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関数の極限 a x 1 b 1.a, b を定数とする 等式 lim 3 が成り立つとき a = [ ア ], b = x 2 x 2 [ イ ] [ ウ ] である tan sin 2. lim の値は [ ア ] である 0 3 (2019 国士舘大 ) (2019 東海大 ) tan( x)

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Academic year: 2021

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(1)

◆ 関数の極限 1.a , b を定数とする。等式 3 2 1 lim 2      x b x a x が成り立つとき、a = [ ア ], b = [ イ ] [ ウ ]である。 (2019 国士舘大) 2. 3 0 sin tan lim       の値は[ ア ]である。 (2019 東海大) 3. 1 4 1 ) tan( lim 4 1   x x x  の値は[ ア ]である。 (2019 立教大) 4.次の極限を調べよ。 (1) 11 11 4 2 4 3 lim    x x x x x (2) x x x 3 1 1 1 lim           (2019 茨城大) 5. x x x x 2 3 2 3 lim 0     を求めよ。 (2019 愛媛大) 6. 30 30 2 2 2 2 lim t t t t       を求めよ。 (2018 福島大) 7. x x x x 1 0 1 4 3 1 lim          = [ ア ]である。 (2018 山梨大) 8.定数a に対し、次の極限が有限の値をとるとき、極限値はいくらか。 2 1 2 3 lim 1    x x a x x2018 防衛医科大) 9. x x x x (3 1)sin lim 2 0   の値は[ ア ]である。 (2018 産業医科大)

(2)

10. 2 4 lim 4     x b x a x が成り立つような定数 a , b の値は、a = [ ア ], b = [イウエ]であ る。 (2018 神奈川大) 11. a を実数の定数とする。関数 5 9 4 ) (     x ax x fx → 5 のとき収束するように a の値を定めると、 ] [ ] アイ [ ウエ   ( ) lim 5 f x x である。 (2018 藤田医科大) 12. x x e x   1 0(1 ) lim であることを用いて、次の極限値を求めよ。ただし、対数は自然対 数とする。 } log ) {log( sin tan lim 3 3 2 4 0 x x x x x x x     (2017 岩手大) 13. 次の極限を調べよ。 (1) x x x          21 lim (2)

x x x

x 3 9 3 lim     (2017 茨城大) 14. 極限 1 4 lim 2      x x x x x を求めよ。 (2017 愛媛大) 15. x > 0 に対して、 h x h x h sin log ) 2 log( lim 0    を求めよ。 (2017 東京電機大) 16. 極限値 3 0 sin ) cos 1 ( lim x x x x   を求めよ。 (2017 東京都市大) 17. a , b を正の実数とするとき、極限 x x

a x b ax

x   2 2 sin lim を求めよ。 (2017 学習院大) 18. 定数k に対して、極限 3 2 cos 4 2 cos 3 cos lim 2 3         k が有理数の値となるのはk = [アイ]の ときであり、このときの極限値は[ウエ]である。 (2017 杏林大)

(3)

19. 平面上の2 つのベクトル a = ( 3 , 4 ) , a = ( 1 . 2 )に対して、関数 f (t)を             | | 1 | | 1 1 ) ( b t a b t a t t f ( t は 0 と異なる実数) と定める。このとき、 ] [ ] アイ [ ウエオ   ( ) lim 0 f t t である。 (2017 東京医科大) 20. 次の等式 4 1 4 lim2 2 2      x b ax x x が満たされるとき、実数a , b の値を求めよ。 (2017 兵庫医科大) 21. x x x x x 3 4 4 2 lim     の極限を求めよ。 (1999 東京電機大) 22.   

limtan sin 3 0   の極限値を求めよ。 (1987 小樽商大) 23.          x x x 1 cos 1 lim 2 の極限値を求めよ。 (2002 東海大) 24. x x x x x cos3 cos sin lim 0   の極限値を求めよ。 (1988 大阪産大) 25.   x x x sin lim 0 [ ア ]であり、     x x x x x 2 sin sin 3 lim 0 [ イ ]である。 (2006 大阪工大) 26. 2 ) cos 2 sin( lim 2     x x x の値は[ ア ]である。 (2015 関西大) 27. 2 4    のとき、     n n n n n cos sin sin cos lim     を求めよ。 (2004 早稲田大) 28. e x x x         1 1 lim である。a0のとき、 2 2 1 lim x x x a         を求めよ。 (1987 大阪工大)

