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カテゴリカルデータ分析によるCompetitive

Balanceの測定

著者

齊藤 裕志

著者別名

Saito Hiroshi

雑誌名

経済論集

巻

38

号

2

ページ

221-242

発行年

2013-03

URL

http://id.nii.ac.jp/1060/00004232/

東 洋大 学 「経 済 論 集」38 巻2 号 2013年3 月

カテゴリカルデータ分析によるCompetitive Balance の測定

斉  藤  裕  志

1 。 は じ め に 2. 従 来 の アプ ロ ー チ 3. カ テ ゴ リカ ル テ 一 夕 によ る ア プロ ー チ4. 結 語 1 。 は じ め に 興 行 の 側 面 を 持 つ プ ロ フ ェ ッ シ ョ ナ ル な ス ポ ー ツ リ ー グに とっ て 、 フ ァ ン の 関 心 を い か に 持 続 さ せ る か と い う テ ー マ は 大 変 重 要 で あ る 。 な ぜ な ら ば 、 チ ー ム 同 士 の対 戦 が 生 み 出 す 「 ゲ ー ム と い う 名 の 商 品 」 で フ ァ ン を 魅 了 で き な け れ ば 、 リ ー グ の 繁 栄 は な く 、 チ ー ム も そ の 存 続 が 難し く な る か ら だ。 で は そ の フ ァ ン は ス ポー ツ リ ー グ に ど の よ う な こ と を 期 待 す る ので あ ろ う か 。 フ ァ ン が 時 間 を 含 め た 自 ら の 資 源 を 割 い て わざ わ ざ 競 技 場 に や っ て く る 目 的 は 、 あ こ が れ の ス タ ー をじ か に 見 た い とい う 思 い か も し れ な い し 、 は た ま た 食 事 や 気 の あ っ た 仲 間 と の交 流 と い っ た 競技 場 内 外 で の 雰 囲気 を 体 験 す る た め か もし れ な い。 し か し 何 と い っ て 重 要 な 目 的 は、 最 後 ま で 結 果 が わ か ら な い ほ ど も つ れ 合 っ た ゲ ー ム 展 開

（Uncertainty of Outcomes, 以 下UO ） を じ か に 体 験 す る こ と で あ ろ う 。 た と え 勝 つ の が 自 分 に と っ て

の 聶 厦 チ ー ム で あ っ て も 、 ゲ ー ム が 始 ま る 前 に 結 果 が 明 ら か と な る よ う な 試 合 に わざ わ ざ お 金 と 時 間を 割 い て 観 戦 す る フ ァ ン は そ う 多 く な い で あ ろ う 。だ と す れ ば、リ ー グ 全 体 の 利 益 を 考 え た 場 合 、 個 々 の ゲ ー ム が ど れ だ け 高 い 水 準 のUO を 達 成 し て い る か と い う 点 は リ ー グ に と っ て 重 大 な 関 心 事 と な る は ず だ 。 で は フ ァ ン が 望 む 水 準 ま で にUO を 高 め る た め リ ー グ が す べき こ と は 何 で あ ろ う か 。 端 的 に い え ば 、 そ れ は チ ー ム 間 の 戦 力 均 衡 （Competitive balance, 以 下CB ） の 達 成 で あ る 。 リ ー グ に お け る 能 力 別 の プ レ ー ヤ ー 分 布 を 平 等 に近 づ け る こ と で 、 リ ー グ は 個 々 の ゲ ー ム が 接 戦 と な る よ う に 演 出 す る こ と が 可 能 と な る。 こ れ に 成 功 す れ ば ゲ ー ム のUO の 水 準 は 高 ま り 、 リ ー グ に 対 す る フ ァ ン の 需 要 を 高 め 収 入 を 増 大 さ せ る こ と がで き る 。 そ し て 収 入 が 増 え れ ば 、 そ れを 再 投 資 す る こ と で リ ー グ の 質 を 向 上 さ せ 、 さ ら な る 需 要 の 増 大 を 達 成 す る こ と が 可 能 と な る 。 こ のよ う な 好 循 環 を つ く り 221

上 げ る た め 、 リ ー グ は 個 別 チ ー ム の 経 営 に 対 し さ ま ざ ま な 介 入 政 策 （Cross-Subsidation） を実 施 し 、 フ ァン が 望 むUO の 達 成 をCB の改 善 を 通 じ て 実 現 す る の が 通 例 と な っ て い る 。1 し か し 、 そ もそ も 自 分 た ち が 生 み 出し て い る ゲ ー ム に ど れ だ け のUO が あ り 、 自 分 た ち の リ ー グ のCB が ど のよ う な 水 準 に あ る の か を 知 ら な け れ ば 、 リ ー グ とし て も ど の よ う な 対 策 を 打 て ば 良 い の か わ か ら な い で あ ろ う 。 す な わ ち さ ま ざ ま な 介 入 政 策 の 前 段 階 とし て 、 ま ず 自 ら の リ ー グ の 「健 全 状 態 」 をUO やCB の 観 点 か ら 把 握 す る こ と が リ ー グ 運 営 に と っ て 何 よ り も 重 要 と な っ て く る こ と に な ろ う 。 そ こ で 本 論 文 で は リ ー グ の 健 全 状 態 を 測 る指 標 と し てCB に 着 目 し 、 複 数 の シ ー ズ ン に ま た が っ たCB の 測 定 法 を 従 来 と は 異 な っ た 観 点 か ら 提 案 す る 。 論 文 の 構 成 は 以 下 の よ う に な っ て い る 。 ま ず 第2 章でCB 測 定 に 関 す る 従 来 の ア プ ロ ー チ を 紹 介し 、 そ の問 題 点 を指 摘 し た 。 続 く 第3 章で は 、 そ れ を 受 け て 、 カ テ ゴ リ カ ル デ ー タ ・ ア プ ロ ー チ に よ る 新し いCB の 測 定 法 を 示 し 、 日 本 野 球 機 構

（Nippon Professional Baseball 、 以 下N ）B） の デ ー タ を 用 い て 実 際 の 測 定 を 実 行 し た 。 第4 章 の 結 語

で は 今 回 の ア プ ロ ー チ の 問 題 点 を示 し 、 今 後 の研 究 の 展 望 を 述 べ た 。 2 。 従 来 の ア プ ロ ー チ リ ー グ の 成 否 を 左 右 す る 「結 果 の 不 確 実 性 （UO ）」 に は 複 数 の 測 定 法 が 存 在 す る 。 時 間 軸 に 沿 っ て み た 場 合 で も 、a） 個 々 の ゲ ー ム に お け る 勝 敗 の 不 確 実 性. b） あ る シ ー ズ ン に お け る 優 勝 の 不 確 実 性 、c ） 長 期 に わ た る 不 確 実 性 （ 特 定 のチ ー ム が 上 位 と 下 位 に 固 定 し な い と い う 意 味 で ） な ど が 考 え ら れ る 。2し た が っ て こ れ に 応 じ て 戦 力 均 衡 （CB ） に も 複 数 の 測 定 法 が 存 在 す る こ と に な る 。 本 論 文 で は こ のう ち 複 数 の シ ー ズ ン に ま た が っ た り ー グ の 盛 衰 を 分 析 す る の に 役 立 つ 「長 期 に わ た るCB の 測 定 」 を 対 象 と す る。 た だ し 長 期 に わ た るCB に 議 論 を 限 定 し て も 、 こ れ ま で 、i ） 勝 率 の 散 ら ば り 度 、 ㈲ 優 勝 回 数 の 集 中 度 と い う 異な っ た 測 定 法 で リ ー グ のCB が 測 ら れ て き た 。3こ の う ち 前 者 は 勝 率 の 散 ら ば り 度 合 を 標 準 偏 差 に よ っ て と ら え る 手 法 で あ る。 こ の 手 法 で は 、 チ ー ム 間 にお け る 勝 率 の 標 準 偏 差 が 大 き い ほ ど チ ー ム 間 の 戦 力 に 開 き が あ る こ と に な る の で 、 リ ー グ は 低 い 水 準 のCB し か 実 現 で き て い な い こ と に な る 。 あ る シ ー ズ ン のリ ー グ 全 体 に お け る 勝 率 の 平 均 が0.500で あ る こ と を 考 慮 す れ ば 、 1  具 体 的 な 介 入 政 策 と し て は、「収 入 分 配」、[ サ ラ リ ー キ ャ ッ プ] 、r ぜ い た く 税] 、「ド ラ フ ト 」 な ど があ る 。 これ ら 制 度 の 中 身 とCB に対 す る 諸 制 度 の 効 果 に 関 し て は 次 の 文 献 が 詳し い。 Fort and Quirk [1995], Leeds andvon

AUmen[2008], Quirk and Fort [1992]・ 2 Downward and Dawson [2000]p 131-132.

3  従 来 の 手 法 を 使 っ た 測 定 結 果 は 数 多 く 存 在 す る が 、 こ こ で は 代 表 的 な も の と し てFort and Quirk [1995] ，Leeds and von Allmen [2008] ，Quirk and Fort [1992]を 挙 げ て お く 。

