離散剛要素法における力学定数に関する研究

離散 剛要素法 にお ける力学定数 に関す る研究

藤 村

尚・ 木 山

英郎・ 西村

強

*

海洋土木工学科・

*島

根県庁

(1985年9月 3日受理)

Study on COnstants for Distinct Elernent

【

ethod(DEA/1)

by

Hisashi FuJIMuRA,Hideo KIYAMA and Tsuyoshi NIsHIMURA*

Departlnent of Ocean CiYil Engineering

・

Shirnane Prefectural Government

(Received September 3, 1985)

The Distinct Element Method(DEWl)have the potential applicability for analysis of fissured rock structures and soil structures Before its practical application a suitable procedure for determining material constants F, 7 0f elements should be developed. In the case of rock structures,the size of element(i e rOCk block)is large enough to be made a specilnen,and two prOcedures of determinationて ,7 have been proposed by the authors,(tusing static elastic inodulusど ,フ in elastic contact theory"and ttfree

―faH rebound test"

In the case of soil structures,however,the size of element(1.e soil particle)is too sma■ to be tested individually in the above― mentioned procedures Mechanical properties of soil are used to be described in terms of the shear strength constants _ε

,

φ lt Will be expected usefun thatて ,7 values can be determined Mrith respect toじ ,φ values in shear test

ln this paper mOdels of sirnple shear test with different particle一arrays and values Of払『, 7 are analyzed by DEWI, and the relationships among particle― arrays, Й『, 7

緒 離散剛要素法 (以下

,DEMと

略記す る

)は

亀裂性岩 盤の解析法 としてCunda H(1971)1)によって提案 され た。解所法の原理 と岩質泣状体の重力流動 に応用す る手 法 については既 に報告 した2)。

DEMが

_{剛性要素の運動} 方程式 を基礎 とした解所法 であるため,現実 の粒状集合 体の実用解析法 として認め られ るためには ,解 所結果 と 実挙動 との対応性 と ,解 折対象 の物性 を表わす接撤定数 の定め方を検証 してお くことの2つが重要である。前者 については

DEM解

析 と模型実験 の整合性 を確認3)して お り,ここでは後者 について ,試 案 を検討することに し た。

DEM解

析のための材料定数 の決定 には

,1)理

論的 な方法

1,2).2)ブ

ロックの場合;粒子径が十分大 き く ,個 々の粒子 の物性か ら冴料定数 をもとめる方法2,1)

3)粉

体の場合,上のように粒子径の小 さい材料では, 粒子の集合体 としての強度特性 を利用す る方法が考え ら れ る。 土や粉体の ような粒子の集合体 の

DEM解

新 に当 って は ,個 々の粒子の物性か ら材料定数

K,η

を決定するこ とは困難である。 そこで ,上 の力学特性が通常せん断強 度定数

c,φ

で規制 され ることか ら

,c,φ

と関連づけ て

K,η

を決定する方法 を検討す ることに した。 このこ とは ,上 の変形 。強度特性が間げき比 で代表 され る骨格 構造 に強 く依属する性質 を考 えるとき

,DEM用

の材料 定数

K,η

も個 々の粒子の

K,η

としてではな く ,粒 子 配列 に関連 レた平均的な(あるいはある程度の粒子集合 体 としての

)K=η

として

,c,φ

に関係づけ られ るも の と期待 され る。 以上 の観 点か ら,種々の粒 子配 列 と

K,η

を設定 し て ,せ ん断モデルを

DEM解

析 し

,c,φ

と粒子挙動 を 観察することによって ,逆 に

C,φ

を与 えられた材料 に 対 し,適切 な材料定数

K,η

を決定 す る方法 を検討 し た。

2.超

ビンと 問 洋 モ デ・ ル 寃 》希既 妥 2次元 問題 と して

DEM解

析 す るせん断試験法 とし て ,最 も理想的 な単純せん断試験 を採 り挙げる。単純せ ん断試験 をひずみ制御 ,等 圧 (垂直荷重一定

)の

条件下 で行 なうことを念頭 において ,以 下 に述べ るモデル を設 図

-1

せん断箱のモデル 定す る。 せん断箱 として,図

-1に

み られ るように底辺 40c口, 高 さ20c題 _{を有す る}2次_{元 モデル を考 えた。} 解析 では,直径2cコの円形要素を左右対称 に配置 し, 最下段 にS個 ,そ の上 に

