S c i .   R e p .  K a l l a z a w a  U n i v . ，  Vo 1 .   1 4 ，  N o .  2 ，  p p .   59~60

S c i .   R e p .  K a l l a z a w a  U n i v . ，  Vo 1 .   1 4 ，  N o .  2 ，  p p .   59~60

D

cemb

r1 9 6 9  

A  Note on a Definition of (G)

converge n . ce

Chikara W ATANABE 

D e p a r t m e n t  o f  M a t h e m a t i c s ，  Fa C 1 u t y  o f  S c i e n c e ，  Ka 拝 。 zawaU n i v e r s i ・ t y ( R e c i e v e d  2 3  O c t o b e r  1 9 6 9 )  

I n  a  L e c t u r 己 n o t eg i v e n  by G .  S t o l z e n b e r gl l ，  t h e  d e f i n i t i o n   o f   (G)‑convergence  i s   g i v e n  a s  f o l l o w s  

l e t   X  be a  met 1 ' i c   s p a c

and{S ; J   be a  s e q u e n c e  o f   c 1 0 s e d   s u b s e t s  o f  X ，  t h e n  i t   i s   s a i c l   t h a t  t h e  s e q u e n c e  { S i }  conve 1 ' g 巴 st o  a  c 1 0 s e c l   s u b s e t   S i f   f o 1 '   any compact  s 巴 tK c X ，  {SinK} i s   a  conve 1 ' g e n t  s e q u e n c e  i n  Comp  (瓦) a n c l   S=Ulim (S ， nK). 

Ki

Moreover i t   i s   d e n o t e c l  t h a t  i f   X  i s   ← compact ，  then a family o f   c l o s 吋 s u b s e t s o f   X  i s   no ' 1 mal i n  thεabove s e n s e .   1 n  o u r  former p a p e r s

，  ¥ v e  u s e c l  t h e  above p r o p e r t y  f o 1 '   a  f a m i l y  o f  a n a l y t i c  s e t s   i n   a  domain o f   C ' .  Howeve   ， ' 1 r e c e n t 1 y ，  M. Kita 3)  p o i n t e d  o u t   t h a t  no c o n v e r g e n t  s e q u e n c e  o f   p o i n t s  i s   normal i n  t h

abovec l e f i n i t i o n .   Therefo 1 ' e  we  amend t h e  d e f i n i t i o n  o f   (G)‑convergence a s  f o l 1 o w s .  

D e f i n i t i o n .   Let (X ， ρ )   be a m 巴 t r i cs p 旦 c ea n c l   { S ; }  b e  a  s e q u 己 nceo f   c 1 0 s e d   s u b s e t s   o f   X. We  say t h a t   c o n v e r g e s  g e o m e t r i c a l l y  t o   a  dosed s u b s e t  S  o f   X  i f  

(  i )   f o r  any p o i n t  1 う ES ， t h e r e  i s   a  .sequencε{ 戸;} o f   p o i n t s  such  t h a t   P i   E 三 S i a n d   J う z 一 " " p .

( i i )   f o r  any compact s e t   K  and p o s i t i v e   number  e ，  t h e r e   i s   a p o s i t i v e   i n t ε g e r  

V o ⁼ ν 。 (K ， ε ) such t h a t  S

nKcS ^{C ε} )nKf o r   v ミ ;V o ， where  S' ，)= リ { q ' E 三 X; ρ ( q ， q')< ε1 qES 

Note t h a t  from t h i s  d

f i n i t i o nt h e  f o l l o w i n g  p r o p e r t i e s  a r e  0 1 コ t a i n e c li m m e d i a t e l }

1 .   I f   SnK= 仇 then S

K= ゆ f o rs u f f i c i e n t l y  l a r g e   v .  

2 0   I f   a  s e q u e n c e住，}o f   p o i n t s  1 う i E  S i  c o n v e r g e s  t o   J う E X ， then  ρ ε S .  

3 0   I f   {Si} converg

sg e o m e t r i c a l l y  t o   S  and T ，  t h e n  S=  T. 

LEMMA  1 0   1f  X  i s   a ィ ompact ， then α lamily  @ 5   01 c l o s e d   s u b s e t s  i s   normalo  1 )   V o l u m e s ，  l i m i t s  a n d  e

t e n s i o n so f   a n a l y t i c   v a r i e t i e s ，  L e c t u r e   n o t e   i n   M a t h . ，  N o .  1 9 ，  S p r i n g e r  

V e r l a g  ( 1 9 6 6 ) .  

2 )   On n o r m a r i t y  o f  a  f a m i l y  o f   a n a l y t i c  s e t s ，  S c i .   R

p .K a n a z a w a  U n i v . ，  1 2   ( 1 9 6 7 ) ，  2 0 9 ‑ 2 1 3 .   On a  f a m i i y  o f   p u r e

d i m

n s i o n a ia n a l y t i c  s e t s ，  i b i d ，  1 3   ( 1 9 6 8 ) ，  7 3 ‑ 8 2 .  

