九州工業大学研究報告（工学）No．261973年3月 143
いくつかの制御系における最適な
パルス変調制御について
（昭和47年10月2◎日 原稿受理）
九州工業大学電気工学教室軽部 出 九州工業大学電気工学大学院石川克己
On Optimal Pulse Modulated Control of Some Systems by Izuru KARUBE Katsumi ISHIKAWA
During the past ten yeaどs， closed4◇◎p stab迫ty analysis of I）碇se m◎dulated system
is treated．
This paper iロve§tigates a pulse−modulated c◎Dtrol of s◎me sy8tems・
Piecewise constant controls such as PAM， PWM， PFM and PA・PWM are especia1．
1y aPPlied t◎systems with delay．
Using a reachable reagion technique， time optimal control problem is also discussed．
ここで X：η次元状態ベクトル
1・ まえがき 灘：スカラー操作ベクトル 区分的に一定な操作量すなわち，パルスによ 4b：適当な大きさの定数行列
って駆動される制御系の解析は，閉ループ系の安 目標点は簡単の為原点とする。 κ（の一〇 定問題などを扱うと言う形では以前にさかんに取 初期条件：x（心一κ。 （2）
り扱われていた鵬しかし・髄制御問題とし 操鷹の大きさに制限川望があるとする．操 て扱った剛蝋的少なくぼ近になぷ㌔ くつ
ﾆ姻は，各醸調形式によって次のように
か論文が出てきている・操作量にノくルスを恥る 分類される．但しτはサンカング醐を表わ
いわゆるパルス変調制御系は，その情報の形態のす。
竃㌶㌶慾；㌶蕊輔；i）ルス艦調（PAM）
系にディジタル計撒をオソラ剖こ縫込む際 ω声（ 一1）「タ＜ τ （3）
には必ずディジタル信号を取り扱わなければなら 均 パルス幅変調（PWM）
覆二㌶鷲畔めておくことは今後必⇒溌諜灘τ㌔）
この論文ではいろいろな変調系の最短時間問題 iii）パルス振幅一幅変調（PA・PWM）
‡慧竺だ時間を含む緬いて噸 ⇒：（レ1）r≦×（〃−1）W＋τカ（為一1）τ＋。、≦r＜カ7 （5）
． iv） パルス周波数変調（PFM）
講㌶で表わされるような系とする．姻一｛±㌫篭認）τ㌔
元講メX十加 臼） ここでのばは一定のパルス持続幅
この他にもパルス形式を変えることによって異 でR（『）は各段で曲線を形成することになる，更
った形の変調方式が考えることが出来るがここで にPA−PWMの場合には， PAM及びPWMの は述べない・上からわかるように・PAMの問題 場合の双方の性質を兼ねそなえているので到達可
はパルス持続幅は一定（サンプリング周期）なの 能領域は上記のそれぞれの場合よりは拡がり，双で振幅と極性のみが問題となり・PWMはパルス 方のR（りの和集合の形で領域を形成する。しか 幅と極性・PA−PWMは振幅・パルス幅及び極 もこの場合はパルスの大きさ及び持続時間の2要 性・そして・PFMは極性とパルスの数が問題に 素を調整出来るので到達可能領域は1段の場合で
なってくる・ここでは主に（i）・（ii）・（iv）の場 さえも面積をもつようになる。 PFMの場合は，
合について論じる・ ここでは，PAMあるいはPWMの特殊な場合
つぎに，この系の制御問題に関する評価関数を と考えることが出来る為あまり意味を持たない。
次式のように定義する。 例題 次の微分方程式で与えられる系を考えて
」一轤茶ﾆ（聯）直 （7）みる゜．
以上の蹴もとにしてある＿調系0こ対 ：ぱ一訟：〕÷1ト
する問題は次のように言える。
「・つの・・ルス麺系に於て（・）（2）で表わさ state t「a砿え゜n mat「ixは
れる系で（7）を最小にするパルスの列を求めよ。」 1 1◎（1−￠覗（ 一 ⑥｝）