カ テ ゴリ カル デ ー タ分 析 によ るCompetitive Balance の測 定N チ ー ム のT 期 間 に わ た る 勝 率 の 標 準 偏 差 は a − (1) と な る 。4こ こ でWPCTi. まシ ー ズ ンtに お け る チ ー ムiの 勝 率 を 表 し て い る。 こ れ に 対 し 「優 勝 回 数 の 集 中 度 」 は、 複 数 の シ ー ズ ン にお け る 優 勝 が 特 定 の チ ー ム に ど の 程 度 集 中 し て い る か を 測 定 す る こ と で リ ー グ のCB を と ら え よ う と い う 手 法 で あ る 。 優 勝 回 数 の 集 中 度 は 、 産 業 組 織 論 にお け る 市 場 占 有 率 の 測 定 で 使 用 さ れ るHirfindahl-Hirschman 指 数 （以 下HHI ） で 測 定 さ れ る こ と が 多 い。5 N 2 HHI ＝ 召ヤ亙      (2） こ こ で 釧ま観 測 期 間 に お け る チ ー ムi の 優 勝 回 数 を 表 し て お り 、1 の 値 が 特 定 チ ー ム （必 ず し も 一 つ と は 限 ら な い ） に 集 中 す れ ば す る ほ どHHI の 値 は 大 き く な る。 し た が っ てHHI の 高 い 値 は リ ー グ のCB を 低 い 水 準 に 押 し と ど め る こ と を 意 味 す る。 第3 章 で 提 案 す る 新 し いCB の 測 定 法 と 対 比 さ せ る た め 、 こ こ で は ま ず 上 記 二 つ の 手 法 でCB の 測 定 を 実 施 し た 。 分 析 対 象 を 日 本 野 球 機 構 （NPB ） に 属 す る セ ン ト ラ ル ・ リ ー グお よ び パ シ フ ィ ッ ク・リ ー グ（以 下 、セ・リ ー グ、パ・リ ー グ）と し 、1958 年 か ら2004 年 に か け て の デ ー タ を利 用し た 。6 表1 は そ の測 定 結果 で あ る 。 ま ず 観 測 期 間 全 体 に お け る セ ・ パ 両 リ ー グ のCB の 評 価 か ら 見 て み よ う 。 勝 率 の 標 準 偏 差a でCB を 評 価 し た 場 合 、 セ ・ リ ー グ の 方 が 標 準 偏 差 の 値 が 小 さ い こ と か ら （ セ の び:0.074 ＜パ のo:0.082 ）、 セ ・ リ ー グが よ り 高 いCB を 達 成 し て い る よ う に 見 え る。 し か し 、HHI に よ る 測 定 で は パ ・ リ ー グ の 値 の ほ う が 低 い た め （セ のHHI : 14.7 〉パ のHHI : 11.6）、 パ ・ リ ー グ が よ り 高 いCB を 達 成 し て い る と い う 結 果 に な っ て い る。 パ ・リ ー グ に 比 べて セ ・ リ ー グ のHHI が 大 き い 理 由 は 、 こ の 期 間 にお け る セ・リ ー グ の 優 勝 が 読 売 巨 人 軍 に 集 中し て い た こ と に よ る と 考 え ら れ る 。実 際 巨 人 は 、47 シ ー ズ ン の う ち 半 数以 上 の24 回 の 優 勝 を飾 っ て い る 。 セ ・ リ ー グ で こ の 優 勝 回 数 に 次ぐ チ ー ム は 広 島 東 洋 カ ー プ と 東 京 ヤ ク ル ト ス ワ ロ ー ズ の6 回 に と ど ま っ て い る。 一 方 パ ・ リ ー グで は 埼 玉 西 武 4  標 準 偏 差 を 用 い たCB の 測 定 で は 、 あ る シ ー ズ ン に お け る チ ー ム 間 の 勝 率 の 標 準 偏 差 （Within-seasonvariation ） と あ る チ ー ム の 観 測 期 間 に お け る 標 準 偏 差 （Between-season variation） の 二 つ を 分 け て 議 論 す る

のが 慣 例 と な っ て い る 。（Leeds and von Allmen ［2008 ］） し か し チ ー ム 間 の 長 期 に わ た るCB の 測 定 と い う 観 点 か ら、 こ こ で は こ の 両 者 を 一 括し た 標 準 偏 差 を 用 い た。 5  集 中 度 （ 不 平 等 度 ） そ れ 自 体 の さ まざ ま な 測 定 法 に つ い て はCowell［2011 ］が 参 考 に な る 。 6  デ ー タ 取 得 の 開始 時 点 を1958 年 とし た の は 、 毎 日 オ リ オ ン ズ と 大 映 ユ ニ オ ン ズ の 合 併 に よ っ て 、 こ の 年 以 降 パ ・ リ ー グ のチ ー ム 数 が6 つ と 安 定 し た こ と に よ る 。 ま た 終 了 時 点 を2004 年 とし た の は、 こ の年 を 最 後 に 大 阪 近 鉄 バ フ ァ ロ ー ズ が リ ー グ を 撤 退し 、 選 手 が オ リ ッ ク ス ブ ル ー ウ ェ ー ブ （ 当 時 ） と 楽 天 ゴ ー ル デ ン イ ー グ ル ス に 分 か れ た こ と で チ ー ム の 一 貫 性 が 無く な っ た こ と を 考 慮 し た こ と に よ る 。 223

表I Competitive Balance の 測定 ： 日 本 野 球 機 構 （NPB ） び セ ・ リ ー グ パ ・ リ ー グHHI セ ・ リ ー グ パ ・リ ー グ 1958 年 ∼2004 年 0.074 0.082 14.74 11.55 1958 年 ∼1973 年 0.073 0.097 10.88 4.38 デ ー タ ： 日 本 野 球 機 構 http://www.npb.orjp/ 注:a = 標 準 偏 差, HHI ＝Hirfindahl-Hirschman指 数

1974 年 ∼1989 年 0.080 0.074 4.50 4.50 1990 年 ∼2004 年 0.067 0.073 3.80 6.33 ラ イ オ ン ズ が 前身 の 西 鉄 時 代 を 含 め て17 回 の 優 勝 を 達 成 し て い る が 、 オリ ッ ク ス バ フ ァロ ー ズ も 前 身 の阪 急 時 代 を 含 めて12 回 、 福 岡 ソ フ ト バ ン ク ホ ー ク ス が や は り 前 身 の南 海 時 代 を 含 め て9 回 の 優 勝 を 達 成 し て お り 、 優 勝 と い う 点 で は パ ・ リ ー グ は 分 散し た 傾向 を 示 し て い る。 こ の 標 準 偏 差o とHHI の 評 価 の 「ね じ れ 」 を ど う 考 え る べ き で あ ろ う か 。 こ こ で 注 意 し な け れ ば な ら な い こ と は 、 そ も そ もHHI は 優 勝 の み に 注 目 し て い る 指 標 な の で 、 そ れ 以 外 の順 位 に 収 まっ た チ ー ム の 情 報 を 活 用 し て い な い と い う 点 で あ る。HHI は 、 優 勝 の 顔 触 れ は 変 わ らな く と も、2 位 以 下 のチ ー ム が 力 を 蓄 え 優 勝チ ー ム と の差 を 詰 め て い る と い っ た 事 情 を 反 映 で き な い 指 標 な の で あ る 。 一 方 標 準 偏 差（バま、 す べ て の チ ー ム の 情 報 を 含 め た 指 標 で あ る ので 、2 位 以 下 のチ ー ム の 動 向 も と ら え る こ と が 可 能 と な っ て い る 。 こ のよ う な 二 つ の 指 標 の性 質 の 違 い が 評 価 のね じ れ を 生 んだ と 考 え ら れ る 。 し た が っ て 、 優 勝 へ の 集 中 度 と い う 点 か ら み れ ば セ ・ リ ー グ のCB は パ ・ リ ー グ に 比 べ 低 い 水 準 に あ る が 、2 位 以 下 のチ ー ム の動 き も 含 め て 考 え れ ば 、 セ ・ リ ー グ のCB は パ ・ リ ー グ に 比 べ 高 い 水 準 にあ る と い え よ う 。 続 い て 観 測 期 間 を 三 つ に 分 け て、 セ ・ パ 両 リ ー グ のCB の 時 点 間 の 傾 向 を 見 て み よ う。 す べ て の チ ー ム の動 向 を 網 羅 し た 標 準 偏 差a で 見 た 場 合 、 セ ・ リ ー グ が1974 年 ∼1989 年 を 中 心 に 「 山 型 」 の 推 移 で あ る の に 対 し 、 パ ・ リ ー グで は1958 年 ∼1973 年 の 高 い 水 準 か ら 標 準 偏 差 が 急 激 に 低 下 し 、 そ の後 は 一 定 の 水 準で 安 定 し て い る 。 こ れ は 、 セ ・ リ ー グ のCB が1970 年 代 中 盤 か ら1980 年 に お い て い っ た ん 悪 化 し た も の の、1990 年 代 以 降 に は 改 善 さ れ て き た こ と、 一 方 パ ・ リ ー グ で は1970 年 代 中 盤 か ら1980 年 に か け てCB が 改 善 さ れ た も の の 、そ の後 は 変 化 が 見 ら れ な い 状 況 を 表 し て い る 。 こ れ に 対 しHHI で は 、1958 年 ∼1973 年 に お い て パ ・ リ ー グ の2 倍 以 上 で あ っ た セ ・ リ ー グ の 値 は 、 そ の後 急 激 に 低 下 し 、1990 年 ∼2004 年 の 値 は3.8と 当 初 の 半 分 以 下 と な っ て い る 。 一 方 パ・ リ ー グ で は 、1989 年 ま で 安 定 し た 数 値 で あ っ た も の が 、1990 年 ∼2004 年 に か け て 悪 化 の 傾 向 を 示 し て い る 。 こ れ ら の事 実 か ら 、 優 勝 へ の 集 中 度 と い う 観 点 で は 、 セ ・ リ ー グは 大 幅 な 改 善、 パ ・ リ ー グ は 悪 化 し つ つ あ る こ と が 判 明し た。 こ の三 つ の 期 間 にお け る 二 つ の 指 標 の 「ね じ れ 」 の 原 因 に つ い

カテゴリカルデータ分析によるCompetitive Balance の測定 て も 先 ほ ど と 同 様 、 両 指 標 の も つ 情 報 量 の違 い の 反 映 と 考 え ら れ る 。 こ の よ う に 、 標 準 偏 差o とHHI は 、 煩 雑な 手 順 を 必 要 と す る こ と な く ス ポ ー ツ リ ー グ のCB を 測 定 で き る 手 法 で あ る こ と が わ か っ た が、 測 定 値 とし て は 以 下 の よ う な 不 満 な 点 も 存 在 す る。 まず 標 準 偏 差o の 場 合 、 勝 率 を 対 象 と し て い る こ と に問 題 が あ る 。 確 か に勝 率 の 標 準 偏 差 引 ま、 チ ー ム 数 （ ク ロ ス セ ク シ ョ ン ） と シ ー ズ ン 数 （ 時 系 列） と い う 二 つ の 方 向 の 情 報 を 指 標 に 反 映 さ せ て い る 点 で 測 定 法 と し て の 望 まし い 性 質 を 持 っ て い る と い え る 。 し かし 、 フ ァ ン の 視 点 か ら 考 え た 場 合 、 勝 率 （ ま た は そ の 変 化 ） と い う 指 標 は リ ー グ の 状 況 を 伝 え て く れ る わか り 易 い 指 標 で あ る と は 必 ず し も い え な い 。 フ ァ ン の立 場 か ら す れば 、 蔵 厦 チ ー ム の 勝 率 が 上 下 数 パ ー セ ント ポイ ント 変 化 し た こ と よ り も、 む し ろ 順 位 の 変 動 の ほ う が よ り 重 大 な 関 心 事 で あ る と い え る の で は な い だ ろ う か。7ま たHHI の 場 合 、 順 位 を 対 象 と し て い る 点 て 上 の 問 題 点 を ク リ ア し て い る が 、 先 は ど も 述 べ た よ う に 、 デ ー タ を 優 勝 チ ー ム と そ れ 以 外 と い う 二 つ に 分 け て 分 析 す る 手 法 と な っ て い る た め 、2 位 以 下 の チ ー ム に 関 す る 情 報 を 十 分 活 用 し き れ て い な い と い う 問 題 点 が あ る 。 従 来 の 手 法 に 内 在 す る 以 上 の 問 題 点 を ふ ま え て 、次 の 第3 章 で は 、i) 順 位 の 変 動 を 対 象 と す る 、ii ） デ ー タ の 持 つ 情 報 を 十 分 に活 用 す る 、 と い う 二 つ の 観 点 か ら ス ポ ー ツ リ ー グ のCB 測 定 に 関 す る 新 し い 手 法を 提 案 す る 。 3 ． カ テ ゴ リ カ ル テ 一 夕 に よ る ア プ ロ ー チ 前 章 で は 、「 勝 率 の散 らば り 度 」や「 優 勝 回 数 の集 中 度 」か ら で は 、本 論 文 が 注 目 す る ス ポ ー ツ リ ー グ にお け る チ ー ム の 順 位 変 動 を 的 確 に と ら え る こ と が 出 来 な い こ と を 指 摘 し た 。 そ れ を 受 け た 本 章 で は 、 カ テ ゴ リ カ ル デ ー タ ・ ア プ ロ ー チ と い う 従 来 と は 異な る 分 析 手 法 を 援 用 し て 、 ス ポ ー ツ リ ー グ のCB を 測 定 す る 。 よ り 具 体 的 に は 、「オ ッ ズ 比 」、「一 致 係 数 」 と い う 二 つ の 指 標 を 用 い た 分 析 を 提 案 す る 。 以 下 で は 、 ま ず カ テ ゴ リ カ ル デ ー タ 分 析 の概 要、 特 に対 数 線 形 モ デ ル の 仕 組 み に 触 れ る 。 そ し て こ の 対 数 線 形 モ デ ル を 用 い て カ テ ゴ リ ー デ ー タ が 生 み 出 さ れ る 「構 造」 を 特 定 す る。 そ の上 で こ の 特 定 し た 構 造 を も と に オ ッ ズ 比 と 一 致 係 数 を 算 出し 、 ス ポ ー ツ リ ー グ の 競 争 環 境 を 把 握 す る 。8 7 Humphreys[2003] は 各チ ー ム に 関 す る リ ー グ内 お よ び 時 点 間 の 勝 率 変 動 を 指 標化 し て い る 。 時 系 列 お よ び クロ ス セ ク シ ョ ン と い う 二 つ の方 向 の デ ー タ を 利 用 す る と い う 意 味 で は 本 論 文 と 問 題 意 識 を 共 有 し て い る が， 順 位 変 動 を 明 示 的 に 取 り 扱 っ て い な い 点 で 異な っ た 分 析 と な っ て い る。 こ れ に 対 し 本 論 文 で は 順 位 の 推移 を 重 視 し た 分 析 を 行 う 。 8  本 論文 に お け る カ テ ゴ リ カ ル デ ー タ 分 析 お よ び 対 数 線 形 モ デ ル の 記 述 に つ い て は Agresti[1996], Agresti[2002], Fleiss, Levin,and Paik・ [2003], Simono 狸[2003] を 参 考 にし た 。

