Elasto-Plastic Analysis of Nickel Based Superalloy by Nonlinear Homogenization Method

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応 用 力 学 論 文 集Vol.11,PP.451-458(2008年8月)土 木 学 会

非線形均質化法によるニッケル超合金の弾塑性解析

Elasto-Plastic Analysis of Nickel Based Superalloy by Nonlinear Homogenization Method

斉 木 功*,川 内 真**,森 勉***,岩 熊 哲 夫**** Isao SAIKI, Makoto KAWAUCHI, Tsutomu MORI and Tetsuo IWAKUMA

*正 会 員 博(工)東 北 大 学 大 学 院 准 教 授 工 学 研 究 科 土 木 工 学 専 攻(〒980 -8579仙 台 市 青 葉 区 荒 巻 字 青 葉6-6-06) **学 生 員 東 北 大 学 大 学 院 工 学 研 究 科 土 木 工 学 専 攻

***Ph

.D.Prof.Materials Science Centre,University of Manchester ****正 会 員Ph.D .東 北 大 学 大 学 院 教 授 工 学 研 究 科 土 木 工 学 専 攻

Nickel based superalloy has excellent mechanical properties at high temperatures. The key factors gov-erning its elasto-plastic characteristics are supposed to be its microstructure, including misfit strain and nonuniform plastic deformation behavior of y matrix. However, contribution of each factor to the overall elasto-plastic characteristics is not investigated quantitatively. In this paper, a series of numerical experi-ment by the homogenization method are therfore conducted on a few specific microstructures in order to clarify the elasto-plastic behavior of nickel based superalloy.

Key Words : nickel based superalloy, nonlinear homogenization method, elasto-plastic property, multiscale method 1.は じ め に 超 合 金 は高 温 で用 い られ る合 金 で あ り,高 温 で 高 い強 度 お よび ク リー プ に対 す る高 い抵 抗 力 を持 つ よ う に設 計 さ れ る.ニ ッケ ル 超 合 金 は 主 にNiを 成 分 とす る母 相(γ 相)と 基 本 組 成 をNi3Alと す る析 出物(γ'相)か ら な る微 視 構 造 を持 つ1).ニ ッケ ル超 合 金 の 微 視 構 造 は,図-1に 示 す よ う に な っ て お り,無 色 で 示 され た γ相 の 中 に グ レー で 示 さ れ た ほ ぼ 立 方 体 形 状 の γ'相 が ほ ぼ 周 期 的 に 存 在 して い る.実 用 合 金 で は γ'相 の 大 き さ は約0.5μm で あ る.γ'相 の 高 温 強 度 が 高 い た め に,超 合 金 全 体 と して の 高 温 強 度 が 高 くな っ て い る.こ の よ うな超 合 金 の 材 料 特 性 を さ ら に改 善 す るた め に は,ニ ッ ケ ル超 合 金 の 強 度 特 性 を定 量 的 に評 価 す る こ と,ま た,そ の た め に は ニ ッケ ル 超 合 金 の 微 視 構 造 に お け る弾 塑 性 挙 動 を 解 明 す る こ とが 重 要 で あ る. ニ ッ ケ ル 超 合 金 の 塑 性 変 形 の 様 子 はSchneider et al.2)によっ て 電 子 顕 微 鏡 で 観 察 され,塑 性 変 形 が 起 こ っ た 証 拠 で あ る転 位 が γ相 中 に均 一 に存 在 せ ず,特 定 の チ ャネ ル 中 に の み 存 在 す る と報 告 さ れ て い る.こ こで, 図-1に お い て 載 荷 方 向 をz方 向 とす る と,載 荷 方 向 に垂 直 な 法 線 を持 つ γ相 の領 域 を垂 直 チ ャネ ル,載 荷 方 向 を 法 線 に 持 っ γ相 の領 域 を水 平 チ ャネ ル と呼 ぶ.塑 件 変 形 が 特 定 の チ ャ ネ ル に お い て 生 じ る原 因 は,2相 の 格 子 定 数 の 違 い に よっ て 生 じ る ミス フ ィ ッ トひ ず み に よ る もの で あ る との 報 告 が な さ れ て い る3周.ミ ス フ ィ ッ トひ ず み ∈0は,γ 相 の 格 子 定 数 をa0,γ'相 の 格 子 定 数 を α と す る と と定 義 され る.格 子 定 数 はX線 回 折 や 中 性 子 回 折 に よ り 計 測 す る こ とが で き,そ の 結 果 か ら,ニ ッケ ル超 合 金 の ミス フ ィ ッ トひ ず み は-0.2%程 度 で あ る こ とが 知 られ て い る. 一 方,Ratel et al.5)は,マ イ ク ロ メ カ ニ ク ス の 手 法 を 用 い,垂 直 チ ャネ ル に 塑 性 変 形 が 生 じた 場 合 と,水 平 チ ャネ ル に も塑 性 変 形 が 生 じて い る場 合 の,巨 視 的 な荷 重 と巨視 的 な 塑 性 変 形 の 関 係 を求 め た.そ の結 果,垂 直 チ ャネ ル の み に 塑 性 変 形 が 生 じ る とい う仮 定 の 下 で あ れ ば,小 さ い荷 重 に よ っ て 塑性 変 形 が 生 じ る可 能 性 が あ る こ と,逆 に,大 き い荷 重 状 態 で は,水 平 チ ャ ネ ル に も塑 性 変形 が 生 じ る可 能 性 が あ る と して い る. 以 上 述 べ て きた よ うに,ニ ッケ ル超 合 金 の 巨視 的 な弾 塑 性 挙 動 と微 視 構 造 に お け る塑 性 変形 の 進 展 の 関 係 が, 実 験 や 理 論 力 学 に よ るア プ ロー チ に よ り徐 々 に 明 らか に さ れ て き て い る.し か し,実 験 に お い て は,そ の 条 件 や 得 られ る デ ー タ が 限 られ て い る こ と,ま た,理 論 力 学 に お い て は単 純 化 の た め の 大 胆 な仮 定 を設 け る必 要 が あ る こ とな どか ら,巨 視 的 な弾 塑 性 挙 動 や 微 視 構 造 内 の 塑 性 変 形 の進 展 につ いて の定 量 的 な 評価 に は至 っ て い な い. そ こで,本 研 究 で は,計 算 力 学 に基 づ く平 均 化 手 法 に よ り,ニ ッケ ル超 合 金 の微 視 構 造 に お い て 進 展 す る塑 性 変 形 と平 均 的 な 弾 塑 性 挙 動 に つ い て 詳 細 に解 析 を 行 う こ と と した.複 合 材 料 の平 均 化 手 法 は 種 々 提 案 され て い る が,任 意 の 形 状 の 微 視 構 造 の 具 体 的 な モ デ ル に 対 す る 弾 塑 性 解 析 に基 づ く数 値 的 な 材 料 試 験 を行 う手 段 と して は,均 質 化 法 が 最 も適 して い る と考 え られ る.本 研 究 で は材 料 非 線 形 性 を考 慮 す る こ とか ら,一 般 化 収 束 論 に基 づ く非 線 形 均 質 化 法7、8)を用 い,ニ ッ ケ ル 基 超 合 金 の 弾

