untitled

４章

開水路における不等流(２) 漸変流

４−１漸変流とは ① 断面形状や底面形状が緩やかに変わる流れ。 ② 変化が長区間にわたるので摩擦力が無視できない。 ③ 流れが緩やかに変化するので、一般にベルヌイの式を適用するが、 運動量の式を用いた方が良い場合もある。

x

δ

A

A

A

x

x

δ

∂

+

∂

x

V

V

V

x

x

δ

∂

+

∂

( )

2

A

V

Q

AV

A

x

V

x

x

x

V

A

A V

AV

A

x V

x

x

x

x

x

x

δ

δ

δ

δ

δ

∂

∂

⎛

⎞⎛

⎞

=

=

_⎜

+

_⎟⎜

+

_⎟

∂

∂

⎝

⎠⎝

⎠

∂

∂

∂ ∂

=

+

+

+

∂

∂

∂ ∂

高次の微小項

0

V

A

A

x V

x

x

δ

x

δ

∂

∂

∴

+

=

∂

∂

0

V

A

A

V

x

x

∂

∂

∴

+

=

∂

∂

( )

AV

0

x

∂

∴

=

∂

Constant

AV

=

=

Q

４−２ 不等流における連続式

４−３ 漸変流の水面形方程式と種々の水面形

Text 7.1 (下) P1∼7 7.3（下）P28∼35 D L

z

z

z

x

x

∂

+

∆

∂

h

h

x

x

∂

+

∆

∂

h

2

2

v

g

1

2

(

)

2

v

v

x

g

x

∂

+

∆

∂

x

∆

2断面間にベルヌイ式を立てる

【1】ベルヌイ式の適用

h

_A

h

h

x

x

∂

+

∆

∂

A A 摩擦損失水頭

2 2

1

2

2

v

z

h

v

z

h

h

z

x

h

x

v

x

g

x

x

g

x

h

h

x

x

∂

∂

_⎛

∂

_⎞

+ +

+ = +

∆ + +

∆ +

_⎜

+

∆

_⎟

∂

∂

_⎝

∂

_⎠

∂

+

∆

∂

A A A

       +

2 2

2

v

v

v

x

x

x

∂

+

∆ + ∆

∂

高次微小項 2

2

v

v

v

x

x

∂

≈

+

∆

∂

2

v

x

x

∂

=

∆

∂

2

0

2

v

z

h

h

x

g

⎛

⎞

∂

+ +

+

=

⎜

⎟

∂ ⎝

A

⎠

底面勾配 水深勾配 損失勾配 速度水頭勾配 2

2

v

z

h

h

g

+ +

+

=

A

Constant

2

2

v

z

h

h

g

+ +

+ =

_A

_Constant

D L 位置水頭 速度水頭 ＝

総水頭

摩擦損失水頭 水深水頭

2

0

2

v

z

h

h

x

g

⎛

⎞

∂

+ +

+

=

⎜

⎟

∂ ⎝

A

⎠

ここで、

z

i

,

x

∂

= −

∂

f

:

h

I

x

∂

=

∂

A _{摩擦損失勾配 とおくと、} 2

0

2

f

h

v

i

I

x

x

g

⎛

⎞

∂

∂

− +

+

_⎜

_⎟

+

=

∂

_{∂ ⎝}

_⎠

2

:

