The mimimum number of Dehn colors and local biquandle cocycle invariants

The mimimum number of Dehn colors and local biquandle cocycle invariants

山岸 凱司 (^上智大学)

松土恵理氏（日本大学）, ^{大城佳奈子氏}(^上智大学)^{との共同研究}

研究集会「結び目の数理V」 於 日本大学 2022^年12^月21^日（水)

§ ^{1 イントロ}

定理1

∀p ^{: 奇素数,}

mincol^Dehn_p (K) ≥ ⌊log₂ p⌋ + 2.

命題2

∀p ∈ {x | x : ^奇素数, x < 2⁵} \ {13, 29}^,

∃K : ^Dehn p^{-彩色可能な結び目 s.t.}

mincol^Dehn_p (K) = ⌊log₂ p⌋ + 2.

問題1

p ∈ {13, 29}^のとき, mincol^Dehn_p (K) = ⌊log₂ p⌋ + 2

なるK ^{が存在するか?}

問題2

p ^{: 奇素数 s.t.} p > 5^,

mincol^Dehn_p (K) > ⌊log₂ p⌋ + 2

なるK ^{が存在するか?}

注意

• ∀K^:Dehn 3^{-彩色可能な結び目,} mincol^Dehn₃ (K) = 3

• ∀K^:Dehn 5^{-彩色可能な結び目,} mincol^Dehn₅ (K) = 4 ^(Satoh)

命題2 ∀p ∈ {x | x : ^奇素数, x < 2⁵} \ {13, 29}^,

∃K : ^Dehn p^{-彩色可能な結び目 s.t.}

mincol^Dehn_p (K) = ⌊log₂ p⌋ + 2.

定理3 p ∈ {13, 29}^. ∀K^{: Dehn} p^{-彩色可能な結び目,} mincol^Dehn_p (K) ≥ ⌊log₂ p⌋ + 3.

定理4 ∀p ∈ {x | x : ^奇素数, 7 ≤ x < 2⁵} \ {17}^,

∃K^{: Dehn} p^{-彩色可能な結び目 s.t.}

mincol^Dehn_p (K) ≥ ⌊log₂ p⌋ + 3.

• ⌊log₂ p⌋ + 2^はp^{によっては}best possible^でない.

• mincol^Dehn_p (K) ̸= mincol^Dehn_p (K^′)^{となる場合がある.}

• mincol^Dehn_p (K)^はFoxのときとは全く違う振る舞いをする.

§ ^{2 Dehn 彩色と}

p^:奇素数, D^:結び目K ^の図式, R(D)^:D^{の領域の集合}

D^の Dehn p-^{彩色 は}, ^{以下を満たす} C : R(D) → Zp :

• ^x1

x₂

x₃

x₄

c において,

C(x₁) + C(x₃) = C(x₂) + C(x₄)

領域x^{に対して,} C(x)^をx^{の色という.}

• C ^がD^{の自明なDehn} p^-彩色

⇔ ^{すべての交点が}

a a

a a

または _a

b

a b

• ^結び目K ^がDehn p^{-彩色可能} :^def⇔ ∃(D, C)^{: 非自明にDehn} p^{-彩色された}K ^の図式.

Col^NT_p (D) ^: D^{の非自明なDehn} p^{-彩色の集合.}

定義 結び目K ^のminimum number of Dehn p^{-colors :}

mincol^Dehn_p (K)

= min{#ImC | (D, C) ∈

{非自明にDehn p^-彩色

されたK ^の図式

} }

定理5 p^{: 奇素数 s.t.} p < 2^5.

∃ (D, C)^{: 非自明にDehn} p^{-彩色された図式 s.t.}

#ImC = ⌊log₂ p⌋ + 2 =⇒

• ImC ∼ {0, 1, 2} ⁽p = 3^),

• ImC ∼ {0, 1, 2, 3} ⁽p = 5^),

• ImC ∼ {0, 1, 2, 4} ⁽p = 7^),

• ImC ∼ {0, 1, 2, 3, 6} ^または {0, 1, 2, 4, 7} ⁽p = 11⁾ ...

• ImC ∼ {0, 1, 2, 4, 8, 16} ⁽p = 31^),

S ∼ S^′:^def⇔ S^′ = sS + t (s ∈ Z^×_p , t ∈ Zp)

§ ^{3 コサイクル不変量}

準備として以下を定める.