3 −1 . カ テ ゴ リカ ル デ ータ 分 析 カ テ ゴ リ カ ル デ ー タ 分 析 の主 役 と な る カ テ ゴ リ カ ル 変 数 と は、 分 析 対 象 と な る 個 々 の デ ー タ を 幾 つ か の 基 準 （カ テ ゴ リ ー ） で 分 類 し た も の か ら成 り 立 っ て い る 変 数 で あ る 。 例 え ば、 居 住 地 と 政 治 傾 向 が 互 い に 関 連 し て い る か 否 か を 検 討 し よ う と す る 場 合 、 居 住 地 を 「大 都 市 」、「 都 市 」、「農 村 」 と 分 類 し 、政 治 傾 向 を「保 守 」、「中 道 」、「リ ベ ラ ル」と 分 類し て デ ー タ を 割 り 振 れ ば 、「居 住 地 」と 「政 治 傾 向 」は と も に カ テ ゴ リ カ ル な 変 数 と な る。 こ こ で 居 住 地 変 数（政 治 傾 向 ）の分 類 基 準「大 都 市」、 「都 市 」、F 農 村 」（「保 守 」、「中 道 」、「リ ベ ラ ル 」） を当 該 変 数 の カ テ ゴ リ ー と 呼 ぶ 。 こ の 例 で は カ テ ゴ リ ー 数 は そ れぞ れ 三 つ と な る。 本 論 文 で 扱 う ス ポ ー ツ デ ー タ の場 合 、 カ テ ゴ リ カ ル 変 数 はt 期 の り ー グ 順 位 （1 位 、2 位 、…  最 下 位） とt＋1期 のリ ー グ 順 位 （1 位 、2 位 、… 、最 下 位 ） と な る の で 、 カ テ ゴ リ ー の 数 は リ ー グ で 競 争 す る チ ー ム の 数 に 一 致 す る。 カ テ ゴ リ カ ル デ ー タ 分 析 と は 、 分 析 対 象 の デ ー タ を 二 つ 以 上 の カ テ ゴ リ カ ル 変 数 で ク ロ ス 集 計 し た 表 （ こ れ を 分 割 表 と 呼 ぶ ） を 様 々 な 角 度 か ら 分 析 す る 手 法 で あ る 。 こ こ で 、 二 つ の カ テ ゴ リ カ ル 変 数 の う ち 行 方 向 の変 数 をR 、 列 方 向 の 変 数 をC と 命 名 し よ う 。 行 変 数R の カ テ ゴ リ ー 数 をL 列 変 数C の そ れ をJ と す れ ば、 デ ー タ はIJ 個 の セ ル か ら 成 る 分 割 表 に 落 と し 込 ま れ る 。 こ の 各 セ ル の デ ー タ 、 す な わ ち 度 数 を 行 変 数R と 列 変 数C 、 お よ び そ の交 互 作 用 か ら 分 析 す る 手 法 が カ テ ゴ リ カ ル デ ー タ 分 析 と い え る 。 二 つ のカ テ ゴ リ カ ル 変 数 か ら 作 ら れ る 分 割 表 を 二 元 分 割 表 、 三 つ の カ テ ゴ リ カ ル 変 数 か ら作 ら れ る 分 割 表 を 三元 分 割 表 な ど と 呼 ぶ 。 本 論 文 の ス ポ ー ツ デ ー タ 分 析 で は 、 表2 のよ う に 二 つ の 連 続し た 時 点 を カ テ ゴ リ カ ル 変 数 と す る ので 、 利 用 す る 分 割 表 は 二 元 分 割 表 とな る 。

カ テ ゴ リ カ ル デ ー タ 分 析 で は 、 分 割 表 のi行丿列 の セ ル に 分 類 さ れ た デ ー タ （度 数 ）nij（i=l, ■‥, I,J=l,

…J）を 確 率 分 布 に 従 う 確 率 変 数 と 見 な す 。 い ま そ の 同 時 確 率 を 刊=P(R=i, C=j）、 同 時 確 率 分 布

を ｛ 列 ｝ と 表 記 す る （た だ し 全 確 率 ＝1 な ので Σy 聚 ＝1 と な る ）。 周 辺 分 布 は 同 時 確 率 を 行 方 向

お よ び 列 方 向 に 足 し 上 げ る こ と で 求 め ら れ る （i行 の 周 辺 確 率 を πi.＝ べl πij（'

＝^, …,1）、j 列 の 周 辺 確 率 を π..＝Σに 列（j=l, …,J）と す る ）。 こ こ で 行 変 数 の 周 辺 分 布 を しi.｝、列 変 数 の そ れ を{n.-) と 表 記 す る。 ま た 対 応 す る 標 本 同 時 分 布 や 標 本 周 辺 分布 つ い て も ｛稲 ｝（痢 ＝ni/n,こ こ でn = Σij n,. は 標 本 総 数 ） お よ びf A .｝f A . ｝ と す る。 先 ほ ど 、カ テ ゴ リ カ ル デ ー タ 分 析 を 「分 割 表 のセ ル に 割 り 振 ら れ た 度 数fli」を 行 変 数R と 列 変 数C 、 お よ び そ の 交 互 作 用 か ら 分 析 す る 」 と 定 義 し た 。 こ れ は 「二 つ の カ テ ゴ リ カ ル 変 数 で ク ロ ス 集 計 さ れ た セ ル の 度 数"u が 行 変 数R と 列 変 数C 、 お よ び そ の 交 互 作 用 に よ っ て 変 動 す る 」 と も 表 現 で き る。 そ う で あ る な ら ば 、 分 割 表 の 分 析 で は 、 カ テ ゴ リ カ ル 変 数 が ど の よ う な 「絡 み 合 い」 に よ っ て そ の 度 数n_≫を 生 み 出 す の か、 す な わ ち 「分 割 表 の 構 造 」 の 把 握 が 重 要 な 問 題 と な っ て く る。 ス ポ ー ツ リ ー グ の 順 位 変 動 に こ の カ テ ゴ リ カ ル デ ー タ 分 析 を 適用 す る こ と は、 こ の 変 動 の構 造 を 明 ら か に

カ テ ゴリ カ ル デ ータ 分 析 によ るCompetitive Balance の測 定 表2 1 シ ー ズ ン 後 の チ ー ム 順 位 の 推 移 に 関 す る 二 元 分 割 表 ： 日 本 野 球 機 構 （NPB ）1958 年 ∼2004 年 a ） セ ・ リ ー グC R      1 123456 2 3 4 5 6 9 乙 r D 口 u 8 9 1 6 1 β り 6 1 5 1 2 C D 8 8 Γ D 7 7 い 1 1 1 1 一 5 1 3 4 8 5 1 1     C X 5   o o     i n     0 2     L o 1 3 1 4 8 7 1 3 総 計  46 46 46 46 46 46 デ ー タ ： 日 本 野 球 機 構htt ://www.npb.orjp/ 注 ）R ：t 期 の シ ー ズ ン 順程 C ：t ＋1 期 の シ ー ズ ン 順 位 。 b ） パ ・ リ ー グC R      I 666666  to444444  7 n ／ ｀ 123456 総 計 20 1110311 2 3 4 5 1r りり712 凸ｕ り12683109106 ︵ び148811287C71 to -^ 6 lLO LO -xf 13 18 46 46 46 46 46 46 666666 444444 し 、CB を考 える 際の重 要な 情 報をもた らすこ とを意 味する。 そこで 以下 では、対 数線形 モデル に お ける代 表的なモ デルを通じ て、NPB デー タの構造を把 握する。 3-1 -1 . 対 線 形モ デ ル1  ∼ 独 立 モ デ ル と 飽 和 モ デ ル ∼ 分 割 表 の 構 造 を 考 え る に あ た っ て 出 発点 と な る のが 「独 立 性 」 ま た は 「独 立 モ デ ル 」 と 呼 ば れ る 概 念 で あ る。n 個 のデ ー タ を1 行J 列 の 分 割 表 に クロ ス 集 計 し た と き ， も し こ の 分 割 表 の行 方向 の 変 数R と 列 方 向 の変 数C が 互 い に 何 の関 連 も な い な ら ば ，こ の 二 つ の 変 数 を 独 立 と 定 義 す る。 こ れは ， 列 （行 ） 方 向 に あ るあ る カ テ ゴ リ ー の 度 数 の 水 準 が 行 （ 列） 方 向 の カ テ ゴ リ ー の 変 化 に依 存し な い こ と を 意 味 し て い る。 二 つ の カ テ ゴ リ カ ル 変 数 が 独 立 で あ る な ら ば ， 同 時 確 率 聚 を 周 辺 確 率n,. と 爪jを 用 いて

