CLASSES OF SUBMULTIPLICATIVE MATRIX NORMS AND THESE APPLICATIONS

・ ぺ ．” CIASSBS OF SUBMULTIPLI（遺TIVE MA工RIX NORMS

      ・、． ：，．．．AND工HESE、APPLI（遺TIONS        ’      K皿0 （㎜LA         ，． ． ’ 二．．“・、       。．（雫r・岬㏄坤3°・’lg8i〕，』．：：−’．       、；   ‘． ．：・ 三．．：． ぺ ・一 【  ．’        ・ ・二”  、．．． ・      』      Intr（xluction VeTy often in numerical analysis， one needs a bound fbr a mt白， l l A l lジ“悟A玉S．a軸怜n『×緬tfi・・B6・fiding，． rl A／l・dep・ndS Upon a dhoice．・of血rtri x normS、． 工n this papeτ，鵬wi11（』TacteτiZe．．cg．ヰain clas．ses of matrix．nolms wbOse bout｝dS’arel c（加trolled， by the・diagonal matrices， D，or c叫xments of．a matrix A斑1d wi11’see some．applications．on numerica1．       ．       ，      ， analys1S・ ・．  ．．   『『．f’  ．   ↑ ’  tt  ・   ‘． ．．：  ’   7． ．   ．． 一  ・ ♂      We．fiτst utilize tbe ifg11◎wing s）mbOls：・・．・・． ：  ・．』』、 呂   ○ ．．，   ．』 ．−t

 t白A＝（d・j！㌦1三d。ij遠∵：1’．・・．、

F・rA， B・Mfi〔C）∴．’‘〉’．’ゼ．∴．・．：一「／閲t’ t．し．””［． ：．〉一

＿一・・rl・1≦1・い．、1・、j！≦」・、jl．

q・・．手・j・．、、、 By Eij εMn〔c ）・we mean the・mat「ix・with l in i，j−th c（）mPonent and zerb ．・ otherwise・   』．．『’．・．   ．．…        ／  ．  、、 こ．！    ．  1．．．      ∵ ・’．：・・      Definit．ion 1．1；、・． A s㎞u1吋1icative．matr釦（norm L．Qn Mn（C）・is an’nopi一

撃字We rp・1 Va1・・d fmcti・n日・°、 U．㊤晦○哩。（C）．r・tirfy麺9㌧・・

（．∋A三〇i』輌々．手f三ll．

l1．1トq」．．．．：．．、、，．≡．、、。、．，、、、

（b）rl副H・川IAIIfbr a・・A・Mh（c）・・d…sca・arr，．・、ερ・

（・〕llA・B日・≦ll．AU・ll’Bl⊥fb・q11、A・、B・Mn（C〕；

（d）ll畑・ll≦｜「IAII・llBllfb・．・且A・．．B・、Mn（、C）ご．㌔

，．N・9・・f噸・・ir・・．・順・・麺㎝ll・11a「sati諏聖・』⊆iφ鵬

（の一（d〕th・n・a．m・t・iX・・tm・i l・卜llb sati・fying・・the at・i・鵬：：（・a・）パ．・c）i・ also satisfying the．ax逢om （d｝．．     閲  ・．∵ジ！ ．．一・．．一  ・覧 1−・∴・・  ∵・．・．．．、．      恥・・the・e exi・t p。si・tiv・n迦bers ．・l and・2・su・th．th・！一’｝∴．・．，∵．        ．・．∴．．−  cll・IAUも≦llA 11。≦・21μ卜lb・．’・：．1．、．，・

Since    ∵ll．旭．1．．1；≦1川1』』・llB11。，

it follows that        ．． ．   ・．   ∫．∼．

ll、杣、≦1／・111 AB・ll。≦1／・il1・1・1、・ll・・1．1。≦・1／・1日・llド1川b・

bence

_{E・シ・1〕1剛1、≦・・1！・1川A”}

P1、・（・；／・1）ll・ll、．

227

228

1（．OSHIM For Our・convenience we first define twt）classes of diagom】ユmatrices： bたfinition 1．2．        D・｛D・M。（C）・b』層di・9（．δ1・δ2・…・δ。）｝