(4)

29. x x x ) 1 ( log lim 2 0   の極限値を求めよ。 (2002 会津大) 30. ) 1 log( 1 lim sin3 0x x ex x x    を求めよ。 (1991 芝浦工大) 31. lim(3 1 9 24 1)    x x x x の極限を求めよ。 (1988 小樽商大) 32. lim( 2  1  21)    x x x x の極限を求めよ。 (2004 宮崎大) 33. ) 2 1 )( 1 ( ) 3 )( 1 ( 7 3 lim 2 x x x x x x x     の極限値を求めよ。 (2003 奈良県立医大) 34. lim

2 

1   ax bx x x が成り立つように、定数a , b の値を定めよ。 (1987 神戸商船大) 35. 4 1 ) ( cos lim 2      xb x a x となるように定数a , b を定めよ。 (1986 お茶の水大) 36. 次の極限が有限の値となるように定数a , b を定め、そのときの極限値を求めよ。 2 0 ) ( 2 cos 7 8 9 lim x bx a x x x      (2002 大阪市大) 37. 平行四辺形ABCD において、辺 AB の長さを p, 辺 BC の長さを q とし、θ=∠BAD とおく。ただしp > q とする。平行四辺形 ABCD の内部の点 P と 4 本の直線 AB, BC, CD, DA との距離のうちで最小のものを r とする。点 P が平行四辺形 ABCD の内部を動く ときのr の最大値を R とし、最大値 R を与える点 P の軌跡を L とする。次の問いに答 えよ。 (1) 平行四辺形 ABCD 内に L を図示せよ。 (2) 半径 R の円の中心が L 上を動くとき、円およびその内部が通過する領域の面積を S とする。S を p , q およびθで表せ。

(5)

(3) 平行四辺形 ABCD の面積を T とする。(2)で求めた S に対して T S 0 lim  を求めよ。 (2019 新潟大) 38.n は 3 以上の自然数とする。面積 1 の正 n 角形 Pnを考え、その週の長さをLnとす る。次の問いに答えよ。 (1) (Ln)2を求めよ。 (2) nlim を求めよ。Ln2019 早稲田大) 39. 座標平面上に点O( 0 , 0 ) , A( 0 , 1 ) , B( - 1 , 1 ) , C( - 1 , 0 ) , P( t , 0 )がある。ただし、 t は正の実数である。また、線分 OA 上の点および線分 BC 上の点を通る直線 l:y = ax + b がある。次の問いに答えよ。 (1) 直線 l が正方形 OABC の面積を 2 等分するとき、a を b を用いて表せ。 (2) 直線 l が正方形 OABC の面積を 2 等分し、さらに直角三角形 OAP の面積を 2 等分 する時、b を t を用いて表せ。 (3) t→+ 0 および t→∞のときの(2)で求めた b の極限値をそれぞれ求めよ。 (2018 新潟大) 40. 座標平面上にA( 0 , 3 ) , B( b , 0 ) , C( c , 0 ) , O( 0 , 0 )がある。ただし、b < 0 , c > 0 ,BAO = 2∠CAO である。∠BAC =θ, △ABC の面積を S とすると、

  S 0 lim はいくらか。 (1) 2 7 (2) 2 9 (3) 2 11 (4) 2 13 (5) 左の 4 つの答えはどれも正しくない。 (2017 防衛医科大) 41. 座標平面上の曲線C:y  x ( x≧0 )を考える。C 上の異なる 2 点 P( p , p ) , Q( q , q )( p > 0 , q > 0 )における、それぞれの法線 l1, l2を考える。法線l1, l2の交点を R とする。以下の問いに答えよ。 (1) 点 R の座標を p と q で表せ。 (2) q が p に限りなく近づくとき、線分 RP の長さの極限値を p で表せ。2017 九州大)

