擬円板の特徴付け

(1)

擬円板の特徴付け

家迫正英大阪市立大学

1

序

2 2 BMO

関数と擬円板との関係

5 2.1 BMO

関数の定義

. . . . 5 2.2 BMO

関数の擬等角不変性

. . . . 11 2.3

擬円板と

BMO

拡張性との関係

. . . . 25

3 BMO

拡張性と

Whitney cube

分解性との関係

28

3.1

準備

. . . . 28 3.2 BMO

拡張性と

Whitney cube

分解性との関係

. . . . 31

4 Whitney cube

分解性と双曲有界性との関係

32

4.1

準備

. . . . 32 4.2 Whitney cube

分解性と双曲有界性との関係

. . . . 32

5

双曲有界性と双曲線分性との関係

34

5.1

準備

. . . . 34

5.2

双曲有界性と双曲線分性との関係

. . . . 35

(2)

1

序

拡張された複素平面

C ˆ = C ∪ {∞}

上の擬円板とは、

C ˆ

から

C ˆ

の上への擬等角写像による単位円板の像のことである。この擬円板には

19

個の特徴的な性質が知られている

(cf. Gehring[1])。

〜19個の擬円板の特徴付けの一覧〜

1 Hyperbolic segment property 2 Uniform domain

3 Linear local connectivity

4 Arc condition (three point property, of bounded turning) 5 BMO extension property

6 Whitney cube decomposition property 7 Hyperbolic bound property

8 Reflection property

9 Quasiconformal reflection property

10 Schwarzian derivative property (Schwarzian univalent criterion) 11 Logarithmic derivative property

12 Rigid domain

13 L

²₁

extension property 14 Hardy-Littlewood property 15 Homogeneity boundary property 16 Homogeneity domain property 17 Limit set of a discontinuous group 18 Dirichlet integral property

19 Mapping property

このうち、1〜4の各性質をもつ単連結領域と擬円板は、有名な閉じた定理の鎖によって、互いに同値であることが知られている

(cf. Gehring[1],Lehto[7])。このことを既知として、5〜7

の各性質を持つ領域が、擬円板と同値となる事を詳しく解説するのが、本論文の目的である。この目的のため、2〜4、8〜19の性質の紹介は省略する。

擬円板の特徴付けは、比較的、幾何学的なものが多いが、上の一覧より、解析学的なものも存在する。これらの特徴は、擬等角写像とは直接関わりの無いように思われる領域の様々な解析的あるいは幾何学的性質の間の驚くべきつながりを明らかにしている。上記の一覧にある擬円板の主な性質の幅広い記述は、1982年に発行された

Gehring[1]

の講義ノートに与えられており、この

Gehring[1]

のノートには、多大な参考文献も記されている。

擬円板の境界である擬円は、Pfluger(1961)と

Tienari(1962)

によって紹介された。1963年に

Ahlfors

は、

擬円板の持つ性質

4

の

Arc condition (弧条件)

が擬円と必要十分であることを示し、擬円を幾何学的に特徴付けた。この同じ論文で、Ahlforsは擬等角鏡映についても紹介し、それらを等角写像に対する重要な拡張定理を証明することに用いた。Gehringは、擬円板の持つ性質

3

の

Linear local connectivity(線形局所連結)

の概念を定義し、1977年に、境界が二点以上の単連結領域が線形局所連結であるならば、その領域の境界が弧条件を満たす

Jordan

曲線であることを証明した。擬円板と擬円板の持つ性質

2

の

Uniform domain(一様

領域)とが必要十分であることは、1979年、Martio & Sarvasによって示され、また、1977年に

Gehring &

Osgood[3]

は、擬円板と擬円板の持つ性質

1

の

Hyperbolic segment property(双曲線分性)

を持つ単連結領域とが必要十分であることを証明している。

本論文を書くにあたって、その中心となる擬等角写像と擬円板の定義を簡単に述べる。擬等角写像

(quasi-

conformal mappings)

には、解析的定義と幾何学的定義があるが、それぞれ互いに同値である事が知られて

いる

(cf. Lehto & Virtanen[8])。

(3)

定義

1.1

領域

D ⊂ C ˆ

上の連続関数

f (z) = f (x, y)

が

ACL(absolutely continuous on lines)

であるとは、D内の任意の長方形

R = [a, b] × [c, d]

に対して、次の

2

条件が成り立つことである。

1

^◦

[c, d]

上の

a.e. y

に対して、f(x, y)は

x

の関数として

[a, b]

上絶対連続。

2

^◦

[a, b]

上の

a.e. x

に対して、f

(x, y)

は

y

の関数として

[c, d]

上絶対連続。

領域

D

上の連続関数

f (z)

が

D

上

ACL

であるならば、f

(z)

は

a.e.D

上

f

z

, f

z が存在する

(cf. Lehto &

Virtanen[8])。

定義

1.2(擬等角写像の解析的定義)

1 ≤ K < ∞

と仮定する。

f

が領域

D ⊂ C ˆ

から

C ˆ

の中への同相写像であって、次の

2

条件が成立する時、f を

D

上

K-擬等角 (K-quasiconformal)

であるという。

1

^◦

f

は

D

上で

ACL

である。

2

^◦

max

α

| ∂

_α

f (z) | ≤ K min

α

| ∂

_α

f (z) | , ∀ z ∈ D a.e.

