1 次元力学系と Cantor 集合

(1)

森真

Oct. 1997

(2)

始めに

このノートは1996年夏に津田塾大学で行われたシンポジウムにおける講義をまとめたものです．1章の始めにPerron–Frobenius operatorのスペクトルとエルゴード理論との関係について，容易に手にはいるsummary がないと思われたので概要をまとめてみました．その後で，1次元力学系について，Perron–Frobenius operatorの固有値をgenerating function

とrenewal equationを用いて解く方法について述べました．2章ではそ

の理論を1次元のCantor集合上の力学系に適用してみました．また，3

章，4章には，このノートで用いた関数解析とエルゴード理論について若干の補足をしておきました．参考文献は，この分野を学びたい人の参考になるように，このノートの範囲よりも広くまとめてみましたが，著者の浅学のため落ちているものも多いと思います．最後に，このノートの原稿を丁寧に読んで適切なアドバイスをいただいた原祐子さんに感謝をこの場を借りて表したいと思います．

2

(4)

1 _章

1 _{次元変換と} P–F operator

1.1 単純な例

F(x) = ¹⁺₂^√⁵x (mod 1)を考えよう．傾きは黄金数である．以下，記号の簡略化のため，この節ではβ = ¹⁺₂^√⁵と表すことにする．この場合，

区間[0,1]は二つの区間[0,1/β]と(1/β,1]に分かれ，各区間上でFは単調増加である．A={0,1}をアルファベットと呼び，[0,1]の分割を，

h0i= [0,1/β]，h1i= (1/β,1]とおく．このとき，任意のx∈[0,1]の点の Fによる軌道{x, F(x), F²(x),· · ·}を考えよう．ここで

Fⁿ(x) =

x n= 0 Fⁿ⁻¹(F(x)) otherwise

は，Fのn回反復であって，F(x)のn乗ではない．この軌道の通る区間の記号を並べると，0と1の無限列ができる.こうして得られる点列全体の閉包Σを考えれば，F(1) = 1/βに注意すれば，Σは{0,1}Nの閉集合で，

0の後には0と1両方が続き得るが，1の後には0のみしかこない点列全体と一致することは容易にわかるであろう．さらに，このΣの元と[0,1]

の点とは，

x=a1

β + a2

β² +· · ·

によって，可算個の点を除いて1対1に対応することも容易にわかるであろう．Σ上に左へのshiftθa1a2· · · =a2a3· · ·を考えると，これは位相的な力学系となる．このshiftが区間[0,1]上の変換

F(x) = a2

β + a3

β² +· · · (x= a1

β +a2

β² +· · ·)

に対応することを考慮にいれれば，shiftの性質を調べれば，[0,1]上にF を考えた力学系の性質が導けることは想像に難くない．これは，線形代

3

(5)

図1.1. F(x) =βx (mod 1)

数を用いると容易に定式化できる．まず，M = 1 1

1 0

とおく．ここで，

Mの成分は通常の行列の表現とは異なり，(0,0)成分，(0,1)成分，(1,0) 成分M0,0=M0,1 =M1,0 = 1で，(1,1)成分M1,1= 0を表していることに注意しよう．このとき

Σ ={a1a2· · ·:ai∈ {0,1}, Mai,ai+1= 1}

と特徴付けられる．このMをstructure matrixと呼ぶ．今，Mはその成分が非負で，さらにirreducibleかつaperiodicであることに注意しよう．

すなわち，あるkが存在してM^kのすべての成分が正とできる(今の場合はk = 2)．ここで，線形代数のPerron–Frobeniusの定理を思い出せば，

Mの最大固有値は正の実数で，対応する固有ベクトルとして，すべての成分が正のものを選ぶことができることがわかる．実際，上のMの最大固有値は傾きβであって，その固有ベクトルとして第1成分に区間h0iの長さ1/β，第2成分に区間h1iの長さ1/β²を用いて，u=

1/β 1/β²

と選ぶことができる．同様に左固有ベクトルも考えると，Mは対称行列なので，

v= (1/β,1/β²)である．Σ上にMarkov測度を，u= u0

u1

，v= (v0, v1)

(6)

1.2. 記号の説明 5 と表して

πi= uivi

P

jujvj 初期確率 pi,j= Mi,juj

βui 推移確率

とおくと，これはΣ上にshift不変な確率測度を導く．今の場合，具体的には

π0= _1+β^β²2 π1= _1+β¹2

p0,0=_β¹ p0,1= _β¹2 p1,0= 1 p1,1= 0 を得る．これは，[0,1]上に

ρ(x) =

(₄₊₂^√₅

5+√

5 x∈ h0i

3+√ 5 5+√

5 x∈ h1i

を密度関数とするLebesgue測度に絶対連続な不変確率測度に対応する．

1.2 記号の説明

この節で，これから用いる記号などをまとめておこう．アルファベットAとは，有限集合で以下では{a, b,. . .}とか{0,1,. . .}などを目的に応じて使い分ける．Σは記号の無限列全体ANの閉部分集合で，左shiftθについて不変 (θ⁻¹Σ⊃Σ)であるものを表す．記号の有限列w=a1· · ·an

(ai∈ A)をwordと呼び，|w|=nでwordの長さを表す．後で定義する wordに対応する区間の長さ(Lebesgue測度)とは異なることを注意しておく．α=a1a2· · ·とw=a1a2· · ·anについて

α[i] =w[i] =ai (i≥1)

α[i, j] =w[i, j] =ai· · ·aj (1≤i≤j) θα=a2a3· · ·

θw=a2· · ·an

と定める．いうまでもないがwordについては，1 ≤i, j ≤nとする．Σ 上に通常の筒集合から導かれるσ–algebraとshiftθを考えたものを(位相的)記号力学系という．