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図-1ニ ッケル超合金の微視構 造 図- 2マ ル チ ス ケ ー ル モ デ リ ン グ の概 念 塑性 解 析 を行 う. 2.非 線 形 均 質 化 法 の 定 式 化 本 節 で は,2変 数 収 束 論6)に 基 づ く非 線 形 均 質 化 法 の 定 式化7),8)の概 要 を示 す. 2.1境 界 値 問題 の 設 定 図-2に 示 す よ う に,非 常 に小 さ い6に よ っ て規 定 さ れ る大 き さ εYの 微 小 な 単 位 周 期 構 造 に よ り,周 期 的 に埋 め尽 くされ た領 域9を 解 析 対 象 とす る.こ の とき,対 象 領 域 は大 き さ εYの 並 進 変 換 に対 して 不 変 で あ る.こ の 構 造 全 体 の 力 学 挙 動 は 基 本 周 期 構 造 の み な らず,そ の大 き さ を表 す パ ラ メ タ`に も影 響 を 受 け る.た だ し,以 下 の 定 式 化 で は,表 記 が 煩 雑 に な る こ とを避 け るた め,各 物 理 量 のパ ラ メ ー タ εへ の 依 存 性 は 明 示 しな い こ と とす る. 物 体 力 を含 まな い微 小 変 形 境 界 値 問 題 (1) (2) を考 え る.こ こに,σ は応 力,u,tは 領 域 Ω の 境 界Fu, F σで 与 え られ る幾 何 学 的,お よび 力 学 的境 界 条 件,N は外 向 き単 位 法 線 ベ ク トル で あ る.ま た,▽ は下 付 きの 変数 に よる勾 配 を取 る演 算子で あ り,xは 座標 を表 す. 本 研究で は,物 体 を構成 す る材料 が弾性体 もし くは弾塑 性 体 と仮定 す る.弾 性体 お よび弾塑性 体の弾性 部分 につ いては等方線形弾性 と考 え,そ の構成 関係 を (3) と表 す.こ こ に,Cは 等 方 弾 性 構 成 テ ン ソ ル,εeは ひ ず み の 弾 性 成 分 で あ り,全 ひ ず み ε,塑 性 ひ ず み εP,ミ ス フ ィ ッ トひ ず み ε*を用 いて (4) と定 義 さ れ る.弾 塑 性 体 の 塑 性 は,標 準 的 な 古 典 的J2 等 方 線 形 硬 化 塑 性 とす る. 均 質 化 法 の 通 常 の 手 続 き に従 っ て,微 視 構 造 を観 察 す る た め の 微 視 ス ケ ー ルy=x/ε を 導 入 す れ ば,領 域 Ω はxの 属 す る Ω0とyの 属 す る εYの2つ の 空 間 の 直 積 と して Ω=Ω0× εYと 表 す こ とが で き る.こ れ に よ り, 変 位,応 力 とい っ た場 の 変 数 はx,yの2変 数 の 関 数 とみ な す こ と に な る.ま た,単 位 周 期 構 造 εYを そ の 大 き さ εに よ り正 規 化 した領 域Yを 代 表 体 積 要 素 とよぶ. 2.22変 数 収 束 論 に よ る定 式 化 本 節 で は,変 分 原 理 お よび2変 数 収 束 論 に基 づ く定 式 化 を行 うが,そ れ ぞ れ の 理 論 か ら得 られ る帰 結 の み を 示 す こ と とす る. 仮 想 変 位 を η0(x)+ε η1(x,x/ε)と して,仮 想 仕 事 の 原 理 に よ り,釣 合 式(1)を 弱 形 式 に変 換 す る と (5) を得 る.こ こで,ε →0を 考 え2変 数 収 束 論 を適 用 す る と,式(5)の2変 数 極 限 か ら,微 視 ・巨 視 両 ス ケ ー ル で の 弱 形 式 の 釣 合 式 (6) (7) を 得 る.こ こ に,●=〈 ●〉は (8) で 定 義 さ れ る代 表 体 積 要 素Yに お け る体 積 平 均 で あ る. また,(б0は 全 応 力,δ は平 均 応 力 で あ り,そ れ ぞ れ (9) に よ り定 義 し た.こ こ に,εeは 全 ひ ず み の 弾 性 成 分 で あ り,全 ひず み (10) に よ り (11)