(6)

◆ 微分の計算 1.関数 x x x x y cos sin 2 cos 2 sin    を微分しなさい。 (2019 福島大) 2.関数 1 3 ) ( 2    x x x fx = 2 における微分係数 f ‘(2)を求めよ。 (2019 茨城大) 3. x x x f sin 1 cos ) (   のとき、       6 '  f を求めよ。 (2019 昭和大) 4.関数f (x) = e2x, g (x) = log x に対して、極限 ) ( ) 2 ( ) ( ) 4 ( lim 0 f x h f x x g h x g h      を求めよ。 (2019 東京電機大) 5.n を正の整数とし、              ! ! 3 ! 2 1 1 ) ( 2 3 n x x x x e x f x n n  とおく。このとき、第2 次までの導関数fn’ (x)と fn’’(x)を求めよ。 (2019 旭川医科大) 6.a , b は正の実数とする。関数y(xb) 2xaについて、y ’ = 0 となる x の値を求 めよ。 (2019 岩手大) 7.点O を原点とする xy 平面上に点 A ( 1 , 0 )と y 軸上を動く点 P ( 0 , p (t) )がある。OAP = θ (t)とするとき、以下の問いに答えよ。ただし、t > 0 , p (t) > 0 とする。 (1) p (t)を、θ (t)を用いて表せ。 (2) dt t d() を、 dt t dp )( θ (t)を用いて表せ。 (2019 福島大) 8.f(x)excos( 3x)とし、その第n 次導関数を f(n)(x)と書く。 3 3 ) 2 ( 3 3   Ae f       , (10) 3 3           Be f (A , B は定数)と表すとき、A = [ ア ], B = [ イ ]である。 (2019 山梨大)

(7)

9.媒介変数表示x = sin t , y = ( 1 + cos t ) sin t ( 0≦t≦π)で表される曲線を C とする。 このとき、 dx dyおよび 2 2 dx y d t の関数として表せ。 (2019 神戸大) 10. 関数f (x) = log( log x )の x = e2における微分係数f ‘ (e2)を求めよ。 (2019 愛媛大) 11. 関数 2 3 4 ) ( x x x f   の導関数は、 2 3 2) 3 4 ( ) (' x x f   [ ] である。 (2019 宮崎大) 12. 微分の定義にしたがって、関数y = sin x の導関数を求めよ。 (2019 福島県立大) 13. 関数f (x) = eaxsin bx ( a , b は実数, b ≠ 0 ) について、f ’’(x) - 2f ‘(x) + 2f (x) =0 がすべ てのx について成立するとき、a2+ b2の値を求めよ。 (2019 自治医科大) 14. f (x) = - 2x (log x)2+ 3x log x ( x > 0 )とするとき、f ‘(x) , f ‘’(x)を求めよ。また、f ‘(x) = 0 となる x の値、f ‘’(x) = 0 となる x の値をそれぞれ求めよ。 (2019 法政大) 15. 1 ) (   x x e e x f のとき、f ‘ (log 5) = ] [ ] ア [ イウ である。 (2019 藤田医科大)

(8)

解答 微分の計算 1. 2 ) cos sin 2 ( 5 x x   2. 9 5 3. 3 2  4. x xe2 1 5. ! ) (' n x e x f x n ! ) ( ) (' ' 1 n n x x e x f x n  6. 3 b a x  7.(1) p (t) = tanθ(t) (2) () () cos2 (t) dt t dp dt t d 8.ア -4 イ 512 9. t t t dx dy cos ) 1 cos 2 )( 1 (cos    t t t dx y d 3 2 2 2 cos ) 1 cos 2 ( sin    10. 2 2 1e 11. 4 12. 略 13. 2 14. f ‘ (x) = ( 1 - log x )(3 + 2log x ) x x x f'(' )4log 1 f ‘ (x) = 0 の解 3 1 e 、e f ‘’(x) = 0 の解 4 1 e 15. 36 5  ] [ ] ア [ イウ

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