区間[0,1]上の変換をFとする．このとき，アルファベットAと，それに対応して[0,1]の区間による分割{hai}^a∈Aが存在して，Fは各hai上で単調なとき，Fをpiecewise monotoneであるという．更に，任意のa∈ A

(7)

について，端点を除いてF(hai)が∪ⁱhbii (bi ∈ A)とhaiの像が分割の元の和で表されるとき，FをMarkov，また各hai上でF^′が定数であるとき，piecewise linearであるという．各hai上で，Fのhaiへの制限がその閉包にまで，C^r関数として拡張できるとき，piecewiseC^rという．

x∈[0,1]について，xの展開a^x₁a^x₂· · ·を，Fⁿ(x)∈ ha^x_n+1i(n≥0)で定義する．Σをx∈[0,1]の展開全体の閉包ととることで，[0,1]上の変換 Fに伴う力学系とΣ上の記号力学系とを結び付けることができる．実際，

xの展開がα=a^x₁a^x₂· · ·なら，F(x)の展開はθα=a^x₂a^x₃· · ·である．ここで，[0,1]上には区間から生成される通常のσ–algebraBを考える．両側無限列AZの元· · ·a₋1a0a1· · ·で任意のiについて，aiai+1· · · ∈Σ をみたすもの全体をΣのnatural extensionと呼ぶ．

wordw=a1· · ·anに対して，wに対応する区間を hwi=

n

\

i=1

F⁻ⁱ⁺¹haii

で定義する．hwi 6=∅のときに，wはadmissibleであると呼び，admissible なword全体をWで表す．empty wordǫは，hǫi= [0,1]とおいて，ǫ∈ W とみなす．admissibleなwordwの符号sgnwは，F^|^w^|がhwi上で単調増加なら+，減少なら−と定める．また点x∈[0,1]について，wxでy∈ ha1i， F(y)∈ ha2i，· · ·，Fⁿ⁻¹(y)∈ haniかつFⁿ(y) =xとなる点y(もしあれば)を表すことにする．更に，Fがpiecewise linearならば，F|hai=Fâ はR上の1 to 1, ontoな変換とみなせるので，F^w =Fâⁿ· · ·Fâ¹ (w= a1· · ·an)も同様に考えることができて，逆写像を定義できる．このときには，wx= (F^w)⁻¹xとして，必ず定義できる．このwxがhwiに属するとき，wxが『存在する』と呼ぶことにする．

ついでに，|| · ||でL¹ノルム，|| · ||∞でL^∞ ノルム，v(·)で全変動

を表す(全変動については3.1節を参照)．

1.3 Perron–Frobenius operator

piecewise linear Markovな変換については，A × Astructure matrix によって，AN内の記号力学系として表せることは明らかであろう．また1.1節の議論はstructure matrixがirreducible aperiodicなpiecewise linear Markovな変換Fの場合にも適用できて，structure matrixの最大固有値に対応する左右の固有ベクトルから不変確率測度を構成できる．これからの議論はその一般化とみなすこともできる．

単位区間[0,1]上の変換Fを考える．Fはattractive orbitをもってい

(8)

1.3. Perron–Frobenius operator 7 ないとする．このときLebesgue測度に絶対連続な不変確率測度を具体的に求め，そのエルゴード的性質を調べるには，次のPerron–Frobenius operatorP:L¹→L¹は強力な武器となる．f ∈L¹について

Z

P f(x)g(x)dx= Z

f(x)g(F(x))dx (g∈L^∞) と定義する．これは積分の変数変換を行えば，

P f(x) = X

y:F(y)=x

f(y)|F^′(y)|⁻¹

を意味する．Perron–Frobenius operator P:L¹ → L¹の基本的な性質として次のものがある．

(1) contracting, ||P f|| ≤ ||f||． (2) positive, f ≥0 ⇒P f ≥0 (3) 保測, R

P f(x)dx=R

f(x)dx (4) P ρ=ρ，ρ≥0，R

ρ dx= 1ならばρは不変測度の密度関数になる．

(5) PnをFⁿに対応するPerron–Frobenius operatorとすればPn=Pⁿ をみたす．

証明．(1)は

||P f|| = Z

|P f(x)|dx

≤

Z X

y:F(y)=x

|f(y)||F^′(y)|⁻¹dx

= Z

|f(y)|dy=||f||

で得られる．(2)は明らか．(3)は積分変数の変換であって，

Z

P f(x)dx=

Z X

y:F(y)=x

f(y)|F^′(y)|⁻¹dx

より，ここでyを新たにxと置き直せば|F^′(y)|⁻¹がJacobianになっている．(4)はg∈L^∞について，

Z

g(x)ρ(x)dx= Z

g(x)P ρ(x)dx= Z

g(F(x))ρ(x)dx

(9)

より明らか．(5)は

Pⁿf(x) = X

y:Fⁿ(y)=x

f(y)|(Fⁿ)^′(y)|⁻¹ を示せばよいが，これも明らか．

以下では，とくに断らない限りPerron–Frobenius operatorPはその定義域を有界変動関数全体BVに制限することにする．有界変動関数全体BV 上のノルムなどについては，3.1節を参照されたい．制限をする理由は1.6 節で述べることにする．

定義 1.1 ξ >0をみたすとき,Fをexpandingと呼ぶ．ここで ξ= lim inf

n→∞ ess inf

x∈I

1

nlog|F^n′(x)| である．ξをlower Lyapunov exponentと呼ぶ．ここで

ess inf

x∈I f(x) = inf{a:集合{x:f(x)< a}のLebesgue測度が正} である．expandingの定義には幾つかあるが，この定義はそのなかでも条件の厳しいものの1つである．例えばess infとlim infの順序を取り替えて

ess inf

x∈I lim inf

n→∞

1

nlog|F^n′(x)|>0

の場合にexpandingと定義すれば，カオスで有名([28])なquadratic map F(x) =ax(1−x)でもLebesgue測度に絶対連続な不変測度をもつ場合でも expandingになりえるが，我々の定義ではquadratic mapはF^′(1/2) = 0 なので，ξ= 0になってしまい，すべての場合にexpandingではない．以下の議論ではこの制限を緩めることは困難であり，開きなおれば，このこ