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と定 義 さ れ る.こ こ に,▽sは 勾 配 の 対 称 成 分 を 取 る演 算 子,u0は 巨視 ス ケ ー ル 変 位,u1はY-周 期 性 を持 つ 微 視 ス ケ ー ル 変 位 で あ る.ま た,こ の とき,代 表 体 積 要 素 内 の 剛 体 回 転 を 除 く全 変 形 に起 因 す る実 変 位 ω は,式 (10)よ り一 様 変 形 に起 因 す る成 分 と周 期 成 分u1の 和 と して (12) に よ り与 え られ る7). 3.線 形 化 と 解 析 ア ル ゴ リ ズ ム 微 視,巨 視 ス ケ ー ル 釣 合 式(6),(7)の よ う な 非 線 形 方 程 式 を解 く場 合,何 らか の 線 形 化 を行 う必 要 が あ る.微 視 ス ケ ー ル 問 題 の線 形 化 を考 えれ ば (13) と な る.こ こ に,D● ・△φ は ●の φ に 関 す る 方 向 微 分 を 表 し,Dg・ △u1の 具 体 形 は (14) で あ る.こ こ に,図 は (15) に よ り定 義 さ れ る 材 料 の 整 合 接 線 係 数 テ ン ソ ル で あ る9).同 様 に,巨 視 ス ケ ー ル 問 題 に お け る線 形 化 釣 合 式 は (16) (17) で あ る が,u1をε:=▽sxu0の 関 数 と考 え る とDε0・ △u0 は (18) と な る.こ こ に,1は4階 の 単 位 テ ン ソ ル,△ε は △ε:=▽sx(△u0)と 定 義 した.微 視 変 位u1の 平 均 ひ ず み き に 関 す る勾 配 と して,特 性 変 位 関 数xを (19) に よ り定 義 す る.す る と,式(18)は (20) と な り,さ ら に 式(17)は (21) と表 さ れ る.こ こ に,AHは (22) に よ り定 義 さ れ る均 質 化 接 線 係 数 テ ン ソル で あ る. 微 視 変 位u1は,前 述 の 定 式 化 に お い て 平 均 ひ ず み き の 陽 な 関 数 と して は 表 れ な いが,式(6)で 規 定 され る微 視 ス ケ ー ル 問 題g(σ0(ε,u1),η1)=0は 与 え られ た平 均 ひ ず み に 対 す る微 視 応 答 を求 め るた め の 関 係 で あ る.実 際 に,線 形 化 微 視 ス ケ ー ル 問 題(13)は 式(14),(18)を 用 い て (23) と表 せ,上 式 よ り特 性 変 位 関 数 を 求 め る こ とが で き る. 次 に,次 節 で 行 う応 力 制 御 微 視 ス ケ ー ル 解析 の アル ゴ リズ ム を 以下 に解 説 す る. 1.荷 重 ス テ ッ プ を更 新 し,平 均 応 力 増 分 を不 釣 合 平 均 応 力 とす る. 2.線 形 微 視 構 造 解 析(tangential homogenization):線 形 化 微 視 問 題(23)に よ り,特 性 関 数xを 求 め,均 質 化 接 線 係 数AHを 求 め る. 3.得 られ たAHを 用 い て,不 釣 合 平 均 応 力 を解 消 す る た め の平 均 ひ ず み増 分 △εを増 分 巨視 ス ケ ー ル構 成 式 △δ=AH:△ εか ら求 め る. 4.非 線 形 微 視 構 造 解 析:求 め た △εか ら, ▽x(△u0):=△ εを 増 分 変 形 と して,非 線 形 微 視 問 題(6)を 解 く.ま ず,増 分 変 形 を 周 期 境 界 上 の 節 点 に相 対 変 位 と して与 え る. (a)線 形 化 微 視 釣 合 式(13)に よ り,不 釣 合 力 に対 応 す る微 視 変 位 増 分 △u1を 求 め,微 視 変 位u1 を 更 新 す る. (b)更 新 され た微 視 変 位u1に よ り,微 視 問 題 で の 不 釣 合 力 を 求 め る.こ の と き,収 束 判 定 を 満 た さな けれ ば,(a)に 戻 り,収 束 判 定 を満 た す まで 繰 り返 し計 算 を行 う. (c)収 束 判 定 を 満 た し た後 の 自 己釣 合 状 態 に お い て,平 均 応 力 を求 め る. 5.与 え た平 均 応 力 と得 られ た 平 均 応 力 の 差 を不 釣 合 平 均 応 力 と し,こ れ が 十 分 に小 さ い とい う収 束 判 定 を 満 た さな けれ ば,2に 戻 り,収 束 判 定 を満 た す まで 繰 り返 し計 算 を行 う. 6.収 束 判 定 を満 た した場 合,荷 重 ス テ ッ プが 所 定 の 荷 重 とな る まで,1に 戻 り繰 り返 し計 算 を 行 う. 4.ニ ッ ケ ル 超 合 金 の 数 値 材 料 試 験 本 節 で は2種 類 の ニ ッ ケ ル 超 合 金 の 微 視 構 造 に 対 し て,応 力 成 分 を δ11=δ22=δ12=δ23=δ31=0と 制 御 し,ε33を 漸 増 さ せ,非 線 形 微 視 ス ケ ー ル 解 析 に よ る1軸 引 張 の 数 値 材 料 試 験 を行 う.な お,微 視 ス ケ ー ル