A r e m a r k  o n  t h e  t h e o r e m  o f  B i s h o p ，  P r o c .   J a p a n  A c a d .   4 5   ( 1 9 6 9 ) ，  2 4 3 ‑ 2 4 6 .   3 )   D o p a r t m e n t  o f  M a t h e m a t i c s ，  F a c u 1 t y  o f   S c i e n c e ，  T o k y o  U n i v e r s i t y .  

‑ 5 9   ‑ ‑

， 60  C h i k a r a  WATANABE 

Let {K ν }   be a  s e q u e n c e  o f   compact s u b s e t s  ( ) f   X such  t h a t  

and  U 瓦 v=) 乙 Takeany sequence  d  o f 思 S i n c eCcmp  (K 1)  i s   c c n r c a c t  m e t r i c  s p a c e ，  t h e r e  i s   a  s u b s e q u e n c e   o f   such  t h a t   c c n v e r g e s  t o   1 ' 1  i n   。 〉 Also ，  s i n c e  Comp  (K 2)  i s   compact ，  t h e r e   i s   a s u b s 問 uencε(2)}o f   E u c h   t h a t  

2  c o n v e r g e s  t o   T 2  i n   We  c

n t i n じ εthisp n : c e E s .  A d i a g c n a l  E e q u E n c e   { S iC i l} converges t o   i n  Comp  f o r  any  j .   Let  T=  From t h e   p r o p e r t y   o f   t h e  s p a c e   (K) ，  we haγe  t o   prove  t h a t   T  i s   d o s e d .   Evidεwe may  assumεT 手功。 Let be a sequenc 巴 o f . r ; o i n t s  i n   T  Euch t h a t   tj →jJ E X .   Put  K =  

then f o r  some  i n t e g e r   K~瓦 00 o  We s h a 1 1   show t h a t   tjETjo  f o r   any  l  Let  tj 年 生 ・ S i n c e   1 う j E T   j !   f o r  some  j ' ，   t h e r ε   i s   a s e q u e n c e  o f   ^ESv'ρ  such t h a t   ν→∞)，  ( and s i n c e   t ，  E  we may assume t h a t   EKjo 。

Let  d=p  such t h a t  

0 ) .   S i n c e  S ν (

convεrges t o   T""  t h e r e  i s   a  integerνo  cTJJdJZ 〉 品

f o r   ν 量 ; ; 2 10 ・ S i n c eqν C j ) E 5

三 (d / 2 )   f o r  

ミ ; ; vo ・On t h e   o t h e r   hand ，  T  =min  討 ( ρ j ， 一 ρ d  r ; l  

tETj ， 

c o n t r a d i c t i o n  and  1 合 j E  T i o  f o r  any  J  S i n c e   i 8   c l o s e d   tETj.cT.  Q. E . D. 

LEMA 2 .   L e t   b e  a  s e q

e n c e l ， ‑ d i m e n s i o n a l  a n a l y i i c  E e t s  i n  a  domain  D  of  C n .   c o n v e r g e s   t o   a 

t o  S .  

島 ‑ d i m e n s i c n a l ε e t   S i n   D ，  t h e n  { S ; }   C01

v e r g e s

P r o o f .   This i s   a  d i r e c t  con c 1 u s i o n  o f   an

n a l y t i cc o n v e r g e n c e .  

LEMMA 3 0   L e t  X b e   a  m e t r i c  s t a c e  a 針 d {8 . J   b e  a  sequena  c l u s e d  s u b s e t s   X  which c o n v e r g e s   t o   S .   i h e r e  a r e   e  c 正 問 t a1 1 t M s

c h  t h a t  fo 1 '  

any  t E   Hd ι r . B ( 長 : r η 二 三 l V rdw J : e r e   H r i   i s   a d . d i m e 1 1 s I i

a l ι t e 幻 v a l l

and t h a t   <  I Y I   a l l  l ，  t h e n   a 町

1 V l o r e o v e r   X  i s  

t h e n 約三五

The p r o o f  o f  t h i s   Lemma i 8   t h e  same a s   t h a t   From Lemma 3 ，  t h e   Theorem o f  

THEOR

M OF BISHOP.  L e t  { S ' i }   b e   a s e q u e n c e  of  i n  a  domain D of  Cnα ! h i c h  c o n v e r g e s  

.

t he volumes of  S i   a r e  

r a d i u s  r with  c e n t e r   T  i n   E e t   Hd(Sr 瓦〉話

i n  .  t h e   L e c i u r e   note' o f   G 。

h o l d s .  

k 胆 正 i i m e n s i o n a l E e t s   c l o s e d  s e t   S .   1f 

s e t   i n  

4 )   C o n d i t i o n s  f o r  t h e  a n a l y t i c i t y  o f  c

r t a i ns e t s

Mich

M a t h . J . ，  1 1   ( 1 9 6 4 ) ，  2 8 9 ‑ 3 0 4