         D1・｛D・Mn（C）・D・di・g（δ1・δ2・…・δn）血…⇒δi l・1｝・

     1〕efinitiOI11◆3．       ’       1

     （〃）：IflAl≦IBI、thenUA目≦llBll．

     （引：漂ll皿」1！llAll＝1 f°「al1Dε〃・・

     ！刀）：罵ll杣／日Al卜1f°「a11・Dε D・・

     （βり：㍑llD岬’1／llAll＝’ f9「al1D・D「ε〃・

    あefinition’1 L 4． 「t㎞e class、       （〃〕．is called a monOtonic class．

     fhe『fb11㎝血g輪r㎝1is鴨11㎞岨（4， pp．52）〔cf．（2． pp．47）），．

鴨will See so鵬comections between a matriX norm and a・vector nonn．      lh・Or㎝’1：1．’lf l l’・目i・avect・r n・輌n♂， t』・the・f・110ving

・・㎡i・・…are e・・iv…泣〔・・t・・1・．｜・日λ1いλ21，…，1・。、 DT）・

〔1）1・1≦lyl麺1iesllxll’』

?撃窒凾撃撃?b窒≠P1・，y・♂．

（・・）ll・日・1日・川f・r・…．・．♂・．

（III）恥・any・di・g・m・1 matriX D・D2・t』c・r…p・nding・・perat・rmm

satisfies llDll＝1．

     Definition 1．．5・ The class of the matrix nolrms whi（ih 1ぬs the I）roperty （IIr） in Theorem 1．1．will be denoted by （5）．      Si㏄・〔1 ）1and （ iI）訂・叫・iv・1・ht・n・finit・dimensi。・・1㎎鞭dγect・・

sp

Gce響d we卿t「◎m r（C〕c】°°nside「ed as a veqt°「p°m°n

♂，

     ・』噛・・ence・bO・dS・by・・p・acei・g♂輌。〔C）鋤．・疏・・n・rm・by・

matrix mrm． Hence an altelnative definit ion o￡．the class 〔〃） may be as． fbllows；        」川．卜U川日fb・a」1・A・M。（C）・

2．㎜TI㎝S㎜G珊C㎜S

       t      Our prinCipal copcern will be to．investigate comections between ・the class （〃） and all others in Definition 1．3．， and to show that t1】e class （M） is strictly contained in the clasSes of 〔L ）， （R）， and 〔β’）◆l      Theoren 2．1． The clasS〔川is contained in（βパ．、

     ㎞fL・tll・目・（〃）・A・M。（C）・画D・D’・D、・S垣ce

、，飴、、α帽，、牡 ÷1δi卜亨1δll＝1・

      1㎜†1≦IA1・     Next we will slめw that there・exists a matrix E sudh that       llD田）． ll！ llE ll＝1・

       S㎜TIPLI㎝T㎜凧皿IX〈

Ne w”1§h㎝血at血e

_{撃ｲ〒ta／鴨l i㍗at}

It is clea・th・t th・re exi・t iO紐d jO〔1≦iO・」0≦・〕…th that       ld・。目djl l＝1・ Let E＝E・。」。・出en’t飴11㎝s

@  ’

        1唾・。j。D’目／IIE・。j。H＝llE・。j。目／llE・。j。ll＝1・ This shσws that        （〃） （二〔B’）．     ［［heorem 2．2．： The fo11（wing classes’are equa1：． 〔1・）［［h・ ・1・sS（訂∩〔R．）・

（2）The class（B’〕．

（ 3 ） The class （B’t） 噸dl haS the property that

購llD酬／1川‥1fr「al1 DI D’ε』D・砿th D°「D’be垣・−n麺1ar・

    ・…f・F・㎝也・嚥・i ・’・・i・c・ご⊇・

      （B’〕⊂（B tt ）．     ・It is Sufficient to show that   ’   ．    「 ’『 ・ ’   ”