2

f e

h

v

I

i

I

x

x

g

⎛

⎞

∂

∂

= −

−

_⎜

_⎟

≡ −

∂

_{∂ ⎝}

_⎠

エネルギー勾配

１−３【2】で、平均流速公式と損失勾配の関係を示した。

2 2 f

v

I

C R

=

Chezy公式では

2 2 4 3 f

n v

I

R

=

Manning公式では

これらの式は等流における摩擦過程で成立するとしたが、 不等流でも同じ式形が成立する。 この関係を 2

0

2

f

h

v

i

I

x

x

g

⎛

⎞

∂

∂

− +

+

_⎜

_⎟

+

=

∂

_{∂ ⎝}

_⎠

に代入する。

Chezy型に対して、 2 2 2

0

2

h

v

v

i

x

x

g

C R

⎛

⎞

∂

∂

− +

+

_⎜

_⎟

+

=

∂

_{∂ ⎝}

_⎠

Manning型に対して、 2 2 2 4 3

0

2

h

v

n v

i

x

x

g

R

⎛

⎞

∂

∂

− +

+

_⎜

_⎟

+

=

∂

_{∂ ⎝}

_⎠

重

要

開水路漸変流の基礎方程式

（注）漸変流の基礎式は用いる平均流速公式によって異なる！

2 2 2

1

2

2

v

Q

x

g

g x A

⎛

⎞

∂

₌

_{∂ ⎛}

_⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

_⎝

_⎠

_{∂ ⎝}

_⎠

Q

Q

Av

v

A

=

→

=

連続式 より。 2 3

2

2

Q

A

g A

x

− ∂

=

∂

2 3

Q

A

gA

x

∂

= −

∂

2 3

Q

A

gA

x

∂

= −

∂

2 3

Q

A h

A B

gA

h x

B x

∂ ∂

∂ ∂

⎛

⎞

= −

_⎜

+

_⎟

∂ ∂

∂ ∂

⎝

⎠

2 2 2

0

2

h

v

v

i

x

x

g

C R

⎛

⎞

∂

∂

− +

+

_⎜

_⎟

+

=

∂

_{∂ ⎝}

_⎠

2 2 3 2

0

h

Q

A h

A B

v

i

x

gA

h x

B x

C R

∂

⎛

∂ ∂

∂ ∂

⎞

− +

−

_⎜

+

_⎟

+

=

∂

_⎝

∂ ∂

∂ ∂

_⎠

これを、 _{に、代入すると} 2 2 2 3 3 2 2

1

Q

A

h

i

Q

A B

Q

gA

h

x

gA

B x

C A R

⎛

∂

⎞

∂

∂ ∂

−

= +

−

⎜

_∂

⎟

_∂

_{∂ ∂}

⎝

⎠

2 2 3 2 2 2 3

1

Q

A B

Q

i

h

gA

B x

C A R

Q

A

x

gA

h

∂ ∂

+

−

∂

₌

∂ ∂

∂

∂

₋

∂

これより漸変流の水面形方程式はChezy型の場合 急変流（摩擦が無視できる場 合）の方程式に新たに加わっ た項 Manning型の場合 2 2 2 3 2 4 / 3 2 3