ここで、∂α

f (z)

とは、点

z

における、f の

α

方向の微分である。

定義

1.3(擬等角写像の幾何学的定義)

1 ≤ K < ∞

と仮定する。

f

が領域

D ⊂ C ˆ

から

C ˆ

の中への向きを保つ同相写像であって、次の不等式が成立する時、f を

D

上

K-擬

等角

(K-quasiconformal)

であるという。

sup {M (f (Q))

M (Q) ∀ Q :

四辺形

s.t. Q ⊂ D }

≤ K < ∞

ここで、M

(Q)

とは、四辺形

Q

のモジュールである。

f

が擬等角であるとは、ある

K ≥ 1

に対して

, f

が

K-擬等角である事をいう。

定義

1.4

領域

D

が

C ˆ

上の

K-擬円板 (K-quasidisks)

であるとは、Dが

C ˆ

から

C ˆ

の上への自己

K −

擬等角写像による単位円板の像である。また、領域

D

が擬円板であるとは、ある

K ≥ 1

に対して

, D

が

K-擬円板である

事をいう。

第

2

章では、二種類の

BMO

関数の定義を紹介し、それらが同値である事を証明する。又、BMO関数は擬等角写像によって不変である事を証明し、その不変性を用いて、BMO拡張性を持つ領域と擬円板が関係付けられる事を示す。

第

3

章では、第二章で紹介する

Whitney p-cube

分解を用いた

Whitney cube

分解性を紹介し、その性質を持つ領域と第二章で紹介した

BMO

拡張性を持つ領域とが関係付けられる事を示す。

第

4

章では、双曲距離を用いた領域の性質、双曲有界性を紹介し、その性質を持つ領域と第三章の

Whitney cube

分解性を持つ領域とが関係付けられる事を示す。

第

5

章では、双曲線分を用いた領域の性質、双曲線分性を紹介し、その性質を持つ領域と第四章の双曲有界性を持つ境界が２点以上の無限遠点を除く単連結領域とが関係付けられる事を示して、擬円板を特徴付ける大きな定理の鎖を閉じる。

この論文を通して用いる記号や言葉をここで述べておく。

· cube

は辺が軸に平行とは限らない閉正方形を、ballは閉円板を、p-cubeは辺が軸に平行な閉正方形を表す。

· A

1

, A ˜

1

, A

2

, A

3

, · · · , C

1

, C

2

, · · ·

を絶対定数とする。

· ℓ(Q)

は

cube Q

の辺の長さ、diam(Q)は

cube Q

の直径、

rad(B)

は

ball B

の半径とする。

· ∆

を単位円板,

B(z, r)

を

z

中心、半径

r

の開円板,

D

^∗

= C − D

とする。

(4)

· k

D は

D

上の擬双曲距離を,そして

h

Dは

D

上の双曲距離を表す。

最後に、この論文を書くにあたって、指導して下さった佐官謙一先生、ならびに様々な助言を下さった防衛大学の後藤泰宏先生、早稲田大学の松崎克彦先生、そして山口大学の増本誠先生に、この場をお借りして、

厚くお礼申し上げたいと思います。

(5)

2 BMO

関数と擬円板との関係

2.1 BMO

関数の定義

BMO

関数には書籍によって、定義が異なる。そこでまず、2種類の

BMO

関数の定義を紹介し、その定義が同値であることを証明する。

以下では、特別に表記することがない限り、Dは

C

内の領域とする。

定義

2.1(cube

による

BMO

関数の定義)

f

が

D

上

BMO

関数

(a bounded mean oscillation function)

であるとは、fは

D

上実数値局所可積分関数であって、

|| f ||

^C_∗,D

:= sup

Q⊂D:cube

1 m(Q)

∫

Q

| f (z) − f

Q

| dm < + ∞

なることである。ここで、m(Q)は

Q

の面積

(測度)、dm = dxdy (z = x + iy), f

Q

= 1 m(Q)

∫

Q

f (z)dm

である。

このとき、f

∈ BM O

C

(D)

と表記する。

定義

2.2(ball

による

BMO

関数の定義)

f

が

D

上

BMO

関数

(a bounded mean oscillation function)

であるとは、fは

D

上実数値局所可積分関数であって、

|| f ||

^B_∗,D

:= sup

B⊂D:ball

1 m(B)

∫

B

| f(z) − f

B

| dm < + ∞

なることである。

このとき、f

∈ BM O

_B

(D)

と表記する。

この二種類の

BMO

関数の定義の同値性を示す際に用いられる、２つの重要な定理を証明する。

定理

2.3.C(BM O

Cの局所化定理)(Gotoh[4])

D

上実数値局所可積分関数

f

について、f はある

λ ≥ 1 , L > 0

に対して、d(Q, ∂D)

≥ λℓ(Q)

を満たす任意の

cube Q ⊂ D

上

f ∈ BM O

C

(Q)

