ON INFORMATION MATRI CES OF FRA（1’10NAL 2m FACrORIAL
DESIGNS DBRIVED FROM BALANCED ARRAYS
Sumiyasu YAMAMDTO and Yoshifumi HYODO （Received Nove㎡）er 5，1984） 1．Introduction and summary． The purpose of this paper is to give an explicit expression of the ele二 『 ments of irreducible representation of the infomation matrix derived fr㎝a’ two−s）mbol balanced array of even strength in tems of its paralneters． The results obtained here are generalizat ion of formilas given by shirakura and KUwada ［2】． The reader should refer to Yamamoto， Shira㎞ra and KUwada ［3，4］， and Shira㎞ra and血wada［2］fOr details as well as definitions． C・n・id・r a f・a・・i・皿・評fac・・ri・・〔Pm−FF〕d・・igu・i・h・fact…FpF2， … ，Fm， each at two levels O or 1． Assume that （兄＋1）−factor and higher order intera・ti・n・are negligib1・f・r an i・t・ger見・m／2・Th・・見・1 param・t・・vec− tor 自L of factorial effects up to 兄一factor interactions considered here is 〔1〕 Q’ ’（θφ；｛θt、｝；｛θt、・、｝；’”・｛θt、・2…・、｝〕 砲ere…Σ｛・・Φ・・nd・φ・・t、 an・・・…nera・…、・、…・k d・n…th・g・n・ra・ mean・the main effect°f thg fact°「Ft、 and the k−fact°「inte「act’°n°f the fact°「s’Ft、・Ft、・’”・F・k・「espect’vely［3】・@ ・．
Let T be a戸一FF design c㎝posed of N ass㎝blies or treatment combina− tions， then T can be expressed as a two−s）nnbol array of size N x m whose rows den°te asseゆ1ies・The e・rPect・ti・n・f th・・b・ervati・n vect・r断㎝d th・ i・f・m・・i・h・…i・Mr f・r e・ti・・ti・g旦・f・h・2m−FF d・・ig・T・re give・by（2） E（MT）＝ETQ
and
叫＝E拝T・
where ET is called the design matrix ［3】・
334 S．YA脚K〕TO AND Y．｝｛YODO Among those factorial effects， a triangular type multidimensional par− tially balanced 〔TMDPB ） association scheme is introduced naturally in・away such thatθt、…tu andβ・i…・↓a「e theα一th ass°c’ates if and°nly’f （3〕 1｛t・・…・t。｝・｛ti・’”・t↓｝1＝mi輌・・）一・・ It is knowr1［3］that a㎜PB association algebra A generated by those （剛〔2・・〕（・2・3〕／6・・t・・ce・D！u・v）（・，…，・，…，・・…，・，…，…（・，・）） representing the above relations of association is semi−s迦ple and c㎝pletely
