光弾性効果による光線の変調とその応用研究(第4報) : Plano-Convex AT-Cut水晶振動子の厚味すべり振動応力分布の測定

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(1)Title. 光弾性効果による光線の変調とその応用研究(第4報) : Plano-Convex AT -Cut水晶振動子の厚味すべり振動応力分布の測定. Author(s). 山形, 積治. Citation. 北海道教育大学紀要. 第二部. A, 数学・物理学・化学・工学編, 29(2) : 19-33. Issue Date. 1979-02. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/6025. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . 北海道教育大学紀要（第２部Ａ）第２９巻第２号. ｌｉｉｉｆＥｄｕｃａｔＩＡ）ＶｏｉｔｙｏｉｄｏＵｎｏｎｌｌｏｆＨｏｋｋａｏｎ（ＳｅｃｔｓｖｅｒＪｏｕｒｎａ．２９．２，Ｎｏ. 昭和５４年２月. Ｆｅｂ９７９ｒｕａｒｙｌ. 光弾性効果による光線の変調とその応用研究第４報Ｐ１ａｎｏ‐ＣｏｅｖｅｘＡＴ‐Ｃｕｔ水晶振動子の厚味すべり振動応力分布の測定. 山. 形. 積. 治. 北海道教育大学旭川分校物理学教室. ｉｏｎｂｙｔｈｅＤｙｎａｍｌｃｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＬｉｇｈｔハ４ｏｄｕｌＳｔｕｄｙｏｎｔｈｅＡｐｐｌａｔＰｈｏｔｏ‐Ｅ１ａｓｔｉｃＥｆｆｅｃｔｉｂｕｔｉｏｎｓＲｅｐｏｒｔＮｏ．４Ｍｅａｓｕｒｅ１α１ｅｎｔｓｏｆＴｈｉｃｋｎｅｓｓ ‐ＳｈｅａｒＳｔｒｅｓｓＤｉｓｔｒｌａｔｉｎｇＰ１ａｎｏ…ＣｏｎｖｅｘＡＴ‐ＣｕｔＱｕａｒｔｚＣｒｙｓｔａＩＲｅｓｏｎａｔｏｒｌｏｆｔｈｅｏｓｃｉｉｉＹＡＭＡＧＡＴＡＳｅｋｉｉＰｈｙｓｉｉｄｏＵｎｉｉｉｋａｗａＣｏｌｌｏｎｃｓＬａｂｏｒｖｅｒｓｒａｔｏｒｙｅｇｅｙｏｆＥｄｕｃａｔ，！ｓａｈ，ＨｏｋｋａＡｓａｈｉｋａｗａ０７０. Ａｂｓｔｒａｃｔ. ．ｎｔｈｉｈｅｔｈｉｃｋｎｅｓｓｉｉｂｕｔｉｔｔ ‐ Ｓｈｅａｒｓｒｅｓｓｒｏｎｓｏｆａｐ１ａｎｏ‐ＣｏｎｖｅｘＡＴ‐ ｓｐａｐｅｒＳＣｕｔｑｕａｒｔｚ，ｔ，Ｔ６，ｄ. ｆａｌｌｉ。ｎｍｅｔｈｏｄｃｒｙｓｔａｉｒｅｓ。ｎａｔｏｒａｒｅｍｅａｓｕｒｅｄｂｙｍｅａｎｓｏａｓｅｒｐｒｏｂｅｂｅａｍｍｏｄｕａｔ，Ｔｈｏｓｅｓｔｒｅｓｓｌｄｉｆｌｉｈｔｈｄ３ｄｄ５ｈｄｉｂｉｔｔｈｉｃｋｎｅｓｓｔｔｔｔｔｏｖｅｒｏｎｅｔｅｕｎａｍｅｎａ，ｒｏｖｅｒｏｎｅａｎ ‐ ｓｈｅａｒｓｒｕｏｎｓａｒｅａｎａｙｚｅｗ. ｉｌｌｉｏｎｆｒｅｑｕｅｎｃｌｅｓ．Ｔｈｅｍｅａｓｕｒｅｄｓｔｒｅｓｓｄｉｉｂｕｔｉｔｔｔｈｔｈｅｃｏｍ‐ 。ｓｃａｓｒｏｎｓｈａｖｅｂｅｅｎｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｉｍｕｌｉｎｉｌｔｅｅａｔｅｄｂｙａｆｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ．ｐｕｔｅｄｖａｌｕｅｓｓ. ｌｕｅｓｓｈｏｗｅｄｇｏｏｄＴｈｅｅｘｐｅｒｌｍｅｎｔａｌｖａ. ｔｈｔｈｅｃｏｍｐｕｔｅｄｖａｌｕｅｓ．Ｔｈｅａｂｓｏｌｕｔｅｖａｌｕｅｏｆａｇｒｅｅｍｅｎｔｗｉ，ｔｈｅｏｂｓｅｒｖｅｄｓｔｒｅｓｓｉｎｔｈｅ５ｔｈｉｌｌｉｌｌｗｉｉｆｆｉｔｈｔｈａｔｍｅａｓｕｒｅｄｂｙｓｐｅｎｃｅｒｗｉｔｈａｎＸ‐ｒａｙｄｏｖｅｒｔｏｎｅ。ｓｒａｃｔｏｎｔｏ‐ ｃａｔ。ｎａｇｒｅｅｓｗｅｐｏｇｒａｐｈ．. １．はしがき. 先に水晶振動子の動的応力によってレザー光線に変調をかけ、光学系の帰環ループを作り、電気２）上述の・系－機械系エネルギー結合係数の極めてノ」・さな水晶発振器が可能であることを提案した１．研究を進める中で、，水晶振動子の動的光弾性を応用して，振動子内部の応力分布が観測可能である４５６７８）・． ’ ’ ・ことを知った３. ｌａｎｏ ‐ｃｏｎｖｅｘＡＴ‐ ｃｕｔ水晶振動子の厚‘床とり振動に伴う前応力，Ｔ６今回の報告では特にｐ，の分布. １０）その結 ’ をレザー光線の変調によって測定し，有限要素法によってシュミレーションを行った９．（１９）.