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図-3ニ ッケル超合金 の単 位周期構造 図-4基 本 モデルの平均応力-ひ ず み関係 図-5基 本モ デルの ε33=0.004の ときのJ2塑 性 ひず み分布 解 析 に お い て は,微 視 ス ケ ー ル変 位 と巨視 ス ケ ー ル の一 様 変形 に対 応 す る微 視 変 位 を合 計 した実 変 位 ω を 自由 度 と した10),11). 4.1基 本 モ デ ル 図-3に 解 析 対 象 の微 視 構 造 を示 す.微 視 構 造 は体 積1 の 立 方 体 で あ り,15×15×15=3375の8節 点6面 体 要 素 で 等 分 割 した.無 色 の領 域 は γ相,グ レー の領 域 は γ' 相 で あ る.γ'相 は1辺0.8の 立 方 体 で あ り,微 視 構 造 に 図-6基 本 モデルの ε0=-0.002の ときのJ2塑 性 ひず み分布 占 め る体 積 比 率 は0.512で あ る.γ'相 はYoung率E, Poisson比0.3の 等 方 弾 性 体,γ 相 は 古 典 的J2塑 性 論 に した が う等 方 線 形 硬 化 弾 塑 性 体 と し,弾 性 特 性 は γ'相 と同 じ,硬 化 係 数 は0.001E,初 期 降 伏 応 力 は0.001Eと した. この 基 本 モ デ ル に 対 し て 得 ら れ た 平 均 応 力-ひ ず み 関 係 を図-4に 破 線 で 示 す.凡 例 のε0は 後 述 す る ミス フ ィ ッ トひず み の 大 き さ で あ り,ε0=0は ミス フ ィ ッ トひ ず み を 考 慮 して い な い こ と を 意 味 す る.γ 相 と γ' 相 の弾 性 特 性 は 同 じな の で,降 伏 す る まで は均 一 に 変 形 し,平 均 ひ ず み ε33=0.001の と き に すべ て の γ相 に お い て 同 時 に 降 伏 す る.γ'相 は 降 伏 し な い の で,γ 相 が 降 伏 して も,平 均 応 力-ひ ず み 関 係 の 勾 配 は γ相 の 硬 化 係 数 よ り も大 き い.降 伏 後 の 平 均 応 力-ひ ず み 関 係 の勾 配 は線 形 で あ るが,γ 相 に お け る塑 性 変 形 の進 展 の 速 度 は一 様 で は な い.図-5に 平 均 ひ ず み き33=0.004の と き の γ'相 の 中央 断 面 で 切 断 した 微 視 構 造 の 変 形 図 と塑 性 ひ ず み の 第 二 不 変 量(以 下J2塑 性 ひ ず み と呼 ぶ)分 布 を示 す.た だ し,変 形 を描 く と きの 変 位 は実 際 の 変 位 の 100倍 で あ り,こ れ 以 降 示 す 変 形 図 は す べ て 同 じ倍 率 を 用 い る.こ の 図 か らわ か る よ うに,水 平 チ ャネ ル の 塑 性 変 形 は,垂 直 チ ャネ ル の 塑 性 変 形 に 比 べ,1.7倍 程 度 と 大 き くな っ て い る.ま た,ど ち らの チ ャネ ル の 塑 性 変 形 も,与 え た ひず み増 分 に 対 して ほぼ 線 形 で増 加 した. 4.2基 本 モ デ ル に ミス フ ィ ッ トひ ず み が あ る 場 合 γ相 と γ'相の格 子 定 数 の 違 い に よ る ミス フ ィ ッ トひず み が 存 在 す る状 態 を 模 擬 す る た め に,γ 相 お よ び γ'相 が 立 方 晶 で あ る こ とか ら,γ'相 に  で 定 義 さ れ る初 期 ひ ず み を導 入 した.具 体 的 に は前 節 に示 した応 力 制 御 の 微 視 ス ケ ー ル 解 析 に お い て,す べ て の 平 均 応 力 成 分 が ゼ ロ と な る よ う制 御 しつ つ,ε0を 漸 増 させ 所 定 の 初 期 ひ ず み が 導 入 さ れ る まで 解 析 を行 っ た.図-6に ε0 =-0.002の とき の 微 視 構 造 の 変 形 とJ2塑 性 ひ ず み 分 布 を示 す.導 入 した初 期 ひず み は γ相 の 降 伏 ひ ず み と 同 じ オ ー ダ ー で あ り,各 チ ャネ ル の 中 心 付 近 に塑 性 変 形