とがquadratic mapの研究がいかに困難であるかを示しているように思

われる([15])．

1.4 _固有値 1 _{，不変確率測度の存在}

以下，不変測度とはLebesgue測度に絶対連続なもののみを考える．

定理 1.1 (Lasota–Yorke[24]) FがpiecewiseC²かつexpandingならば不変確率測度µが存在し，それは有界変動関数である．

(10)

1.4. 固有値1，不変確率測度の存在 9

図1.2. Thalerの例

そのほかに，Z. Kowalski[21]，S. Wong[55]，M. Rychlik[45]，G. Keller[18]

などによって，expandingかつpiecewiseC^1+ε(ε >0)もしくは類似の条件のもとで不変確率測度が存在することが示されている．

反対にM. Thaler([51],[52])によって，|F^′|= 1をみたす点がたった1つ存在するときに不変確率測度の存在しない例が与えられている．具体的には

F(x) = ( x

1−x 0≤x < ¹₂ 2x−1 ¹₂ ≤x≤1

である．この例ではF^′(0) = 1かつすべてのx > 0についてF^′(x)>1 をみたす．この例では，その全体の測度が無限大になってしまうσ–finite 不変測度は存在する．

これのpiecewise linear版については，Y. Takahashi[48]，[49]，[50]，

M. Mori[35]などでも研究されている．

もう1つの例はP. Gora and B. Schmitt[8]にexpandingでpiecewise C¹ だが，不変測度が存在しない例が与えられている．この例はCantor 集合の構成と似ていて興味深いものである．

前にも述べたように，expandingの定義は緩めることができるかもしれないが，expandingかつpiecewiseC^1+ε(ε >0)もしくはC¹プラス何らかの条件が必要であることは本質的であると思われる．

(11)

Lasota–Yorkeの定理は，証明のoutlineだけ示すことにする．基本的にはρを不変確率測度µの密度関数とするとき，_n¹Pn−1

k=0P^kf →ρ∈BV を示すことである．このときf ∈BVについてv(f)≤α||f||+βv(f)をみたすようなα >0，0< β <1が存在することを示す．ここでv(f)はf の全変動である．これは，Ionescu Tulcea and Marinescuの定理3.1 の

(iii)([11])の条件と似ていることに注意する．このとき，

lim sup

n→∞

v(Pⁿf)≤α(1−β)⁻¹||f||

が成立するので，{Pⁿf}はL¹でrelatively compact，したがってMazur の定理3.2より{¹n

Pn−1

k=0P^kf}もrelatively compactになる．BVはL¹ でdenseであることにも注意して，これでKakutani–Yosidaの定理3.3を {n¹

Pn−1

k=0P^kf}に用いれば極限の存在とBVに属することが示せるというわけである．なお，ここで用いた定理については3章に述べてある．

1.5 単位円上の固有値

まず始めにfがPの固有値e^iφの固有関数とすると，|f|はPの固有値 1の固有関数であることに注意する．なぜなら

|f|=|e^iφf|=|P f| ≤P|f| Z

|f|dx= Z

P|f|dx

このことを見ると単位円上では，U f(x) =f(F(x))で定義されるunitary operatorと関係があることがわかるであろう(4.1節を参照せよ)．unitary operatorは不変確率測度µをもった力学系(I,B, µ, F)の上で考えるので，

それに合わせてPerron–Frobenius operatorもµをもとに考えてみる．ここまで，σ–algebraBは明示して来なかったが，問題はなかったであろう．

この節以外では，意識する必要はないので用いない．

µの密度関数をρとおく．Pµを Z

Pµf(x)g(x)dµ= Z

f(x)g(F(x))dµ

で定義する．明らかにρ(x)Pµf(x) =P(ρf)(x)が成り立つ．unitary op- eratorU f(x) =f(F(x)) (f ∈L¹)との関係を調べよう．

(1) P(U g·f) =g·P f a.e.

Z

P(U g·f)(x)h(x)dx= Z

U g(x)f(x)h(F(x))dx

= Z

f(x)g·h(F(x))dx= Z

P f(x)g·h(x)dx

(12)

1.5. 単位円上の固有値 11 (2) PµU f =f a.e.µ

Z

PµU f(x)g(x)dµ= Z

U f(x)g(F(x))dµ

= Z

f·g(F(x))dµ= Z

f(x)g(x)dµ

(3) UⁿP_µⁿf =Eµ[f|Bⁿ], (Bⁿ=F⁻ⁿB)．ここで，Eµ[f|Bⁿ]は条件付き平均である．

A∈ Bⁿについて Z

A

UⁿP_µⁿf(x)dµ= Z

A

P_µⁿf(Fⁿ(x))dµ

= Z

f(Fⁿ(x))1A(Fⁿ(x))dµ= Z

f(x)1A(x)dµ

= Z

A

Eµ[f|Bⁿ]dµ が成り立つ．一方

{x:UⁿP_µⁿf(x)> a}={x:P_µⁿf(Fⁿ(x))> a}

={x: X

y:Fⁿ(y)=Fⁿ(x)

f(y)|Fⁿ^′(y)|⁻¹> a}

=F⁻ⁿ{x: X

y:Fⁿ(y)=x

f(y)|F^n′(y)|⁻¹> a} ∈ Bⁿ ゆえにUⁿP_µⁿfはBⁿ可測．L²_µで考えると，UⁿP_µⁿはFⁿL²_µへのpro- jectionである．

