SOME ANCHORS OF A PAPPUSIAN PROJECTIVE PLANE

SUT Journal of Mathematics （】巨lormerly TRU Mathematics） Vblume 29， Number 2（1993），193−196

SOME ANCHORS OF A

PAPPUSIAN PROJECTIVE PLANE

ANGELA VASIU AND ADRIAN VASIU

（Received September 21，1993） ABsTRAcT． For some special parts of a pappusian plane including a pro− per conic we consider the colhneations which transform the points of the conic in the points of a ploper co皿ic． AMS 1991 Mathmatics Subject Classification， Primary 51A30，51A10．− Key words and phrases． Co皿i皿eations， G−anchors， projectivities with fixed points， invollltions． §1・In［3］，［4］the notion of anchor in a tra皿slation projective plane was introduced， which has been shown to be usefu1 for the extension of colli’nea− tions defined o皿asubset of such a plane．   In the case of desarguesian projective planes， the collineations are reP− resented by semilinear transformations of the corresponding vector spacbs， and as it results from［1］，［2］， these can be characterised by a dilatation group and by an elation group of a plane． The role of the translatio皿group is taken by the dilatatio皿and elation groups， i皿adesarguesia皿plane．   In［5］we generalised the notion of anchor fbr a desarguesian projective I）lane． In this note， fbr a pappusian projective plane we give some a皿chors which correspond to some specia1 collineations groups． §2．Let H a皿d H’be two desarguesia皿projective pla浪es，1）andア’their points sets，9L，（9L）’the groups of projective coUineations of II and H’． We denote（9L）d，（9L）2， the groups of the projectivities of a line d⊂H， d’⊂H’．Let O⊂1）be a set of points andΩ（0，1プ）the set of injective collineations 9：0−→ア’．

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_{ANCHORS OF A PAPPUSIAN PLANE}

De血nition 2．1．工et g∈9L（or g∈（9L）d）a皿d Og＝0∩g−1（0）． We

say鋤t O js c・mpatible Wi’th 9 if Cg≠0，09￠ア， where月s・the・set・f fixed points of g， jf］for anY（9∈Ω（C，アソ）there eXists a u11∫que collineation 9’∈（9L）’（or g’∈（9L）2，）sudl that五）r any M∈Og it satisfies the relation： （2．1） 9’_{i9（M））＝ψ（9（M））・} Definition 2．2． Letθbe a subgroup of the gr卯ρ9L（or of the group （gL）d）． The・set・C⊂ア」s called a g−anc力・r， if it・is・c・mpat」ble朋’t力any 9∈9and if for aηy（ρ∈Ω（0，ア’）we have： （2．2）

_{（92091）’＝gSogl， ∀92，91∈9．}

Definition 2．3． Z，et 91 and 92 be two su．bgroups of t血e group gL． A set ・fp・i皿ts・C⊂ρ・is・ca皿ed a 9、−9i−anch・r ifC fs g・−anch・r and g2−a皿ch・r， C is compatible with        9多1・＝9、・g2・g「1

t∼）ranyg1∈91，92∈92 a皿d∫f

（2．3） （9多1）’＝（gs）gl． Definit ion 2．4． In the desarguesian projective plan e let〈2 be a point and d・a・line， nonincident Wi’th O． A pr〈）jective c・11ineation・6 which・admits（？ and all P・加ts・f d as fixed P・輌皿ts∫s ca皿ed a d∫1a孟at∫・皿with・d・as・axis・and Q as center． The・set・・f t力ese dila励ons fbrms a group，皿・ted by 1）d，Q・ De｛inition 2．5． For a line d．and a point H incident with d， a prOjecti ve C・11ineati・n T：ll−→rl’by WhiC力all the・P・intS・f d and all the li皿eS which・are・incident・with・H・are・fixed， is・called・an・elation with・d・as・axis・and H as center．   The・set・of・elati・皿s forms a group de皿・ted by Td，H． The・set・ofelations：

Td＝｛ア∈Td，HIH∈d｝

is also a group， called the group of elations with axis d・ In IS］we proved the next theorem：

A．VASIU AND A． VASIU

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The・rem． ln a desarguesia皿pr（りiective plane let Q be a p・ii t a皿d d a 1∫丑e，Q￠d an d C⊂P a set of points which contains（？ and at least two P・ints」Ul and∬2・f・the li皿eば・lf C is a Dd，Q 一一 ’Td −an ch・r， the皿any co1∬皿ea古∫0119：0−→1）’call be extended oll the whole plaロe H， t力at∫s， t且ere・iS・a・U皿iqUe pr（）jeCtive C・皿ineati・n f：ρ一→ア’SuCh鋤け10＝9．