(S-1)個

の順 に規則正 しく 配列 (以下

,(S-1)/S配

列 とよぶ

)し

て用いた。 こうしてできる一要素4接点の規則配列の中 ,代 表 とし て

,17/18,15/10,13/14,11/12配

テJの4配列を中 心に考案す る。 解析 に用いた接触定数2,4)などは表 ―Iにまとめて示 す。せん断箱 の底壁 と載荷板 ならびに側壁 と要素 との接 触 に関する定数 の中,摩擦 スライダーの定数 卜の値は底 壁 と載荷板では大 き く,側壁部では小 さ くとり,それぞ れ 1.0と 0.087と した。せん断速度は ,辺

CDの

y方向 速度 としてloコ/secとした。 この速度 は ,砂 試料 に対す る通常の急速せん断速度 よ りかな り違いが ,本 例 に用い た供試体の寸法が標準の ものよ り約10倍であることも考 慮 して上述のようなせん断速度 を採用 した。 せん断応力 τxッは変位 を与 えた とき ,要 素間の全接触 点におけるy方向の分力の総和 を(層数

-1)で

除 して 表―

I

要素の諸元 と譜定数 脚rticle radius/:1 0cm density _ρ:2 65 gF/師 Youngζ mOdulus E:750 kgF/研 PoissoFs ratio ν:03

particle to particle ttrticle to wa11

為侮 徒耐

364X104 728X104

η

_{"/p9CD/s) 153X10 306X10}

塩/p9に

0 091X104 183X104

み拘

lcm/s) 076X10 153X10

鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第

16巻

算定 した。垂直応力 σ

xも

同様 に して

,X方

向の分力の 総和 を(層数

-1)で

除 して表 わす。 この ように τxッ , σ

xは

供試体内の平均的な応力状態 を示す もの とす る。 この応 力状態 に対応 す るせん断ひずみ γxンと直 ひずみ 奪

xは

,図

-2に

示す ように γxッ=δソ

/H , ex =―

δ

x/H

ここに

,Hは

要素高 さ,δン,δ

Xは

それぞれ水平,鉛直 方向の変位 とする。

3.解

析 結 _― の 考 察 せん断モデル に対する

DEM解

所の結果の一例 を図一

3,4,5に

示す。図中の線分は接触点 における法線方 向および接銀方向の弾性 スプ リングによる接撤力の合力 をベ ク トル表示 したものであ り,線分長 (接点 を狭んで 作用力 と反作用力の大 きさを表わ し,図中の要素直径分 が約 150個の要素質量 に相当す る。

3.1

静止状態ならびに圧縮特性 この解析は ,要 素問ならびに要素 ―側壁間にご くわず か な間 げ きを残 した非接触 の浮遊状態か ら計算 を開始 し ,か=lo 4 s間隔で図中に示す それぞれの時刻 toま で繰 り返す ことによって静止状態2)に_{至 らしめた もので} ある。番止状態 に引続 き,圧密 (圧縮

)過

程,せん断過 程 と解析 を進 める。 圧密は ,供 試体の上下面 に鉛直力 (剛板載荷重

)を

加 えて行 うもの とす る。解析では剛板 を粒子 との間に住か なす き間 を設けた状態か ら計算 を開始 し,図中に示すそ れぞれの時刻 tcまで繰返 し計算す ることによって剛板 を静止状態 に至 らしめた。 図