    、e，，1｝緊C㌫）還〕and．〔L）∩（R）⊂ロリ」．

    ：    ”．max目DADI l「／．l l．．A l l言・1，   ．       A〆0

疏…D…麺・・繭9U・ar・S・tD・・（・rD，．

_{E・）…f…㎝・Pa・}

     1」maxllAD，ll／llAll〔or1．＝n直xllDA目／ll．A日）．

         A≠O      A≠0      ・

Hence

       ’〔B「t）ζ（云〕∩〔R〕．

    ・e・1卜日・〔・）∩〔R）飢dD・・、・

．befin・戸・Pa・｛b11㎝…    ．

F°「al1 A・Mn（C）・u（h th・t m≠O・

Set

then it fb11（）ws that        ＝㎜1団〕BP’        M≠O

穗i＝1／di ifdi．≠0・

d．・＝1    ifd．＝、0．      ．    二．・．     ご  1       1       there exists a matrix B such that A＝五B．

     M＝DDB＝DA≠0

剛⑭・ll／． 冝Ell

AfO

ll ／ ll Σ画B  ll ● ll 面B  日  ／  1．l DB  ll

230 ’K． OSHI−MA、1        ≦maxl’1・M），1ト／Lll．M l「・maxll二DA ll／H・A ll一吟 ・ tt        『畢0 、．．  ．、こ， 、 ．早O

s血cel1・1匡．（の∩但）t1司  ．・．・・．・：・．ジ・：。・、・・．．．一

      ㎜dl卿1、11川Alll≦1・1．       A≠O

    N㎝』eA＝EI。j。舳ld・。1＝ldj61＝1埠−・．．∵ 1．

       け斑斗。」。D’・ll／1巴・。j。 il＝日ElOj。川1レE・。j。 ll＝1’ Thus      ｝、，2  ．．㍉        ・〔．五・）∩．（R〕⊂〔β’）・      Combining two Theorems，． we．obtai1｝the fヰτst∫main．雪esult．．．．：

     The class（〃）of matrix m㎝is cont蜘ed桓the fbllowihg．CiasSeS：・

      （L）， （R），and （B・t〕・  ．   ∴』  ．        シ M）reover，    ．．．．（L）．∩〔R）・一（B’．〕・＝（・β」つ・．∴．∵・∫      F皿11y it凪1．be蜘叫t｝口t−the inclusign．in Theor㎝2．1． is．5trict．、      Definition 2．1．： bet AεM〔C）． Define       n        1−1・U、・’・（・・A・1／2．’J whereρ〔A★A） is the largest eigem7alue of A★A． Thi． sエ∪翠．．喰11 kno班1 matrix no］rm （ 4， PP・ 21 ）・    ． ．、 ．・．     ．         ．    二．． tt      th・・re・・2・3・・th・m・t・iX・。r・ 1川いS・・nt麺d血（の∩．一（ R）・      P…f・㎏tA比孤m正・e・・．eq・・r・m・t虫．司D．・，・、・th・n・it・f・11・w・・that ．．

闔Mll、・／1川・千llパ’．UDI㌧，ぐ回1・−l！？U・．＝干’

Ch°°se A＝E・。i。』’・’s su

qth批ld・。1＝1・then’t飴11竺s諏t

Therefore ．iii・・i・D．1i・／．1巴i・i・ll・＝1’ ‘．

      llrll2ε〔．R）・ ’・ ・一  …  一      ・mi・…y・鳩卿』由・・t・・b・w・h・・ 11・1Lε（・．）r’ Therefo・e』．       ll・・1 2ε（・）nl・〕・

th・f…㎝i㎎・卿・es㎞幡頑．ll・・ll、‡・m・・；nt・滅i・〔M）・

・・三・・（㍍）・・鞠1・日、・輌・川・lll、三・・

     3．C（測N旧CTICNS㎜G THE CIASSES WITH   I   ＝ 1  1、  ・．・，ゴ  ．：・ニー．．1、1：二      In this section， we will study：the．℃1asseS． wbDse norms of the identity matrix， llI l l，is 1． Since it is always ti le that l i I l l＝1 is on the class

      SUBMULTIPLICATIVE．MATRIX NORMS （β），it is inteτesting to see the connections bet旬een｛五：．）：姫1「others・：