1

Q

A B

n Q

i

h

gA

B x

A R

Q

A

x

gA

h

∂ ∂

+

−

∂

₌

∂ ∂

∂

∂

₋

∂

【2】一様幅、広長方形断面水路の場合

,

,

B

0,

A

A

Bh

R

h

B

x

h

∂

∂

=

≈

=

=

∂

∂

2 2 3 2 2 2 3

1

Q

A B

Q

i

h

gA

B x

C A R

Q

A

x

gA

h

∂ ∂

+

−

∂

₌

∂ ∂

∂

∂

₋

∂

2 2 2 3

Q

C B h

−

2 3 3

1

Q

B

gB h

−

⋅

2 2 2 3 2 3

1

1

q

i C h

i

q

gh

−

⋅

=

−

ここで、分母 = 0 とすると Chezy 2 2 10 / 3 2 3

1

1

n q

i h

i

q

gh

−

⋅

=

−

Manning 0 2 3 c

q

h

h

g

=

=

_限界水深 分子 =0 とすると Chezy 2 3 0 2

q

h

h

C i

=

=

2 2 2 10 / 3

n Q

B h

−

Manning Manning 3 2 2 ₁₀ 0

n q

h

h

i

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

=

⎝

⎠

等流水深

3 0 3 3 3

1

1

c

h

h

_h

i

h

x

h

−

∂

=

∂

₋

Chezy型 ₁₀ 3 0 2 3

1

1

c

h

h

h

i

h

x

h

⎛

⎞

− ⎜ ⎟

∂

₌

_⎝

_⎠

∂

₋

Manning型 3 3 0 3 3 c

h

h

i

h

h

−

=

−

10 1 3 _{3 3} 0 3 3 c

h

h

h

i

h

h

−

−

=

−

問題１ 台形断面の水面形方程式を導け

h

B

ϕ

ϕ

問題２ 放物線形断面の水面形方程式を導け

z

y

2

z

=

ay

h

【3】限界勾配（ となる勾配） 0 c

h

=

h

となる条件を求める。 Chezy式では、 2 2 3 ₃ 0 ₂ c

q

q

h

h

C i

g

=

=

=

0 c

h

=

h

2 c

g

i

C

=

Manning式では、 3 2 2 ₁₀ 2 3 0 c

n q

q

h

h

i

g

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

=

=

⎝

⎠

1 2 ₃

q

g

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

10 2 ₉ 2 9 c

n g

i

q

=

10 2 2 2 ₉

n q

q

i

g

⎛

⎞ ⎛

⎞

=

⎜

⎟ ⎜

⎟

⎝

⎠ ⎝

⎠

20 9 10 9

q

g

=

①

i

<

i

_c のとき 2 2 3 3 0 _{2 2} c c

i

q

q

g

h

h

C i

g C i

i

=

=

=

⋅

1 3 0 c

₁

c

h

i

h

i

⎛ ⎞

∴

=

_{⎜ ⎟}

>

⎝ ⎠

従って に対しては常流の等流水深が生じる。これを

緩勾配水路(Mild Slope Channel)という。 c

i

<

i

②

i

>

i

_c のとき 2 2 3 3 0 _{2 2} c c

i

q

q

g

h

h

C i

g C i

i

=

=

=

⋅

1 3 0 c

₁

c

h

i

h

i

⎛ ⎞

∴

=

_{⎜ ⎟}

<

⎝ ⎠

従って に対しては射流の等流水深が生じる。これを

急勾配水路(Steep Slope Channel)という。 c

i

>

i

0 c

h

>

h

0 c

h

<

h

c

i

<

i

c

i

>

i

【4】緩勾配水路における水面形 0 c c

i

<

i

 したがって

h

>

h

①

_h

>

_h

₀

>

_h

_c の場合 3 3 0 3 3 c

h

h

h

i

x

h

h

−

∂

=

∂

−

0

>

0

>

>

0

c

h

>

h

で常流なので下流の状態が上流に伝播する

x

とともに水深が増す 上流に向かうほど 0

h

→

h

すなわち、

h

0

x

∂

→

∂

下流で境界条件 上流に向かって 計算 c

h

h

₀

h

c

i

<

i

M₁曲線、堰上げ背水(Back Water)という。 0 0 0 c c c

h

h

h

h

h

h

h

h

h

>

>

> >

>

>

常流 常流 射流

3 2 2 ₁₀ 0 2 3

70.54

46.7

c

n q

h

i

q

h

g

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

=

⎝

⎠

=

=

cm

cm

1/ 500,

1.0

/

0.025

i

q

n

=

=

=

2

(m s)

84.6

h

=

downstram

(cm)

②

_h

₀

> >

_h

_h

_c の場合 3 3 0 3 3 c

h

h

h

i

x

h

h

−

∂

=

∂

−

0

<

0

>

<

0

c

h

>

h

ゆえに常流

_x

とともに水深減少 上流に向かうほど すなわち 0

h

→

h

h

0

x

∂

→

∂

下流に向かうほど すなわち c

h

→

h

0

0

h

h

x

x

∂

∂

→ ∞

→

∂

 

または

∂

M₂曲線、低下背水という。 c

h

h

₀

_h

c

i

<

i

c

i

>

i

支配断面 S₂曲線

3 2 2 ₁₀ 0 2 3

70.54

46.7

c

n q

h

i

q

h

g

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

=

⎝

⎠

=

=

cm

cm

1/ 500,

1.0

/

0.025

i

q

n

=

=

=

3

(m s)