X = _Zp ^with [a, b, c] = a − b + c

⇝ C_∗^SLB(X) = (C_n^SLB(X), ∂_n^SLB)

⇝ H_n^SLB(X), H_SLBⁿ (X, A)

ここで,

∂_n^SLB(((a, b₁), . . . , (a, b_n)⁾⁾ =

∑n

i=1

(−1)^i{((a, b₁), . . . , (a, b_i−1), (a, b_i+1), . . . , (a, b_n)⁾ − ⁽(a, b₁) ⋆ (a, b_i), . . . , (a, b_i−1) ⋆ (a, b_i), (a, b_i+1) ⋆ (a, b_i), . . . , (a, b_n) ⋆ (a, b_i)^)}.

ただし,

(a, b) ⋆ (a, c) = (c, [a, b, c]), (a, b) ⋆ (a, c) = (c, [a, c, b]).

補題 p ^{: 奇素数,}

X = _Zp ^with [a, b, c] = a − b + c^.

準同型写像θ_p : C₂^SLB(X) → Zp; θ_p⁽⁽(a, b), (a, c)⁾⁾

= (a − b)(a − b + 2c)^p + (a + b)^p − 2(a + c)^p

p .

は2-^{コサイクル}.

定義 χ^:(D, C)^の交点, a := C(r₁)^, b := C(r₂)^, c := C(r₃)^, χ^のweight :

w_χ = ε_χ⁽(a, b), (a, c)⁾.

ただし, ε_χ^は,

r₁ r₄ r₁ r₄

r₂

r₂ r₃

r₃

n_u

n_u n_o

n_o

また, W(D, C)^を

W (D, C) = ^∑

χ

w_χ

とする.

補題6 W (D, C) ∈ ker ∂₂^SLB.

例 下図におけるW (D, C)^は,

W(D, C) = + ⁽(0, 0), (0, 1)⁾ + ⁽(1, 0), (1, 1)⁾

+ ⁽(0, 5), (0, 0)⁾ + ⁽(0, 1), (0, 3)⁾ + ⁽(0, 3), (0, 5)⁾

であり,

∂₂^SLB(W (D, C))

= + ⁽(0, 0) − (0, 1) + (0, 1) − (1, 1)⁾

+ ⁽ − (0, 1) − (1, 1) + (0, 2) − (1, 2)⁾ + ⁽(0, 5) − (0, 0) − (2, 5) − (0, 2)⁾

+ ⁽(0, 1) − (0, 3) + (1, 2) + (2, 3)⁾ + ⁽(0, 3) − (0, 5) − (2, 3) + (2, 5)⁾

=0.

p=7

A ^{: 可換群,}

θ_p⁽⁽(a, b), (a, c)⁾⁾ = (a − b)^{(a−b+2c)p+(a+b)}_p ^p−2(a+c)p.

定義

Φ^NT_θ

p (D) := {θ_p(W(D, C)) | C ∈ Col^NT_X (D)}

を多重集合として定義する.

定理7 Φ^NT_θ

p (D)は 無向結び目不変量である.

これを, 無向結び目の局所バイカンドルコサイクル不変量という.

§ ^{4 結果}

定理8

p ^{: 奇素数 s.t.} 5 < p < 2^{5 かつ} p ̸= 17^, K ^{: Dehn} p^{-彩色可能な結び目,}

Φ^NT_θ

p (K) ^: K の局所バイカンドルコサイクル不変量.

0 ̸∈ Φ^NT_θ

p (K)^のとき,

mincol^Dehn_p (K) ≥ ⌊log₂ p⌋ + 3.

証明 p = 7^のとき

(D, C) ^: K ^{の非自明なDehn} 7^{-彩色された図式,}

♯ImC = ⌊log₂ 7⌋ + 2 = 4^{と仮定すると, 色は}{0, 1, 2, 4}^として

よい.

χ ^{: 非自明な交点}

このとき, 交点χ^は

またはその鏡像である.