ψ（ ，ξo）＝
O e−o・1（f㎜ o｝
3． 最短時間問題
（i）線形連続系及びサンプル値系 上述の議論により・到達可能領域は・サンプリン
通常言われている許容鞠を使肌て系（、） グ醐7＝1頃大パルス搬民とすると下
の最短時間問題を扱った論文はいろいろある．こ 図の如くなる・
こでは操作量をパルスとして与える為，例えば 一こ： ズエ
Desoer， wing3）の論文のように各段のパルスで 、へ 、 ル〆泌与榊
ヂリ トカひハのロエ ぷピタぷガ
到達出来る領域を状態空間に求めることによって 、 §ぶ・ 一一醐川・
議論が出来る。その為には条件（2）の下で系（1） ㎡ ． A 一 ；s
の解が陽の形で出ていればよい，すなわち時刻∫ ∂・ さ V ・ ・、 ・ ・ 、
ぽ イ ロ がヘヘ ヲペ
で原点に到達可能な点の集合は ・ ？プー ワ Rω一｛ぬ㊨・（ ・τ・）∫：。φ（ τ）b・4・｝（8） ・
ぐ
》ミ ぐ 茜
クチ ヘへ
dふ芯 1φ
♂ 、 ⑨ ∂子 、、、 ）t
但し， φ（ ， o）：State transition matrix ・・
となり，操作量〃は，各サンプリング区間で一定 Fig 1
霊鷲巖巖諜；簑鑓灘㌶的解法は＿形で
される方向ベハルがよ朔融表糎るの磯議論されているが・・，上述胴じ殼方が適用出 何学的にはっきりと襯出来る・ところで洛種来る．糠する系は
変調方式によるR（のの相違について述べると先 ．
ずPAMによるものは操作量の大きさでのみ調 x（の＝メx（「）＋βκ（ −m）＋Cμ（r） （9）
整する為 各段で1直線方向しか到達出来ず， X：n次元ベクトル，〃：スカラーベクトル，
R（τ）も凸体となる。これに対して，PWMの場 m：一定のむだ時間
合はパルスの持続時間τ鳶が可変となっているの メ，β，C：定数行列145
初期条件｛蕊の蕊蜘（・・）。≦㌶ぽ㌫莞
系（9），（10）が時刻rで原点に到達出来る点の
れユ集合R（τ）は x（〃）づ（椥ゐ）一メ鳶＋拐x°＋4鶏メ℃〃（〃1−1−∫）
Rω一｛xlx−一κ1（『0，∫）× ＋封ガc。（腓柏一り
苦o ［∫
o十堺
x（3，オ）8φ（ぷ一m）45 賜 舞一瞬
オ。 ＋Σ∠ξ3Σぷ∫〃φ（后一2−∫一戊一7π）
栖O J昧0
＋∫1輌c・⑭］｝（・・）ここで （15）
ち魎（f㌫㌶艮竺鷲㍗』（・＋勲一βメー）φ（・）
ここでκ（ぷ，の 。≦8≦ξは次式の解である。
ゆぽ
昔κ（5，9）十x（3，りぷ十K（5十胡，匡）β一・ ＋騨βφ（−1− ）
（12） ＋メ＋・iヨλ ガ￡r メ・βφ（ゐ一2＋ノーm）
κ（ぷ，r）＝0 ：τ≦∫≦ 十θ ⇒ 」騨o K（∫，り＝∫ したがって，この場合も
実際の計算は複雑になるが，理論的には（11）式 γ 一・4℃＋1）fr 『−0・1・…〃2＋ −1
より到達可能領域は求められる。少し具体的な形 のようなm＋カベクトルによって決まる領域が とする為に次の場合を考える。 求まる。ここで
（ 案は耀歴篇瓢ご罐姻 峠｛をβ←ゴ：1：震1
嵐2恥 ㈹ 丁度。一贈サガル醐で原献酬出来る
鰍むだ醐の存在するステ・プ数 ように考えたが，これらのことはどのタイプの変
（正の整数値とする） 調系についても共通に言えることであり，むだ時この場合には・むだ時間が存在するステップの大 間の存在しない場合の拡張として考察出来る。
きさmと，制御が完了するステップ数nとの相
対的な大きさによって解の形が全く変化するので A La蟹雛ge型の最適問題
次の2つの場合を考える・ 一般に（7）式で表わされる評価を最小にする
（・）o女動の時 問題を考える．最終時刻τ、Nrは固定とし最 地）一一メ・升￡1κ・（。・一匡㈹ 懸鰍綻とする・
倒 （1）PFMの場合
ただし （6）式で与えたように，1サンプル周期の聞で ＿κLφ（0）＋iゴぷ 一・βφ（＿卿＋η＿1＿∫） 一定の振幅耽パルス持続時間τ及びdead time ⇒ ばをもつような標準パルスを用いて最適問題を扱 φ（0）＝x。 ったOnyshkoらは次のような修正最大原理を導