56.4

h

=

downstram

(cm)

③

_h

₀

>

_h

_c

>

_h

の場合 3 3 0 3 3 c

h

h

h

i

x

h

h

−

∂

=

∂

−

0

<

0

<

>

0

c

h

<

h

ゆえに射流、上流の状態が下流に伝播

x

とともに水深増加 下流に向かうほど

h

→

h

_c すなわち

h

x

∂

→ ∞

∂

M3曲線 c

h

h

₀

h

c

i

<

i

上流の境界 から計算を 進める M1曲線

【5】急勾配水路における水面形 0 c c

i

>

i

 したがって

h

>

h

④

_h

>

_h

_c

>

_h

₀ の場合 3 3 0 3 3 c

h

h

h

i

x

h

h

−

∂

=

∂

−

0

>

0

>

>

0

c

h

>

h

で常流なので下流の状態が上流に伝播する

x

とともに水深が増す 上流に向かうほど c

h

→

h

すなわち、

h

x

∂

→ ∞

∂

下流で境界条 件、上流に向 かって計算 c

h

0

h

h

c

i

>

i

0 0 0 c c c

h

h

h

h

h

h

h

h

h

>

>

> >

>

>

常流 射流 射流 S1曲線

⑤

_h

_c

> >

_h

_h

₀ の場合 3 3 0 3 3 c

h

h

h

i

x

h

h

−

∂

=

∂

−

0

>

0

<

<

0

c

h

<

h

で射流なので上流の状態が下流に伝播する

x

とともに水深が減少する 下流に向かうほど

h

→

h

_{0 すなわち、}

h

₀

x

∂

→

∂

上流で境界条 件、下流に向 かって計算 c

h

0

h

h

c

i

>

i

上流に向かうほど

h

→

h

_c すなわち

0

0

h

h

x

x

∂

∂

→ ∞

→

∂

 

または

∂

S2曲線

3 2 2 ₁₀ 0 2 3

35.4

46.7

c

n q

h

i

q

h

g

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

=

⎝

⎠

=

=

cm

cm

1/ 50,

1.0

/

0.025

i

q

n

=

=

=

3

(m s)

42.4

h

=

upstream

(cm)

M₂曲線 c

h

h

₀

_h

c

i

<

i

支配断面 S₂曲線 c

i

>

i

ここで、 0

0

0

c

h

h

h

h

x

∂

=

=

=

∂

 よって

遷移流

3 3 2 2 ₁₀ 2 2 ₁₀ 0

70.54

0

35.4

n q

n q

h

h

i

i

⎛

⎞

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

=

=

_⎜

_⎟

=

⎝

⎠

cm

⎝

⎠

cm

上流側

、 下流側

1/ 500,

1/ 50,

1.0

/

0.025

i

i

q

n

=

=

=

_{(m s)}

3

=

上流側

下流側

、

2 3

46.7

c

q

h

g

=

=

_cm

3 3 2 2 ₁₀ 2 2 ₁₀ 0

70.54

0

35.4

n q

n q

h

h

i

i

⎛

⎞

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

=

=

_⎜

_⎟

=

⎝

⎠

cm

⎝

⎠

cm

下流側

、 上流側

1/ 500,

1/ 50,

1.0

/

0.025

i

i

q

n

=

=

=

_{(m s)}

3

=

下流側

上流側

、

2 3

46.7

c

q

h

g

=

=

_cm

⑥

_h

_c

>

_h

₀

>

_h

の場合 3 3 0 3 3 c

h

h

h

i

x

h

h

−

∂

=

∂

−

0

<

0

<

>

0

c

h

<

h

で射流なので上流の状態が下流に伝播する

x

とともに水深が増大する 下流に向かうほど

h

→

h

_{0 すなわち、}

h

₀

x

∂

→

∂

上流で境界条 件、下流に向 かって計算 c

h

0

h

h

c

i

>

i

S1曲線 S2曲線 S3曲線

3 2 2 ₁₀ 0 2 3

35.4

46.7

c

n q

h

i

q

h

g

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

=

⎝

⎠

=

=

cm

cm

1/ 50,

1.0

/

0.025

i

q

n

=

=

=

3

(m s)

