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z k Maxwell H ( r ,t )= H ( x,y ) e , E ( r ,t )= E ( x,y ) e , β = ω ε µ √ 2-1. ε µ z z 2 ω r = x + y 2 πε ∆ φ = ln q ba ∆ φ [V] 2 πε r | E ( r ) | = q +q [C] -q [C] 1 r 1-1. [m] B q ε [F/m] µ [H/m] 1 2 a [m] 2 b [m] 問題Ⅲ

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Academic year: 2021

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(1)

問題Ⅲ 1

問題 Ⅲ

問 1 図1のような内部導体の直径が 2a [m] 外部導体の内径が 2b [m] の同軸ケー ブルがある。内部導体と外部導体の間は誘電体で満たされておりその誘電 率、透磁率を等方的として ε [F/m] µ [H/m] とする。また内部導体と外 部導体の抵抗はないものとする。以下の問題でベクトル量は太文字、例え ば B 、スカラー量は斜体文字、例えば q と表す。

1:

1-1. 静電荷が作り出す静電場について考える。このケーブルに長さ1 [m] あた り、内部導体に +q [C] 、外部導体に -q [C] の電荷を充電する。図 1 の点 r

1

に おける電場の方向はどの方向かを図示し、ガウスの法則を用いて大きさが、

| E (r

1

) | = q 2πεr

1

また外部導体と内部導体との電位差 ∆φ [V]

∆φ = q

2πε ln b a

で与えられることを示せ。ここで r

1

=

q

x

21

+ y

12

とする。

問 2 実電荷のない空間を伝播する電磁波について考える。電磁波の振動数を ω 進行方向を z 軸とし電場、磁場が z 軸と直交する場合に限定する。

2-1. 誘電率 ε 、透磁率 µ の誘電体内を伝播する電磁波を

H (r, t) = H

0

(x, y) e

i(ωtβz)

, E (r, t) = E

0

(x, y) e

i(ωtβz)

, β = ω √ εµ

とおくことにする。 z 軸方向の単位ベクトルを k とし、 Maxwell の方程式か

(2)

問題Ⅲ 2

ら出発して

E

0

= ζ H

0

× k, H

0

= − 1

ζ E

0

× k, ζ =

q

µ/ε が成り立つことを示せ。

問 3 同軸ケーブルで高周波信号 ( 2π

.

ω √ εµ À a, b) を伝送することを考える。

入射端 (z=0) で高周波電源により外部導体を基準に内部導体に V

AC

(t) = V

0

e

iωt

で変化する電圧を加える(図2)。同軸ケーブルに加えられた高周波 は同軸ケーブルの誘電体内を前問で定義した電磁波として伝播すると考え る。対称性より電場は動径方向の成分しか持たないことに注意する。すな わち、電場と磁場の振幅は r のみの関数になると考えられる。

2:

3-1. 入射端から z = z

0

の位置における中心導体の電圧を V (t) = V

1

e

iωt

とし z = z

0

でのケーブルの断面を考える。同軸中心から半径 r

1

(図1)の誘電 体内の位置での電場の振幅は、同軸中心から外部導体に向かう方向を正に とると

E

1

(r

1

, t) = V (t)

,

r

1

ln b a で与えられることを示せ。

3-2. 問 3-1 と同じ位置 r

1

での磁場の方向をその正の方向がわかるように図示し その振幅 H

1

(r

1

, t) V (t), r

1

, a, b, ε, µ を用いて書き下せ。

3-3. z = z

0

の位置での中心導体中を z 軸方向に流れる高周波電流を I (t) = I

1

e

iωt

とした時、アンペールの法則よりケーブルを伝播する電流振幅と内部導体

と外部導体に印加した電圧振幅の比 V (t)/I (t) a, b, ε, µ を用いて表せ。

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