(4) 次の3条件は同値である．

(a) U f =eîφf (b) Pµf =e⁻îφf (c) P(f ρ) =e⁻îφf ρ

証明． (b),(c)の同値は定義から従う．(a)が成り立つならばf =

PµU f =e^iφPµfより(b)が従う．逆に(b)ならば，Doobの定理によって

e⁻^inφUⁿf =UⁿP_µⁿf =E[f|Bⁿ]→ ∃f˜

より，Uf˜=e^iφf（両辺にもう˜ 1つUをかける）が成立する．さらに Z

|f˜−f|dµ= Z

|f˜−e⁻^inφUⁿf|dµ→0 よりf˜=fが成り立つ．

(13)

(5) µがmaximal(すべての不変確率測度はµに絶対連続)ならば，単位円上Pµの固有値とPの固有値は一致する．

fがPµの固有値e⁻^iφの固有関数ならば，f ρがPの固有関数になる．

一方fがPの固有値e⁻^iφの固有関数なら，|f|はPの固有値1の固有関数なので，|f(x)|dxは不変測度，µはmaximalであることを仮定したから，{|f| = 0} ⊃ {ρ= 0}である．ゆえにf ρ⁻¹は定義できる．

[4]と[5]を見ると，単位円上に固有値が1のみで，固有値1がsimpleならば，定理4.3により，Fはweakly mixingであることがわかる．したがって定理 1.2 (Bowen[4]) Fを[0,1]上のexpanding，piecewise C² 変換とする.µをLebesgue測度に絶対連続な不変測度とし，力学系([0,1], µ, F) がweakly mixingならば，そのnatural extensionはBernoulliである．

によって，そのnatural extensionは，Bernoulliであることがわかる．

定理 1.3 単位円上のPの固有値は2π×有理数かつ固有関数は有界変動である．

より詳しく述べると，あるNとL1,. . ., LNが存在して (1) F(Li) =Li+1 (LN+1=L1)

(2) (Li, F^N, µi)はmixing，ただしµi=µ|^Lⁱ×N となる（[54],[41]）．

E(φ)をL¹での固有値e^iφの固有空間とする．固有値全体は単位円上で群になる．このことを用いれば，あるpが存在して，

{0≤φ <2π:E(φ)6=∅}={2nπ/p: 0≤n≤p−1}

であることがわかる．さらに，BVがL¹でdenseなこと，およびある部分列{ni}が存在して，e^iφnⁱ →1より，固有値1のときと同様にPⁿⁱfは relatively compactかつlim supv(Pⁿⁱf)≤ 1−^αβ||f||がでて，固有関数が有界変動であることが従う．

1.6 単位円内の固有値

この節ではPをL¹上のoperatorまたはBV上のoperatorとみて，その性質を調べる．まずPerron–Frobenius operatorPをL¹で考えてみる．

(14)

1.6. 単位円内の固有値 13 定理 1.4 (Keller[20]) PをL¹上のoperatorとみると，任意のλ(|λ|<1) はPの無限重の固有値である．

証明．Qλ=P_∞

k=0λ^kU^k(I−U Pµ)とおく．Qλ:L¹(µ)→L¹(µ) PµQλ =

∞

X

k=0

λ^kPµU^k(I−U Pµ)

= λX

k=1

λ^k⁻¹U^k⁻¹(I−U Pµ) +Pµ(I−U Pµ)

= λQλ (PµU =I) ゆえに

Q²_λ = X∞

k=0

λ^kU^k(I−U Pµ)Qλ

= X∞

k=0

λ^kU^kQλ− X∞

k=0

λ^kU^k+1λQλ

= Qλ

Qλf =fならば，Pµf =PµQλf =λQλf =λfである．したがって，Qλ

は固有値λへのL¹でのprojectionである．Qλ6≡0を示せばよい．

Q⁽ⁿ⁾_λ =

n−1

X

k=0

λ^kU^k(I−U Pµ) とおく．

補題 1.1 (fの構成) ∃f ∈BV s.t. Q⁽ⁿ⁾_λ f 6=Q⁽ⁿ⁺¹⁾_λ f, ||Q⁽ⁿ⁾_λ f||∞<∞．さらに∃δ >0 ρ(x)< δならば，f(x) = 0である．

証明．∩^∞n=0UⁿL²_µ⊂BVは有限次元(Uの不変関数全体)(U PµはU L²_µへの projection)である．この部分はエルゴード性を意味する．ゆえにU L²_µ6= L²_µかつBVはL²_µでdenseより，あるg ∈BVが存在して，U Pµg 6=gをみたす．

ある {Jk} が存在して，各Jkはρ|^J^k ≥ ¹kをみたす区間の有限和で µ(Jk) → 1 をみたす．ここで fk = g1F⁻¹Jkとおくと，fk ∈ BV, 十分大きな kについて，ρ(x) < ¹_kならば U Pµfk 6= fk, fk(x) = 0をみたす．fとして十分大きなkの fkを選ぶと，Q⁽ⁿ⁾_λ f = Q⁽ⁿ⁺¹⁾_λ f ならば，

λⁿUⁿ(I−U Pµ)f = 0すなわち(I−U Pµ)f ∈Ker(Uⁿ)となり，仮定よりU Pµf 6=fであり，Uはontoであるから矛盾である．さらに

||Q⁽ⁿ⁾_λ f||∞=||

∞

X

k=0

U^k(I−U Pµ)f||∞<∞

(15)

は明らかであるので証明が終わる．

補題 1.2 |λ|<1とする．あるf ∈L^∞が存在してfは固有値λの固有関数である．

証明．nを|λⁿ|<¹₂となるように選ぶ．fは上の補題のものとする．

Qλf =

∞

X

k=0

λ^kU^k(I−U Pµ)f

= X∞

j=0 n−1

X

k=0

λ^nj+kU^nj+k(I−U Pµ)