πiに 町TT.j, i = l,¨,I,i = 1,…J        （3）

と 表 現 で き る 。 独 立 と 仮定 し た も と で の 同 時 確 率 か ら ，ifTJ列 の セ ル の 期 待 度 数 馬 は

μij ° riTUiにrnij. Ti・)' i = l,…,i,i ＝i, …J        （4)

と な る が， か け 算 の 形 の（4）式 を 対 数 変 換 す る こ と で。

log μii ° logn ＋lOg πj. ＋log TI・i，i = l,…,i,i ＝i, …I         （5）

と た し 算 に 変 形 で き る 。 右 辺 の 変 数 を 書 き か え れ ば 最 終 的 に 独 立 モ デ ル は

logμiに 入十 冲 十 λF，i °1・…・I,j ＝l, …I      (6 ）

と い う 式 で 表 現 で き る 。旧 式 は ， 二 つ の カ テ ゴ リ カ ル 変 数 の 間 に 何 の 関 連 も な い と し た と き ， 二 元 分 割 表 の セ ル の 期 待 度 数 が 行 方 向 と 列 方 向 と い う 二 つ の 項 の 和 で 表 現 さ れ る こ と を 意 味 し て い る ， 一 般 に セ ル の 期 待 度 数 の対 数変 換 を い く つ か の項 の 和 で 表 し た モ デ ル を「対 数 線 形 モ デ ル 」と 呼 ぶ 。 し た が っ て ㈲ 式 は 二 つ のカ テ ゴ リ カ ル 変 数 が 独 立 で あ る と き の 対 数 線 形 モ デ ル と い う こ と にな る。

と こ ろ で、 推 定 す る パ ラ メタ ー は 定 数 項 入、 行 変 数k のパ ラ メ タ ー{ λf}、 列 変 数c の パ ラ メ タ ー 所 ｝ と な る が 、Σi λΓ ＝ Σjλf ＝0 と い う 制 約 が あ る た め、I個 あ る 行 変 数k の パ ラ メ タ ー{Xf} （J 個 あ る 列 変 数c の パ ラ メ タ ー ｛λ[｝） の う ち 、1 個 は 他 の パ ラ メ タ ー が 決 定 さ さ れ ば 自 動 的 に 決 ま っ てし ま う と い う 意 味 で 冗 長 な パ ラ メタ ー と な っ て い る。 し た が っ て 独 立 モ デ ル に お け る 冗 長 で な い パ ラ メ タ ー の 数 は1 十（I−D 十（J−1) = I十J −1個 と な る 。9 さ て 、 こ の 独 立 モ デ ル を起 点 と し て 様 々 な 構 造 を 盛 り 込 んだ 対 数 線 形 モ デ ル が 考 え ら れ る 。 本 論 文 で は 二 つ の カ テ ゴ リ カ ル 変 数 が い か に 相 互 作 用 す る か と い う こ と を 「構 造 」 と 定 義 す る 。 そ こ で 旧 式 の 右 辺 に 行 変 数R と 列 変 数c の 連 関 （association） を 表 す 項 ｛λac｝ を 加 え た 式 を

log μij ° λ 十 峠 十λF十 峠C ，i _ -I…,i,i ＝i, …J       （7 ）

と す る。 こ の 項 の 存 在 に よ っ て 、 セ ル の期 待 度 数 の対 数 変 換（lOgUij）に 関 す る 行 （列 ） 変 数 の影 響 が 列 （ 行 ） 変 数 に 依 存 す る こ と を 表 現 で き る。 こ の 新 し く 追 加 さ れ た 項 ｛λlj｝ に 何 ら の 制 約 も 課 さ な い 場 合 、（7）式 は 「飽 和 モ デ ル 」 と呼 ば れ る。 こ の 名 前 は こ の モ デ ル の 予 測 値 が デ ー タ に 完 全 に 当 て は ま る こ と に 由 来 す る（痢 ＝"ij）。10 3 −1 −2 ．対線 形モデル2  ∼ 準独立モデル・対 称モデル ・線形連 関モデル∼ 現実 の対数 線形モデルは、 上記二つ の極端なモデ ルの間 にあ ると考え るのが 自然である。そ こ で 以下 では 飽和モデ ルの右 辺、 特に交 互作用の項 ｛λUC｝ に パラメ ターの数 を少なく する 構造を 組 み 入れ たモデル の中から、 準独立モデ ル、 対称モデ ル、線形 連関モデ ルの三 つを 取り上げて 分割表 の 構造 分析を行う。 その前 にこの三つ のモデルの特 徴を述べてお く11 準 独立モデ ルと対称モデ ルは行 と列 の数が同じ となる分 割表（正方 表） の 分析に用い られる。 準 独立 モデルは 正方表 の対 角要 素のセルにデ ータが集まる 一方、 非対 角要 素のセルでは 行変数R と 列 変数C の間 に何の連関 もない独立な 状況をモデ ル化した ものである。 モデル の式

log μiに λ 十 λΓ 十 λc ＋6il（i ＝j) i ＝l, … ，I,j = l, …I (8)

か ら 明 ら か な よ う に 6il(i ＝i) と い う 項 が 存 在 す る こ と か ら 準 独 立 モ デ ル は 独 立 モ デ ル を 一 般 化 し た モ デ ル と な っ て い る。1( ＝j)は 対 角 要 素 のセ ル(i ＝ i)で1 、 非 対 対 角 要 素 の セ ル でO と な る 指 示 変 数 で あ る 。 こ の 項 の 存 在 に よ っ て 対 角 要 素 の セ ル の 予 測 値 は 現 実 の デ ー タ に 完 全 に 一 致 す る( 9 Agresti[1996]p204 205, Agresti[2002]p316 320. 10  実 際, 飽 和 モ デ ル の 説 明 変 数 の 数( 冗 長 で な い パ ラ メ タ ー の 数) は ひ と つ の定 数 項{ λ}，I −l 個 の 行 方 向 の 項{ λ?} {J −1} 個 の 列 方 向 の 項{ λP}, そ し て 行 方 向 と 列 方 向 の 交 互 作 用 を 表 す(I−1)(J−1)個 の 項{ λい の 合 計IJ個 と な る が， こ れ は 分割 表 の セ ル の 個 数 と 同じ 値 と な っ て い る 。

カ テ ゴリ カル デ ー タ分 析 によ るCompetitive Balance の 測定 爪= "ij）。 しかし そ れ以 外 のセ ルでは 行変 数 と列変数は 独立とな っている。 独立モ デルと比 べてパ ラ メター5i の個 数 （I個）だ け推定 パラメターは 増え るため、 推定式 の自由度はそ の分減少する。 対称 モデルはそ の名 の通りヽ 正方 表の非対角 要素のセ ル に入るデー タの期待度数 が対称性 似,＝Uji ） 持つ状況 をモデル化し たも のである。対 数線形モデ ルでは と 表 現 で き 、

lo 即iに λ 十λΓ 十λF 十 峠C i ＝l, … ，I,j ＝l, …I

λΓ ＝ λFお よび 峠C ＝ 峠C (9) (10) と い う 制 約 が つ く 。 こ の 対 称 性 が 成 立 す る 場 合 、 カ テ ゴ リ ーi か ら カ テ ゴ リ ーj へ 変 化 す る 確 率 が カ テ ゴ リ ーj か ら カ テ ゴ リ ーi へ 変 化 す る 確 率 と 等 し く な る た め 、 二 つ の カ テ ゴ リ カ ル 変 数 の 連 関 が 対 称 的 で 極 め て シ ン プ ル な 形 と な る。 最後 の 線 形 連 関 モ デ ル は 、 カ テ ゴ リ カ ル 変 数 に 順 序 性 が あ る と き に 使 用 す る モ デ ル で あ る 。 例 え ば 、 カ テ ゴ リ カ ル 変 数 とし て 企 業 の 格 付 け を取 り 上 げ た 場 合 、 カ テ ゴ リ ー{AAA, AA, A, BBB, 投 機 対 象｝ に は 明 ら か な 順 序 が あ る 。 同 様 に 、 本 論 文 で 扱 う チ ー ム 順 位 の カ テ ゴ リ ー ｛1,2, …、N} に も 順 序 が 存 在 す る。 こ の よ う な と き 、 変 数 を 順 序 性 の な い 名 義 変 数 と し て 扱 う よ り も 順 序 性 を も っ だ 順 序 変 数 と し た ほ う が モ デ ル の 検 出 力 は 高 ま る 。 12こ の 点 を 考 慮 し た モ デ ル が 線 形 連 関 モ デ ル で あ る。 対 数 線形 モ デ ル に 順 序 性 を 取 り 入 れ る た め に は 、 行変 数 と 列 変 数 の 交 互 作 用 の 部 分 に 行 方 向 と 列 方 向 のそ れ ぞ れ に割 り 振 っ た ス コ ア を 導 入 す る 。 行 方 向 に ス コ ア{u ｝ を、 列 方 向 に ス コ ア ｛Vj｝ を 割 り 振 れ ば、 モ デ ル は lo 即 り ニλ 十λF 十λF 十 βUjVj i ＝l, … 、I, ＝1 パ‥J      （11） と な る 。 た だ し 順 序 性 を 反 映 さ せ る と 同 時 に モ デ ル の 簡 略 性 を 重 視 し て 、 本 論 文 で は ス コ ア を ｛Ui=l} 、U ＝j} ( i ＝1, …,i,i = i,…J） と す る 。

こ の モ デ ル で は 連 関 の 「強 さ」 と 「 方 向 」 が パ ラ メ タ ー 剛こ反 映 さ れ る 。p の 値 が 絶 対 値 で 大 き く な る ほ ど 分 割 表 の セ ル の 度 数 は 独 立 を 仮 定し た 場 合 の 期 待 度 数 と 異 な っ て く る 。 特 に 表 の 角 の部 分 で そ れ が 著 し く な る 。 ま たp が正 の場 合、 行 変 数 の 動 き と 列 変 数 の 動 き は 同 じ 方 向 に 動 く 傾 向 が あ る 一 方 、βが 負 の 場 合 、 行 変 数 の 動 き と 列 変 数 の 動 き は 逆 の 方 向 に 動 く 傾 向 が 存 在 す る こ と に な る 。 以 上 、 分 割 表 を 回 帰 式 と し て モ デ ル 化 す る 対 数 線 形 モ デ ル の う ち 、 独 立 モ デ ル 、 飽 和 モ デ ル 、 準 独 立 モ デ ル 、 対 称 モ デ ル 、 線 形 連 関 モ デ ル の 概 要 を 述 べ た。 そ こ で 、 ス ポ ー ツ リ ー グ にお い て 連 続 し た 二 つ の時 点 の 間で ど の よ う に チ ー ム の 順 位 が 変 動 す る の か 、 そ の 構 造 を 把 握 す る た め 、 次 の 節 で は 各 モ デ ル の 推 定 と モ デ ル の 選 択 を 実 施 す る 。 12 Agresti[2002]p369 229