-3,4,5に

示すl1/12配列は最 も偏平 な配列で あ り

,17/19配

列tよ高積 み配列 となる。 なお,同図で は ,接 触力の縮尺が圧縮状態 (σx=0,4kg′ca2)を基準 として表 わ されているため,静上状態 (同図 ―

a)に

お ける接触力は不明瞭であったので ,別 途解析 している。 静止状態 における粒子間の力の伝達は

H/12配

列では水 平方向に近 く,配列数Sが多 くなると鉛直成分 を増す。 それ とともに,せん断容器側壁 に作用す る垂直力は

11/

12配列で大 き く

,Sの

増加 とともに減少す る傾 向が認め られ る。 つぎに ,圧 密終了時についてみると,粒子間の力の伝 達やせん断容器側壁 に作用する垂直力の性状 は静止状態 の ものに等 しい。ただ ,そ の大 きさは圧密圧力 によ り著

L

図

-2

直ひずみとせん断ひずみ しく増大 している。

3.2

せん断特性

3.2(1)

粒子配列 と変形形態 図

-3に

示 す ようにi1/12配列 のせん断過程 につい て ,せ ん断ひずみ γ

xy(=δ

v/H)が 4%付

近では左上 端

(D'点

)と

右下端

(B点

)を

結ぶ対角線上 に沿 って ほぼ一様 な要素間の接撤力 と要素 ―壁間の垂直力が卓越 している。上 ,下 壁の摩擦力 も等分 に作用 している。 ま た,左下端

(A点

)と右上端

(C'点

)付

近の隅部 には 接触力の極めて小 ぎい領域が観察 され る。図

-3-e,

f,gの

ようにせん断が進 む と,要素の配列変化が 目立 ってい る。 そ して要素間接 触力 は大 き くなる傾 向が あ る。 図

-5に

示す17/18配列の場合 ,γxソ

=4%付

近 にお いて

,D'か

ら辺

ABの

1.0を結ぶ線 に沿 う接触力が卓 越 しているが ,右 半分 にも(辺

BC'側

にも

),そ

れ ら の力の伝達がみ られ る。 この ことは γ

xy=14%に

増加 し て もγxν

=4%の

時 とほ とん ど変 わ らない。 図

-4に

示す15/16配列の場合 ,γ

xy=4∼

6%に

お いて ,要 素間接触力は先 の17/18配列 によ く似た傾向を 示 している。図

-4-f∼

iのようにせん断が進む と, 要素の配ア1変化が 目立 ち,要素間 の接触力 も不規則 にな る傾 向が あ る。単純せん断試験 をモデル化 した とはい え,供試体中の応力分布が垂直応 力,せん断応力 とも決 して一様に分布 していない ことに注意す る必要が ある。

3.2(2)

粒子配列 とせん断特性

3.2(1)の

結果 をもとに,通常のせん断試験 にお けると同様 な,応力∼変位曲線 や モール ●クーロン破壊 曲線 を求めよう。 11/12配アIt 15/16配列,および17/19配列における 応 力比 (■xソ

/σ

x)と

せん断 ひ ずみ γ

xy,直

ひずみ

exと

γxッの関係 を図

-6,7,3に

,txソ

/σ

xの

ピ

(a)to・0・2700seC (tc・0) 1 00 2 00 3.00 tc奉0.1176sec lts・0) (c)tsiO・4000sec

蜘

０ ０   ﹃         〇 〇   一         〇 〇   〇 (f)ts・ 1.6000sec (フxy=8.00%) (g)ts=2.0000sec lyw・10,00常〕 (h〕 ts・2.4000sec υxy・12.00%) (1)ts42.8000sec (ツxy引400括) 図

-3 DEM解

析

(11/12砂

の

鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第

16巻

詞劉

判

︲

８

﹂一

 

Ｓ

ｉ豹

 

 

ｏｏ

_市

．

ぎ

ｒ

．

．８

． 駒

 