蕊il；e；、：1盧；1晋？都1°、1；1．t買lll鷲all。iββ9：nllll鷲．
Now consider the case where the design T is given by a two−symbol ba1− ・nced・・ray〔B−array〕・f・trength 22・m・…traint・a・d i・d・x・et｛Ve・μ1・ …・μ2￡｝・Th・i・f｛・・M・ti・n m・t培・f・u・h d・・ign i・giv・n in［4］・i・… （・〕 1・Zr ＝・1。。Σ｛二1・；二1・；・j・1β＋’・β＋j）＃・where
（・） ・；・」・・1・’一・：：；・j．i．、。・19＋’・β＋j〕 for O ≦ i ≦ 」 ≦ 2一β and β ＝ 0，1，．●．，2． Here Yi d・n・t・・the e1・m・nt・f MT・…e・p・ndi・g t・th・p・i・・f・ffect・ θt、…・uandθti…・↓ satisfyi”g 〔6〕 1｛tP…・t。｝・｛ti・”・・t↓｝1・i・ for i ＝ 0，1，・●・，22， and 〔・） ・1：＋’・β÷j）・Σ9．。〔一・）α≡b（；）（1‡1：2）（m−26−’＋b） in、 （8〕 〔9） The ［3］， ・｛（m吉i）〔」1、〕｝1／2／（」一；＋b）・ f・11・wi・g・。nnecti・n b・tween these yi and the i”dices Pj can be seen i．e．， ・、・ l三。Σ1．。（一・〕P〔；）（1↓：圭，）Uj・ ・、・｛考＆。ΣB。。〔一・〕P〔jl，）〔2㌃’）・j・／22見・…，・，…，・・． 、m INFORト・酊ICN MATRICES OF 2 −FF DESIGNS The given by 〔10〕 i「「educible「ep「esentati°n°f Mr with「espect t・each idea1 Aβi・ K，3＝ 0，0 κβ 1，0 κβ … k一β，O Kβ
and its㎜1tiplicity isφ
0，l Kβ ◆” 1，1 Kβ ● ● ● … ・；一β・1… β一〔：）一 O，2一βKB
1，A，−B Kβ … ・き一β・丸≡β 〔mﾀ一1）・ ］ P⊆k） isg初θη勿 〕 〔・・〕・｝k〕・Σi三。〔告k）・、允・」・・…………．・、卿｛k）卿・一・・・・…働…
（・2）・、・・｝．。Σ；．。〔一・〕P〔；〕〔」81｝，）・lk〕・ 〔・3）・｛k）・｛・；。。Σ；。。（一・〕P〔j㌔）〔k；’）・j｝／・k・・ Le㎜a 2．㌘カθfoZZo痂9碗η力坑θsわZ∂（see， e．9．，Shira㎞ra and Kumada［2D．
（・4） ・；．。（一・〕Pζ〕〔、￡，〕・〔一・）α（：）・ （・5〕 ・害。。（一・）P（；〕〔、諾．P〕… （・6） ・；．。〔1：；〕〔；）・（1〕・ 2． Explicit expression of irreducible representation． An e）甲1icit expression of the elements of irreducible representation of th・inf。rm・ti・n m・t・i・）片 i・t・m・・f i・dices VO・V1・…・μ2k and m・f th・B− array used・may・b・u・eful in i・vestig・ti・g th・・tructu…f・2m−FF design． For such purpose， it is sufficient to substitute （7〕 and 〔8〕 into 〔5〕． The expression obtained in such a way， however， very complicated． So， some reduc− tion is necessary． The following results and identities are usefUI for such purpose・。＿跳1’、㌶∵；㍑1。1㌔留ご：：。麗。嘘㌶1。城