(3) . 山形. 積. 治. 果，実測値と計算値は基本振動，３次，５次倍振動ともによい一致を示した．従ってレザー光線変調法は水晶中の動応力分布を適確に観測する手段であることが知られた，又，逆に有限要素法は水晶振動子の応力分布を予測する有効な手段であることも知られる．レザー光線変調法によって求めた動応力の振幅の絶対値はＳｐｅｎｃｅｒがＸ線回析顕徴法で求めた１１｝応力の絶対値と同程度の信頼性があり，手軽に試行できる動応力測定装置として，水晶以外の物体の振動の解析にも有効である．２．水晶における光変調論振動している水晶による光変調の要因には電気光学効果と光弾性効果が考えられる．水晶が機械. 的固有振動の周波数で振動している場合は前者は後者に比較して無視できる．即ち光変調は水晶内. 部の動応力によって生ずる，. 直線偏光光線が水晶結晶中を通過すると複屈析が生じ伝播速度の異る互に直角な電気変位成分. Ｄ，２とする，但しシ．は常光線の結晶中，Ｄ２を有する直線偏光光線に分れる．これらの光速を盛りでの光速で，りは異常光線の光速任意の方向に光線を進めた場合である今２，両光線の位相差角，，６は結晶中の光路長をｈとして（１）ｓ ‘Ｓｐｒとなる．この結晶を直交亙たｏｚ ’ ’鶏の間に置き，輝度工ｏの光線を入射して，透過光の輝度１を観測すれば（２）ｉｎ２２のｓｉｎ２６／２／；Ｚｏｓ２）は水晶振動子が静止している場合となる．上式でのは偏光子ＰだｓｍとＤ・との間の方位角である．（１３｝２水晶振動子が機械的共振を伴）に変調の式であるから，透過光線の直流成分を示す．った時には（. １が含まれる，交流成分は動応力による位相差角 βの微少振動 △御こよるから，（２）成分（交流成分）△. を βで微分して. △Ｚ；（ヱ。／２）ｓｉｎ２２のｓｉｎβ△β. （）３. となる．上式は . . . オ. ３″. ３冗. －す’. ２’ ２ ’. （４）. の＝て’ ÷す’ ４ ’ ４）で示されるようにセットすれば動応力による変調が最も効率で最大となる，従って，各々の角を（. ４）的である１，. ３．ＡＴ‐ｃｕｔ水晶板の応力－光学係数 ≧板の座標軸を（え，ゾ，Ｚ）で示す．両者水晶結晶本来の座標軸を（ｘ，ｙ，ｚ）で示しＡｒ‘〃１）式の位相差角を一義的に決定Ｆヱの関係を省．に示す．振動子に対する光線の入射方向がわかれば（される，振動子が機械的な共振を行い，この振動が幾種類かの動応力を水晶内部に生ぜしめたとすれば一本の光線に対する光変調成分は各々の総和となる，故に（５） △６＝〆＆＋〆＆＋ … … ＋〆６６）（２０.

