問題

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(1)物理（工学部・ロボティクス＆デザイン工学部・情報科学部）物 Ⅰ （. 空所を埋め，問いに答えよ。（配点. ）図. 理）. のように，なめらかな水平面上を質量 m の物体 A と質量 m の物体 B が，それぞれ. 一定速度 v と v で運動している。物体 A が，同一直線上を運動している物体 B に衝突した。図に示すように，運動方向に x 軸をとり右向きを正とする。物体 A，B は，ともに衝突後も x 軸上を運動すると考える。物体. 物体. 図. とv′ になった。衝突前後で両衝突により物体 A と物体 B の速度は変化し，それぞれ v ′ 物体の運動量の和が保存するので，次式が成り立つ。ア. ＝m v′ ＋m v′. ①. また，反発係数（はねかえり係数）e は衝突前後の相対速度で決まり， e＝ −. v′ − v′. ②. イとなる。反発係数が e ＝. の場合を弾性衝突とよぶ。弾性衝突の場合，式①と式②を連立さ. せて解くと，衝突後の速度 v ′ とv′ は次の式で与えられる。（m − m ） v ＋ m v ＝ v′ m ＋m. ③. m v − （m − m ） v m ＋m. ④. v′ ＝. ―. ― （２８.

(2) （. ）以下では，図. のような両端が垂直な壁となっているなめらかな水平面上の. つの小球の. 運動を考える。壁と壁との距離は L である。小球の運動方向に x 軸をとり，壁と壁の中点をx ＝. とし，右向きを正とする。小球 A，B（それぞれ質量 m ，m ）は，ともに衝突後. も x 軸上を運動するものとする。壁は床に固定されており，静止したままである。壁と小球との衝突も小球どうしの衝突も，弾性衝突と考える。衝突にかかる時間はいずれも無視できるとする。また，空気抵抗は無視する。小球. 小球. 0 図. 小球 A，B の質量が等しく m ＝ m ＝ m の場合を考える。力を加えた結果，時刻 t ＝に小球 A は x ＝ −L から x 軸の正の向きに一定速度 v で動きだした。この小球は時刻 TC ＝. ウ. に原点（x ＝. ）に静止していた小球 B に衝突した。式③と式④をもとに. 考えると，この場合の衝突直後の小球 A の速度 V と小球 B の速度 V はそれぞれ， V ＝. エ. ，V ＝. で小球どうしが. 問. オ. となる。その後，小球は壁ではねかえり，x＝. カ. 回目の衝突をした。. 小球 A の位置 x を，時刻 t ＝. から小球どうしの. 回目の衝突の時刻までグラフに. し，解答欄に図示せよ。. 次に，小球 A の質量が m ＝ m で，小球 B の質量が m ＝ m の場合を考える。上と同様，時刻 t ＝原点（x ＝. に x ＝ −L から x 軸の正の向きに一定速度 v で動きだした小球 A は，時刻 TC に）に静止していた小球 B に衝突した。衝突直後の小球 A の速度 U と小球 B の. 速度 U はそれぞれ U ＝. キ. えり，時刻 t ＝. ケ. 時刻 t ＝. には x ＝. 問. サ. ，U ＝. にx ＝. コシ. 小球 A の位置 x を，時刻 t ＝. ク. となる。その後，小球は壁ではねか. で，小球どうしがで小球どうしが. から小球どうしの. 回目の衝突をした。さらに. 回目の衝突をした。. 回目の衝突の時刻までグラフに. し，解答欄に図示せよ。. ―. ― （２８.