となり、しかも

|| f ||

^C_∗,Q

≤ L

であるとする。この時、f

∈ BM O

C

(D)

であり、しかも

|| f ||

^C_∗,D

≤ A

1

Lλ

証明.

s = [3λ + √

2] + 1

とおく。また、Qを

D

上の任意の

cube

であるとし、Qの中心を

x

Qとする。この

Q

に対し、ℓ(Qn

) = (1 − 2

⁻ⁿ

)ℓ(Q)

なる

x

Q中心、辺が

Q

と平行な

cube

列

{ Q

n

}

n=1,···を選ぶ。そして、各

Q

_n

(n ≥ 2)

を辺の長さが

2

⁻ⁿ⁻¹

ℓ(Q)

なる

4(2

ⁿ

− 1)

²個の合同な

cubes

に分割し、それらの内で、Qn−1に含まれないものの全体を

D

nとする。Q1については、それを

4

つの合同な

cubes

に分割し、それらを

D

1と表す。このとき、#

{ D

_n

} = 2

ⁿ⁺³

− 12

である。さらに、Dnの各

cubes

を

s

²個の合同な

cubes

に分割し、その

cube

たちの族を

D

n′

= { Q

n,i

}

1≤i≤s²(2ⁿ⁺³−12)

(n = 1, 2, · · · )

と表す。

まず、Qn,i

∩ Q

n^′,i^′

̸ = ϕ

のとき、|

f

Q_n,i

− f

Q_n′,i′

| ≤ 45L

を示す。

ℓ(Q

_n,i

) ≥ ℓ(Q

_n′,i^′

)

と仮定しておく。このとき、

Q

n,i

∪ Q

n^′,i^′

⊂ 3Q

n,i

である。ここで、3Qn,iとは、Qn,iと同心かつ辺がそれぞれ平行で、ℓ(3Qn,i

) = 3ℓ(Q

n,i

)

の

cube

のことである。

(6)

このとき、d(Qn,i

, ∂D) ≤ d(3Q

_n,i

, ∂D) + √

2ℓ(Q

_n,i

)

であるので、

d(3Q

n,i

, ∂D)

ℓ(3Q

n,i

) ≥ d(Q

n

, ∂D) 3ℓ(Q

n,i

) −

√ 2

3 ≥ s − √ 2

3 ≥ λ

∴ 3Q

_n,iは定理の仮定を満たす

cube

であるので、

| f

_Q_n,i

− f

_3Q_n,i

| ≤ 9 m(3Q

n,i

)

∫

3Q_n,i

| f (z) − f

_3Q_n,i

| dm ≤ 9L

同様に、|

f

Q_n′,i′

− f

3Q_n,i

| ≤ 36L

∴ | f

Qn,i

− f

Q_n′,i′

| ≤ 45L

さて、D^′₁に属す

cube

で、xQを含むものの１つを

Q

0と置く。このとき、∀

Q

n,i

∈ D

^′_nと

Q

0は高々ns個の隣り合った

cube

列で結べるので、

| f

Q_n,i

− f

Q₀

| ≤ 45Lns

とわかる。よって、

1 m(Q)

∫

Q

| f (z) − f

Q

| dm ≤ 2 m(Q)

∫

Q

| f (z) − f

Q0

| dm

≤ 2

m(Q)

∑

∞ n=1

s²(2ⁿ⁺³

∑

−12) i=1

{ 1 m(Q

n,i

)

∫

Q_n,i

| f (z) − f

Q_n,i

| dm + 45Lns }

m(Q

n,i

)

また、Qn,iは、仮定の条件を満たす

cube

であるので、||

f ||

_∗,Q_n,i

≤ L

である。

従って、s

≤ 6λ

より、

1 m(Q)

∫

Q

| f (z) − f

Q

| dm ≤ 2 m(Q)

∑

∞ n=1

{ 46Lns

s²(2ⁿ⁺³

∑

−12) i=1

1 s

²

1

2

²ⁿ⁺²

ℓ(Q)

²

} ≤ 1472Lλ

∴ Q

は任意だったので、A1

= 1472

とすれば、

|| f ||

_∗,D

≤ A

₁

Lλ 2

定理

2.3.B(BM O

_Bの局所化定理)(Gotoh[4])

D

上実数値局所可積分関数

f

について、fはある

λ ˜ ≥ 1 , ˜ L > 0

に対して、d(B, ∂D)

≥ λrad(B) ˜

ball B ⊂ D

上

f ∈ BM O

_B

(B)

となり、しかも

|| f ||

^B_∗_,B

≤ L ˜

であるとする。この時、f

∈ BM O

_B

(D)

であり、しかも

|| f ||

^B_∗,D

≤ A ˜

1

L ˜ ˜ λ

この定理を証明するためには、次のような分解と、いくつかの補題を必要とする。

補題

2.4(α-Whitney p-cube

分解)(Stein[11])

α ≥ 1

に対し、次を満たす

D

のある

p-cube

分解

E

_D^α

= { Q

_j

}

が常に存在する。

1

^◦

D = ∪

j

Q

j

2

^◦

Q

^◦_j

∩ Q

^◦_k

= ϕ (j ̸ = k) 3

^◦

α ≤ d(Q

j

, ∂D)