(4) . ＡＴ－Ｃｕｔ水晶振動子の応力分布. と示される．上式の成分は光弾性の理論より（６）５となり，（）式は応力，Ｔ’ ｆ，を用いて. . （）７. ずニー. ’ ’ ’ 云板座標系を基準とした動応力の最大振幅でありＴ．となる．ＴどはＡｒα‘ ，，Ｔ２，Ｔ３は垂直応力であ ’ ’ り，Ｔ４，Ｔざ，Ｔｄは勇断応力を示す，Ｃ／（Ｑ）はズーＺ面に平行に入射し，ｚ軸とＱなる角度をなす光線に対する応力－光学係数でありＰａｚｏｅ ‐ ｏ弱化係数ｍｊの関数. ｃＫＱドデ薦. （）８. となる．上式でＡは光線の波長で，れｏ＝屍評琵で水晶の平均屈析率でだ”はＡＴ‘” ‘座標系に座標. ）変換したＰＺｅｚひｏｐ云た係数である２．ば境界を有するＡｒｚ板水晶振動子を厚味とり振動で励振した場合，板の屈曲モードが結合する ‐ ｃことが知られている．その様子を無限平板，境界を有する板について，Ｆ忽．効こ示す，即ち勇断応力 ’ １５｝Ｔ’ ６と垂直応力Ｔ，が伴う，. これらの応力に対する応力－光学係数は光線の入射角立に対してＦｇｚ．３のようになる．Ｃぞ＠）の１７）計算は別報にゆずる．著者らが実験によって求めようとしている応力はＴ’ ６であるから応力－光０傾けて光線をＡ射すればＴ’からＴ’ を（）の最大になる方向，Ｑ＝３ぴ，即ちＺ’軸より３０９学係数Ｃ６．６. ／. ’. … １，．. ；. ｙ. . . ・. ′ ｙ. ｏミー ‐ 、・、、. ＼、、、、. （ｂ）ｘ. ′. ’ Ｘ. ０ ′ γ＝３５１５. ａ：ｉｎｆｉｎｉｔｅｃｒｙｓｔａーｐｌａｔｅ. ｉｎｄーｉｇ（ｘｙｚ）ｏｒ，ｃｏｏｒｄｉｎｑｔ＠ ′ ′ｙ～ｚ）ＡＴ‐ｃｕｔ（ｘ，ｃｏｏｒｄｉｎｑｔｇ. ｂ：ｂｏｕｎｄｅｄｃｒｓｔａーーｔｙｐａｅＦｉｇ．２Ｐｕｒｅｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ‐ ‐ｓｈｅａｒｍｏｄｅｏｆｔｈｅｉｎ１ｆｉｎｉｉｃ１ｔｅｐａｔｅａｎｄｔｈくｎｅｓｓｓｈｅａｒｍｏｄｅｉｏｎｏｆｔｈｅｂｏｕｎｄｅｄｔｈａａｅｘｕｒｗｉｅｍｏｔ. ｉｎａｔＦｉｇ．ＩＡｎＡＴ‐ｃｕｔｐｌｅａｔｅａｎｄＡＴ‐ｃｕｔｃｏｏｒｄ. ｌａｔｅｐ，. ｔｅｎｒｌｓｙｓ，. １）（２.

(5) . 山形. 槍. . 治. . ′ｏｘｉＺｓ. ｘ－ｄ８ｒｑｄ′ｃｍ／ｄｙｎｅｏの. ｔｂｉ ′ ｌｇｈｘｌＡｔｃｕｔｐｏ. Ｆｉｇ．３. 。. Ｘｄｘｉｓ. ｌｌｒｅＣａｉｃｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｏｆｔｈｅＡＴ‐ ｔｚｃｒｙｓｔａ－ｃｕｌａｔｅｄｓｔｒｅｓｓ ‐ ｏｐｔｃｕｔｑｕａｒ ’ ａｎｄＴ’ ｒ ’ ａｎｄＣ’ ａｒｅｃｏｅｆＴＣｆｉｆｈｉｔｔｔｒｅｓｓｏｎａｔｏｒｒｅｓｅｓｓｃｅｎｓｏ６，６，． ’ ｉｖｅｌｙｉｓｌｒｏｍｚｅｆ－ａｘｐｅｃｔ，，Ｑｉｓａｎａｎｇ. 分離して観測することが可能である．又，Ｑ；ｏｏで光線を入射するとＴ’ ．が求まる．これらに，ついて. は後で報告する．４．応力分布. （４２）式と（３）式の比をとれば）式の条件の下で（９（）. △ヱ〃＝△６となる，（７）は単位長当りの位相差角であるから，これを光路長鳩こっいて積分を実行して. Ｑのと示される．これが測定される位相差角である．従って（９）式を用いて１. △ヱ. . １１（）. （２２）.