＝ 0，1，… ，k． Riordan ［1］ and336 S．YAMAMOTO AND Y． HYODO 〔・7）・：．。Σ；；。〔一・）P＋α〔C〕〔」鵠）（9）・22ω・j。・
励…（a
ajd・屹・th・屍・・㌦…∬励励励〔言）・時唖・鳩iアb・・
°㌘0≦a＜b・and 6
潟ﾖ＝1・”O・・…鋤・・j；…j≠ω・
Theorem 1・ Th・e e zements K；’〕 oτthe iPre〈luciわzε rep？esentαtion KB o王Mh apθ 穿iveη わz4 ＞ ） ・；・j・［・；．。Σ嵩」一’〔一・〕「（；〕〔m㌣b〕｛〔m君’〕（｛〕｝1／2（2bζ一’） 〔、8〕 ・〔；｛；〔1翻）22〔β＋’−b〕／〔j’；＋b〕］・兄 ・・1．、［・；．。Σi；6j−’（一・）「〔；〕（m−2宥’＋b〕・〔m吉’）（｛〕｝’／2（2b㌢一’〕 ・〔 2￡一〔2β＋i＋j）￡＋r＋s−〔B＋」＋b）〕22（β＋’≡b〕／（j−；＋b）］・・、．，・（一・）」一’・、．s・， ∫ヒ）1。 0≦i≦j≦見一β ， β＝0，1，・．．，兄． Proof． If β＋i＋j ； O or β＝i＝j＝0， we have ・；・°・・。・〔222〕・、・Σ1．、〔窟、）（・、．s・・、−s） by substituting 〔7） and （8〕 into 〔5〕． The formula 〔18） holds in this case． We sha11， therefore， assume that B＋i＋」 ＞ 0． Substituting （7） into．（5〕 we have 〔、9〕・；’」・Σ；・・（一・・b〔；）〔m−2㌻’＋b）・〔m君’）（｛〕｝1／2 …爵（一・）α〔βご；b〕・、。．j．i｝／〔j−；＋b）・ Since l ≦ 2β＋i＋j ≦ 22， using （12） we can express the term in ｛ ｝ of （19） as： ・：：；〔一・〕α〔B㍍b〕・、。．」．i 〔・・〕・Σ蓋皇；’＋j・・皇：；・lg；」一’（一・〕α＋P〔2α3−’）〔、：巳碧轟，） ・〔B；IBb〕｝・舌2β＋’＋j）． ⑳ The c。・ffi・ient・f 1・i［2β＋’＋j）i・（・・）can be s迦・・if・・d by・・i・，（・4），（・5〕， 〔16） and， especially 〔17〕 as follows：m −FF DESIGNS INFORMATION MATRICES OF 2 ・…：；・1二6j”〔一・）α＋P〔2αζ一’〕〔、鵠臨〕（βご；b） ・・iR6j−’〔2b⊇一’）｛・：：；・lg6j−’C・）α＋P（2ぽ〕〕 ・〔 2〔β＋i〕一・ 2Cth−〔j−i〕−2〔x＋P〕（β㍍b〕｝ 〔、、〕・Σそ；」一’〔2bζ一’）唱㌔劉2b＋〔j−’）一「（一・）°「’P＋「＋b〔r・ ・〔 2（β＋i−b）−2αh＋r−2b−〔j−i）−2Ct十p〕（β＋：−b）｝ ・（一・〕b・i三6j−’〔一・〕「（2b亨一’〕｛・：：；−b・1：。〔一・〕α＋P〔C〕 ・（、．r：｛1士1；；鵠。．P〕（β＋ま一b）｝ ・（一・）b・；∵δj−’〔一・）「〔2bζ一’）22（β＋’−b）・h〔，．」．b．r〕・ Hence， from （20〕 and （21） we have ・：：；〔一・）°「（β誌b〕・、。．j．i 〔22） ・〔一・）b・1≧6j−’（一・〕「〔2bζ一’〕22〔β＋’≡b）pl三！：gtl〕・ Thus 〔19〕 may be simplified as ・；・j一Σ；。。〔；〕〔m−2㌻’＋b〕｛〔噴’）〔｛〕｝1／222〔β＋’−b） （23〕 @…i？6j−’〔一・）・〔2b？一’・・i三！：已）｝／（j”9“b・・ Us ing 〔11） and the identities ・1二；・9；」”（一・）「（2b？一’〕認鵠）・s ・〔一・）j−’Σ1．、Σi26j−’〔一・〕「〔2bζ一’〕（、三慧；…；｛∼））U、．s・ ・i＆、．、Σ三6j−’〔一・〕「〔2bζ一’〕〔i鵠‡｝：91〕・s ・Σ1．、Σi2；j−’（一・〕「（2btj−’〕（、三欝；認））・、．s・ s
