y+ 4 = 1とx2−10x+y2−12y= 3が表す2つの円の間の 距離を求めなさい.
問題28 次の円を表す方程式を求めなさい.
(1)点(−3,1)を中心とし， 原点を通る円
(2)点(1,−1), (3,1), (5,−1)を頂点とする３角形の外接円
楕円(だえん)
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円をx軸方向,または,y軸方向に拡大,または,縮小して得られる図形を楕円という.単位 円x2+y2= 1をx軸方向にp倍に拡大,y軸方向にq倍に拡大することにより得られる楕 円を表す方程式は
x2 p2+y2
q2= 1 である.
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これをx軸方向に+a,y軸方向に+bだけ平行移動して得られる楕円を表す方程式は (x−a)2
p2 +(y−b)2 q2 = 1
#となる. $
問題29 次の楕円を表す方程式を求めなさい.
(1)原点中心の単位円をx軸方向に3倍に拡大,y軸方向に2倍に拡大することにより得られる 楕円
(2)原点中心の単位円をx軸方向に2倍に拡大,y軸方向に4倍に拡大することにより得られる 楕円をx軸方向に−3,y軸方向に−5だけ平行移動した円
(3)原点中心の単位円をx軸方向にだけ拡大して得られる,点(9,0)を通る楕円