3 −1 −3 ． 分 割 表 の 構 造 決 定 対 数 線 形 モ デ ル は 一 般 化 線 形 モ デ ル の 特 殊 例 で あ る 。 一 般 化 線 形 モ デ ル とは 、 回 帰 式 の 左 辺 で あ る 「変 量 成 分」、 右 辺 の 説 明 変 数 で あ る 「系 統 的 部 分 」、 そ し て 変 量 部 分 の 期 待 値 と 系 統 的 部 分 を 結 び つ け る 「リ ン ク 」 の3 つ の 構 成 要 素 か ら 成 り 立 っ て い る 回 帰 モ デ ル で あ る 。 こ の モ デ ル は 他 の 多 く の モ デ ル を 包含 す る 一 般 的 な 推 定 式 で あ る こ と が 知 ら れ て い る。 13例 え ば 、 対 数 線 形 モ デ ル は 、 変 量 成 分 の確 率 分 布 と し て ポ ワ ソ ン 分布 を 想 定 し 、 リ ン ク とし て は 対 数 関 数 を 用 い る 一 般 化 線 形 モ デ ル で あ る と 位 置 づ け る こ と が で き る 。 一 般 化 線 形 モ デ ル と 同 様、 対 数 線 形 モ デ ル も 最 尤 法 で 推 定 を 行 う 。 モ デ ル の 構 造 は 、 推 定 し た 対 数 線 形 モ デ ル の適 合 度 検 定 を 通 じ て 決 定 す る。 適 合 度 検 定 と は 、 最 尤 法 に よ る 推 定 結 果 か ら 求 め た 当 て は め 値 痢 と 現 実 の デ ー タ"ijを 比 較 す る こ と で 、 現 実 の デ ー タ に 対 す る モ デ ル の仮 説 の 妥 当 性 を 検 定 す る 手 法 で あ る 。 対 数 線 形 モ デ ル に は 適 合 度 検定 に 関 す る 二 種 類 の 統 計 量 （ ピ ア ソ ン 統 計 量 と 尤 度 比 統 計 量 ） が あ る が 、 本 論 文 で は 後 者 の 尤 度 比 統 計 量 を 用 い て 議 論 す る丿 こ こ で 尤 度 比 （Λ ） と は 、 検 定 し た い モ デ ル （ 仮 説 ） の 下 で の 最 大 尤 度 と そ れ よ り も 制 約 の 緩 い （ ま た は 制 約 の 一 切 な い ） モ デ ル の 最 大 尤 度 を 比 較し た も の であ る 。 A ＝ 制約力頌 されたモデルの最大 尤度 制約叫 雄 ヽ（ない）モデルの最大 七度 (12) 分 割 表 で は 、「制 約 の 緩 い （ ま た は 制 約 の 一 切 な い ） モ デ ル 」 が 現 実 の デ ー タ に 完 全 に 一 致 す る 飽 和 モ デ ル に 相 当し 、「検 定 し た い モ デ ル」 が 独 立 、準 独 立 、対 称 、線 形 連 関 の 各モ デ ル に 相 当 す る 。 検 定 統 計 量 は こ の 尤 度 比 Λ を 対 数 変 換 し ［ −2］ 倍 し た も の と な る 。 こ の操 作 に よ っ て 検 定 統 計 量 は 漸 近 的 に 丿 分 布 に 従 う こ と に な る。 分 布 の 自 由 度 は 制 約 の 緩 い （ ま た は 制 約 の一 切 な い ） モ デ ル の パ ラ メタ ー 数 か ら 検 定 し た い モ デ ル の パ ラ メ タ ー 数 を 引 い た も の と な る 。 分 割 表 のセ ル デ ー タ で 表 現 す れ ば 尤 度 比 に よ る 検 定 統 計 量 は G2 ニ2 Σ_りn,log(笑) (13) となる。 表3 の 第3 列 から 第5 列 はNPB デ ータで 推定し た各 種モデ ル の適合 度に 関する 尤度 比検定統 計 量、 自由度、p 値 をそ れそ れ表し ている。 これ らの数値 によ ると、 全期 間のデ ータ（1958年∼2004 年） およ び 期 間別 （I 期:1958 年∼1974年、H 期:1974 年∼1989年、 Ⅲ期:1989 年 ∼2004年） の すべて において、 独立モ デルは 現実 のデータ に適合し ていない。 した がってNPB データ において 、

13  一 般 化 線 形 モデ ル の 理 論 的 側 面 に つ い て は ，McCulloch and Seale [2001]が 大 変 参 考 に な る 。 14 Agresti[1996]p37 41,pl31 132,Agresti[2002]p22 24,pl39 142, p360 366, Simonoff[2003]p75 78.

カテゴリカルデータ分析によるCompetitive Balance の測定 連 続し た 二 つ の 時 点 の 順 位 変 動 は 互 い に 無 関 係 で は な く 、 あ る 連 関 を 持 っ て い る こ と が わ か る 。 で は そ れ は い か な る 連 関 で あ ろ う か 。 独 立 モ デ ル に 構 造 を 導 入し た モ デ ル の う ち 、 適 合 度 検 定 の 観 点 か ら 現 実 のデ ー タ に 適 合 し て い る と い え る モ デ ル は 、 線 形 連 関 モ デ ル と 対 称 モ デ ル の二 つ と な っ た 。 で は こ の二 つ の モ デ ル のう ち 、 ど ち ら が よ りNPB デ ー タ の 分 割 表 に 適 合 し て い る の だ ろ う か。 残 念 な が ら 線 形 連 関 モ デ ル と 対 称 モ デ ル は 互 い に 「入 れ 子 の 構 造 」 に な っ て い な い た め 、 先 は ど の 尤 度 比検 定 が 使 え な い。 そ こ で 本 論 文 で はAIC （ 赤 池 の 情 報 量 基 準 ） で こ の 二 つ の モ デ ル の 選 択 を 行 っ た 。AIC を 表 す(14）式 の 右 辺 第1 項 は モ デ ル の 当 て は ま り 度 、 第2 項 は そ れ を 達 成 す る た め の コ スト を 意 味 し て い る 。 AICは よ り 少 な い 説 明 変 数 で デ ー タ へ の モ デ ル の 適 合 性 を 最 大 限 高 め る モ デ ル を 探 し 出 す こ と を 目 的 とし て お り 、 入 れ 子 の構 造 に な っ て い な い モ デ ル 同 士 の 選 択 を 可 能 と す る。 し た が っ て デ ー タ へ の 適 合 が 良 く て も 、 説 明 変 数 が 多 く な り 自 由 度 を 多 く 「消 費」 す る モ デ ル は 望 ま し い モ デ ル と は な らな い。 モ デ ル の 比 較 で は、 こ のAIC が 最 も 小 さ い モ デ ル を 選 択 す る グ AIC ＝ −2(モデルの 最大 対数 尤度)＋2( パラメタづ 数) (14) 表3 の 第7 列 に あ るAIC の 値 か ら 、 セ ・ リ ー グ は対 称 モ デ ル に 、 パ ・ リ ー グ は 線 形 連 関 モ デ ル に よ り 適 合 す る こ と が わ か る 。 し た が っ て 対 称 モ デ ル が 合 致 す る セ ・リ ー グ で は 、 連 続 し た 二 つ の時 点 の順 位 変 動 が 対 称 的 に動 く 構 造 と な っ て い る。 つ ま り こ れ は、 あ る シ ー ズ ン に5 位 だ っ た チ ー ム が 翌 年 に3 位 に 上 昇 す る 確 率 が 、 あ る シ ー ズ ン に3 位 だ っ た チ ー ム が 翌 年 に5 位 に 転 落 す る確 率 と 同 じ と な り、 リ ー グ 内 の順 位 変 動 が シ ン プ ル に把 握 で き る こ と 意 味 し て い る 。 一 方 パ・ リ ー グ で は 、1958 年 ∼1974 年 の 期 間 を除 い て 線 形 連 関 モ デ ル が デ ー タ に 良 く 当 て は まっ て い る 。 そ し て 、 こ の モ デ ル にお け る 交 互 作 用 の パ ラ メ タ ーβと そ の 標 準 誤 差 の 値 は 全 期 間 の 場 合 で0.214 （0.029）、1958 年 ∼1974 年 で0.196 （0.046）、1974 年 ∼1989 年 で0.196 （0.046）、1989 年 ∼2004 年 で0.273 （0.056） と い ず れ も 正 と な っ て い る。 し た が っ て こ の 期 間 の パ ・ リ ー グ で は 、 スコ ア ｛u ｝ と ｛v ｝ が と も に 大 き く な る か と も に 小 さ く な る と き セ ル の 期 待 度 数 は 大 き く な る と 予 想 で き る 。 換 言 す れ ば 、 分 割 表 の 左 上 と 右 下 の セ ル に多 く の デ ー タ が 集 ま る 傾 向 が あ る と い え る 。 本 分 析 の 分 割 表 が 連 続 し た 二 つ の 時 点 に お け る 順 位 の 変 動 を 記 録 し た も の で あ る こ と を 想 起 す れ ば 、 こ の 事 実 は 、 パ ・リ ー グ に お け るト ッ プ チ ー ム と ボト ム チ ー ム の 順 位 変 動 に 「 粘 着 性 」 ま た は 「固 定 性」 が あ る こ と を 示 唆 し て い る と い え る。 以 上 の結 果 か ら、i ） セ ・ パ 両 リ ー グ と も に 、 あ る シ ー ズ ン の 順 位 が 前 期 の シ ー ズ ン の 順 位 に影 響 を 受 け る か た ち で 順 位 変 動 が 起 こ る 、0 セ ・ リ ー グ で は そ の 順 位 変 動 が 対 称 的 に 起 こ る の に対 し 、パ・リ ー グで は 上 位 と 下 位 の順 位変 動 に 固 定 性 が あ る こ と が 判 明し た 。こ れ は パ・リ ー グ が セ・ 15 Simonoff[2003]p45 ヽ46, pl30 132. 231