(3) Ⅱ. 空所を埋め，問いに答えよ。ただし，. 図. ウ. は語句で答えよ。（配点. ）. に示すように，一辺の長さ L の正方形のコイル abcd が xy 平面上に置かれている。コイ. ルの面は紙面と平行で，辺 cd は x 軸に平行である。コイルの電気抵抗は R であり，コイルの自己インダクタンスや導線の太さは無視できるとする。また，コイルは変形しないとする。. 図（. ）図. 図. のように，紙面に垂直で裏から表へ向かう向きの一様な磁場（磁界）を加えた。磁束. の大きさが時間とともに変わるとき，コイルに生じる電流の大きさを求めてみよう。ここで，コイルは図. の位置で固定されているとする。時刻 t での磁束密度の大きさが B であった. とすると，このときコイルを貫く磁束は. となる。その後，微小時間 Δt の間に磁. ア. 束密度の大きさが B ＋ ΔB に増加した（ΔB ＞イ. となる。したがって，. ウ. ）。このときコイルを貫く磁束は. の法則からコイルに生じる誘導起電力 V の大き. さは，イ V ＝ −. −. ア. （t ＋ Δt） −t. エ＝. Δt. となる。この起電力によりコイルに誘導電流が流れ，その大きさは，エ Δt ×. オ. と求められる。. 問. コイルに流れる電流の向きを以下の（a），（b）の選択肢の中から選び記号で答えよ。（a） a. （. ）図. !b!c!d!a. （b） a. !d!c!b!a. のように，紙面に垂直で裏から表へ向かう向きで磁束密度の大きさ B の一様な磁場. を L ≦ x ≦ L の領域のみに加えた。コイルが速さ v で x 軸の正の向きに運動する場合を考えてみよう。ただし，速さ v が常に一定になるよう，必要な場合に外力をコイルに加えるとする。また，コイルの面は紙面に常に平行で，辺 cd は x 軸に対して常に平行となるようにコイルを動かすとする。時刻 t ＝. のとき，辺 ad が x ＝ ―. を通過した（図（a））。. ― （２８.

(4) （a） 0. 2. 3. 4. 5. 4. 5. 4. 5. （b） 0. 3 2. 2. 3. （c） 0. 2. 3. 図辺 ad が x ＝. L. に達したときを考える（図（b））。. 問. このときコイルに流れる電流の大きさ I を求めよ。. 問. このとき辺 ad が磁場から受ける力の向きを以下の（a）∼（d）の選択肢の中から選び記号で答えよ。（a） x 軸の正の向き. （b） x 軸の負の向き. （c） y 軸の正の向き. （d） y 軸の負の向き. その後，辺 ad が x ＝ L に達した（図（c））。問. 問. !#. " $になるまでにコイルに流れた電流 I のグラフを解答欄に示せ。ただし，電流の向きが a ! b ! c ! d ! a のときを正とする。時刻 t ＝. からこの状態時刻 t ＝. 時刻 t ＝. から t ＝. L v. L までに外力がした仕事はコイル内の何に消費されたのか答えよ。 v ―. ― （２８.