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図-7負 の ミス フィッ トひず み を有 す る基本 モデ ル の ε33= 0.004の ときのJ2塑 性 ひずみ分布 が 見 られ る.塑 性 変 形 は,チ ャネ ル の 法 線 方 向 に 対 して 引張 方 向 に生 じて い る.ま た,こ の と きの 平 均 塑 性 ひ ず み は εp11=εp22=εp33=-0.00102で あ る.こ の 状 態 を初 期 状 態 と して,z方 向 に 引 張 変 形 を 与 えた と きの 平 均 応 力-ひ ず み 関係 を図-4に ○ で 示 した.た だ し,横 軸 の平 均 ひず み は初 期 ひ ず み に よ る平 均 ひ ず み は含 め て い な い.初 期 ひ ず み に よ りす で に塑 性 変 形 が 生 じて い るた め,初 期 ひ ず み が な い 場 合 と異 な り明 確 な 降 伏 点 は認 め られ な い.ひ ず み が 小 さ い とき は,初 期 ひ ず み の 影 響 は ほ とん どな く,初 期 ひ ず み が な い 場 合 の 降伏 点 δ33/E= 0.001付 近 で は,平 均 応 力 は初 期 ひ ず み が な い 場 合 に 比 べ て 小 さ くな って い るが,ひ ず み の 増 加 に伴 って,初 期 ひ ず み が な い 場 合 の 平 均 応 力-ひ ず み 関係 に漸 近 して い る.図-7に 平 均 ひ ず み ε33=0.004の とき の γ'相 の 中 央 断 面 で 切 断 した 微 視 構 造 の 変 形 図 とJ2塑 性 ひ ず み 分 布 を示 す.初 期 ひ ず み が な い場 合 に 比 べ て,全 体 的 にJ2 塑 性 ひ ず み が 大 きい が,水 平 チ ャネ ル の 塑 性 変 形 が 垂 直 チ ャネ ル の 塑 性 変 形 よ り も大 き い とい う点 は初 期 ひ ず み が な い場 合 と同 じで あ る.た だ し,垂 直 チ ャネ ル に お い て は,初 期 ひ ず み でz方 向 に 収 縮 し,チ ャ ネ ル の 法 線 方 向 に伸 張 す る の に 対 して,z方 向 の 一 軸 引 張 に よ りz方 向 に伸 張 し,チ ャネ ル の法 線 方 向 に収 縮 す る た め に,載 荷 の初 期 段 階 で は 除 荷 が起 き,垂 直 チ ャネ ル で は ほ とん ど塑 性 変 形 が 進 展 しな い.こ の 点 は,初 期 ひず み が な い 場 合 と異 な っ て い る. 次 に,初 期 ひ ず み が 正 の 場 合 を 解 析 し た.図-8にε0=0.002の と き の 微 視 構 造 の 変 形 とJ2塑 性 ひ ず み 分 布 を 示 す.こ の と き の 平 均 塑 性 ひ ず み は εp11 =εp22=εp33=0 .00102で あ る.塑 性 変形 は,初 期 ひ ず み が 負 の と き と逆 に,チ ャネ ル の 法 線 方 向 に 対 して 圧 縮 方 向 に生 じて い る.こ の状 態 を初 期 状 態 と して,z 方 向 に 引 張 変 形 を 与 え た と きの 平 均 応 力-ひ ず み 関 係 を 図-4に 実 線 で 示 した.平 均 応 力-ひ ず み 関 係 は負 の初 期 図- 8基 本 モ デ ル のε0=0.002の と きのJ2塑 性 ひ ず み 分 布 図- 9正 の ミス フィッ トひず み を有 す る基本 モ デル の ε33= 0. 004の ときのJ2塑 性 ひず み分布 ひ ず み の 場 合 とほ ぼ 同 じで あ り,明 確 な 降 伏 点 も認 め ら れ な い.図-9に 平 均 ひ ず みε33=0.004の と きの 変 形 と J 2塑 性 ひ ず み 分 布 を示 す.こ れ を見 る と,初 期 ひ ず み が な い 場 合 や 初 期 ひ ず み が 負 の 場 合 と異 な り,塑 性 変 形 は 垂 直 チ ャ ネ ル に お い て卓 越 して い る こ とが わ か る.全 体 的 なJ2塑 性 ひ ず み の 大 き さ は,初 期 ひ ず み が な い 場 合 とほ ぼ 等 しい.垂 直 チ ャネ ル の 塑 性 変形 は,載 荷 ひず み とほ ぼ 比 例 して 増 加 して い る の に 対 して,水 平 チ ャ ネ ル に お い て は,初 期 ひず み でz方 向 に収 縮 して い るの で, z方 向 の 一 軸 引 張 に よ りz方 向 に伸 張 し,載 荷 の 初 期 段 階 で は 除荷 が起 き.垂 直 チ ャネ ル で は ほ とん ど塑 性 変 形 が進 展 し な い. 4.3γ'相 の形 状 が 異 な る場 合 代 表 体 積 要 素 を1×1×0.5333と し,γ'相 を0.8× 0.8×0.4と した.γ'相 の 代 表 体 積 要 素 に 占 め る体 積 比 は0.48で あ る.γ'相 の形 状 に 関 して,載 荷 方 向 に 直 角 な 方 向 の寸 法 に 対 す る載 荷 方 向 の 寸 法 の 比 を ア ス ペ ク ト