ℓ(Q

_j

) ≤ 2α + √ 2 4

^◦

1 4 ≤ ℓ(Q

_k

)

ℓ(Q

j

) ≤ 4 , (Q

j

∩ Q

k

̸ = ϕ)

(7)

証明. まず、

C

を格子状に辺の長さが

1

の

p-cube

族に分割する。この

p-cube

族において、

d( Q f

j

, ∂D) ≥ αℓ( Q f

j

)

なる

D

に含まれる

p-cube

たちの族

{ Q f

j

}

と、

d(Q

_j

, ∂D) < αℓ(Q

_j

)

なる

D

と共通部分を持つ

p-cube

たちの族

{ Q

_j

}

とに分ける。

族

{ Q

j

}

に対し、∀

Q ∈ { Q

j

}

を

4

つの合同な

p-cubes

に分割する。このときに得られる分割

Q

^′は、

d(Q

^′

, ∂D)

ℓ(Q

^′

) ≤ d(Q, ∂D) + √ 2ℓ(Q

^′

)

1

2

ℓ(Q) < 2(αℓ(Q) +

^√₂²

ℓ(Q))

ℓ(Q) = 2α + √ 2

を満たす。次に、この分割で得られた

p-cube

たちの族

{ Q

^′

}

において、再び、

d( g Q

j′

, ∂D) ≥ αℓ( Q g

j′

)

なる

D

に含まれる

p-cube

たちの族

{ g Q

j′

}

と、

d(Q

j′

, ∂D) < αℓ(Q

j′

)

なる

D

と共通部分を持つ

p-cube

たちの族

{ Q

j′

}

とに分ける。

上記と同様に、

∀ Q

^′

∈ { Q

_j^′

}

を

4

つの合同な

p-cubes

に分割すると、得られる分割

Q

^′′に対して、

d(Q

^′′

, ∂D)

ℓ(Q

^′′

) < 2α + √ 2

を得る。以下、この操作を繰り返し行えば、各

n ≥ 1

に対し、辺の長さが

2

⁻ⁿの

D

に含まれる

p-cube

たちの族

{ Q g

⁽ⁿ⁾_j

}

が得られ、その族の元

Q g

⁽ⁿ⁾_j は、

α ≤ d( Q g

⁽ⁿ⁾_j

, ∂D) ℓ( Q g

⁽ⁿ⁾_j

)

≤ 2α + √ 2

を満たす。次に、∀Q ∈ {

Q f

j

}

に対し、

d(f Q

j

, ∂D) ≤ (2α + √

2)ℓ( Q f

j

)

なる

D

に含まれる

p-cube

たちの族

{ Q f

j

}

と、

d( Q

j

, ∂D) > (2α + √

2)ℓ( Q

j

)

なる

D

に含まれる

p-cube

たちの族

{Q

j

}

とに分ける。

∀Q ∈ {Q

j

}

に対し、Qを含み、ℓ(

Q

^′

) = 2ℓ( Q )

なる

p-cube Q

^′をとると、

d( Q

^′

, ∂D)

ℓ( Q

^′

) ≥ d( Q , ∂D) − √ 2ℓ( Q )

ℓ( Q

^′

) > (2α + √

2)ℓ( Q ) − √ 2ℓ( Q )

2ℓ( Q ) = α

を満たす。これより特に、Q^′

⊂ D

であるので、各

Q

^′に含まれる

{Q

j

}

内の

p-cube

は全て、Q^′に統合し、

その

Q

^′たちの族を

{Q

^′

}

とする。この

p-cube

族

{Q

^′

}

において、再び、

d( g Q

j′

, ∂D) ≤ (2α + √

2)ℓ( Q g

j′

)

なる

D

に含まれる

p-cube

たちの族

{ Q g

j′

}

と、

d( Q

j′

, ∂D) > (2α + √

2)ℓ( Q

j′

)

なる

D

に含まれる

p-cube

たちの族

{Q

j′

}

とに分ける。

そして、上記と同様に、

∀Q

^′

∈ {Q

j′

}

に対し、

Q

^′を含み、ℓ(

Q

^′′

) = 2ℓ( Q

^′

)

なる

p-cube Q

^′′をとると、

d( Q

^′′

, ∂D)

ℓ( Q

^′′

) ≥ α , Q

^′′

⊂ D

を満たす

p-cube

たちの族

{Q

^′′

}

を得る。

以下、この操作を

d( Q , ∂D) > (2α + √

2)ℓ( Q )

なる

p-cube Q

が存在する限り繰り返し行えば、先ほどの

p-cube

族とあわせて、各

(n ∈ Z )

に対し、辺の長さが

2

ⁿの

D

に含まれる

p-cube

たちの族

{ Q g

⁽ⁿ⁾_j

}

が得られ、

その元

Q g

⁽ⁿ⁾_j は、

α ≤ d( Q g

⁽ⁿ⁾_j

, ∂D) ℓ( Q g

⁽ⁿ⁾_j

)