= X∞

j=0

λ^njU^njQ⁽ⁿ⁾_λ f

ここで上のj ≥1の部分は

||

∞

X

j=1

λ^njU^njQ⁽ⁿ⁾_λ f||∞ ≤

∞

X

j=1

(|λ|ⁿ)^j||Q⁽ⁿ⁾_λ f||∞

< ||Q⁽ⁿ⁾_λ f||∞

をみたす．ゆえに

||Qλf||∞ < 2||Q⁽ⁿ⁾_λ ||∞<∞

||Qλf||∞ ≥ ||Q⁽ⁿ⁾_λ ||∞− ||

X∞

j=1

λ^njU^njQ⁽ⁿ⁾_λ f||∞

> 0

これでQλ 6≡0が示せた．PµQλf =λQλfよりQλfがPµの固有関数である．

これで，PをBVに制限する理由は明らかになったと思うが，PをBVに制限しても期待する程やさしいものではないことがつぎの補題よりわかる．

補題 1.3 |λ|< e⁻^h(F)ならば，Qλf ∈BVである．ここでh(F)はFの topological entropy

h(F) = lim

n→∞

1

nlog(長さnのwordの個数) である．

(16)

1.6. 単位円内の固有値 15 証明．Pµ:BV →BVであるから，v(f −U Pµf)<∞．ゆえにラフに言えば

v(Qλf) ≤

∞

X

k=0

|λ|^kv(U^k(f−U Pµf))

≤

∞

X

k=0

|λ|^kv(f −U Pµf)×長さkのwordの個数

この補題によってPをBVに制限(これを，特に断らない限りPと書くことにした)しても，内部がべったりと固有値であるような円が存在することがわかったので，compactでないことが証明された．しかし，つぎの定理がある．

定理 1.5 (Rychlik[44]) PをBVに制限すると，そのessential spectrum radiusはe⁻^ξに等しい．

すなわち，任意のr > e⁻^ξについて，|λ|> rをみたすspectrumは有限個しか無く，すべて有限次元の固有空間をもつ固有値である．詳しくは3.3 節を参照されたい．

以上により残念ながら，Perron–Frobenius operator は compactでないので，もちろんnuclear(3.2節参照)でない．したがって，Fredholm determinantを定義することはできないがRuelle–Artin–Mazur のzeta 関数

ζ(z) = exp







∞

X

n=1

zⁿ n

X

p:Fⁿ(p)=p

|Fⁿ^′(p)|⁻¹







を考えると，この1/ζ(z)は本質的にFredholm determinantとみなせることを後で証明する．つまり，zeta関数の特異点(1/ζ(z)の0点)がPの固有値の逆数になることを示す．しかし，expandingな写像についても上の右辺は収束半径が1なので，Perron–Frobenius operatorPの固有値を求めるには，これが半径1の円の外側にまでmeromorphicに拡張できることを示さねばならない．ところで，定理1.4により，PをL¹上で考えると，単位円内はすべて固有値である．逆数を考えると，zeta関数がこのFredholm determinantの逆数だとすると，meromorphicに拡張できるはずがない．

実はzeta関数はBVに制限したPのFredholm determinatの逆数になることがわかる．この場合には，補題1.3を考えると，meromorophicな拡張はtopological entropyの逆数の半径をもつ円にまでしか意味を持たないことが想像できるであろう．

(17)

図1.3.

1.7 piecewise linear transformation

この節では，前節の最後に述べた一般的な結果のイメージを作るためにpiecewise linear transformationのあるクラスを考えてみよう([32],[33]

参照)．

1.7.1 generating function

やさしい例から始めよう．

F(x) =

x/ηa 0≤x < ηa

(x−ηa)/ηb ηa≤x≤1

かつ1−ηa =ηaηbとする．つまりlimx↑1F(x) =ηaをみたす．アルファベットをA={a, b}，対応する区間をhai= [0, ηa),hbi= [ηa,1]とおく．

βが黄金数のときのβ–変換F(x) = βx (mod 1)は，このもっとも単純

な例である．

ともあれ，g∈L^∞について，generating function s^h_g^aⁱ(z) =

∞

X

n=0

zⁿ Z

1a(x)g(Fⁿ(x))dx

s^h_g^bⁱ(z) =

∞

X

n=0

zⁿ Z

1b(x)g(Fⁿ(x))dx

(18)

1.7. piecewise linear transformation 17 sg(z) =

s^hg^aⁱ(z) s^hg^bⁱ(z)

を定義する．ここで1aなどはhaiの定義関数を表す．さらに行列 Φ(z) =

zηa zηa

zηb 0

とおく．Perron–Frobenius operatorを用いると，例えば s^h_g^aⁱ(z) =

∞

X

n=0

zⁿ Z

Pⁿ1a(x)g(x)dx は形式的に表せば，

s^h_g^aⁱ(z) = Z

(I−zP)⁻¹1a

(x)g(x)dx

である．したがって，Pの固有値はs^hg^aⁱ(z)などの特異点の逆数になっていることが想像される．このことをきちんと調べてみよう．

P1a(x) = X

y:F(y)=x

1a(y)|F^′(y)|⁻¹

= ηa

P1b(x) =

ηb ifx∈ hai 0 otherwise に注意すると，P_∞

n=0をn= 0のところとP_∞

n=1にわけてF(hai) = [0,1]

を用いると s^h_g^aⁱ(z) =

Z

1a(x)g(x)dx+

∞

X

n=1

zⁿ Z

1a(x)g(Fⁿ(x))dx

= Z

1a(x)g(x)dx+

∞

X

n=1

zⁿ Z

P1a(x)g(Fⁿ⁻¹(x))dx

= Z

hai

g(x)dx+ηa

X∞

n=1

zⁿ Z

g(Fⁿ⁻¹(x))dx

= Z

hai

g(x)dx+zηa

∞

X

n=0

zⁿ Z

g(Fⁿ(x))dx

= Z

hai

g(x)dx+zηa

s^h_g^aⁱ(z) +s^h_g^bⁱ(z) 同様に，F(hbi) =haiを用いると

s^h_g^bⁱ(z) = Z

1b(x)g(x)dx+

∞

X

n=1

zⁿ Z

1b(x)g(Fⁿ(x))dx

(19)