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図-10ア ス ペ ク ト比1/2モ デ ル の平 均 応 力-ひ ず み 関 係 図-11ア スペ ク ト比1/2モ デルの ε33=0.004の ときのJ2塑 性 ひず み分布 比 と定 義 す る と,ア ス ペ ク ト比 は1/2と な っ て い る.こ の モ デ ル を ア ス ペ ク ト比1/2モ デ ル と呼 ぶ こ と とす る. 用 い た要 素 の 寸 法 は 前 項 の 基 本 モ デ ル の とき と同 じで あ る. こ の モ デ ル に,前 項 と同 じ大 き さ の ミス フ ィ ッ トひ ず み を 導 入 し,一 軸 引 張 を 行 っ た とき の 平 均 応 力-ひ ず み 関 係 を図-10に 示 す.図 中,破 線 は ミス フ ィ ッ トひ ず み が な い場 合,○ は ミス フ ィ ッ トひず み が-0.002の 場 合,実 線 は ミス フ ィ ッ トひ ず み が0.002の 場 合 の 結 果 を それ ぞ れ 表 す.ミ ス フ ィ ッ トひ ず み が な い 場 合 と負 の 場 合 の 平 均 応 力 の 関 係 は,γ'相 が 立 方 体 の と き と同 様 と な っ て い る.し か し,ミ ス フ ィ ツ トひず み が 正 の 場 合 の 平 均 応 力 は,γ'相 が 立 方 体 の と き と異 な り,平 均 ひ ず み が ε33=0.0017付 近 か ら,ミ ス フィ ッ トひず み が な い 場 合 の 平 均 応 力 よ りも大 き くな っ て い る.そ の 差 は,平 均 ひず み が ε33=0.004の とき に3%と な っ て い る. ミス フ ィ ッ トひず み が な い 場 合,ア ス ペ ク ト比1/2モ デ ル の 平 均 応 力-ひ ず み 関 係 は,基 本 モ デ ル の 平 均 応 力 -ひ ず み 関 係 とほぼ 同 じで あ るが,γ'相 の 体 積 比 率 が 若 干 小 さ い た め に,γ 相 降 伏 後 の勾 配 が 若 干 小 さ くな っ て い る.ミ ス フ ィ ッ トひ ず み が ゼ ロ の 場 合 の ε33=0.004 の とき のJ2塑 性 ひず み分 布 を図-11に 示 す.ア ス ペ ク ト 比 が1の 基 本 モ デ ル 同様,水 平 チ ャ ネ ル の 塑 性 変 形 が 垂 図- 12ア ス ペ ク ト比1/2モ デ ル のε0=-0.002の と き のJ2塑 性 ひず み 分 布 図-13負 の ミス フィ ッ トひず みを有 す るアスペ ク ト比1/2モ デ ルの ε33=0.004の ときのJ2塑 性 ひずみ分布 直 チ ャ ネ ル の 塑 性 変 形 よ り も大 き い が,そ の 差 は25% 程 度 と基 本 モ デ ル の70%よ りも小 さ くな っ て い る. 図-12にε0=-0.002の と き のJ2塑 性 ひ ず み 分 布 を 示 す.こ の とき の 平 均 塑 性 ひ ず み は εp11=εp22= -0.00104,εp33=-0.00080で あ る.ア ス ペ ク ト比 が1 の基 本 モ デ ル と異 な り,水 平 チ ャ ネ ル のJ2塑 性 ひ ず み が 垂 直 チ ャ ネ ル のJ2塑 性 ひ ず み よ りも若 干 大 き くな っ て い る.こ の状 態 を初 期 状 態 と してz方 向 一 軸 引 張 を行 い,ε33=0.004と な っ た とき の 変 形 とJ2塑 性 ひ ず み 分 布 を図-13に 示 す.γ 相 内 の 塑 性 ひず み 分 布 は,γ'相 が 立 方 体 の と き と定 性 的 に は 一 致 して い る.ま た,一 軸 引張 載 荷 に よ っ て,水 平 チ ャ ネ ル の 塑 性 変形 が ほ ぼ 線 形 で 増 加 す る の に 対 し,垂 直 チ ャネ ル の塑 性 変 形 は ひ ず み が 小 さ い うち は ほ とん ど増 加 せ ず,こ の 点 も基 本 モ デ ル と定 性 的 に は一 致 して い る.一 方 で,塑 性 ひず み の 大 き さ は,基 本 モ デ ル と比 較 して 総 じ てや や 大 き くな っ て い る. ミス フ ィ ッ トひ ず み が 正 の場 合 の ミス フ ィ ッ ト導 入 時 のJ2塑 性 ひず み分 布 を図-14に 示 す.ミ ス フ ィ ッ トひ ず み が 負 の 場 合 と 同様,水 平 チ ャ ネ ル で 塑 性 変 形 が や や 大 き くな っ て い るが,垂 直 チ ャネ ル の塑 性 変 形 は非 常 に 小 さい.こ の 状 態 を初 期 状 態 と してz方 向 一 軸 引 張 を行 い,ε33=0.004と な った とき の 変 形 とJ2塑 性 ひず み分