(6) . . ＡＴ‐Ｃｕｔ水晶振動子の応力分布. となる，光電子増倍管に入射する光の強度変化に対して出力電圧が正比例するならば△ １１は光電子／ＶＶ増倍管の出力電圧の交流分。／Ｖｄこ等しい，ｃと直流分ｄｃの比Ｖｏ。実測によると著者らの実験の輝度範囲では光電子増位管はリニアであったので，前記の置きかえが可能であり，Ｔ’がｚ’方向に一様であるならばｒｉｄね＝ｒ物であるから. ・拷Ｔに肉を声. ｑ２）. となり，光線が透過している点の応力Ｔ’ る。但しＶ。ｆが求め・。は交流出力電圧の最大値で示す．この ’ ’ 光線をｘ方向又はｙ方向に走査すれば各々の方向の応力分布が測定できる，５．実験装置. ・ぷ繁Ｃ雲警『鯖誓誇示滋養肇蔓。旨多Ａ）を用い，同図に示すようにｂ（ピンホール，，の＝ｏ，５ｍｍ），ｃ（偏光子），ｂｚ（ピンホール，必＝. ２Ｂ醍．－。－－ｉ. ｈｉ. ｆ. ｏ，２ｍｍ）に導き径の小さな偏光ビームを作る，次. ｔｅｒーｏｔｐ ” ” 八ｙ. 調をかける．続いてｇ（位相雲母板）によって適. Ｆｉｇ，４Ｅｘｐｅｉｍｅｎｌａｐｐａｒａｔｕｓ（ａ；Ｈｅ‐Ｎｅｇａｓｔｒａ. にｄ（水晶振動子）に導き内部応力によって光変正光学バイアス（. ・・・・・）に調 ÷ ，琴，琴，・. 整し，ね（検光子）を通して，ｚ（光電子増倍管，東. 芝ｐ財－５ｏ）で輝度変化を電圧変化に変換する．光. 電子増倍管の出力中，直流電圧Ｖｄ。は真空圧計で測定し，他方，交流電圧Ｖｑ。は同調増幅器によって. ｑ．ｃ．ｑｍＰ・. ｒｃデｒｌ豊驚きｉ一驚ｎ豊里ｉ，濯ぎーｔｒｅｃ。ｄｅｓｒｓｈｉｍ，ｇ；ｒｅｔａｒｄｅｒ，ｈ，ｆ；ｐａｐｅ・ｉｆｄｌｉｌｉーｉｈｔｔｉｒｒｅｒｏｍｕｅｅｒｏ；；ａｎａｐ；ｐｙｚ，，ｈｎｉｌｔｆｔ）ｒｏｒｍｅｒａａｎｓ．. ‐ 増幅し，半波整流し，ブ（差動トランス）によって測定された走査量の関数として × ‐Ｙプロッターに記録する．この場合，増幅器－整流器間の正確なゲインを確認し，交流電圧の最大値Ｖはに換算する．走査に関する機械的精度はマイクロメーター程度が必要であり，この方法による測定応力の最ノ」・限界は光源，同調増幅器，光電子増倍管の雑音によって決定され，実測で５ ×１０４ｄｙｍｅ／ｃｍ２である．６．有限要素法によるシュミレーション. ６．１基礎方程式平面の２次元運動方程式はＦ省．５のような外. 力ｐの下ではｐ. た－のり）◎. （１３）. となる．たは弾性マトリックス，ノは質量マトリックズである．〔。〕は変位ベクトルであって，同図の. 三角形要素のｉ，. ，，ｍの各々の変位を. ◎｛；｝｝一仁｝。，◎｛；，｛. ｑ）４. ｐ・. １（ｘｆ，瞬き，. ラＺ′ノ. ．. 、ｖ－〆、、、. ” ノｕ＼ ′ ー、. ｍ. ．．. 〆Ｘ′. Ｆｉｇｌｉｎｅｄａｔｎｏｄｅ．ｉｔｓｐａｃｅｍｅｎｓｄｅｆ．５Ｄｉ，. とすれば要素ｅについて｛α｝＝” のびみ鋤，〕↑｝. ｙ. １５）（（２３）.

(7) . 山. 形榎. 治. であり，板全面についてはお〕＝お，び２ぴ３… …びｍＦとしたものである．のは角周波数である，. ｑ６）. 著者らの実験では水晶振動子を電気的外力（圧電効果）で励振するが，水晶に対して電極を極め３のオーダーである従っ０－て疎に結合させているため，電気系－機械系エネルギーの結合係数は１，. て，この場合，振動子は近似的に弾性自由振動の状態にあるものとして取扱うことが可能であり，０３）式の外力ｐ＝０とおくことができ，固有方程式となる，この方程式を解くと振動子の固有周波数とそれに対応する振動モードが求まる．上の変位から各要素の応力ベクトル. モド伽ー. と歪エネルギー. ［〕ＴＤ者ＣＤｏ一／８△ ＆；Ｌ３. ６）但しＣは水晶の ”功労２８が求まる１ｃｕｔ水晶については，ｚ’軸に垂ｓｓ定数マトリックスであり，ＡＴ‐ ．. 直な二次元面では. ｑの ‐ ２ニ－１〇ニー（＞も；８６・４９．Ｏ５，Ｃｉ＝２９ｃ≦ ＝１２９２；・３９．９，（％６＝１０２＞＜１０ ‘むり２ｅｓ／ｃフタ２. ５）Ｄは要素ｅの変換マトリックスであり △ は三角形要素ｅの面積でＬは板の厚味で（１２となる１）式３，． “. のｈに相当する．〔ｏａｒβは厚味方向（ｚ’方向）では一様であると仮定する．添字のＴは転置を意味する．. 〃 ″ Ｚ. ６．２実験用資料と要素のとり方著者らが実験に用いた〆”７２０ ‐のｉｚ肥尤Ａｒα” 水. ３０、. 晶振動子はＦ名．６に示うような板である．円周の一. ０の傾きで切断されている部がｚ轍”こ対して３０のは応力，Ｔ’ ６，を測定するレザー光線を通すためである．切断にあたってはあらかじめ探針法に. よって，振動子表面の電荷の分布を測定し，電荷の分布の存在しない範囲で切断した．切断によっ. て，振動モード及び周波数ともに影響のない事を確認している．. １計算に用いる要素はＦ壱ｏこそう断面１ｌ．６のだ車. に対して騒ぎ．７のようにとった，このモデルはｙ ’方向（厚味方向）のＴ’ の分布をシュミレーシンョ６するために用いる同図にも示すようにｙ’方向の. ．節点数を多くし，２２等分した，. （２４）. 、、＼・. ゑ. 今. … 弓ゾ. ＼、／. －. ”↑ ×. ‐鼻叩－ＩＸ′. －. ′. ｌ. いや９，６や弓ＡＴｃｕｔ；キ１４．００拳ｉｎｔ：ｍｍ）；. ２５１ｆＱ－－－ー…ーーー. ′ Ｙ. １ム５．. ｌｒＦｉｇ．６Ｐ１ｔｔａｚｃｒｙｓｅ－ａｎｏ‐ ｃｏｎｖｅｘＡＴ‐ｃｕｔｑｕａｒ０ｌｌ３０ｓｏｎａｔｏｒｅｙＡＴＺ‐ ｐａｔ，，ｎａｍｅ.