リ ーグ よ り もCB のレ ベ ル が 低 い こ と を 意 味し て い る と 考 え ら れ る。 こ の 点 を さ ら に 追 及 す る た め、 次 節 以 降 で は 存 在 が 確 認 さ れ た 連 関 の構 造 を 要 約 す る 指 標 を 取 り 上げ た 分 析 を 試 み る 。 表3  対 数 線 形 モ デ ル の 構 造 決 定 ： 日 本 野 球 機 構 （NPB ） a）1958 年 ∼2004 年 セ ・ リ ー グ パ ・ リ ー グ 標 本 数 b）1958 年 ∼1974 年 セ ・ リ ー グ パ・リ ー グ 標 本数 c ）1974 年 ∼1989 年 セ ・ リ ー グ パ ・ リ ー グ 標 本 数 独 立 準 独立 対 称 線形 連関 飽 和 独 立 準独 立 対 称 線形 連関276 独立 準独 立 対 称 線形 連関 飽 和 独 立 準独 立 対 称 線形 連関96 67.53 67.53 45.83 7.65 29.84 103.85 103.85 60.41 11.05 26.96 54.21 54.21 27.42 7.05 37,21 56.62 56.62 32.84 14.82 33.22 35 5954 9 乙Iln 乙 35 r o   < y i     L i r : )     -^ C M ︱ I . ︱ I C M L O L O e n L O -^ 3 n 乙 I I り 乙 5 5 9 5 4 3 c ＾ a T ︱ (     I ︱ I     C O く0.0001 0.001 0.937 0.190 ＜0.0001 く0.0001 0.749 0.306 0.001 0.095 0.956 0.042 <0.001 0.025 0.465 0.099 -955.3 -989.1 -978.2 -959.1 -970.2 -937.1 -989.1 -967.3 -942.7 -950.6 -316.9 -344.0 -330.6 -321.2 -335.5 -315.7 -344.0 -332.1 -323.1 -332.3 1982.6 2000.1 1990.4 1960.2 1964.4 0.137 1946.3 2000.1 1968.7 1927.3 1925.2 0.214 705.8 710.0 695.2 684.4 695.0 0.160 703.4 710.0 698.3 688.2 688.6 0.196 ).024 0.029 0.043 0.046 飽 和 独 立 準独立 対称 線形 連関 飽 和 独 立 準独立 対 称 線形 連関96 51.41 51.41 41.49 15.95 40.84 52.12 52.12 36.78 10.21 Zo./o L O     L O     c y : i     L O   " ＾ C O C < 1 1 -I 1 -I C ＼ l 5 5 9 5 4 3 < N 1 1 -＼ ^ ︱ I C S J 0.001 0.002 0.385 0.017 0.001 0.008 0.806 0.231 -301.4 -344.0 -339.1 -326.3 -338.7 -301.1 -344.0 -336.3 -323.1 -325.4 674.9 710.0 712.1 694.6 701.5 0.121  0.040 674.2 710.0 706.7 688.1 674.7 0.196  0.046

d）1989年∼2004年 セ ・リ ーグ パ ・ リ ー グ 標 本 数 カテ ゴ リ カ ルデ ー タ 分 析に よるCompetitive Balance の 測定 表3  対 数 線 形 モ デ ル の 構 造 決定 ： 日 本 野 球 機 構 （NPB ） つ づ き 飽和 独立 準 独立 対称 線形連関 飽和 独立 準独 立 対 称 線形連関96 49.41 49.41 34.53 9.70 33.96 57.80 57.80 44.08 10.94 20.48 5 5 9 5 4 3 9 J I ︱ I r -H C M 55954 3CSl ^H I ︱I CVl デ ータ：日本野球 機構 http://www.npb.orjp/ 注）G^: 各モ デル の適合度に関する 尤度比検定統 計量df: 尤度 比検定統 計量 の自由度 p値： 尤度比検定統 計量 の確率 値 AIC : 赤池 の情報量 基準 か：線形連 関モ デル の交差 項のパラ メタ ー s-re（ め:a の標準誤差。 0.003 0.016 0.838 0.085 く0.001 ＜0.001 0.757 0.669 -264.7 -344.0 -336.6 -324.2 -336.3 -295.6 -344.0 -337.2 -320.6 -325.4 601.4 710.0 707.2 690.3 696.6 0.151  0.042 663.2 710.0 708.3 683.2 674.7 0.273  0.056 3 −4. オ ッ ズ 比 に よ るCompetitive Balance の 測 定 ま ず 分 割 表 の 連 関 性 を 表 現 す る 指 標 の 一 つ で あ る 「 オ ッ ズ 比 」 を 用 い た 分 析 を 行 う 。 16オ ッ ズ 比 と は 、 あ る 事 象 が 起 こ る 確 率 と 起 こ ら な い 確 率 の 比 を 意 味 す る 「 オ ッ ズ 」 か ら 構 成 さ れ て い る 。 例 え ば 、 あ る シ ー ズ ン に あ る チ ー ム が 優 勝 す る 確 率 を0.6 と す れ ば 、 そ の チ ー ム が そ れ 以 外 の 順 位 と な る 確 率 は0.4 と な る の で 、 こ の チ ー ム の 優 勝 の オ ッ ズ は0.6/0.4 ＝1.5 と な る 。 こ の オ ッ ズ を 行 と 列 の あ る 分 割 表 に 当 て は め た の が オ ッ ズ 比 で あ る 。 よ り 詳 し く 述 べ る と 次 の よ う に な る 。 行 方 向 の カ テ ゴ リ カ ル 変 数R がi と い う カ テ ゴ リ ー で あ る と き 、 列 方 向 の カ テ ゴ リ カ ル 変 数C が1 で な くk で あ る 確 率 は 、 条 件 付 き 確 率 の 定 義 か ら P

（C=k￨R=i ）_ ・"^ik:/゛i＋_ !血       （15）p （C=l￨R=i） ''^n/πi十  πil と な る 。 オ ッ ズ の 定 義 よ り 、 こ れ は 行 方 向 の 変 数R の カ テ ゴ リ ー をi と 定 め た と き 、 列 方 向 の 変 数C に お け る カ テ ゴ リ ー1 に 対 す る カ テ ゴ リ ーk の オ ッ ズ に 相 当 す る 。 同 様 に し て 、 行 方 向 の 変 数R の カ テ ゴ リ ー をj と 定 め た と き 、 列 方 向 の 変 数C に お け る カ テ ゴ リ ー1 に 対 す る カ テ ゴ リ ーk の オ ッ ズ は P(Cニk￨R=j）_ TIj（/゛j+ エ 包!       （16）P （C=I￨R=i） "ji/π卜  Ttjl

16 Agresti[1996]p29 33,p206,p252, Agresd[2002]p44, p54 56, p315 316, p369, Simono 汀[2003]p203 208 ，p248.

と な る 。 こ の二 つ の オ ッ ズ の 比 を 取 っ た も の が オ ッ ズ 比 --と 呼 ば れ る も の で あ る。 例 え ば，i ＝l,j ＝6,k ＝l,l = 6の --と き の オ ッ ズ 比 e ＝■tll/TてlS 'til ×π66 一 一-π6l／π66  πl6×Ttei (17) (18) が 「3 」 である とする。 この3 という 値は、 行変 数R のカ テゴリ ーが6 で なく1 である とき、 列 変 数C のカ テゴリー が6 でなく1 となる 確率が、1 で なく6 とな る確 率の3 倍であ ることを 意味 し て い る。本論 文の文脈で考 えると、 このオ ッズ比が3 であ ることは、 あるシ ーズンにある チーム が6 位で なく1 イ立になる確率 は、 前年 の順位 が6 位であっ たよ りも1 位 であった ほうが3 倍高いと いう ことを意 味すること にな る。 この オッズ比Oは取 りだし た四 つのセ ルの連 関性と関 係があ る。 もし カテ ゴリー変 数が 独立 の構 造で あれば、 列変数 の確 率は行変 数の確率 に依存しな いので、す べての行 の確率は同じ となる。 し た がって オッズ比0の値は1 とな る。こ の1 を境 に オッズ 比Oが1 よ り大きい ならば、 取り出 した 二つ のカテ ゴリカル変 数R とC の間に正 の連関があ り、1 より 小さくO よ り大きけ れば負 の連関 が ある ことにな る。 オッズ比 の推 定は式（17）に観測 データを 挿入した a _ "ik/"il _ "ik>'n)lnjk かji "ii ゛nik (19)

とな る。 た だ、 オ ッ ズ 比O は 正 の 連 関 構 造 の 場 合 （1 くe ＜oo） と 負 の 連 関 構 造 の 場 合 （O ＜0く1 ） で 値 の 範 囲 が著 し く 非 対 称 と な っ て 標 本 分 布 に 歪 み が 生じ て く る 。 そ こ で 、 標 準 誤 差 や 信 頼 区 間 の 算 出 に は 対 数 変 換し た 対 数 オ ッ ズ比log（e）を 使 用 す る の が 慣 例 と な っ て い る 。 対 数 変 換 さ れ た オ ッ ズ 比 の 標 準 誤差 は 漸 近 的 に

n

・(1

・副 ＝

ぶと三 万三 子 ペ デ"ik

"il "jk nji

圖 とな る の で 、 オ ッ ズ 比0 の95 ％ の 信 頼 区 間 は、 ま ず 対 数 オ ッ ズ 比iog（ θ）の 信 頼 区 間

log 白土1.96 ・sre.（ioge ）      （21)

を 求 め て か ら、 そ れ を 改 めて 指 数 関 数 で 逆 変 換す る こ と で 導 出 で き る 。 17 そ こ で 次 に モ デ ル によ っ て 当 て は め ら れ た デ ー タ か ら オ ッ ズ 比 を 算 出 し 、 セ ・ パ 両 リ ー グ のCB を 分 析 す る 。 た だし 、 こ こ で は 線 形 連 関 モ デ ル か ら 算 出し た オ ッ ズ 比 に よ っ て 両 リ ー グ の 競 争 構 造 を 考 察 す る 。 第3 章3 節 で 対 数 線 形 モ デ ル を 用 い リ ー グ 順 位 変 動 に 関 す る 連 関 構 造 を 決 定 し た 際 、 セ ・ リ ー グ につ い て は 対 称 モ デ ル が、 パ ・ リ ー グ に つ い て は 線 形 連 関 モ デ ル が デ ー タ に 当 て は ま る とい う 結 果 を導 き 出 し た 。 し た が っ て 本 来 な ら ば 、 セ ・ リ ー グに 関 し て はAIC 基 準 によ っ て 選 択 し た 対 称 モ デ ル か ら オ ッ ズ 比 を 算 出 す る べ き で あ る が 、 原 デ ー タ に 存 在す る 「度 数 ゼ ロ の セ ル 」 の 影 17 Agresti[1996]p32,Agresti[2002]p70 71, Simonoff[2003]p237

カテゴリカルデータ分析によるCompetitive Balance の測定

響で オ ッ ズ 比 が 計 算 で き な い 状 況 を 避 け る た め， 線 形 連 関 モ デ ル に よ っ て オ ッ ズ 比 を 求 め る こ と に し た18

線 形 連 関 モ デ ル の場 合，a 行 とC 行 ，b 行 とd 行 の4 つ の セ ル((a,b), (a,d), (c,b), (c,d))か ら 計 算 し

た オ ッ ズ 比 は 暗 ＝ 景 恋 ＝exp[S(U 。−U 。)[Vb − Vd]] (22) と表 現でき る。 19こ の式 か らも明 らかなよ う に、 線形 連関 モデ ルにお ける オッ ズ比は スコ アの差が 大きい ほど、そ して 連関 のパラメ ターpが絶 対値で大 きいほ ど、独立 モデ ルで 想定 される オッズ比1 から乖 離していく 構造となる。 6 行6 列 の正方表 の中で、 本論 文では以 下の組み合 わせ のオッズ 比に注目し た。