≤ 2α + √ 2

を満たす。

E

_D^α

= { Q

j

} := ∪

n

{ Q g

⁽ⁿ⁾_j

}

とすれば、その構成方法から、

D = ∪

Q∈E^α_D

Q , Q

^◦_j

∩ Q

^◦_k

= ϕ (j ̸ = k) , α ≤ d(Q

_j

, ∂D)

ℓ(Q

j

) ≤ 2α + √

2 ( ∀ Q

_j

, Q

_k

∈ E

_D^α

)

(8)

が従う。最後に、

∀ Q

j

, Q

k

∈ E

_D^αに対し、Qj

∩ Q

k

̸ = ϕ

ならば、

ℓ(Q

_j

) ≤ d(Q

j

, ∂D)

α ≤ d(Q

k

, ∂D) + √ 2ℓ(Q

k

)

α ≤ (2 + 2 √

2)ℓ(Q

_k

)

とわかる。E_D^αの構成方法から、各

p-cube

の辺の長さは

2

ⁿ

(n ∈ Z )

であるので、

ℓ(Q

_j

) ≤ 4ℓ(Q

_k

)

∴ Q

jと

Q

kの対称性より、

1 4 ≤ ℓ(Q

j

)

ℓ(Q

_k

) ≤ 4 2

この

E

_D^α を、Dの

α − Whitney p-cube

分解と呼び、その元

Q ∈ E

_D^α を

α − Whitney cube、または単に Whitney cube

と呼ぶ。

補題

2.5(Gehring[1])

∀ z

₀

∈ D, ∀ r > 0

に対し、B0

= B(z

₀

, r) ⊂ D

であるならば、このとき、

∫

B0

h

D

(z, z

0

)dm ≤ 2m(B

0

)

証明.

D

を単位円板と仮定すると、

h

D

(z, 0) = log 1 + | z | 1 − | z |

であるので、

∫

D

h

D

(z, 0)dm =

∫

2π 0

∫

1 0

(

log 1 + r 1 − r )

rdrdθ = 2π

一般の領域の場合、

w = f (z) = 1

r (z − z

₀

)

は、B0を単位円板

∆

に等角に写す。又、B0

⊂ D

であるので、

h

D

(z, z

0

) ≤ h

B₀

(z, z

0

) , ∀ z ∈ B

0

∴

∫

B₀

h

D

(z, z

0

)dm ≤

∫

B₀

h

B0

(z, z

0

)dm =

∫

B₀

h

∆

(f (z), f (z

0

))dm = r

²

∫

∆

h

∆

(w, 0)d m ˜ = 2m(B

0

) 2

補題

2.6

任意の

ball B

の

λ − Whitney p-cube

分解

E

^λ_Bに対して、B内の曲線

γ

が不等式

| γ |

qh

≤ 1 40λ

を満たすならば、γと交わる

E

_B^λ 内の

Whitney cube

の個数は高々4個である。

ここで、

| γ |

qhは

γ

を

B

上の擬双曲距離

k

_Bで計ったときの長さである。

証明.

Q ∈ E

_B^λ を

γ

と交わる辺の長さが最大の

Whitney cube

とし、z0を

γ ∩ Q

上の任意の点とする。この点

z

0に対し、開円板

B

0

:= B(z

0

, 1

8 ℓ(Q))

をとる。このとき、B0

⊂ B

であり、∀

ζ ∈ B

0に対して、

d(ζ, ∂B) ≤ | ζ − z

₀

| + d(z

₀

, ∂B) ≤ (2λ + 2 √ 2 + 1

8 )ℓ(Q)

∴ k

B

(z

0

, ∂B

0

) = inf

w∈∂B0

k

B

(z

0

, w) ≥ inf

w∈∂B0

inf

α

∫

α

1 (2λ + 2 √

2 +

¹₈

)ℓ(Q) | dζ | > 1 40λ

仮定から、

| γ |

qh

≤ 1

40λ < k

_B

(z

₀

, ∂B

₀

)

なので、γ

⊂ B

₀であり、Whitney p-cube分解の性質

4

^◦より、B0

は

Q ∩ Q ˜ = ϕ

なる

Whitney cubes ˜ Q

とは交わらず、交わったとしても、高々4つの

Q ∩ Q

^′

̸ = ϕ

なる

Whitney

cubes Q

^′だけである。

2

定理

2.3.B

を証明する前に、補題

2.4

に対する

Whitney chain

を定義する。

(9)

定義

2.7

任意の

Whitney cubes Q

j

, Q

k

∈ E

_D^α に対して、Whitney cube列

Q

j

= Q(0), Q(1), · · · , Q(M ) = Q

k

∈ E

_D^α が、Q(k)

∩ Q(k + 1) ̸ = ϕ (k = 0, 1, · · · , M − 1)