(8) . ＡＴ－Ｃｕｔ水晶振動子の応力分布. ｘ’方向には３等分し１３２個の三角形要素を作った．計算した変位の様子をＦ省．８に示す．次にズ ’ ’ 方向のＴ’ 分布を計算するために断面の右半分のモデルを作たｘ方向に４等分し６っ．，ｙ方向に１６２８個の要素を作った．右半分だけのモデルをとった理由はＦ省等分し，１．８でみたように厚味たり振動は左右対照になり，半分だけ考慮すればよく計算機のメモリーの節約になるこの時の変位の計，. －－－－. －－１ムｏｍｍＸＩ－－－－－－－－－－亭，１. ｍｍｘ３。７. ３ｘ２２. ｄｉｖｉｓｉｏｎｓ. Ｆｉｇ．７Ｆｉｎｉｌｔｌｅｅｅｍｅｎｔｍｏｄｅ，. （ａ）ｆｕｎｄａｍｍｔ細. （. （ｂ）３ｒｄｏｖｅｒｔｏｎｅ. （ｂ）３ｒｄｏ〉ｅｒｔｏｎｅ. ｓｃ川ａｔｉ）ｎ. ｆｕｎｄａｍｅｎｔａ｛ーｏｓｃデーａｔｉｏｎ. ｏｓｃｉーーａｔｉｏｎ. ーａｔｉｃｎＬｏｓｃｉ. （ｃ）５ｔｈｏｖｅｒｔｏｎｅ. （ｃ）５ｔｈｏｖｅｒｔｏｎｅーｌａｔｉｏｎｏｓｃｉ. ーｏｓｃｉーａｔｉｏｎ. Ｆｉｇ．８Ｄｉｌｉｃｋｎｅｓｓｓｐａｃｅｍｅｎｔｓｏｆｔｈ ‐ ｓｈｅｓｓｖｌ ‐ ｂｒｉｏｎｃｏｍｐｕｔｅｄｂｙａｆｉｎｉｌｔｅｅａｔｅｍｅｎｔ. Ｆｉｇ，９ＤｉＳｐ１ａＣｅｍｅｎｔＳｏｆｔｈｉｃｋｅｓｓＳｈｅａｒＶ．－ｂｒｉｏｎｃｏｍｐｕｔｉｎｉｌｔｅｅａｔｅｄｂｙａｆｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ．. ｍｅｔｈｏｄ．. （２５）.