24.8

h

=

upstream

(cm)

⑦ まとめ c

h

h

0 c

i

<

i

緩勾配水路 M1 M2 M3 c

i

>

i

急勾配水路 c

h

0

h

S1 S2 S3

【６】限界勾配水路における水面形 Critical Slope Channel

0 c c

i

= →

i

h

 

=

h

⑧

_{h h}

> =

₀

_h

_c 0 0 c c

h h

h

h

h

h

> =

=

>

の場合 c

h

>

h

で常流なので 下流の状態が 上流に伝播する

x

とともに水深が増大する 3 3 0 3 3 c

h

h

h

i

x

h

h

−

∂

₌

∂

−

>

0

3 3 3 3 c c

h

h

i

h

h

−

=

−

= =

i

i

c

(

)

'

'

c c c c c c

h

i

h

i x C

x

x

L

h

H

H

i L C

C

H

i L

h

i x

L

H

L

x

x

h

H

i x

∂

=

→

=

+

∂

=

=

=

+

∴ =

−

∴ =

−

+

− =

=

−

で

ならば

と置き換えれば、

上流に向かうと 0 c

h

→

h

 

=

h

したがって、

0

0

h

x

∂

→

∂

0 c

h

=

h

c

i

=

i

'

x

x

_L

c

i

c

i

C1

⑨ 0 c

h h

< =

h

の場合 c

h

<

h

で射流なので 上流の状態が 下流に伝播する

x

とともに水深が増大する 3 3 0 3 3 c

h

h

h

i

x

h

h

−

∂

₌

∂

−

>

0

3 3 3 3 c c

h

h

i

h

h

−

=

−

= =

i

i

c

0

c c c

h

i

h

i x C

x

x

h

H

H

C

h

i x

H

∂

=

→

=

+

∂

=

で

=

ならば

=

∴ =

+

下流に向かうと 0 c

h

→

h

 

=

h

したがって、

0

0

h

x

∂

_→

∂

0 c

h

=

h

c

i

=

i

0

x

=

H

_h

c

i

c

i

C3

【７】水平勾配水路における水面形

_i

=

₀

2 2 3 2 2 2 3

1

Q

A B

Q

i

h

gA

B x

C A R

Q

A

x

gA

h

∂ ∂

+

−

∂

₌

∂ ∂

∂

∂

₋

∂

2 2 2 3 2 2 3

1

Q

i

C B h

Q

gB h

−

=

−

2 3 2 2 3 3 c

Q

ih

C B

h

h

−

=

−

2 2 2 3 3 c

Q

C B

h

h

−

=

−

2 2 3 3 3 3 2 2

(

h

h

_c

)

dh

q

dx

(

h

h

_c

)

dh

q

dx

C

C

−

= −

  

∫

−

= −

∫

2 4 3

1

4

c

q

h

h h

x

K

C

⎛ ⎞

−

= −

_{⎜ ⎟}

+

⎝ ⎠

x

=

0

にて

h

=

H

→

K

=

₄

1

H

4

−

h H

c3 2 4 4 3

1

(

)

(

)

4

c

q

x

H

h

h

H

h

C

⎛ ⎞

∴

_{⎜ ⎟}

=

−

−

−

⎝ ⎠

(4次曲線) 水平勾配水路における漸変流の水面形

⑩ c

h

>

h

常流のとき

h

x

∂

=

∂

2 2 2 3 3 c

Q

C B

h

h

−

−

0

<

0

>

<

0

2 4 4 3

1

(

)

(

)

4

c

q

x

H

h

h

H

h

C

⎛ ⎞

∴

_{⎜ ⎟}

=

−

−

−

⎝ ⎠

x

0

x

=

H

h

c

h

H2曲線

⑪ c

h

<

h

射流のとき

h

x

∂

=

∂

2 2 2 3 3 c

Q

C B

h

h

−

−

0

<

0

<

>

0

2 4 4 3

1

(

)