を満たすとき、この

Whitney cube

列を

Q

_jと

Q

_kをつなぐ

Whitney chain

であるといい、

Q

j

= Q(0) → Q(1) → · · · → Q(M ) = Q

k

と表す。ここで、M は

Q

_jと

Q

_kをつなぐ

Whitney chain

の長さと呼ばれる。

定理

2.3.B

の証明. 任意の

ball B ⊂ D

をとる。この

B

に対し、補題

2.4

を適用させて、

B

の

(˜ λ+1) − Whitney p-cube

分解

E

_B^λ+1^˜

= { Q

_j

}

を行う。この分解から、

∀ Q

_j

, Q

_k

∈ E

_B^˜^λ+1に対し、Qj

∩ Q

_k

̸ = ϕ

であるなら、

Q

j

∪ Q

k

⊂ B

^′

· · · (2.1.1) (˜ λ + 1)B

^′

⊂ B · · · (2.1.2) m(B

^′

) ≤ 25

2 πm(Q

_j

) · · · (2.1.3) m(B

^′

) ≤ 25

2 πm(Q

_k

) · · · (2.1.4)

を満たすある

ball B

^′がとれる。ここで、(˜

λ + 1)B

^′とは、B^′と同心円板で、rad((˜

λ + 1)B

^′

) = (˜ λ + 1)rad(B

^′

)

の

ball

のことである。この

ball B

^′は、(2.1.2)より、

d(B

^′

, ∂D) ≥ d(B

^′

, ∂B) = d((˜ λ + 1)B

^′

, ∂B) + (

rad((˜ λ + 1)B

^′

) − rad(B

^′

)

) ≥ λrad(B ˜

^′

)

であるので、B^′は仮定の条件を満たす

ball

である。よって、(2.1.1),

(2.1.3), (2.1.4)

から、

| f

_B′

− f

_Q_j

| ≤ 1 m(Q

j

)

∫

Q_j

| f (z) − f

_B′

| dm ≤

25 2

π m(B

^′

)

∫

B^′

| f (z) − f

_B′

| dm ≤ 25 2 π L ˜

であり、また同様に、|

f

B′

− f

Q_k

| ≤ 25

2 π L ˜

である。

∴ Q

j

∩ Q

k

̸ = ϕ

であるならば、このとき

| f

Q_j

− f

Q_k

| ≤ 25π L ˜

がいえた。

次に、ball

B

の中心を

z

₀とし、点

z

₀を含む

E

^λ+1_B^˜ 内の

Whitney cube

を

Q

₀とする。このとき、

∀ Q ∈ E

_B^λ+1^˜ に対し、Q0と

Q

をつなぐ

Whitney chain

Q

0

= Q(0) → Q(1) → · · · → Q(M ) = Q

を考える。この

Whitney chain

に対し、

d

₁

(Q

₀

, Q) := min { M Q

₀

= Q(0) → Q(1) → · · · → Q(M ) = Q }

とおく。簡易化のために、d1

(Q

0

, Q) = n

とすれば、∀

z ∈ Q

に対し、

n ≤ 160(˜ λ + 1)k

B

(z, z

0

) + 4

が成立する。実際、z0と

z

を

B

内の擬双曲測地線

γ

で結ぶ。ここで、γ

⊂ B

が擬双曲測地線であるとは、

∀ ζ

₁

, ζ

₂

∈ γ

に対し、端点が

ζ

₁

, ζ

₂の

γ

の部分弧を

γ(ζ

₁

, ζ

₂

)

とするならば、

k

B

(ζ

1

, ζ

2

) =

∫

γ(ζ1,ζ2)

1 d(w, ∂B) | dw |

を満たす曲線の事を言う

(cf. Gehring & Osgood[3])。さて、γ

を擬双曲距離の意味で、

s = [40(˜ λ + 1)k

_B

(z, z

₀

)] + 1

個の擬双曲測地線

γ

₁

, γ

₂

, · · · , γ

_sに等分割する。このとき、

| γ

k

|

qh

= k

B

(z, z

0

)

s = k

B

(z, z

0

)

[40(˜ λ + 1)k

_B

(z, z

₀

)] + 1 ≤ 1

40(˜ λ + 1) (k = 1, 2, · · · , s)

(10)

となることから、補題

2.6

より、各

γ

k

(k = 1, 2, · · · , s)

と交わる

E

_B^λ+1^˜ 内の

Whitney cubes

は高々4個である。

∴ n ≤ 4s = 4[40(˜ λ + 1)k

B

(z, z

0

)] + 4 ≤ 160(˜ λ + 1)k

B

(z, z

0

) + 4

以上から、∀

z ∈ Q

に対し、

| f

_Q₀

− f

_Q

| ≤

n

∑

−1 k=0

| f

_Q(k+1)

− f

_Q(k)

| ≤

n

∑

−1 k=0

25π L ˜ = 25π Ln ˜ ≤ 4000π L(˜ ˜ λ + 1)k

_B

(z, z

₀

) + 100π L ˜

であり、Koebeの歪曲定理から、

| f

Q0

− f

Q

| ≤ 8000π L(˜ ˜ λ + 1)h

B

(z, z

0

) + 100π L ˜

∴ | f

Q₀

− f

Q

|

を

Q

上の

z

の定関数だと思えば、Whitney cubeの性質

1

^◦

, 2

^◦と、補題

2.5

より、

∑

Q∈E^λ+1_B^˜

∫

Q

| f

_Q₀

− f

_Q

| dm ≤ (

16000π L(˜ ˜ λ + 1) + 100π L ˜ )

m(B)