= Z

hbi

g(x)dx+

∞

X

n=1

zⁿ Z

P1b(x)g(Fⁿ⁻¹(x))dx

= Z

hbi

g(x)dx+ηb

X∞

n=1

zⁿηb

Z

hai

g(Fⁿ⁻¹(x))dx

= Z

hbi

g(x)dx+zηbs^h_g^aⁱ(z) となることから

sg(z) = R

haig(x)dx R

hbig(x)dx

+ Φ(z)sg(z) を得る．つまり

sg(z) = (I−Φ(z))⁻¹ R

haig(x)dx R

hbig(x)dx

が成り立つ．この構成はrenew(再生)できないn= 0を切り離し，残りをrenewした形であるので，これをMarkov過程の言葉を借りてrenewal equationと呼ぶ．(I−Φ(z))⁻¹を求め，1−ηa−ηaηb= 0を用いて，これを解けば

sg(z) = 1

(1−z)(1−(ηa−1)z)

1 zηa

z¹⁻_η_a^η^a 1−zηa

R

haig(x)dx R

hbig(x)dx

を得る．さらに

ρ(x) = ( ₁

(2−ηa)ηa x∈ hai

1

2−ηa x∈ hbi と定義すると，

s^h_g^aⁱ(z) = R

haig dx+zηaR

hbig dx (1−z)(1−(ηa−1)z)

= ηaR

g(x)ρ(x)dx

1−z +(1−ηa)R

haig dx−ηaR

hbig dx (1−(ηa−1)z)(2−ηa) および

s^h_g^bⁱ(z) = (1−ηa)R

g(x)ρ(x)dx

1−z +−¹⁻ηa^η^a

R

haig dx+ (2−ηa)R

hbig dx (1−(ηa−1)z)(2−ηa) を得る．このことから，z= 1とηa−1がPの固有値らしいということが想像できる．固有値1は1位の特異点だから，きっとPの固有値1もsimple で，その他に単位円上には固有値はなさそうだから，weakly mixingな力学系が構成できるであろう．

(20)

1.7. piecewise linear transformation 19 Rρ(x)dx = 1に注意して，µで密度関数ρの確率測度を表す．このとき，明らかにµは不変確率測度になる．

さらに，sg(z)の定義に戻って，zⁿの係数を比較すれば Z

1a(x)g(Fⁿ(x))dx=ηa

Z

g dµ+Ca(ηa−1)ⁿ Z

1b(x)g(Fⁿ(x))dx= (1−ηa) Z

g dµ+Cb(ηa−1)ⁿ を得る．ここで

Ca = (1−ηa)R

haig dx−ηaR

hbig dx 2−ηa

Cb = −¹⁻ηa^η^a

R

haig dx+ (2−ηa)R

hbig dx 2−ηa

である．例えばR

1a(x)g(Fⁿ(x))dxはn→ ∞でηaRg dµに収束し，その速度は(ηa−1)ⁿの指数的であることがわかる．さらに，(ηa−1)は負だから，

振動しながら極限に近づくことがわかる．ここで，haiのLebesgue測度は ηa，hbiのLebesgue測度は1−ηaに注意しよう．一般にwordw=a1· · ·am

については

∞

X

n=0

zⁿ Z

1w(x)g(Fⁿ(x))dx

=

m−1

X

n=0

zⁿ Z

1w(x)g(Fⁿ(x))dx+

∞

X

n=m

zⁿ Z

1w(x)g(Fⁿ(x))dx

=

m−1

X

n=0

zⁿ Z

1w(x)g(Fⁿ(x))dx

+ (

z^mηa1· · ·ηam(s^hg^aⁱ(z) +s^hg^bⁱ(z)) ifam=a z^mηa1· · ·ηams^hg^aⁱ(z) ifam=b を得る．

χ^w_g(z) =

m−1

X

n=0

zⁿ Z

1w(x)g(Fⁿ(x))dx Φ^w(z) =

(z^mηa1· · ·ηam, z^mηa1· · ·ηam) ifam=a (z^mηa1· · ·ηam,0) ifam=b とおいて，一般にf =P

wCw1wと表すと，形式的に

∞

X

n=0

zⁿ Z

f(x)g(Fⁿ(x))dx = X

w

Cw

∞

X

n=0

zⁿ Z

1w(x)g(Fⁿ(x))dx

= X

w

Cwχ^w_g(z) +X

w

CwΦw(z)sg(z)

(21)

を得る．ここでf ∈BVならば，任意の0< r <1について X∞

n=1

rⁿ X

|w|=n

|Cw|<∞

をみたす分解を作ることができることに注意しよう．このことから，任意のε >0について

Lebeshwi ≤ Ce⁻^(ξ⁻^ε)n ηw=ηa1· · ·ηan ≤ Ce⁻^(ξ⁻^ε)n

が成り立つ．ここでLebesJで集合JのLebesgue測度を表した．以上より，

|X

w

Cwχ^w_g(z)| =

X∞

n=1

X

|w|=n

|Cw|χ^w_g(z)