(9) . 山形. 楯. 治. 算結果は騒ぎ，９のようになる．７．実測値と計算値との比較 ’方向の応力分布７，ｌｙ ’ 厚味たり振動の応力Ｔ’ ６のｙ方向の分布の実測値を実線で示し，有限要素法によって計算した値を基本振動についてはＦを．ヱ捌こ各々示．互に５倍振動についてＦを．ＺＯに３倍振動についてはＦ省１２）式に従って応力の絶対値で示し，計算値は相対値で示してある．いずれも両者のよす．実測値は（い一致を示す．又，Ｚ姉毎月こ実測共振周波数と有限要素法によって計算した周波数との比較を示す．両者のよい一致をみることができる．. プブ光線が１００％水尚，Ｆ省．ヱ０～ヱ２において板の境界付近で実測値が小さな値を示す理由はローｏｓ３０で割り補正を加えた．晶中を透過できず，散乱が生ずるものと思われる．実測値はｃ２Ｘ’方向の応力分布 ’ 厚味たり振動の応力Ｔ’ ．ヱ３に示す．実線は基振動，点線は３倍振動，破６のｘ方向の実測値をＦ省線は５倍振動の応力分布を示す．実測した位置は各々についてＦ名．ヱ０～ヱ２の最大値を示す点（中央 ’ 部）をｘ方向に走査した．Ｆ省，辺に示す．．９のモデルで応力分布を計算したものをＦを両者の比較の結果よい一致を示す，Ｆ名ｓ３０で割り補正してある．．ヱ３の実測値はｃｏ７．. Ｎ ′ × Ｅ０５ｆＩ０６１４９ＭＨｚ，Ｆ．．Ｕｕｎ． ′ だｙｉｎ９３ＶＲｐｔｅｘｃｉａ ′ も（，ヂ８ｏｏｕ多、、Ｚ，；，、、，妥０３＼：％： ′ ．. 、. 、、. ′ ′. 、の. ２冨０，の ①. １豪０，. ′ ′ ′. 、. ′. ′ ′. 、＼. ｃｏｍｐｕｔｅｄ. ｍｅｑｓｕｒｅｄ. ／／. ＼. ．うＱＥ３ｏ０．ｕ」 ○ ＋のの ① ２０．わの」 ○① 上のＩ ① ０，〉二口琶」. Ｏ. Ｏ０. ０．２. ０，ム. ｙ′ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ. ６０．. ０．８. ／ｙｇｙ′. １．○. ｉｃｋｎｅｓｓｉｏｎｏｆｐｉＦｉｇ．１ＯＴｈｉｉｂｕｔｔｒ ‐ ｃｏｎｖｅｘＡＴ‐ ｃｕｔｒｅｓｏｎａ ‐ ‐ ｓｈｅａｒｓｔｒｅｓｓｄｓａｎｏ. ｉｌｏｓｃｉ旦ａｔｉｏｎｆｌｃｕｒｖｅ；ｒｔｏｒｖｔｈｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｒｅｑｕｅｎｎｃｙｉｌｅａ ‐ ｖ，ｒｅａｌｄｄｄｌｄｄｔｔｔｓｕｒｅｖａｕｅａｎｏｅｃｕｒｖｅ；ｃｏｍｐｕｅｖａｕｅ．. ）（２６.

(10) . . Ｑ＊. ３ｔｆｒ＝５．００４９ＭＨｚ，５ｔｈｏ‐‐ ．. ．｝コちＱ＾ハＯ１「に．０Ｕキ」ｔｔｔＩ」○ ｝Ｏ三Ｂのの．み. 」１５０只Ａ）５ＶＲＰ（Ｉ＝ｉｎｇｌｔｅｘｃｉ．Ｐー、 ′ 、. ′へ ′ 、、. . . . ′. ′ ー ′. 、Ｙ. ＼. ′. ′. ′. ｔ. . . 受０３. グヘ、グ＼. . ８. . 新０１. ○ ５沢．心. ＼. . 」. 葛. . . . . ３呈 ○ ．. ′ ′. . ＼. ０４薪．」. ｉ. ー. ゴ） ①. . . . ｛′. 影. ＝／. と（. . . ｉ. . の. ２些 ○ ‐. ，す. ぬ . み．. . . . ′. ＼. . . . . ０ ① １上ＱＥＯＵ. . . －，． ‐ ＊. ≧！. ８. . . 」. Ｏ０. ０‐２. ｙＦｉｇ‐１Ｉ. ０．４. ０．６. ０‐８. １．ｏ. ０. ｄｉｒｅｄｉｏｎｙ？ｙば. Ｔｈｉｉｓｉｂｕｔｉｏｎｏｆｐｌａｎｏ‐ ｔｔｃｋｎｅｓｓ－ｓｈｅぞ江ｓｒｅｓｓｄｒＣｏｎｖｅｘＡＴ－Ｃｕｔｉｏｎｆｔｈｔｈｅ３ｒｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｒｅｑｕｅｎｃｙｒｄｏｖｅｒｔｏｎｅｏｓｃｉｕａｔ，ｃｕｒｖｅ；ｌｌｔｅｄｃｕｒｖｅ；ｃｏｍｅａｓｕｒｅｄｖａｕｅａｎｄｄｏｔｌｎＰｕｔｅｄｖａｕｅ．. １Ｆｉｇ‐１２. ．・．，．ー．－・. の虚０． ① 〉－｝ロ. ２０．. . . ０．２. ①. ＬＵのーのち」 . ｆｉ. 蓬２. ′、 ′ハ. . . . Ｕの４２ . . ｔ. ‘ ，. . ６ ‐ 巨. 、、. 亀. . . ｏ７君．. ｔｉｎ９３ＶＲｐｅｘｃｉ. 竺ｏ５．. ／. ０８ヨ．. ０２６０６ＭＨｚ，３ｒｄｆｒ＝３．. ′ へ. 、. ・. ▼. ０‐４. ０．６. ０‐８１．. ー ①」. Ｏ. ｙβｄｉｒｅｃｔｉｏｎｙ７ｙｇ. Ｔｈｉｃｋｉｓｉｂｕｔｉｏｎｏｆｐｌｔｌｌｅｓｓ ‐ ｓｈｅそａｒｓｔｒｅｓｓｄａｎｏ１ ‐ ｃｏｎｖｅｘＡＴ‐ｃｕｔｉ且ａ直ｏｎｆｔｈｔｈｅ５ｔｈｏｖｅｒｅｓｏｎａｔｏｒｗｉｔｏｎｅｏｓｃｒｒｅｑｕｅｎｃｙｌ「ｖｅ；，ｃｕｌｕｅａｎｄｄｏｔｔｅｄｃｕｒｖｅ；ｃｏｌｍｅａｓｕ；ｒｅｄｖａｌｎｐｕｔｅｄｖａｕｅ．.