(

)

4

c

q

x

H

h

h

H

h

C

⎛ ⎞

∴

_{⎜ ⎟}

=

−

−

−

⎝ ⎠

x

0

x

=

H

h

h

c H3曲線

【８】逆勾配水路における水面形

_i

<

₀

⑫ c

h

>

h

常流のとき 2 3 2 2 3 3 c

Q

ih

h

_{C B}

x

h

h

−

∂

₌

∂

−

0

<

0

>

<

0

0 < 下流に向かうと

h

→

h

c とともに、

h

x

∂

→ −∞

∂

c

h

h

A2曲線

0

i

<

⑬ c

h

<

h

射流のとき 2 3 2 2 3 3 c

Q

ih

h

_{C B}

x

h

h

−

∂

₌

∂

−

0

<

0

<

>

0

0 < 下流に向かうと

h

→

h

c とともに、

h

x

∂

→ ∞

∂

c

h

h

A3曲線

0

i

<

【問題】下図のような勾配を持つ長方形断面水路における 流れの水面形の概形を描け c

i

<

i

c

i

>

i

c

i

>

i

c

h

0

h

0

h

0

h

S1 S2 M3 M2 M2 S2

h

x

∂

→ ∞

∂

0

0

h

x

∂

→

∂

跳水 支配断面

４−４ 水面形方程式の解法（不等流計算）

Text(下)p29∼ 【1】差分による数値計算 3 0 3 3 3

1

1

c

h

h

_h

i

h

x

h

−

∂

₌

∂

₋

Chezy型 10 3 0 2 3

1

1

c

h

h

h

i

h

x

h

⎛

⎞

− ⎜ ⎟

∂

₌

_⎝

_⎠

∂

₋

Manning型 実際に水面形を求めるためには、 これらの式を積分して

_h

の分布形を求める必要があるが、 一般的には難しい。 そこで、

h

を離散値として扱い数値的に積分する。 以下、Manning型を例に説明する。

2 2 2 4 3

0

2

z

h

v

n v

x

x

x

g

R

⎛

⎞

∂

∂

∂

+

+

_⎜

_⎟

+

=

∂

∂

_{∂ ⎝}

_⎠

開水路のベルヌイの式に戻って 広長方形断面の場合

_Q

=

_Av

_,

_A

=

_Bh

_,

_R

≈

_h

2 2 2 10 2 2 2 ₃

0

2

z

h

Q

n Q

x

x

x

gB h

B h

⎛

⎞

∂

∂

∂

+

+

_⎜

_⎟

+

=

∂

∂

_{∂ ⎝}

_⎠

一般的に

z, B, n, g, Q

は計算条件として与えられる。 したがって、未知数は

h

のみ。 既知 未知

2 2 2 10 2 2 2 ₃

0

2

Q

n Q

z

h

x

gB h

B h

⎡

⎤

∂

_{+ +}

₊

₌

⎢

⎥

∂ ⎣

⎦

1 2

x

x

∆

2 2 2 2 2 2 2 1

1

2

2

Q

Q

z

h

z

h

gB h

gB h

x

⎡

_⎛

_⎞

_⎛

_⎞

⎤

+ +

−

+ +

⎢

_⎜

_⎟

_⎜

_{⎟ ∆}

⎥

⎢

⎝

⎠

⎝

⎠

⎥

⎣

⎦

すべての変数を図中の1, 2の断面で定義する。 2 2 2 2 10 10 2 ₃ 2 ₃ 1 2

1

0

2

n Q

n Q

B h

B h

⎡

_⎛

_{⎞ ⎛}

_⎞

⎤

⎢

_⎜

_{⎟ ⎜}

_⎟

⎥

+

+

=

⎢

_⎜

_{⎟ ⎜}

_⎟

⎥

⎢

⎝

⎠ ⎝

⎠

⎥

⎣

⎦

2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 Q Q z h z h gB h gB h x ⎡_{⎛ ⎞ ⎛ ⎞} ⎤ + + − + + ⎢_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∆}⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 2 2 10 10 2 ₃ 2 ₃ 1 2 1 0 2 n Q n Q B h B h ⎡_{⎛ ⎞ ⎛ ⎞} ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ + + = ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 Q Q z h z h gB h gB h x ⎛ ⎞ + + − − − ⎜ _{⎟ ∆} ⎝ ⎠ 2 2 10 10 2 ₃ 2 ₃ 1 1 2 2 1 1 0 2 n Q B h B h ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + _⎢ + _⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1