≤ X∞

n=1

X

|w|=n n−1

X

m=0

|z|^m||g||Ce⁻^(ξ⁻^ε)n

|X

w

Φ^w(z)の各要素| ≤ X∞

n=1

X

|w|=n

|Cw||z|ⁿCe⁻^(ξ⁻^ε)n

である．したがって|z| < e^ξでP

wCwχ^w_g(z)およびP

wΦ^w(z)の各要素は解析的であることがわかる．一方sg(z)は z = 1と z = 1/(ηa−1) に特異点をもつ．したがってP_∞

n=0zⁿR

f(x)g(Fⁿ(x))dx は|z| ≥ 1 に meromorphicに拡張できて，|z| < e^ξでこの 2 つの特異点のみ (もし，

1−ηa> e⁻^ξならば)を持つことがわかった．

前と同様にzⁿの係数を比較することで Z

f(x)g(Fⁿ(x))dx → P

wCwηa1· · ·ηam

Rg dµ am=a P

wCwηa1· · ·ηamηaR

g dµ am=b

= Z

f dx Z

g dµ

を得て，収束のオーダーは(ηa−1)またはe⁻^ξの絶対値の大きい方であることがわかった．そこでµについて可積分なfを考えると，f·ρ∈L¹より

Z

f(x)g(Fⁿ(x))dµ = Z

f·ρ(x)g(Fⁿ(x))dx

→ Z

f·ρ dx Z

g dµ= Z

f dµ Z

g dµ が出て，力学系がmixingであることが示せた．収束のオーダーも考慮に入れると，f ∈BVならば，次の図のように収束していくことがわかる．

(22)

1.7. piecewise linear transformation 21

図 1.4. decay

この収束のオーダー，この場合には(ηa−1)は，decay rate of correlation と呼ばれる．

Φ(z)は，この力学系のstructure matrixM = 1 1

1 0

に重みをつけたものであることに注意しよう．トレースtrM = 1だが，これは(a, a)成分に，つまり，不動点0に対応している．M²=

2 1 1 1

なので，トレースは3である．これはずっとaにいる不動点とaからbにいって戻る2周期点a→b→aがM²の(a, a)成分に，b→a→bとなる2周期点が(b, b) 成分に現れたわけである．このように，structure matrixのトレースは，

周期軌道の数を表していることがわかる．同様に，Φⁿ(z)のトレースは周期nの周期軌道に対応するので，これを用いると，Ruelle–Artin–Mazur のzeta関数について

ζ(z) = exp





∞

X

n=1

zⁿ n

X

Fⁿ(p)=p

|F^n′(p)⁻¹|





= exp

"_∞ X

n=1

1

ntr Φⁿ(z)

#

= exp[−tr log(I−Φ(z))]

= (det(I−Φ(z))⁻¹

を導けた．このことはzeta関数の特異点の逆数がPerron–Frobenius op-

erator Pの固有値であることを示していて，zeta関数の逆数がnuclear

作用素におけるFredholm determinantの役割を果たすことを示している．このことからΦ(z)をFredholm matrix，det(I−Φ(z))をFredholm determinantと呼ぶことにする．

(23)

図1.5. β–transformation

1.7.2 符号付き力学系

前の節の方法はFが一般のMarkovの場合にも拡張可能である．これをもっと一般化しよう．再び，つぎの例で考えることにする．

例 1.1 (generalized)β–expansion. (1< ηa+ηb≤2) A = {a, b},

hai = [0, ηa), hbi= [ηa,1], F(x) =

ηax x∈ hai ηb(x−ηa) x∈ hbi

s^hg^aⁱ(z)は前と同じだが，図1.5のような場合にはF(hbi) ⊂ haiなので，

J1=F(hbi)とおき，さらにF(J1)⊃ haiなので，J2=F(J1)∩ hbiとおくと

s^h_g^bⁱ(z) = Z

1_hbi(x)g(x)dx+ηbzs^J_g¹(z)

= Z

1_hbi(x)g(x)dx+ηbz Z

1J1(x)g(x)dx+ηa(s^h_g^aⁱ(z) +s^J_g²(z) を得る．以下同様に，

Jn=

F(Jn−1) ifF(Jn−1)⊂ hai F(Jn−1)∩ hbi ifF(Jn−1)⊃ hai

(24)

1.7. piecewise linear transformation 23 とおき，

φ(n) =

(0 ifF(Jn−1)⊂ hai Qn

k=1η_a¹

k ifF(Jn−1)⊃ hai とおけば，

s^h_g^bⁱ(z) =χ^b_g(z) +

∞

X

n=1

zⁿφ(n)s^h_g^aⁱ(z)

を得る．ここでa¹₁a¹₂· · ·は1の展開，すなわち，limx↑1Fⁿ(x)∈ ha¹_n+1iをみたすAの列とする．このとき

χ^bg(z) =

∞

X

n=0

zⁿ

n

Y

k=1

ηa¹_k

Z

Jn

g dx

である．ただしJ0=hbiである．χ^bg(z)とΦ(z)b,aは|z|< e^ξで解析的であることに注意しよう．前と同様に

Φ(z) =

zηa zηa

P∞

n=1zⁿφ(n) 0

とおけば

sg(z) = (I−Φ(z))⁻¹χg(z) というrenewal equationが得られる．ここでχg(z) =

R

ag dx χ^b_g(z)

である．

これを用いれば力学系がmixingなこと，さらに limz↑1(1−z)(I−Φ(z))⁻¹

R

haig dx χ^b_g(1)

=

ηaR g dµ (1−ηa)R

g dµ

であることを見ればLebesgue測度に絶対連続な不変確率測度の密度関数を計算することが可能である．当然だが，あるnについて，Fⁿ(1)が 0，ηa，1 のどれかに等しくなるようなMarkov型のときには，上のように無限回renewalを繰り返さずに途中で打ちきって，Φ(z)の各成分が多項式になるようにとれる．この場合には，不変確率測度の密度関数は，

ηa, F(1),. . ., Fⁿ⁻¹(1)で不連続な階段関数になることは明らかであろう．

さらに

ζ(z) = 1

det(I−Φ(z))

をみたすことも同様に証明できるが，これにはあまり本質的ではない少し込み入った議論が必要であるので省略する．

β変換やunimodal linear変換のように1つの端点を除いてはMarkov型である場合には上のように，renewal equationが構成できる．もちろん，