(11) . 山. 形. 積. 治. ＴａｂｌｅＩＲｅｓｏｎａｎｔｆｒｅｑｕｅｎｃｌｅｓ，. ）ｅｄｆ（ＭＨｚｃｏｍｐｕｔｒ. ）ｅｄｆ（ＭＨｚｍｅａｓｕｒ. ｌｆｔａｕｎｄａｍｅｎｉｌｌｉｔｏｎｏｓｃａ. １．００００. １．０６１４９. ｔ３ｒｄｏｖｅｒｏｎｅｉｌｌｉｔｏｎｏｓｃａ. ３．００８０. ３．０２６０６. ５ｔｈｏｖｅｔｒｏｎｅｉｌｉｌｔａｏｎｏｓｃ. ５．０６２１. ５．００３４９. の ○ ［ＸＮＦ」ｕ＼ ⑯ 仁＞ ℃ ののｓＬ｝の、一ｎ） ○ 」の、口〔コ ↑ Ｌｏ中０Ｆｉｇ．１３. ｒ. ７の０受” ６Ｎこ」Ｕ. ′ ／ ′／. ５＼ ⑮ こ〉４Ｕｍの３⑩」｝の２十日. ＼ ‘ ，＼. . ＼＼. ，７３ｒｄｏｔ．．. ）＼、＼０２６０ＭＨｚ」（３．、. ′. ′. ．２. ｏ上１｝町」ｏ０↑. ｆｕｎｄ，. ＼１５ＭＨが、１ｏ６（．．ム. Ｘ′ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ. ．６. ．８. ／×もＸ′. １．○. ｌｉｂｕｔｉｏｎｓｏｆｐｉｔｃｏｎｖｅｘＡ１‐ ｔａｎｏ‐ Ｍｅａｓｕｒｅｄｔｈｉｃｋｎｅｓｓｓｈｅａｒｓｓｒｒｅｓｓｄ ’ ｒｉｎａｔｅｉｏｎｏｆＡＴ－ｃｕｔｃｏｏｒｄｅｃｔｅｓｏｎａｔｏｒｉｎｘ－ｄｉｃｕｔｒ．. ８．実測値の信頼性実測した動応力の絶対値の信頼性をＳＰの２ｅｒがｘ線回折顕微法によって測定した応力の絶対値ｃと比較する．）で振動させたＳＰ β ’ ’だのの実験によれば，著者らと同様な水晶振動子を５倍の倍振動（約５ＭＨｚ. １－ｍ８場合，励振電流（結晶電流）１”Ａ当りひずみはｓ’ ６＝１．３７×１ｏ（”Ａ）であった，著者らの実験では電極間隔が２．ｏｉ ’ “の平行平板電極の間に振動子を置いて，電極間に１．５０Ｖｐ〃 ‐ かの５倍振動の励Ａ滋ずみに換算し５０” となる．この値をひ振電圧を印加した時，結晶電流は１，更に応力，６に，，. 直すと. ｌｐ＝１５０”Ａ. Ｓ’ ６＝Ｉ．３７×１０‐８×１５０＝２．０６×１０６. ’ ｓ’ ＝６０６×１０ｄｎｅｓ／ｃｍ２Ｔ’ ５ｙ６＝Ｃ６６６． ’ ＝２９３×ｌｏｌｌｄｙｎｅｓ／Ｃｍ２ｗｈｅｒｅＣ６６．）（２８. 御）.