従って、

1 m(B)

∫

B

| f (z) − f

_B

| dm ≤ 2 m(B)

∫

B

| f (z) − f

_Q₀

| dm

≤ 2

m(B)

∑

Q∈E^λ+1_B^˜

( 1 m(Q)

∫

Q

| f (z) − f

_Q

| dm )

m(Q) + 2 m(Q)

∑

Q∈E^λ+1_B^˜

∫

Q

| f

_Q₀

− f

_Q

| dm

ここで、BQ′を

(2.1.1)〜(2.1.4)

を満たす

Q

を覆う

ball

だとすれば、

≤ 2

m(B)

∑

Q∈E^λ+1_B^˜

( 2 m(Q)

∫

Q

| f (z) − f

B_Q^′

| dm )

m(Q) + 2 m(B) · (

16000π L(˜ ˜ λ+ 1) + 100π L ˜ )

m(B)

≤ 64250π L ˜ λ ˜

∴ A ˜

₁

= 64250π

とすれば、Bは任意だったので、

f ∈ BM O

B

(D) s.t. || f ||

^B_∗,D

≤ A ˜

1

L ˜ λ ˜ 2

さて、以上の２つの定理

(定理 2.3.C ,

定理

2.3.B)

を用いて、定義

2.1

と定義

2.2

が同値であることを示そう。

定理

2.8(BMO

の定義の同値性定理)(Gotoh[4])

f ∈ BM O

_C

(D) ⇐⇒ f ∈ BM O

_B

(D)

証明.

(= ⇒ ) f ∈ BM O

C

(D) , || f ||

^C_∗,D

< + ∞

とする。

d(B, ∂D) ≥ 2rad(B) · · · (2.1.5)

なる任意の

ball B ⊂ D

に対して、Bに外接するある

cube Q

がとれる。このとき、Bの仮定より、Q

⊂ D , m(Q) = 4

π m(B )

である。

よって、

|| f ||

^C_∗,D

≥ 1 m(Q)

∫

Q

| f (z) − f

Q

| dm ≥ π 4 · 1

m(B)

∫

B

| f (z) − f

Q

| dm ≥ π 8 · 1

m(B )

∫

B

| f (z) − f

B

| dm

さて、任意の

ball ˜ B ⊂ B

を考えると、

d(B, ∂D) ≤ d( ˜ B, ∂D) , rad(B) ≥ rad( ˜ B)

であるので、

B ˜

も条件

(2.1.5)

を満たす。よって、上記と同様に

B ˜

に外接する

cube ˜ Q

を考えれば、

|| f ||

^C_∗,D

≥ 1 m( ˜ Q)

∫

Q˜

| f (z) − f

Q˜

| dm ≥ π 8 · 1

m( ˜ B)

∫

B˜

| f (z) − f

B˜

| dm

(11)

∴ || f ||

^B_∗,B

≤ 8 π || f ||

^C_∗,D

定理

2.3.B

より、

|| f ||

^B_∗,D

≤ A ˜

₁

16 π || f ||

^C_∗,D

( ⇐ =) f ∈ BM O

_B

(D) , || f ||

^B_∗,D

< + ∞

とする。上の証明と同様に、d(Q, ∂D)

≥ ℓ(Q)

cube Q ⊂ D

に対し、Qに外接するある

ball B

をとれば、

|| f ||

^C_∗,Q

≤ π || f ||

^B_∗,D

がいえる。よって、定理

2.3.C

より、

|| f ||

^C_∗,D

≤ A

1

π || f ||

^B_∗,D

2

実際、

1 A

₁

π || f ||

^C_∗,D

≤ || f ||

^B_∗,D

≤ A ˜

1

16 π || f ||

^C_∗,D

である。

以上の事から、BM OC

(D)

も

BM O

B

(D)

も同値であるので、以降、BM Oの定義は定義

2.1

の

cube

の方を採用し、誤解の恐れがない場合には、単に、BM O(D)

, || · ||

_∗,Dと表記する。

2.2 BMO

関数の擬等角不変性

まず、小節

2.1

において証明した、BMOの局所化定理を用いて、後で用いられる、いくつかの定理や系を紹介する。

系

2.9(Gotoh[4])

f ∈ BM O(D)

であれば、Q^◦

⊂ D

なる任意の

cube Q

に対し、f

∈ L

¹

(Q)

でしかも

1 m(Q)

∫

Q

| f(z) − f

Q

| dm ≤ || f ||

∗,D

証明. 定理

2.3.C

の証明のように、Qを

D

_m^′の

cube

族に分割する。また仮定より、f

∈ BM O(D)

であるので、||

f ||

_∗,Q˜

≤ || f ||

∗,D

, ∀ Q ˜ ⊂ D

∴ 1 m(Q)

∫

Q

| f (z) | dm ≤ 1 m(Q)

∫

Q

| f (z) − f

Q₀

| dm + | f

Q₀

| ≤ 1

2 A

1

|| f ||

_∗,D

λ + 1 m(Q

₀

)