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図- 14ア ス ペ ク ト比1/2モ デ ル の ε0=0.002の と きのJ2塑 性 ひ ず み 分 布 図-15正 の ミス フィ ッ トひず みを有す るアスペ ク ト比1/2モ デ ルの ε33=0.004の ときのJ2塑 性 ひず み分布 布 を図-15に 示 す.こ の とき の 平 均 塑 性 ひ ず み は   で あ る.こ の 場 合 も,γ 相 内の 塑 性 ひず み分 布 は,ア ス ペ ク ト比 が1の 基 本 モ デ ル と同様 の傾 向 が あ る.載 荷 に伴 う塑 性 変 形 の 増 加 傾 向 を 見 て み る と,は じ め に小 さ か っ た 垂 直 チ ャ ネ ル のJ2塑 性 ひ ず み は,載 荷 に ほぼ 比 例 して 大 き くな っ た.ま た, は じ め に大 き か っ た 水 平 チ ャ ネ ル のJ2塑 性 ひ ず み は, 一 旦 低 下して か ら再 度 大 き くな っ た .こ の 理 由 は,基 本 モ デ ル と 同 じ で,ミ ス フ ィ ッ トひ ず み に よっ て 各 チ ャネ ル に生 じた 塑 性 変 形 と,一 軸 引 張 に よっ て 生 じ る塑 性 変 形 の 違 い に よ る.結 果 と して,水 平 チ ャネ ル に お け るJ2 塑 性 ひ ず み が 小 さ くな っ て お り,こ れ が 大 き な平 均 応 力 を発 生 させ る原 因 で あ る と思 わ れ る.換 言 す れ ば, ・ ミス フ ィ ッ トひず み が 正 の 場 合 は,水 平 チ ャネ ル が 一 旦 除 荷 し, ・ 水 平 チ ャ ネ ル の塑 性 変 形 の 進 展 が 遅 れ, ・ ア ス ペ ク ト比 を小 さ くす る こ とに よ って,塑 性 変 形 の 小 さな 水 平 チ ャネ ル の 大 き さが 代 表 体 積 要 素 全 体 にお い て相 対 的 に大 き くな る こ と か ら,大 き な 平 均 応 力 を発 生 す る と結 論 付 け られ る. 5.お わ り に ニ ッケ ル 超 合 金 の微 視 構 造 設 計 へ 資 す るた め に,ニ ッ ケ ル超 合 金 の 微 視 構 造 を模 した モ デ ル を 用 い て,均 質 化 法 に よ る弾 塑 性 解 析 を行 っ た.こ れ に よ り,2相 間 の ミ ス フ ィ ッ トひ ず み の 違 い に よ る微 視 構 造 内 の 塑 性 変形 の 進 展 の 違 い,そ れ ら と巨視 的 な応 力-ひ ず み 関 係 との 関 係 が 明 らか に な っ た.本 論 文 で 得 られ た 知 見 を ま とめ る と,以 下 の よ う にな る. 1.ミ ス フ ィ ッ トひず み が な い場 合,降 伏 は水 平,垂 直 の 両 チ ャネ ル で起 こ るが,主 に 水 平 チ ャネ ル に お い て 塑 性 変 形 が進 展 す る. 2.ミ ス フ ィ ッ トひ ず み が 負 の場 合 は,主 に水 平 チ ャ ネ ル に お い て塑 性 変 形 が 進 展 す る. 3.ミ ス フ ィ ッ トひ ず み が 正 の場 合 は,主 に垂 直 チ ャ ネ ル に お い て塑 性 変 形 が 進 展 す る. 4.γ'相 の 形 状 が 立 方 体 の 場 合 は,ミ ス フ イ ツ トひ ず み の 正 負 は平 均 応 力-ひ ず み 関 係 に ほ とん ど影 響 し な い. 5.γ'相 の ア ス ペ ク ト比 が1よ り小 さ く,ミ ス フ ィ ッ トひ ず み が 正 の 場 合,ミ ス フ ィ ッ トひ ず み が な い場 合 よ り もみ か け上 の硬 化 が 大 き くな る. 以 上 の 知 見 に は,一 部,実 験 や 理 論 力 学 に よ りす で に 観 察 され て い た こ と も含 まれ るが,本 研 究 で 行 っ た 均 質 化 法 に基 づ く数 値 材 料 試 験 に よれ ば,こ れ ま で 不 十 分 で あ っ た 微 視 構 造 内 の 塑 性 変 形 の 仕 組 と 巨視 的 な材 料 特 性 の定 量 的 な 評価 を行 い,上 記5.の よ うに材 料 特 性 の 改 善 の た め の 指 針 を提 供 す る こ とが可 能 にな る. 参 考 文 献 1)http: //www. tms. org/Meetings/Specialty/Superalloys2000/ SuperalloysHistory. html