§3．In this note we consider coMneations 9：0−→P’which tra皿sfbrm

the poi皿ts of a proper conic in the points of a proper conic and co皿serve ．the colliniarity of poi皿ts from C． Theorem 3．1．血apapPusian pr（り’ec輌e plane ll， let r be a pr（）1）er c・nic， d a・line a皿d r∩d＝｛A，B｝． We den・te by gA，B t力e gr・up・f the prq戊ieCtiVitieS from（gL）d WhiCh haVe A and B aS fiXed P・i皿tS．丁血e

Oニru∂fs a 9．4β一a且chOL

  Proof． Let g∈9Aβbe a I｝rojectivity determined by the points Mo∈ d＼｛A，B｝a皿dハ「o＝9（M｛））∈ば． Let M∈dand 2V＝9（M）be two points and S a poi皿t of r，different of、4 and B． The lines 5十Mo，S十No，S十M， S十」Vintersect r in the points」レfo’，ハぼ， M＊，1V＊respectively． The pairs of poi皿ts（A，、4），（B，B），（M8，No’），（M＊，」VっwiU be the corresponding points in a projectivity p defined on the conic r， fbr which d is its a垣s． Because the considered pla皿e H is a I）apPusia皿o皿e， it results that the lines Ma十2V＊and M＊十ハ信i皿tersect．at a point」R of the line d・

  Let《p：0−→H’be a collineation for which（p（r）＝r’is a proper

conic and let g’be a projectivity defi皿ed on d’ニ《p（d）， with lρ（A）a皿d ψ（B）6xed points， determined by： （3．1）      9’（9（」ttt（）））＝〈P（9（Mo））＝《P（No）   Because《p is a collineation which conserves the colhnearity of points of O a皿d transfbrms r in r’it results that the points g（Mo）， p（No）， 9（M），ψ（1V），9（S），ψ（MS），9（Ni），9（M＊），《ρ（2V＊），（P（R）f（）rm the same configuration as their inverse−images on the plane IL Erom（3．1）we obtain： （3．2）     9’（9（2レf））＝《P（9（M））＝（P（N）， ∀M∈d Thus we proved that C is compatible with any g∈9A，B．口   If we consider now two projectivities g1， g2∈9A，B and M∈d， the points g1（M）， g2（g1（M））belong to the line d and from（3．2）we deduce： （3．3）       （92091）’＝9509｛ that is O is a gA，B−anchor．

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_{ANCHORS「OF A PAPPUSIAN PLANE}

Theorem 3．2．1口apr（り゜ecε∫ve papφus∫an plalle II let r be a prOper「confc， a皿dda1∫11e， r∩d＝｛A；B｝and P a pbint different丘om A situated o皿

th・t・ng・・鋤力g r・丁力・P・i・t・et・C＝「UdU｛P｝∫・C・mp・tibl・W血

a皿∫皿Volutio皿S・of・d・・whii力血ave a fixed Point A．   Proof． The polar of P with respect to r intersects r at A and C． Let 9 ：d−一→ dbe an involution having丘xed poi皿ts／1 an 1），1） ≠ A（the points／l a皿d．D determine g）．   if S＝（0十1））∩r＼｛0｝a皿dM’ニ．g（M），M∈d，五ぜ＊ニ（」レ1十5）∩r＼｛S｝ and M’＊＝（M’十S）∩r＼｛S｝then the points・P， M＊a皿d」レ1’＊are on a line．

  Let（P：0−→1）’be a collineation by which∼o（r）ニr’is a proper

conic a皿d g’the involution defined on d’・＝（ρ（のwith fixed pointsψ（A） and《P（D）． By hypothesis about（ρ， the Points《P（C），《P（S），（P（M「），（ρ（M’）， g（M＊）， a皿d g（．M’＊）fbrm the same configuration on H’as their inverse− images on H． It results that g’（9（M））＝ψ（」匪’）＝ψ（9（M））f（）r any M∈d and so the theorem is proved．□ ］ 1 ［

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］

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［

］ 4 ［

REFERENCES

E．Arti皿， Geometric Algebra，1Math．3， Intelscience Tracts in Pure and Appl， New ’Ybrk，1959． H．L6皿e1）u皿g，∬bεrば↓e Struktursa”ze der、Proiektiven Geometrie， Arch． M．ath．17 （1966），206−209． F．Rad6， Congruence−preservingぴomのρゐ‘sm3 q∫Th￠Translation Group、4880c‘− atedω“九．41 ｡αn81頭on Plane， Canadian J． Math．23（1971），214−221． F．Rad6， Exten’sion（ザCollineations Defined on Subsetb qf．A Ttranslation Plane， J．Geometry 1（1974），1−17． ［5］Angela Vasiu anq B． Orban， On The Generalisation o∫Anchor Introdueed by F．」Rαd6． Re3εαrセゐSeminars， Seminar on Geometry，‘‘Babes−Bolyai，， U皿ivelsity， preprint，NL 2（1991），79−88． t

Ahgela VASIU and Adrian・VASIU

Faculty of Mathematics

University“Bal）es−Bolyai，， M．Kog…ilhiceanu Str’eet No．1

3400CLUJ−NAPOCA

ROMANIA