(5) Ⅲ. 空所を埋め，問いに答えよ。を選んで答えよ。（配点. （. イ. には語句が入る。空所に選択肢があるときはどちらか. ）. ）音は空気分子の疎密が周囲へと伝えられる. ア（縦波・横波）の波動である。. フルートやトランペットなどの管楽器のモデルとして，両端がふさがれていない長さ l の管を考えよう。管の近くでスピーカーから音を出し，管の中にマイクを入れて音の大きさを調べる。この状態で音の高さを徐々に変化させると，ある特定の音の高さのときに，音が大きくなった。この現象は. イ. と呼ばれる。この現象は，管内に生じる定在波（定常. 波）の波長と外から加えた音波の波長が一致したことによっておきる。定在波の振幅の最も大きいところを腹，振動しないところを節とよぶ。この管に生じる定在波の波長は，管の口が音波の腹になるとすれば，図まずは基本振動となる波長 λ ＝ l のもの，次にの次に生じる波長は λ ＝. ウ. に示すように，. 倍振動の波長 λ ＝ l のものである。そ. である。これらの波長に対応する振動数を固有振動数. という。いま，l ＝． m，直径． m の管を用いて計測した結果，固有振動数は Hz，. Hz の値が得られ，ほぼ：：の整数比となった。. 基本振動図問. 2 倍振動. 両側が開口端の管に生じる固有振動. 管の片方をふさいだ場合，管内に生じる固有振動の変位はどのようになるか。基本振動を含め振動数の低い順に. 問. （. Hz，. 問. 種類の振動を図. にならって解答欄の図に図示せよ。. の場合，固有振動数の比はどうなるか。振動数の低い順に答えよ。. ）ギターやバイオリンなどの弦楽器のモデルとして，振動できる部分の長さが L の弦を考えよう。両端で固定されていることから，この弦に生じる振動の波長は，波長の長い順に番目が λ ＝ L，. 番目が λ ＝ L となる。これより，m 番目の固有振動数 fm は，弦を伝. わる波の速さを v とすると，. エ. となる。. 一方，v は，弦の張力 T と弦の線密度（単位長さあたりの質量）ρ を用いて v ＝. !. T で ρ. あることが知られている。つまり，この弦で生じる音を高くするためには，張力を大きくするか，同じ材質の弦で. 問. オ（太い・細い）ものに取り替えればよいことになる。. 同じ長さ・同じ太さの弦を固有振動数（. 本用意した。同じ長さで固定して，一方を他方の. 倍の. オクターブ差）で音を生じさせるためには，高い音を出す弦の張力は他. 方の何倍にすればよいか。 ―. ― （２８.

(6) （. ）音速は温度によって変わり，高温では. カ（速く・遅く）なる。このことは，音波の. 「進みやすさ」が媒質の温度によって変わると考えてもよい。ホイヘンスの素元波の考えによれば，「進みにくい」媒質では波面の間隔が狭くなり，波の屈折が発生する。風のない晴れた夜に遠くの音が聞こえることがあるが，これは大気の温度が高度によって連続的に変化することで説明できる。上空の温度が地表付近よりも. キ（高い・低い）と，. 音波は地表側に連続的に曲がっていく。蜃気楼（しんきろう）と呼ばれる現象は，音と同様に光も波の性質をもち，連続的に温度が変わる大気で光が屈折することで説明される。大気の温度が高いと，光にとって屈折率は相対的に小さい。海面近くの大気の温度が高くて上空の大気の温度が低いとき，船の虚像は，ク（図（a）・図（b））のようにあらわれ，海面近くの大気の温度が低くて上空の大気の温度が高いとき，船の虚像はもう一方の図のようになる。（a）. （b）. 図. （. 蜃気楼（灰色の船が黒い船の虚像）. ）太陽が周囲に放出するエネルギーを. 秒間に W〔J〕とする。太陽から距離 r〔m〕にある. 場所で，太陽に向いた m の面に降り注ぐエネルギーは，る。太陽が約. 光年（＝. 太陽と同じ星 S が. ×. 秒間あたり，. とな. m）先にあれば，等星ほどの明るさになる。以下では，. 光年先にあった，としよう。W ＝． ×. J とし，π ＝．とする。. 人間の視細胞のなかで光を感じる部分の面積 A は，およそ A ＝ −. ケ. ×. −. m であり，. J ほどのエネルギーで分子が反応をおこして光を感じることになるという。. 光が波であると考えれば，星 S からの光のエネルギーは，面積 A あたり，秒間にコ. となり，反応がおきるまでには長い時間を要することになって，星の光が見える. 説明ができない。ところが，光が粒子（光子）であるとすれば，ギーを運んでくると考えることができる。振動数 f ＝． × 子のもつエネルギーは，プランク定数が h ＝． ×. −. つ. つの光子がエネル. Hz の可視光に対応する光. J・s であることから，. となり，このエネルギーが視細胞を瞬時に刺激することが可能になる。. つ. サ. つの光子が飛. び込む頻度は少ないが，私たちは光を認識できるようになる。このように，光は波の性質と，粒子の性質の二面をもっていることがわかる。 ―. ― （２８.

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