〔（の・（R〕・〔β’）｝『und・ぽS輌輌t l．1． X日＝1・We den°te ‘hese

c1号；s

_{；．1瓢s隠’；『：lj噺f：ll・一左）． ・n・興}

（i・」）・血・（1・ij l・1・j、i 1．）≦II．A、ll、・ t：

Bfで㌻還〔興五〕’』』…・1．・・…．・．・

        1・、」1・U・・jll／呼jl ・隅・旭jjll／日畑jjll≦i∴．

  it fbllows that        lえ、jl・ll・、j．ll≦’ll肥j」1」≦F目・旧巨j」｜L、，．．   Fbr        二’：．㌔ll亘訓≦鴎j’l！・げ   this implies that       ∵        1．句1≦日．Al，i・・   』：三’       Case 2  Sillce

       l・li11・幅．1け．旭」1、1’：・日：t／jjAEIj『ll／曄・j’rl≦1・

  it follows that  ’    ヱ 伽一aj・1．’；！lB」］’1卜≦1．］1三・j．・1≦llAl．1∵．目1！・i’ li卜’1言：・∴．．tt

・…∵．・・…一・．1・IEij」1≦IL耳jj， ll・一・∴∴一．・．．．・・…

this坤1ies t㎞t       ．・・∵ゴ・・：ぺ

      ＿fl｛・．・曙吉｝；↑1 ’日・・UU卿・r・鱒

n・nn fo・砲i訓E巧ll・q叫f？r aj1．・・i・，anq， j・then

． ＿t／，．・：，雪1㍉1．｝≦ll．Al！・，

      腔・・f．r血・ellEij l国IEiiU＝IJ・ P・註1⊥垣叫（・i・川・th⊇th

㌫竺C t三P飴゜bf°f；e竺a3’∵c『． 酋td註ectly

      −…A・（・lj）・lf l卜・：1．1・（□）U（R〕U〔B’）・the・

       呼｛la・jl｝≦1川L−・・・…一・−       t

       貯゜°fIf伯1ε（認（：∴；三17・㌣a3’1°’一・・．…

  1、et 日 ・ llε （β・）． By sub∴1tipiiC籠錘it）㌧三鴎hE“re that   ． ・一、．、．，夏：

、血cel卜ll。（め，⊇し1・㍊；ぽ1㌧

        ・1．1．I E三i延ii日・／−U：A．i！’一 1・ii’・1・U・Eii II・／1↑A・lt≦・1一

23Z        lK．．OSHIMA 、  ．． ； This clear1y implies that  ．  ．       ・         ．、  ． 一．        1呼q・1i」・｝≦’11・・A・・11・・       1      、

     工・．4．te・IL・ll・（Du〔・主川・’1三iD・ll．輌，・・。・．

也n

      日1D’日≦ll D・｝1．・．．ピ  ”：‘1☆’

     ・…f・fl・1≦1・・い・㎝・here・・xiS・・a㎜舳P迦．ロ．〕・ぬ舳・

、血㏄・

C．．

E∴m

nU雪1．｝・≦1・’ご

      1．いll ．e（L）u（r）・ it fb11㎝… t】hiat

       目D目／1已・1同1・・P・ll！ll・i目〔・1已・D川！llD−1’1−）

       三頑ldlP≦1・  ．’．．，．

Hence       1      ．      ．     ’       llD日≦llD，．ll．        ．    ．     ．・・h・・三㎝・…be・・…（・）、i・明岨・・’・h・f・…唾・・dS・6・：tt』       ’   （・、）・て・i）・血d〔・fl・．．．、，・、，「』…、ご

    P…flい．ll・〔L I）∪〔R、）・．・h甲旬卿1tipli・卿i七y城

telMI・3・4・w・ h・v・1≦llEiil｝≦lllll・1・t’hu・IIEiill・1・lt劔1㎝・

丘㎝・h・f・口・ωf）・・り∩（Ri）輌一・…興…・・i竺・f

（五1）麺（RIつt｝・・t         二”‘∵『1∴r

誕⑭頑・・一己1∵）：（∵三：∵’：・．∴一’