ｏｏ

_市

一

ぎ

す

．

Ｂ

(a〕 t。`0。1247sec (b)tc莉 .0966seC (tB30) (C)ts・ 0.4000sec (ツxy喜2.00%)

(d)is事 0,8000sec (7xy=400X)

ts幸1.2000sec (h)tsa2.4000sec t/xyB12.00イ ) ゴ ｏ ，             ｏ ・ ８ ０       ︲ 、 ︲□ 圏 瑠 引 邦 験 綸 治 試 司 瓜 ８ ８ 図

-4 DEM解

析

(15/ユ

熙効ゆ

(f)ta`1,6000sec .00 1.00 2.00 3.00 (tBユ0) Ц.00 (b)tcい0.1 050sec tB・0.4000sec ts=0.8000sec (e)ts=1,2000sec ｏ ● ←     ｏ ｏ ・． 一      ｏ ｏ ﹂ ０ ０ (h)ta・2.4000sec (ンxy■12.00X) 〇 〇 ﹂ Ｎ         Ｏ Ｏ 嗜 一         ● 〇 ． ０ ０ 一ｏ ﹂Ｎ や    、 〇〇 ．・．︻       ００ ﹂００ つ つ ， Ｎ         う ０ ﹁ 一 ．      つ ０ ﹂ ０ ０ 図

-5 DEM解

析

(17/1卸

甥ゆ

鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第

16巻

―クを破壊 と考え(図

-3-(g),図

-4-(c),

図

-5-(d)),そ

の時 の ぞxッと σ

xの

関係 を図 一 9に示す。 これ より

c,φ

を求め る と表 ―■のようにな る。 ここに用いたtr xの大 きさは

0.1,0,2,0.4(kgf

ん題2)とする低応カ レベルである。図

-10は

,φと配 図

-6

応力,ひずみ,体積変化曲線

(li/ユ

騨甥ゆ 列 (粒子間接触角 α

)の

関係 を示 した ものである。 このように

,H/12配

列 において,強度特性は ,ピ ー ク強度が明確 に現れ,顕著 な体積膨張 を示す乾燥砂の密 図

-8

応力,ひずみ,体積変化曲線

(17/18砂

の 19/14 15/16 1718

01 o2 03 04 05

σx tkgf/cmP, 図

-9

ぞxンと蠍 の関係 表―

H

配列 と強度定数 01 ︵ 。 ” Ｅ ミ ０ 口   驚 卜 。 (kgう箭) (d亀) 17/ 419 X 10 3 15/16 559X 10 3 13 / 14 539 X 10 9 11/12 467 x 10 2 図

-7

応力,ひずみ,4積変化曲線

(15/1叫

効ゆ

詰め状態のもの とよ く慨た挙動 を示 し,強度定数 も他の 3配列 と比較 しても極 めて大 きい。一方,15/16配列, 17/18配列 (13/14配列 も合む

)で

は強度定数,体積膨 張 とも小 さい値 を示 している。総 じて,内部摩擦角 φは 配列に著 しく依存 しているが ,粘 着力cは■

_/12配

列 を 除 き ,極 めて小 さく配列の影響はない と理解 され る。

3.2(3)

材料定数 φ卜

,K/η

の検討 つ ぎに,内部摩擦 角 φとい卜 や

K/η

の関係 を調べ た。 粒子間摩擦角 φ卜 の大小がせん断特性 に影響 を与 える ことはよ く知 られているが6),粒子配列や密度 の条件 を 合めた0への影響 については明 らかにされ ていない。そ o17,18 △IS′18 口 ,3/14 ●1,′12 図―ユと応力,ひずみ,体積変化曲線

(15/16配

列,●

_P=二

5° ) こで ,粒 子配列 に注 目して φ卜 とφの関係 について調べ る。解 析 に用いたOμ は 15°,20° ,25°さらに前述 の 30° であ り,その他の条件 はすべて同一 である。 φ卜 を 小 さ く採 った ときの15/16配列 における ,応 力比 および 直ひずみの特性 を図