338 S．YAMAMOTO AND Y． HYODO we have ’・…；；j−’〔一・〕「〔2bζ一’〕・1三！：已〕 〔・4〕・Σ…26j−’（一・）「〔2b？一’）（kg2，g‡｝瑠〕・兄 ・Σ：．、｛・i？6j”（一・〕「（2bζ一’〕〔、i：；！i％i；・lg，）｝｛・、．，＋（一・〕j”u、．s｝・ Substituting 〔24） into 〔23） we have 〔18）． This completes the proof・ Remark： If j−i is odd， since we have ・iヒ；j”（一・〕「（2b？一’〕（；聡‡｝詔〕… the coefficient of P2 in Theorem l vanishes・ We・therefore， obtain the following ： （・〕・fj−iisev・n・・；’コi・afm・ti・n・f・、．s・・、−s・ s＝0，1，◆．●，見一β． （b〕・fj−ii・・dd・・；’コi・a血nc・i…f・、．s−1・、．s・ s＝1，2，… ，∫↓一β． Example 1． Let T be a 2m−FF design derived fr㎝aB−array of strength 4〔k＝2〕・m・。・・t・aint・and i・dices pO・P1・U2・P3・P4・th・n w・have ・1・°・（1．1。・・、）・4（・、・・3）・6・、， ・1・1・・1／2｛（V、一・。〕・・（・3−1．L、〕｝， ・；・2−｛・（m−・）／・｝’／2｛（・。・・4〕−2・、｝， ・；・1・・（V。・・、）・4〔・、・・3〕−2（m−・）・、， ・；・2・｛〔m−・）／・｝1／2｛・（・4−・。）−2（・一・）（・3一μ、）｝・ ・；・2・｛・⑭／・｝〔・。・・4〕−2（m−4）（m−・）（・、・・，〕 ・｛3〔m−4〕2・5（m−4）・4｝・、， ‘
6〔 INFORト｛ATION MATRI〔ES OF 2m−FF DESIGNS ・1・°・4｛〔1．t、・1．1，〕…、｝， ・1・1・4（m−2）1／2〔・3−・、〕， ・｛・1−4｛（rn−2）〔・、・・3）−2〔・−4）・、｝，・・d ・；・°・・6・、． Example 2． Let T be a 2m−FF design derived from a B−array of strength 2＝3〕・皿・・n・trai・ts and indi−Ces UO・pl・μ2・P3・μ4・μ5・P6・Th・n we have ・；・°一〔・。・・6）・6〔P、・・，〕・・5（・、・・4〕・・Or，， ・8・1・m1／2｛〔・6−・。）・4（・5−・、〕・・〔・4−・、）｝， ・8・2・｛・〔m−・〕／・｝1／2｛〔V。・1．1、〕・・（U、・・、）一〔・、・・4〕一 ・；・3・｛・（m−・〕〔m−2）／・｝1／2｛（・6−U。）一・〔・4−・、）｝， ・；・1・m（・。・・6）・・（…〕（・、・U、〕一〔m−・6〕（・、・・、）一 ＝ 2 ，
10
K ＝ 3 ，10
K ＝ 2 ，20
K ＝ 3 ，20
K ＝ 3 ， 7﹂O K 4U3｝・ 4（m←6〕μ3・ ｛〔m−・）／・｝1／2｛・〔・6−・。〕・8〔・5−V、〕一（3m−・6）〔・4−・、）｝， ｛（m−・〕（m−2〕／・｝1／2｛・（U。・・6）−2〔m−6〕（・、・1．1、〕一・〔・、・・、〕＋4〔m−6〕V3｝・ ． tt
｛m（m−1〕／2｝〔pO＋P6）一〔m−1〕（m−8）（μ1＋μ5〕 一［｛〔m−6）2…（m−6）−2｝／・］〔・、・・4〕 ・2｛（mT・）2・・〔m−6〕・6｝・3， ｛〔m−2）／・・｝1／2［・〔m−・）（・6−・。〕−4（m−・〕（m−6）（V5−・、） ・｛・（・−6）2・・〔・−6）・6｝（・4−V、〕］， ｛m（m−1）（m−2〕／6｝（pO “ V6〕一（m−6）（m−2）〔m−1）〔P1＋V5〕 ・［〔・−2〕｛・（m−6）2・・（m−6〕・6｝／・］（1．L、・・、） 一［・〔m−6）｛・（m−6）2・2・〔m−6）・28｝／・］・3，340 S．YAMAMOTO AND Y． HYODO 0，0 K1 0，1 K1 0，2 Kl 1，1 Kl 1，2