    Let旧1ε〔5Wb当畑川1／II A ll・ ”he「eD・D’εD・・

・・f・i・・w・； ff・nt・・㎞・・吋・icati・i・y・』・b≦日’DII・ll』D・¶．・1．1×『』1・1．

伽゜seA；E・0〕。舳e l d・。1＝ldl。・．1−1・thenオ’．・馳1−・

      嶋。j。D川1／U三・。j。ll 一’≦b・ Hence b ＝ 1 and so        目．．’1．1ε（βi）・      ．  ，

Therefbre

       （5）（二（囁βi）・     N・w1・t ll・ll・（βf）and D・D1・Th・・’ 1＝

_{lllD1！2畑1／211／目A’1’1≧ll、D1／2・D1／21川川1・ll・ll・}

It f°’19・・ f…c…11・r・・3・3・⑭＝呼｛ld・い≦ll・pl卜T’’”s

233

sumTIPLI．CttTIVE MA rRi［X NORMS        llDll＝1．

Hence

      l卜llε（ぷ）．      4q．TH正i CI」ASSES 〔9） AND （ 1∼．）．      In this section， we will discuss that the class（のis mt equal to the claSS （．R ） in genera1・      L・tM2（Rり’be・・et・f g・・．・ea・2・2 hat・i・e…h㎝鵬卿dec・mP・se M2（R）as f・11・ws；

・、（・）・V③・・｛（：：：）・a，・・R｝㊥・（．：：．1）一：c，・・R｝，・

・i・・・・…一・r＃・・（1：1）・・…i・・im・’．’

 艦：6㌶）・（（x唄）！2， （y−v）／2−（XTU）／2，一（y一の／2）．・ ，

     tet X・C：・F砲・・e A・吃〔R）・C・V・F・W血1et

      日x日N・・UC『日。・llFl．IW．．．H：．：、’“

敵el卜ll・・鋤、U・ll。訂・m…’X−・nV綱τ・・p・c・’v・’y・・』’・’・

…ar・tha・1トWN i・・珊・・ix n・m・． 一 ’ ・’、．：・

    恥・if D・di・g（δi・δ2）．「th・n・輪…廊Cp l（・・和）i・．凪9・c・再麺血

V（°「W）・h°weve「・if．D1＝di㎎（1・−1）．then t』就白㏄〔。「pF）・is’

㎝tain舗in W（°・η・Tl’e「e血「e・．

_{@』 ．． 1，．・：}

      ll）Φ1日N≠11 DIX目N・．

     堕庄』・e ・ha・A・G：1）and 1・tllA日＝・当・・j l砲…

・i・’・he・rd…f・㎜・i・x・・H’．1．IV＝1「’1．L。・・V・．1．1’日W r 2・◆1：1・’・1｝・n

W・ll・目N当川V†1川IW・餌Dt＝diagq㌧一リ1「興．’』

・日DIA」1・・日（］：9）ll・＋．目G：：1’ 〉 ・ヤ・’14鋼

     脚111，・ll（；：：：）11，・ll（1：．汀ll。・6・4・1・・

     5． TABI，E OF THE CONNECTICNS BY MEANS OF MTRIX mORMS．      In this section， it will be ’seen that bomds of we11一㎞o岨mms may be widely controlled by diagonal matrices and the matrix co珂ponents．

    ・Th・m・t・iX・・服川AllC・日All2・llAllR・日A日M・llA日E・at

ll A日Σd・f迦・d・nM。（C）by

234

K．OSHIMet’      （1〕：IIA Definition 2．1．〕，      （3〕：11A

〔5〕：日A

ー−  ・  ー寸−﹁   −

nΣ＝ nΣ＝  ＝

     ・］nΣ・］   ・−

 朕﹂．怒i ち

 m  

m 、 ︵  ＝    ＝．   ＝

 C  

R  E

a・・1．，（2〕：  ：IJ ・ijl・（4・〕・ ・、；）1／2，・・）・   ‘（

川Ali2・am

日A

1

1

（see

llM＝n qa・j’1…

         n

AllΣ：ii」．11 a・jレ”

      （A＝ aij）εMn（C））・  、パ．．． ．， ．      The connection be加een the classes and wel1一㎞o岨nor鵬is su㎜ロrized in        ど      ロ the following table，轍ere ＋ （一、） indicates that the亘orm is．（ is not 〕 contained in the class．      N・t・th・t th・n・m’日A日N血t』・b1・i・d・fm・d．in Secti・・4・． 十 ↑’十 十 − ．．＋． 十 ．一．一十 一 十﹂ 十 十． 十 十 ．．十 ︶五︹ ｧ． 十 、．一 ︶〃︵ 十 一 十 十 一 C川A日 2UA11 EHAほ NUA11

︵︹︹︹

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