岨

爾

-- 一応 応

屈 らHllM33＝exp [p(ui − u,)[Vl − V2]]:(1 −2)

＝ 脇 孚 ＝exp[P(Ul − U3)[Vi − V3]]:(1−3)

fill づ 謙 と ＝exp[P(Ul − u.)[Vl − V4]]:(1 −4)

岨 ＝ 謡謡 ＝-p^"^ − Us)[Vl - Vg]]:(1 −5)all ＝ 謡謡6 _[P(Ui - Ug)[Vl − Ve]]:(1 −6) 祀 ＝^{31と= exp[P(U3 − U。)[Vs − V4]]:(3 −4) q33 _ 恋 恋 ＝ ＼fj( − Ue)[Vs − Ve]](3 −6) C O -T f C V l ( T O To" "to " c ＜i csi j   j 7     8 2     2 ぐ   く (29) (23)式 か ら(27)式 の オ ッ ズ比 は リ ー グ にお け る 優 勝 の 難 し さ を 時 点 間 の 順 位 変 動 か ら 測 っ た も ので あ る 。(27)式 の 意 味 は(18)式 と 同 じ で 、 あ る シ ー ズ ン に6 位 で な く 優 勝 し た 場 合 、 翌 年 の シ ー ズ ン で6 位 で な く 優 勝 す る 確 率 が 何 倍 で あ る か を 測 っ た も の で あ る 。 こ の 値 が 大 き け れ ば 大 き い ほど 、6 位 か ら 優 勝 を す る 可 能 性 は 小 さ く な る。 他 の 順 位 か ら の オ ッ ズ 比 に 関 し て も 同 様 な 解 釈 が 成 り 立 つ 。(28) 式 と(29)式 は 「B ク ラ ス 」 か ら 「A ク ラ ス 」へ の飛 躍 の 可 能 性 を 測 っ た も の と い え る 。 以 上か ら、オッ ズ 比 が 小さ い リ ー グ ほ どCB が 高 い 水 準 で あ る と判 断 で き る 。 線 形 連 関 モ デ ル を も と に 上 記 の組 み 合 わ せ で オ ッ ズ 比 を 算 出 し だ の が 表4 で あ る。 表4 のa) は 18  度 数 が ゼ ロ と な っ た 場 合 に対 す る 修 正 の 方 法 も 存 在 す る が(Agresti[1996] 、p33) 、 こ れ に よ っ て も オ ッ ズ 比 が 不 自 然 に 大 き く な る こ と を 避 け ら れ な い 。1958 年 ∼1974 年 の セ ・ リ ー グ の 場 合 を 除 い て 二 つ の モ デ ル のAIC の 差 が そ れ ほど 大 きく な い こ と を考 慮 し て 、 本 論 文で は 共 通 の モ デ ル か ら オ ッ ズ 比 を 算 出 す る こ と に し た 。 19 (19)式 と 表 記 が 若 干 異 な る が 、 比 較 し て い る セ ル を は っ き り さ せ る た め 、 あ え て(22)式 の よ う な 添 え 宇 をつ け た 。 235

全 期 間 （1958 年 ∼2004 年 ） に わ た る オ ッ ズ 比 の 結 果 で あ る 。 セ ・ パ 両 リ ー グ と も オ ッ ズ 比 の 値 は1 を 上 回 っ て い る こ と か ら 、 連 続し た 二 つ の 時 点 の 順 位 変 動 に 連 関 か あ る こ と が 再 度 確 認 で き る （ 表4 第2 列 、 第5 列 ）。 ま た 線 形 連 関 モ デ ル を も と に し て い る ので 、 比 較対 象 と な る 順 位 の 組 み 合 わせ が 離 れ る に 従 っ て オ ッ ズ 比 は 大 き く な っ て い る の が 見 て と れ る 。 セ ・ リ ー グ の 場 合 、2 位 に 対 す る 優 勝 の オ ッ ズ 比 は1.15倍 で あ る の に 対 し 、6 位 に 対 す る 優 勝 の オ ッ ズ 比 は30.8倍 に 上 昇し 、 下 位 に い る チ ー ム ほ ど 優 勝 す る こ と が 難 し い 状 況 が は っ き り と 表 れ て い る。B ク ラ ス か らA ク ラ ス へ の 順 位 変 動 の オ ッ ズ 比で あ る 組 み 合 わ せ （3−4 ） と （3−6 ） の 値 の 比 較 に 関 し て も 、 前 者 よ り も 後 者 で そ の 値 が 大 き い こ と か ら 、B ク ラ ス の 下 位 か らA ク ラ ス へ の ス テ ッ プ ア ッ プ が 容 易で な い こ と が わ か る 。 以 上 の傾 向 は パ ・ リ ー グに お い て も 同 様 で あ る 。 問 題 は 、 セ ・ リ ー グ と パ ・ リ ー グに お け る オ ッ ズ 比 の 大 小 関 係で あ る 。 セ ・ リ ー グ の オ ッ ズ 比 と パ ・ リ ー グ の オ ッ ズ 比 の 比 率 （ パ のオ ッ ズ 比 ／ セ のオ ッ ズ 比 ） を 計 算 し た 第8 列 の数 値 か ら 、 分 析 対 象 と し た1958 年 ∼2004 年 にお け る す べ て の 順 位 の 組 み 合 わ せ に 関 し 、 パ ・ リ ー グ の オ ッ ズ 比 は セ ・ リ ー グ の オ ッ ズ 比 を 上 回 っ て い る こ と が わ か る 。 優 勝 と2 位 の オ ッ ズ 比 の 比 較 で は、 セ と パ の 差 は10 ％ 程 度 で あ る の に 対 し 、 順 位 の 間 隔 が ひ ら く に 従っ て こ の 比 率 は 大 き く な り 、 優 勝 と6 位 の オ ッ ズ 比 で は パ ・リ ー グ は セ ・ リ ー グ の7 倍 近 い 値 と なっ て い る。 こ の こ と か ら 、 順 位 変 動 と い う 視点 で リ ー グ のcB を 測 定 し た 場 合 、1958 年 ∼2004 年 の 期 間 で は セ ・ リ ー グ のcB の ほ う が パ ・ リ ー グ のcB よ り も 高 い 水 準 に あ っ た こ と が わ か る 。 次 に こ の 傾 向 が ど のよ う に 変 化 し て い る か を 分 析 す る た め 、 観 測 期 間 を 三 つ の 部 分 期 間 （I 期:1958 年 ∼1974 年 、H 期:1974 年 ∼1989 年 、 Ⅲ 期:1989 年 ∼2004 年 ） に 分 け て オ ッ ズ 比 を 算 出 し た も の が 表4 のb ） ∼d ） で あ る 。 表 か ら は 期 間 の 推 移 に 従 っ て セ ・ リ ー グ と パ ・ リ ー グ の オ ッ ズ 比 の 比 率 が 高 ま っ て い く こ と が 見 て と れ る 。 特 に （1−4）、（1−5）、（1 −6） と い う 順 位 の 組 み 合 わ せ に お い て そ の 傾 向 が 明 ら か と な っ て い る 。 例 え ば、（1−5 ） の 場 合 、 両 リ ー グ の オ ッ ズ 比 の 比 率 はI 期1.8倍 、n 期2.8倍、 Ⅲ 期7.1倍 と 着 実 に 増 加 し て い る （ 表4 第8 列 ）。 原 因 は セ ・ リ ー グ の オ ッ ズ 比 がI 期 か ら 皿期 に か け て 低 下 し 、 そ の後H 期 か ら Ⅲ 期 に か け て 再 び 上 昇 し た の に 対 し 、I 期 ・H 期 と 高 い 水 準 で 安 定し て い た パ ・リ ー グ の オ ッ ズ 比 が Ⅲ 期 に 大 き く 跳 ね 上 が っ た こ と に あ る 。 以 上、順位 変 動 の オ ッ ズ 比 に よ っ てNPB のcB を 測 定 し た 。 結 果 を ま と め る と 以 下 のよ う に な る 。i ） ノ1 ・リ ー グ と 比 較し て セ ・リ ー グ は 高 いcB を 達 成 し て い て 、 こ の 傾 向 は 年 々 強 く なっ て い る 、ii ） セ ・ リ ー グ のcB はI 期 （1958 年 ∼1974 年 ） か らn 期 （1974 年 ∼1989 年 ） に か け て 大 き く 改 善 し た が 、 Ⅲ 期 （1989 年 ∼2004 年 ） に な っ て 再 び 悪 化 の 傾 向 に あ る、iii）ノド リ ー ブ のcB はI 期 ・n 期 と も に セ ・ リ ー グ よ り 低 い 水 準 にあ り 、n 期 に は さ ら に悪 化し て い る。

カ テ ゴリ カ ル デ ー タ分 析 によ るCompetitive Balance の測 定 表4  対 数 線 形 モ デ ル （線 形 連 関 モ デ ル ） か ら 算 出 し た オ ッ ズ 比 ： 日 本 野 球 機 構 （NPB ）1958 年 ∼2004 年 ＊ _{オ ッ ズ比} セ ・ リ ー グ 区 間 推 定 値 オ ッ ズ 比 ② パ ・ リ ー グ 区 間 推 定 値 下 限    上 限 a)1958 年 ∼2004年(1-2) (1-3) (1-4) (1-5) (1-6) (3-4) (3-6) b)1958 年∼1974年(1-2) (1-3) (1-4) (1-5) (1-6) (3-4) (3-6) c)1974 年∼1989年(1-2) (1-3) (1-4) (1-5) (1-6) (3-4) (3-6) d)1989 年∼2004年(1-2) (1-3) (1-4) (1-5) (1-6) (3-4) 1.15 1.73 3.43 8.96 30.77 1.15 3.43 1.17 1.90 4.22 12.95 54.66 1.17 4.22 1.14 1.69 3.26 8 26 1 2 15 55 14 97 1.16 1.83 3.89 11.21 43.63 1.16 3.89 0.36 0.48 0.83 1.79 4.68 0.29 0.83 0.17 0.22 0.37 0.74 1.64 0.12 0.37 0.15 0.19 0.30 0.57 1.30 0.11 0.27 0.17 0.21 0.34 0.68 1.49 0.11 0.34 3.66 6.26 14.28 44.79 202.5 4.54 14.28 8.06 16.50 48.81 225.0 1817.3 11.83 48.81 8.43 15.17 35.87 115.70 540.7 11.90 32.76 8.11 16.01 44.43 184.81 1275.9 11.82 44.43 1.24 2.36 6.88 30.83 212.1 1.24 6.88 1.22 2.19 5.83 22.95 133.8 1.22 5.83 1.22 2.19 5.83 22.95 133.8 1.22 5.83 1.31 2.98 11.70 79.22 926.7 1.31 11.70 0.42 0.67 1.53 4.55 15.00 0.33 1.53 0.19 0.26 0.47 1.04 2.19 0.13 0.47 0.19 0.26 0.47 1.04 2.19 0.13 0.47 0.22 0.36 0.79 1.73 2.12 0.15 0.79 3.69 8.31 30.90 208.9 2998.5 4.69 30.90 7.91 18.67 71.65 508.3 8163.7 11.83 71.65 7.91 18.67 71.65 508.3 8163.6 11.83 71.65 7.86 25.00 173.5 3625.7 405774.1 11.81 173.5 1.1 1.4 2.0 3.4 6.9 1.1 2.0 0248404 一  一  一 I I  一  −1111211 1 3 8 8 0 1 0 一   −   I   一   −   I   1 1 1 1 2 5 1 n 乙 1601210 I  一  一  一  一  一  一11371132 デ ー タ ： 日本 野 球 機 構 http://www.npb.orjp/