よって, ^{すべての交点の}weight^の和は,

W (D, C) =s₁⁽(0, 0), (0, 1)⁾ + s₂⁽(0, 0), (0, 2)⁾

+ s₃⁽(0, 0), (0, 4)⁾ + s₄⁽(1, 1), (1, 2)⁾ + s₅⁽(1, 1), (1, 4)⁾ + s₆⁽(2, 2), (2, 4)⁾ + t₁⁽(0, 1), (0, 2)⁾ + t₂⁽(0, 2), (0, 4)⁾ + t₃⁽(0, 4), (0, 1)⁾ ∈ C₂^SLB(_Z7)

となり,

0 =∂₂^SLB(W (D, C)) ⁽_∵^補題)

=s₁∂₂^SLB(((0, 0), (0, 1)⁾⁾ + s₂∂₂^SLB(((0, 0), (0, 2)⁾⁾

+ s₃∂₂^SLB(((0, 0), (0, 4)⁾⁾ + s₄∂₂^SLB(((1, 1), (1, 2)⁾⁾ + s₅∂₂^SLB(((1, 1), (1, 4)⁾⁾ + s₆∂₂^SLB(((2, 2), (2, 4)⁾⁾ + t₁∂₂^SLB(((0, 1), (0, 2)⁾⁾ + t₂∂₂^SLB(((0, 2), (0, 4)⁾⁾

+ t₃∂₂^SLB(((0, 4), (0, 1)⁾⁾

=(s₁ + s₂ + s₃)⁽(0, 0)⁾ + (−s₁ + s₄ + s₅ + t₁)⁽(1, 1)⁾ + (−s₂ − s₄ + s₆ + t₂)⁽(2, 2)⁾

+ (−s₃ − s₅ − s₆ + t₃)⁽(4, 4)⁾ + (t₁ − t₃)⁽(0, 1)⁾ + (−t₁ + t₂)⁽(0, 2)⁾ + (−t₂ − t₃)⁽(0, 4)⁾

+ t₁⁽(1, 2)⁾ − t₃⁽(1, 4)⁾ + t₂⁽(2, 4)⁾

であり, よって

s₁ ≡ s₄ + s₅ ^(mod 2⁾, s₂ ≡ −s₄ + s₆ ^(mod 2⁾, s₃ ≡ −s₅ − s₆ ^(mod 2^{), and}

t₁ = t₂ = t₃ = 0

が得られる. ^{したがって},

θ₇(W(D, C))

=θ₇ (

(s₄ + s₅)⁽(0, 0), (0, 1)⁾ + (−s₄ + s₆)⁽(0, 0), (0, 2)⁾ + (−s₅ − s₆)⁽(0, 0), (0, 4)⁾ + s₄(⁽(1, 1), (1, 2)⁾

+ s₅⁽(1, 1), (1, 4)⁾ + s₆⁽(2, 2), (2, 4)⁾⁾

=0 (_∵ θ₇⁽(a, a), (a, b)⁾ = 0)

となり, 0 ̸∈ Φ^NT_θ

7 (K)^{に反する.}

したがって, ♯ImC > ⌊log 7⌋ + 2^. _□

定理4

p ^{: 奇素数 s.t.} 5 < p < 2^{5 かつ} p ̸= 17^.

このとき,

mincol^Dehn_p (K) ≥ ⌊log₂ p⌋ + 3

となる Dehn p^{-彩色な結び目}K ^{が存在する.}

例 p = 7^のとき

上図のように♯ImC = ⌊log₂ 7⌋ + 3 = 5となる例が存在するから, mincol^Dehn₇ (K) ≤ ⌊log₂ 7⌋ + 3 = 5

また, 0 ∈/ Φ^NT_θ

7 (K)であることも確かめられ,

mincol^Dehn₇ (K) ≥ ⌊log₂ 7⌋ + 3 = 5 (_∵ ^{定理 8})

が得られる. 以上より,

mincol^Dehn₇ (K) = ⌊log₂ 7⌋ + 3 = 5

注意

p = 17^のとき, 0 ̸∈ Φ^NT_θ

p (K)^なるDehn p^{-彩色な結び目}K ^で, mincol^Dehn₁₇ (K) = ⌊log₂ 17⌋ + 2 = 6

なるものが存在する.

Φ^NT_θ

17 (K)

={1 (578 ^times), 2 (578 ^times), 4 (578 ^times), 8 (578 ^times),

9 (578 ^times), 13 (578 ^times), 15 (578 ^times), 16 (578 ^times)},

§ ^{5 問題提起}

問題1

p = 17^のとき,

mincol^Dehn₁₇ (K) > ⌊log₂ 17⌋ + 2 = 6

なるK ^{が存在するか?}

問題2

p ∈ {13, 29}^のとき,

mincol^Dehn_p (K) ̸= mincol^Dehn_p (K^′)

なるK, K^{′が存在するか?}