,

2

h

h

以外は既知量or計算条件として与えられる量 常流の場合、下流→上流へ影響が伝わる

_h

₂を与えて

_h

₁ を求める 射流の場合、上流→下流へ影響が伝わる

h

₁ を与えて

h

₂ を求める 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 10 10 2 2 2 2 1 1 _{3 3} 1 1 2 2 1 1 0 2 2 2 Q Q n Q x z h z h gB h gB h B h B h ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ _{∆ ⎢ ⎥} + + − − − + + = ⎜ ⎟ _{⎢ ⎥} ⎝ ⎠ _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦

常流の場合

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 10 10 2 2 2 2 1 1 _{3 3} 1 1 2 2 1 1 0 2 2 2 Q Q n Q x z h z h gB h gB h B h B h ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ _{∆ ⎢ ⎥} + + − − − + + = ⎜ ⎟ _{⎢ ⎥} ⎝ ⎠ _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ 下流の情報が上流に伝わる。

h

₂

→

h

₁ 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 10 2 2 2 2 1 10 2 2 1 1 ₃ 2 2 ₃ 1 1 2 2 ( ) 0 2 2 2 2 Q n Q x Q n Q x f h h z h z gB h gB h B h B h ∆ ∆ = + − − − − + − = 未知数は

h

₁ 1

h

=

X

とする。 1 0 2 ₃ ( ) f X = X + α X − + β X − + γ 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 10 2 2 2 ₃ 2 2

,

2

2

2

2

Q

n Q

x

gB

B

Q

n Q

x

z

z

h

gB h

B h

α

β

γ

∆

=

= −

∆

= − + − −

−

ただし、

( )

0

f X

=

を満たす

_X

を求める。

一般に

_Y

=

_{f X}

_{( )}

=

₀

を満たす、

X

を求める方法？ そんなの あるはず無い！

( )

Y

=

f X

X

Y

解の個数もいくつあるか 分からない。 ただし、 に最も近い 解は？ 0

X

=

X

Newton 法による 0

X

0 0 2 0 0

(

)

0

(

)

0

1

(

)

'(

)

''( )

0

2!

f X

f X

X

f X

f

X

X

f

X

X

≠

+ ∆

=

+

∆ +

∆

+

"

=

0 0 0 0

(

)

'(

)

0

'(

)

(

)

f X

f

X

X

f

X

X

f X

+

∆ ≈

∆ = −

補正量

X

∆

0 0

'(

)

(

)

f

X

X

f X

∆ = −

10 2 ₃

( )

f X

=

X

+

α

X

−

+

β

X

−

+

γ

13 3

10

₃

'( ) 1 2

3

f

X

= −

α

X

−

−

β

X

− 10 2 ₃ 0 0 0 0

(

)

f X

=

X

+

α

X

−

+

β

X

−

+

γ

13 3 ₃ 0 0 0

10

'(

) 1 2

3

f

X

= −

α

X

−

−

β

X

− 0

X の設定

0 0

(

),

'(

)

f X

f

X

の計算 0 0

'(

)

(

)

f

X

X

f X

∆ = −

0 0

X

+ ∆ →

X

X

0

(

)