(25)

図 1.6. general piecewise linear transformation

unimodal linear変換のように傾きが負の場合には注意が必要ではある．

しかし，一般の場合には図1.6のように，区間haiのrenewal equationを作ろうと思うと2つの区間J1とJ2が現れ，それをrenewalするとそれぞれに2つ，合計4つの区間が出現して，となってどんどん区間が増えていってしまい，これでは上のように意味のある（係数の収束半径が1を越えるような）renewal equationを作ることは不可能であることが想像に難くない．そこでhaiの両端点をそれぞれa⁻とa⁺で表すことにしよう．図ではa⁺とb⁻は，同じ点だが，haiに属すると見るか，hbiに属すると見るかによって異なる点と見なすことにする．a⁻とa⁺を記号の無限列 a⁻₁a⁻₂ · · ·anda⁺₁a⁺₂ · · ·と同一視する．ここで

xlim↓a⁻Fⁿ(x)∈ ha⁻_ni,

xlim↑a⁺Fⁿ(x)∈ ha⁺_ni

つまり，各a⁺またはa⁻にhai内の点から収束するときの，展開の極限である．s^hg^aⁱ(z)のrenewal equationがうまく構成できなかったのは，a⁻と a⁺の2つの端点を同時に追おうとしたからなので，

s^h_gâⁱ(z) =sâ_g⁺(z) +sâ_g⁻(z)

(26)

1.7. piecewise linear transformation 25 とs^a_g^σ(z)がa^σ(σ= +,−)のみによるように分解できればよい．これには

δ[L] =

1 ifLis true 0 otherwise とおいてx0, x1 (x0 < x1)について

{δ[x > x0]−1/2}+{δ[x < x1]−1/2}= 1(x0,x1)(x) (1.1) という当たり前の式が決め手になる．こうして前と同様に

sg(z) = s^a_g^σ(z)

a∈A,σ∈{+,−}

とおいて，通常の記号力学系を用いた場合に比べて次元が倍になるが，

renewal equationを

sg(z) = (I−Φ(z))⁻¹χg(z)

のように作ろうというわけである．これさえできれば，不変確率測度の密度関数や，力学系がmixingであることや，decay rate of correlationや，

zeta関数などがΦ(z)の性質からまったく前と同様に導けるはずである．

一般に点x∈[0,1]の展開α=a1a2· · ·にも符号を付けて考えよう．α⁺ は，xに左から近づくyの展開の極限というわけである．それぞれを記号の符号付きの無限列と見たり，[0,1]上の点と見たり適当に使い分けることにするが，混乱はないであろう．このようにして得られる符号つきの無限列の力学系を符号つき記号力学系と呼ぶ([33]参照)．ε(α⁺) = +，

ε(α⁻) =−とおいて，符号付き無限列˜αについて s^α_g^˜(z) =

Z

dx g(x) X

w∈W

z^|^w^||F^w^′(wx)|⁻¹

×{δ[wx <ε( ˜α)α]˜ −1/2}δ[w[1] = ˜α[1],(θw)xexists]

χg(˜α) = Z

dx g(x){δ[x <ε( ˜α)α]˜ −1/2},

χ^αg^˜(z) =







χg(˜α) {θα˜} ∈A˜,

∞

X

n=0

zⁿF^n′(˜α)⁻¹χg(θⁿα) otherwise˜

φ(˜α,v) =˜ ε(˜α){δ[˜v≤θα]˜ −1/2} Φ(z)u,˜˜v=







z φ(˜u,˜v) {θu˜} ∈A˜

∞

X

n=0

zⁿ⁺¹Fⁿ^′(˜u)⁻¹φ(θⁿu,˜ ˜v) otherwise

(27)

とおくと，renewal equationが作れる．ここで x <σy=

x < y ifσ= + x > y ifσ=−

を表す．まず，2点(または，記号の無限列) 0≤α < β ≤1で，その展開の1番目が一致している，つまり同じ記号に対応する区間に属しているとして，

s^α_g⁻(z) +s^β_g⁺(z) = s^(α,β)_g (z)

=

∞

X

n=0

zⁿ Z

1(α,β)(x)g(Fⁿ(x))dx (1.2) をみたすことを示そう．式(1.1)に注意して

s^α_g⁻(z) +s^β_g⁺(z) = Z

dx g(x) X

w∈W

z^|^w^||F^w′(wx)|⁻¹

×1(α,β)(wx)δ[w[1] = ˜α[1],(θw)xexists] (1.3) を得る．wx ∈ (α, β)でなければ，被積分関数は0だが，その場合には w[1] =α[1] =β[1]かつ(θw)xは存在しなければならないので，上の式 (1.3)は，

s^α_g⁻(z) +s^β_g⁺(z) = Z

dx g(x) X

w∈W

z^|^w^||F^|^w^|′(wx)|⁻¹1(α,β)(wx) となる．ここでwxを新たにxととって，積分の変数変換を行えば，Ja- cobianは|F^|^w^|′(wx)|⁻¹になるので，式(1.2)を得る．

例でrenewal equationの作り方を説明しよう．

例 1.2 β–expansion.

F(x) =x/η (mod 1)

を考えよう．図1.2のように左側を区間h0i，右側を区間h1iと表そう．簡単のため，傾き1/η は一定とする．とくに1> η≥1/2について考えるが，一般のη <1/2の場合や，傾きが区間毎に変わる場合への拡張はすぐにできる．renewal equationを作るために追いかける必要のある点は 0⁻,0⁺,1⁻,1⁺の4つだが1⁺を除いては，その像が端点になるので単純である．例として0⁻，つまり点0を考えよう．wordに関する和をempty wordとそれ以外に分け，empty word以外はθwをwと置き換える．

s⁰_g⁻(z) = Z

dx g(x) X

w∈W

z^|^w^||F^w′(wx)|⁻¹