よって，γ ≡4∠一・C（〆−0，1，…π一1）によって決 びいている。
るπベクトル方向に励振されるような領域が決 定理5＞ え＝躍X＋φ（の，X，φ：力ベクトル 定出来る。 0≦τ≦ち
なる系で，標準パルスを使用してP◎負廿yagin J一ψ（x（T）， x（2τ），…κ（Nτ））
関数 @ 。．、 ＿ ＋∫：：㌦（ちの4・ （2・）
S竜q鵡（ 1） （16） に対してのPAM PWMあるいはPA．PWM
を最小（大）化することと，次のスカラー関数 に対しての最適操作量の決定法はKirk7）や
方一∫増丑（りφ（の透 翼麗ぽ？㍊違論璽欝芒雲‡雰き
繰大化すること時価である．・ここで，君ぱ一 はないが・ここでは・むだ時間系（13）の評価 1，2，＿）は補助変数である。この定理は，一応終 （7）に対する髄なPWMについての考察をカ・
端未定の問題に対するものであるが，終端を指定 えることにする。
した場合には，制約が加わったことになりLag一 パルスは必ず各サンプル時刻で立ち上り・τ鳶時
。ang。の乗数鱒入すれば形式的に｝ま終端綻刻だ嚇続するものとする・振幅は一定であるの
暢合調型に鰭する。 で変量は・切換時刻のみとなる・（2°）式の補助この定理を線形サンプル値系に拡張すれば，次 変数を考慮した評価は・
の巖得られる゜ 潜一∫海陸ぷx御一）綱〕漉
（22）
姫＋1）づ④＋β・（ゐ）カ＝1，a パ18） 訊を第蝦目で考えて，
解は 告＿θ＋〆（淑＋8x（オーm）＋C・）（23）
カ
x（丘）＝ノ輌盈x（o）十Σ宴一多βμ（∫−1） とおくと丘段目での評価は i＝1
であるから次碗理が示される・ 」妻一∫：1二：1 〔鼎〆泌
定理6）
固鷲三瓢㌶麟ぷ讃慧 ＋／∴，」一ぽ〕直 （24）
の問題は ここでパルス持続時間τパこδちなる変分を与え 々糾1 ると次式となる。
ΣΣ』㌧（ξ）βψ3◎ （19）
戸゜ゴ＝1 δ」仁〔θ（τご）一θぴξ）〕δτ向
；蕊襟㌶願麓：巖む ＋∫：∵［一票δ一∂x暮竺m）δκ（）
だ時間を含む系（9）式に対しても同様に成立つ
と考えてよい．ただし，その際の醐変撫（・） ＋〆砕＋∫：＿L票δx
は次式の解でなければならない。
繭ω一一ρω一吻（、概）、，。≦、≦、rm 一δx2｛詰δx（・−m）＋〆δ元］4・ （25）
ρ（り＝一4T ＠） ：τ1−m≦τ≦τ1 以下の段階は現在考慮中であるが，上式のδκを （2の 消去する形にもって行きδ躍一〇なる為のいくつ
（11）PAM， PWA及びPA−PWM かの条件が，最適なPWMの為の必要条件とな
（7）式なる評価関数，あるいは更に一般的に， ろう。PAMの場合も振幅の変分を与える形で考
各段の状態値あるいは最終値の条件をも考慮に入 察すれば同様の過程をふんで議論できる。
れた評価関数
147
Ba§i￠Eng．84−2．71／841§62．
5． む す び 3）Desoer c． A．＆wing J．：The Minimal Time Regulator Problem for Linear Sampled Data パルス変調系の場合の最短時間問題の解析は到 Systems．：General Theory．∫． of Franklin 達可能領域を求めることでほぼ解決がつくことを Inst・272−3・208／2281961・
示した・む満間を含ぽについての糠を断 4）時霞㌶講㌶歴耀鷺；駕嶽
に加えた・条件をexpllcltに求めることと・適
5）Onyshk。 S． et aL：Optimizati◇n。f Pulse 当な計算アルゴリズムを見つけることが今後の課 F「equency Moduiated Cont「01 System via魁なろう・ 漂：汀㌶um P「 ndple IEE且T凱AC≡
参考文献 6）軽部出：むだ時間を含むパルス変調系の最適問
題第15回自動制御連合大会，1972．
1）Nelson， W． L：Pulse−Width Relay Contro1 7）Kirk， D． E．：Optimization of Systems with