0

f X

≈

END Yes No

Newton 法による数値計算

例題

不等流計算

Manningの粗度係数

n

=0.02, 河床勾配

i=

1/1000, 川幅

B

=10(m)の広 長方形断面の水路に流量

_Q

=20(m3_{/s)が流下している。} 10 10 2 ₉ 2 ₉ 2 2 9 9

0.02

9.8

0.00433

20

10

c

n g

i

q

×

=

=

=

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

(1) 限界勾配を求めよ。 (2) この水路は緩勾配水路か、急勾配水路か。

1/1000

0.001

_c

0.00433

i

=

=

< =

i

なので緩勾配水路 (3) 等流水深および限界水深を求めよ。 2 2 3 3

(20 /10)

0.74

9.8

c

q

h

g

=

=

=

(m)

3 3 2 2 ₁₀ 2 2 ₁₀ 0

0.02

(20 /10)

1.15

1/1000

n q

h

i

⎛

⎞

⎛

×

⎞

=

_⎜

_⎟

=

_⎜

_⎟

=

⎝

⎠

⎝

⎠

(m)

(4) A地点の水深が0.9(m)とする。A地点上流に向かう水面形の分類を 述べよ。また、A地点から50m上流のB地点の水深を求めよ. 0

1.15(m)

h

=

0.74(m)

c

h

=

50(m)

x

∆ =

A B 2

0.90(m)

h

=

0 c

h

< <

h

h

緩勾配水路で _{なのでM2曲線} 1

?

h

=

M2曲線

10 2 ₃

( )

f X

=

X

+

α

X

−

+

β

X

−

+

γ

2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 10 2 2 10 2 2 2 2 _{3 3} 2 2 20 0.204 2 2 9.8 10 0.02 20 50 0.04 2 2 10 20 0.02 20 50 0.05 0.9 2 2 9.8 10 0.9 2 2 10 0.9 1.159 Q gB n Q x B Q n Q x z z h gB h B h α β ε = = = × × ∆ × × = − = − = − × ∆ × × = − + − − − = − − − × × × × × = − 1

z

2

z

50m 1/1000 1 2 50 /1000 0.05 z − z = = 10 2 ₃

( )

0.204

0.04

1.159

f X

=

X

+

X

−

−

X

−

−

13 3 ₃

'( ) 1 0.408

0.133

f

X

= −

X

−

+

X

−

0 2 0.9m X = h = とする。 0 0.900, ( 0) 0.0637, '( 0) 0.6506 0.09785 0 0.998 X = f X = − f X = → ∆ =X → X = 0 0.998, ( 0) 0.00374, '( 0) 0.7248 0.00517 0 0.993 X = f X = f X = → ∆ = −X → X = 0 0.993, ( 0) 0.0000087, '( 0) 0.7204 0.00001213 0 0.993 X = f X = f X = → ∆ = −X → X = １回目 ２回目 ３回目 0 ≈ したがって、X = 0.993→ =h₁ 0.993(m) 0

1.15(m)

h

=

50(m)

x

∆ =

A B 2

0.90(m)

h

=

M2曲線

0.74(m)

c

h

=

1

0.993(m)

h

=

これを

_h

₂ とする。

50(m)

x

∆ =

1 ? h = C

(5) 同様に50m毎に上流に向かって水位を計算せよ。 1.149 950 1.148 900 1.147 850 1.146 800 1.145 750 1.144 700 1.142 650 1.140 600 1.137 550 1.134 500 1.129 450 1.124 400 1.117 350 1.109 300 1.098 250 1.084 200 1.064 150 1.036 100 0.993 50 0.900 0 水深(m) 下流端 からの 距離(m) 等流水深 限界水深 河床高 水位(計算結果)

M2曲線となった。

(6) 下流端の水深が1.5mのとき同様な計算をせよ。 1.173 950 1.177 900 1.182 850 1.189 800 1.196 750 1.204 700 1.214 650 1.225 600 1.238 550 1.253 500 1.269 450 1.287 400 1.307 350 1.329 300 1.353 250 1.379 200 1.407 150 1.436 100 1.467 50 1.5 0 水深(m) 下流端か らの距離 (m) M1曲線 等流水深 限界水深 河床高 水位(計算結果)