注 ）＊（i-j）:i行i列n, i行丿列. j 行i列. j 行丿列 の 四 つ の セ ル か ら 算 出 さ れ る オ ッ ズ 比 の 組 み 合 わ せ 。

3 −5. 一 致 係 数 に よ るCompetitive Balance の 測 定

前 節 で は 分 割 表 の オ ッ ズ 比 か ら チ ー ム の 「順 位 変 動 の 可 能 性 」 を み る こ と で リ ー グ のCB を 測 定 し た 。 本 節で は リ ー グ 内 の チ ー ム 順 位 に 関 す る 時 点 間 の 「固 定 性 」 と い う 、 い わ ば 逆 の 視 点 か ら

CB の測定 を行う。 分割 表による 分析では、 行と列 のそ れぞれ のカテゴリー がどの程度 「一致」 するかを検証し たい こと がし ばしば ある。例えば 病気 の診断や議案 に対する態 度表明など について、 二人の評価 が ど の 程度一 致する のかを測定する といっ た分析など がこれに該 当する。 こ のよ うな 状況に対して 第3 章2 節以 降で行っ たよ うな連関 の有無 とい う視点 からの分析 のみでは一致 がある か否かを判断す るこ とはで きない。 こうした とき には、 行 と列のカテ ゴリー の一 致度合を 測定 する 「Cohen の 削 と呼 ばれる 統 計量を利 用すると 状況 の把握 に役立つ。20こ の 削 ま分割表 の対 角要素 に全デー タのど れだ けが入る のかを表 わし たも のである。よ り詳しく 述べれば、行 と列が互い に独立で あると想定 し た 場合に対 角要 素に入ると期待さ れる度数 と比べ、実 際のデ ータ がどの程度 対角 要素に収まるか を要 約した統 計量である といえる。 圖 式が だの定義であ る。こ の式の分子は （対角 要素の同時確率 の総和） −（行と 列が独立で ある もとで の対 角要 素の同時 確率 の総和）であ るのに対し 、分母は 最大レベル の一致が実 現し たと き に この統 計量が 「1 」 とな るよう 調整を施し た項となっ ている。

＿ Σ!=iTtii- Σi=i πi.Tて.iK −  1 −Σi=iT[i.TI.i (30) 分 子 がO で あ る と/c = 0 と な り 、 こ の 状 況 で は 分 割 表 の 行 と 列 の 一 致 度 合 は 偶 然 の 域 を 出 な い 水 準 で あ る と 判 断 さ れ る。 こ れ に 対 し, K がO か ら 大 き く な る に つ れ て 行 と 列 の 一 致 度 合 は 偶 然 以 上 の 強 さ で 存 在 す る と判 断 さ れ る こ と に な る 。 K = 0 （ 分 割 表 に お け る 行 と 列 の 一 致 度 合 が 偶 然 の 域 を 出 な い 状 況） で あ る と い う 仮 説 の 検 定 統 計量 は 、 標 準 誤 差seo（ 幻

seo( 幻 っ1- ΣにTti.Ui)VΣi=i瓦 双け( Σ1=1 皿。皿,)2 ￣Σに ゛i皿i (Tti,十゛.i)      ㈲

を組 み 入 れ た

z = ≒       (32)se(K

を 用 い る 。 また π＝0 の仮 説 検 定 と は 別 に 、 一 致 係 数 尺の 区 間 推 定 に用 い る 標 準 誤 差 は

se(幻 ニ(1づこ とi)

而       (33)A

＝ Σi=l "rtii[1 −(Tli.十7I.i)[1− 幻]2

B = (1 − 幻2 ΣiΣjπij (tIj.十町ず

C ＝[1(−(ΣL1 πiJI.i)[1−K ]2

と な る。 標 本 デ ー タ か ら 一致 係 数 を 求 め る に は 、(30)式 の確 率 の 部 分 に デ ー タ か ら 求 め た 頻 度 を 代 入

す れ ば よ い 。 標 本 デ ー タ か ら の 一 致 係 数 は;ミと 記 す( 標 準 誤 差 に つ いて も 同 様) 。

本 節で は こ の 一 致 係 数 の考 え を ス ポ ー ツ リ ー グ の 分 析 に 適 用 す る 。 順 位 変 動 が 収 め ら れ た 分 割 表

カテゴリカルデータ分析によるCompetitive Balance の測定 （正 方 表 ） の 対 角 要 素 に デ ー タ が 多 く 入 れ ば 入 る ほ ど 時 点 間 の 順 位 変 動 は 小 さ く な り、 逆 に 非 対 角 要 素 に デ ー タ が 散 ら ば る ほ ど 、 そ の デ ー タ を 生 み 出 し た り ー グ の 順 位 変 動 は 大 き く な る と 予 想 でき る 。 し た が っ て 、 あ る リ ー グ の デ ー タ か ら 計 算 し た 疋が1 に 近 い ほ ど 時 点 間 の 順 位 変 動 は 少 な く 、 そ の リ ー グ のCB が 低 水 準 で あ る と 推 察 で き る。 こ れ に対 し 、g がO に 近 い 値 で あ れ ば そ の リ ー グ のCB は 高 水 準 で あ る と 考 え ら れ る。 前 節 と の つ な が り を 重 視し 、 こ こで は 線 形 連 関 モ デ ル の当 て は め 値 か ら 一 致 係 数 尺を 求 め た。 表5 は そ の 算 出 結 果 を 示 し た も の で あ る。 全 期 間（1958 年 ∼2004 年 ） を対 象 と し た 場 合 （表5 a）,セ ・ リ ー グ の 一 致 係 数 が0.083 （標 準 誤 差0.027） で あ る の に 対 し 、 パ ・ リ ー グ の そ れ は0.125 （標 準 誤 差0.027 ） と な っ て お り 、 パ ・リ ー グ の ほ う が 順 位 の 固 定 性 が 強 い こ と が 見 て と れ る。 一 致 係 数 ぶがO で あ る と い う 帰 無 仮 説は セ ・ パ 両 リ ー グ と も5 ％ の 有 意 水 準 で 棄 却 で き て お り、 区 間 推 定 もO を 含 んで い な い 。 こ の 結 果 か ら 、1958 年 か ら2004 年 に か け て セ ・ パ 両 リ ー グ と も 偶 然 の 一 致 以 上 に 順 位 変 動 に 固 定 性 が あ る こ と が わ か っ た 。 た だ し 、 セ ・ リ ー グ の ほ う が パ ・ リ ー グ よ り も 順 位 の 固 定 性 が な く 、 変 動 が よ り 起 こ り 得 る （ノ°・ リ ー ブ と 比 べ 相 対 的 にCB が 高 い ） リ ー グで あ っ た こ と が わ か る 。 こ れ ら の点 は 前 節 の オ ッ ズ比 に よ るCB 測 定 と 同 じ 傾 向 と な っ て い る 。 表5 のb ） ∼d ） は、 前 節 と 同 様 に 、デ ー タ の 観 測 期 間 （1958 年 ∼2004 年 ） を 三 つ の 部 分 期 間 （I 期:1958 年 ∼1974 年 、H 期:1974 年 ∼1989 年、 Ⅲ 期:1989 年 ∼2004 年 ） に 分 割 し た 上 で 一 致 係 数 の推 定 を 行 っ た 結 果 で あ る 。 三 つ の 期 間 に わ た る 一 致 係 数x の動 き は 前 節 の オ ッ ズ 比 と 同 じ 傾 向 を 示 し て い る 。 セ ・ リ ー グ で は 、I 期 か らH 期 に か け て 一致 係 数 が 低 下 し た も の の、H 期 か ら Ⅲ 期 に か け て は 再 び 上 昇 し て い る 。 つ ま り 、 セ ・ リ ー グ に お け るCB はI 期 か らH 期 に か け て 改 善 が 見 ら れ た も の の、H 期 か らm 期 に か け て 再 び 悪 化 し て い た こ と が わ か る。 特 にH 期 に お い て は 、 一 致 係 数 が ゼ ロ で あ る と い う 仮 説 を 棄 却で き て い な い。 し た がっ て 、 こ の 時 期 の 連 続 し た 二 つ の シ ー ズン で 順 位 が 同 じ と な っ た 事 象 は 偶 然 の 一 致 の 域 を 出 な い も の で あ っ た と い え る 。 こ の 意 味 で1974 年 か ら1989 年 にお け る セ ・ リ ー グ のCB は 大 変 高 い 水 準 に あ っ た こ と が わ か る。 一 方 パ ・リ ー グ で は 、I 期、n 期 と セ ・ リ ー グ を 上 回 る 一 致 係 数 の 水 準 が 続 き, n 期 に お い て さ ら に そ の 値 が 上 昇 す る 結 果 と な っ て い る 。 す な わ ち パ ・ リ ー グ は セ ・ リ ー グ よ り も 一 貫し てCB の 水 準 が 低 く 、1990 年 代 以 降 は さ ら に 悪 化 し て い る こ と が 判 明 し た 。 以 上、 カ テ ゴ リ カ ル デ ー タ・ア プ ロ ー チ の観 点 か ら オ ッ ズ 比O と 一 致 係 数 んを 用 いて セ・パ 両 リ ー グ のCB を測 定 し た。 改 め て 結 果 を ま と め る と 以 下 のよ う に な る 。 i ) ノ° ・ リ ー ブ と 比 ベ セ ・ リ ー グ のCB の 水 準 は 高 く 、 リ ー グ 間 のCB の 格 差 は 年 を 追 っ て 開 い て い る 、ii ） セ ・ リ ー グ のCB はI 期 （1958 年 ∼1974 年 ） か らH 期 （1974 年 ∼1989 年 ） に か け て 大 き く 改 善 し た が、 Ⅲ 期 （1989 年 ∼2004 年 ） に な っ て 再 び 悪 化 の 傾 向 に あ る 、iii） ノ° ・ リ ー ブ のCB はI 期 ・ n 期 と セ ・ リ ー グ よ り 低 い 水 準 に あ り 、 Ⅲ 期 に は 大 き く 悪 化 し て い る 。 239