-11に

示す。 これ らの結果 をもと に,破壊 曲線 な らび に φとφ

Fの

関係 をそれ ぞれ 図 ―

12と

図

-13に

示す。 このように ,φ

Pが

大 き くなれ E ミ

言

01 ° Oi o2 _{α3 o4 o5} αx lkgF/cm'I 図一 二2 txンとσ

Xの

関係

(15/16動

15/16

10 20 30

η ld。口 '

φと粒子間摩擦角

_,μ

の関係

＾．_Ｏ Ｏ ︺ ︶ Ｓ 図

-13

15′16

S

図

-14

φと

K/η

=sの

関係 1.0 脚 ︲５ 獅 ２５ ３。 ？ 。 口 ・ ▲ 15/16 ?μと15・

徐Ikgf/cmi〕 0 04 ▲ o2 口 01

5

_{、島 脇〕}

Ю

鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第

16巻

ば いの値,体積膨張 とも大 き くなるが ,配 列の変化 によ る影響 に比べ て極 めて小 さい ことがわか る。 つ ぎに ,副 性定数Kと粘性定数 ηの比

K/η

(=S)

とやの関係 を調べてみ よう。図

-14は

Sを

1.0,0.5

および 0.25と した ときのSとφの関係 を示 している。 この結果

,Sの

変化が φへ及ぼす影響は小 さい と認め ら れ る。 結 語 カン ドルの開発 した離散剛要素法

(DEM)の

要素形 状 を円形 に簡略化す ることによって多粒子か らなる粒状 体の流動解析 の実用化 を図 っている。 その うち

,DEMに

おける実用解析へのアプローチ と して ,最 も重要 な材料定数の検討 を行 なった。材料定数

K,η

を評価す るにあた り ,秒 のような粒径の小 さい物 質の場合 には

DEMに

よる単純せん断試験のシ ミュ レー シ ョンを実施 して ,与 えた材料定数

K,η

と粒子配列 に 応 じた

C,φ

が決定 できることがわか った。 以下 ,解 析結果 をまとめる と次のようになる。 ① 内部摩擦角 φは粒子配列 に依存 し,11/12配列 で大 き く,配列数の増加 (粒子間接触角 αの減少

)に

つれ て小 さ くなる。 ② 粘着力cは評価 できない。 ◎ 粒 子 間摩擦 角 φμ や

K/η

=Sな

どの粒 子 特性 は, φに影 響 を与 え ないが,供試体 の構造 変 化 に大 い に関 与 してい る。 ´ 考 文 献

1) Cundall,P.A,:A Con,uter Xodei for Si口 ulating Progre,sivetLarge Scale Xove口 ents in BIcck▼ RocI SysteBs,S▼口F・ ISRH,Nanc7,France,Proc.

Vol.2,pp.129′V196, 1971

2)木

山英 郎・ 藤 村 尚:カン ドル の確 散 副 要 素法 を用 い た岩 賢粒状 体 の重 力流動 の解析,土木 学 会 論文 報 告 案,第 988号 ,P,.187∼146,1998

3)木

山英郎・ 藤村 尚・ 二木隆 :地下浅所 の トンネル周 辺地盤 の離 散 副要 素法 解析 と模 型実験,第 6口岩 の 力 学 国 内 シ ンポ ジ ウム講 演 論 文 集,pp.245∼230, 1984

4)藤

村 尚 他:離散剛要 素法 につけ る岩 の衝 撃 特性 につ い て

(2),鳥

取 大 学 工 学 部 研 究 報 告,第14巻 , 第 二号,pp.207∼ 216,1981

5) RoFe,P.岬 .:Stress―Dilatancy Relation For Static Equilibriu口 of Aれ Asse口bl▼ of Particles in co■tact,Proc. Ro7al SOc。 ,Lo■ doれ,Series A, Vol.209,,p.500-527, 1982