2) Schneider, W., Hammer, J. and Mugrabi, H.: Superalloy 1992, ed. Antolovitch et al., TMS, p.589, 1992.

3) Ichitsubo, T., Koumoto, D., Hirao, M., Tanaka, K., Osawa, M., Yokokawa, T. and Harada, H.: Elastic anisotropy of rafted Ni-base superalloy at high temperatures, Acta Mate-rialia, Vol.51, pp.4863-4869, 2003.

4) Ichitsubo, T. and Tanaka, K: Interpretation in elastic regime for rafting of Ni-base superalloy based on the external-stress-free dimensional change due to internal-stress equi-libration, Acta Materialia, Vol.53, pp.4497-4504, 2005. 5) Ratel, N., Bastie, P., Mori, T. and Withers, P.J.:

Deforma-tion mode in the analysis of rafting induced by plastic de-formation in the matrix in single crystal nickel superalloys: Channel vs uniform deformation, (submitted).

6) Allaire, G.: Mathematical approaches and methods, in: Hornung, U. ed., Homogenization and Porous Media, Springer, New York, pp.225-250, 1996.

7) Terada, K. and Kikuchi, N.: A class of general algorithms for multi-scale analysis of heterogeneous media, Comput.

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Meths. Appl. Mech. Engrg., Vol.190, pp.5427-5464, 2001. 8) Terada, K., Saiki, I., Matsui, K. and Yamakawa, Y.:

Two-scale kinematics and linearization for simultaneous two-scale analysis of periodic heterogeneous solids at fi-nite strain, Comput. Meths. Appl. Mech. Engrg., Vol.192, pp.3531-3563, 2003.

9) Simo, J.C. and Hughes, T.J.R.: Computational Inelasticity, Springer, 1998.

10) 斉 木 功, 大 植 健, 中 島 章 典, 寺 田 賢 二 郎: 構 造 要 素 を 用 い た ミ ク ロ モ デ ル に よ る マ ル チ ス ケ ー ル モ デ リ ン グ と そ の セ ル 構 造 体 へ の適 用, 日本 計 算 工 学 会 論 文 集, No.20020004, 2002.

11) Saiki, I., Ooue, K., Terada, K. and Nakajima, A.: Multi-scale modeling for planar lattice microstructures with struc-tural elements, Int. J. Multi. Comp. Eng., Vol.4, pp.429-443, 2006.

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