∫

Q0

| f (z) | dm

f ∈ BM O(D)

なので、fは

D

上局所可積分であり、||

f ||

∗,D

< + ∞

であることから、

f ∈ L

¹

(Q)

また、Qn

= (1 − 1

n )Q ( ⊂ D)

とおき、

1 m(Q

_n

)

∫

Qn

| f (z) − f

Q_n

| dm ≤ || f ||

_∗,D

において、両辺を

n → ∞

とすれば良い。

2

(12)

定理

2.10 (BM O

の

1

点除去可能定理)(Gotoh[4])

D

内の任意の点

z

0に対して、D^′

:= D − { z

0

}

と置くならば、このとき、BM O(D^′

) = BM O(D)

であり、

しかも

|| f ||

∗,D^′

≤ || f ||

∗,D

≤ A

2

|| f ||

∗,D^′

証明.

( ⊃ ) ∀ f ∈ BM O(D)

に対し、

∞ > || f ||

∗,D

= sup

Q⊂D:cube

1 m(Q)

∫

Q

| f (z) − f

_Q

| dm ≥ sup

Q⊂D^′:cube

1 m(Q)

∫

Q

| f (z) − f

_Q

| dm = || f ||

∗,D^′

なので、f

∈ BM O(D

^′

)

∴ BM O(D) ⊂ BM O(D

^′

) , || f ||

_∗,D′

≤ || f ||

_∗,D

( ⊂ ) ∀ f ∈ BM O(D

^′

)

と、d(Q, ∂D)

≥ 4ℓ(Q)

なる任意の

cube Q ⊂ D

に対し、Q上での

f

の

mean oscillation

を評価する。

z

0

∈ / Q

ならば問題は無いので、z0

∈ Q

として良い。この

Q

に対し、Q^′を、z0中心、辺が

Q

の辺と平行で、ℓ(Q^′

) = 2ℓ(Q)

なる

cube

とすると、Q

⊂ Q

^′

⊂ 2Q

^′

⊂ D

を満たし、そして、Q^′を各辺の長さが

ℓ(Q)

の

4

つの合同な

cubes

に分割し、右上から反時計回りに

Q

1

, Q

2

, Q

3

, Q

4 とすると、

Q

^′

= Q

₁

∪ Q

₂

∪ Q

₃

∪ Q

₄

, Q

^◦_j

⊂ D

^′

(j = 1, 2, 3, 4)

さらに、Q1

, Q

2を含み、境界が

z

0を通るような

ℓ( ˆ Q

1,2

) = 2ℓ(Q)

なる

cube ˆ Q

1,2 をとれば、

Q ˆ

^◦_1,2

⊂ D

^′ である。このとき、系

2.9

より、

1 m( ˆ Q

1,2

)

∫

Qˆ_1,2

| f (z) − f

_Q_ˆ

1,2

| dm ≤ || f ||

∗,D^′

∴ j = 1, 2

に対して、

| f

Q_j

− f

Qˆ1,2

| ≤ 1 m(Q

j

)

∫

Qj

| f (z) − f

Qˆ1,2

| dm ≤ 4 m( ˆ Q

_1,2

)

∫

Qˆ1,2

| f (z) − f

Qˆ1,2

| dm ≤ 4 || f ||

_∗,D^′

∴ | f

_Q₁

− f

_Q₂

| ≤ | f

_Q₁

− f

_Q_ˆ

1,2

| + | f

_Q_ˆ

1,2

− f

_Q₂

| ≤ 8 || f ||

_∗,D^′

同様にして、

Q ˆ

2,3

, Q ˆ

1,4を構成すれば、

| f

_Q₂

− f

_Q₃

| ≤ 8 || f ||

∗,D^′

, | f

_Q₄

− f

_Q₁

| ≤ 8 || f ||

∗,D^′

であり、

| f

_Q₃

− f

_Q₁

| ≤ | f

_Q₃

− f

_Q₂

| + | f

_Q₂

− f

_Q₁

| ≤ 16 || f ||

_∗,D^′

従って、再び系

2.9

を用いれば、

1 m(Q)

∫

Q

| f (z) − f

_Q

| dm ≤ 2 m(Q)

∫

Q

| f (z) − f

_Q₁

| dm ≤ 2

∑

4 j=1

1 m(Q

j

)

∫

Q_j

| f (z) − f

_Q₁

| dm ≤ 72 || f ||

∗,D^′

∴ z

0

∈ Q

かつ

d(Q, ∂D) ≥ 4ℓ(Q)

なる任意の

cube Q ⊂ D

に対して、

1 m(Q)

∫

Q

| f (z) − f

Q

| dm ≤ 72 || f ||

_∗,D′

がいえた。さて、

Q ˜ ⊂ Q

なる任意の

cube ˜ Q

について考える。

(場合 1)

z

0

∈ / Q ˜

のとき、

Q ˜ ⊂ D

^′ であるので、

1 m( ˜ Q)

∫

Q˜

| f(z) − f

Q˜

| dm ≤ || f ||

∗,D^′