(12) . . ＡＴ－Ｃｕｔ水晶振動子の応力分布. のようになる．但しＣ’ ｃｕｔ水晶板の弾性６６はＡＴ‐. １．. 係数である，. ５倍振動の応力の実測値はＦ省，ヱ２及びＦ省，ヱ３. ５ｔｈｏｔ（ｃ），．. 声８. ２６において，最大値でＴ’ ６＝６．５×１０ｄｙｎｅｓ／ｃｍであ１）の報告と一致し実測結果は信るから，ＳＰｇ７７ｃｅ〆１，. の．襟ののの. ｎＬ. 頼できる，. 新」ｍの. ９．むすび. 【の ①＞. 益鷺素“呈溺霧蓬謄繁ｇ濁露薙を内霊２を試みて一応の結果を得た従来水晶振動子，. ．. ，. の振動モードの観測には探針法，ホログラフィ法. 等と表面変位を測定するものが主で，内部ひずみ. ｏ. はその類推から求めていた．しかし，この方法は. 直接応力・ひずみを観測する方法として有効であ．り，他方面への応用も大きい，特に “ ，倍振動の場合，応力の分布が基本振動の. １／〃の波長でｎ層状にｎ層のくり返しになってい. （ａ）ｎｄ，ＯＳＣ. 一帯一．. ，５. ，６. ７．. ′ ｄｉｉｏｎＸｒｅｃｔ. ８，. ０，９１，. ｘソｘｂ. ｉＦｉｔ ‐ ｅｄｔｈｉｃｋｎｅｓｓｓｈｅａｒｓｔｒｅｓｓｄｉｓｔｒｇ．１４Ｃｏｍｐｕ・ｂｕｔｉｏｎｓ爾ｐｌａｎｏ ‐ ｃｏｎｖｅｘＡＴ－ｃｕｔｒｅｓｏｎａ ‐ ｉｏｎｏｆＡＴ‐ ｔｃｕｔｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｏｒｉｎズーｄｉｒｅｃｔ，. る点を実験的に確認できたことは大きな成果である．. 次に，有限要素法によって〆の“ の撚りｅェＡＴα” 水晶振動子の厚味たり振動のシュミレーションを. 行い，実測値を裏づけることができた．逆に有限要素法はＡｒ‘” ‘振動子の設計に有効であろう，又，水晶にかぎらず，他の振動体に対しても，レザー光線の変調法と有限要素法の組合せは，振動解析の強力な手段となる，更に有限要素によるｓ“””函加川こよって，Ｐ毎〃ｏ ‐の〃〃〃×振動子の曲率の変化に対する共振周波数の変化も知ることができた，この点については別報にゆずる．. 謝辞研究全般について常に適切な助言をいただいている北大・工学部深井一郎教授並びに実験装置の整備に関して協力を得た可合利明氏に感謝します有限要素法による計算実務について同修士課程，山本和光氏（現住友電工）の協力を得，実験の面で同修士課程奈良真一氏（現通研）及び同教室研究生曽我部藤夫氏（現浜猿払中）の協力を得ました．資料水晶の提供は東洋通信機（株）岡野庄太. 郎氏の好意によります．計算には北犬大型計算センターのＦＡＣＯ財２３０－Ｚ５を用いた，協力下さっ ‐ た方々に感謝します．. 参考文献（１）山形，ｅｔａｌ：信学会誌，Ｖｏｌ；６（１９７１）．５４Ａ，Ｎｏ．３７１，ｐ． ”ＳｔＹｄｄＳＹＤｉｉｂｉＭ２ｔ１ｉｎｇＱｕａｒ（）１亡ｔｉ１１ａｓｒａａｎｍａａａ：ｒｅｓｓｒｔａｓｕｏｎｔｔｈＬａｓｅｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｉｎｏｓｔａｇＣａｒｚＣｒｓｗｉ．・ｙｓ “ＣｏｎｆＰｒ１ｉｃａＩＳｙｓｏｂｅＢｅａｍ，ｔｔＩＥＥＥ，ＤｉｇｅｓｅｒｅｎｃｅｏｎＬａｓｔｉｃＩＰａｐｅｅｒａｎｄＥｅｃｒｏｏｐｔｏｆＴｅｃｈｎｅｍ，ＯＳＡ／ｒａｓ．３８，ｐ１９７６Ｍａｙ（）．. （３）山形，安田：昭４５電連合・道大会予稿，ｐ０３（昭４５），１．（４）山形，安田；信学会全国大会予稿、分用２，ｐ１（昭４６）．２１，（ ‘：信学会全国大会子稿，分冊４、ｐ）杉原，傷口５２４７（昭４）９．１，（２９）.

(13) . 山形. ）（６（）７（）８（９）１（のＱＤ. 横. 治. ）０ｌ：昭５０電連合・道大会子稿，ｐ６０（昭５ｔ山形；ｅａ．１，ｌｌ：応物誌，Ｖｏｔ山形，ｅａ．３０８．３（１９７３）．４２，ｐ．，Ｎｏ. ）ｌ：昭４９電連合・道大会予稿，ｐ４５（昭４９ｔ内沼，ｅａ．１．）８１（昭５１ｌ：昭５ｔ１電連合・道大会子稿，ｐ山本，ｅａ．１，、ｉｌ：信学会会・電波全大会予稿，ｐ７（昭にｔ山本，ｅａ．４０．. ” ｌＶａｒ “ ｒｋｉｉＩＡｃｏｕｓｅｓｓｔｃｓ．ｃａ．１２７Ｖ．Ｊ，１９６８，ｐ，ＮｅｗＹｏ．，ｐｔＡ，ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒ，ｖｏ．Ｓｐｅｎｃｅｒ：Ｐｈｙｓ ”ＡＳｔｕｄｏｎｔＭｄｌｉｂｙａｎＡＴ‐ ｉｆＬｉｈＭｈｔｈｔｃｕｔｄｏｕａｏｎｄｌＹｍｈｉｅｃａｎｓｏ日ＵｅＹｇｔｒａｓｕａＱ２）Ｓ，ｎｍａａーｙｃｕ，，，ａｍａｇａａ，，ｌ９７５ｉｏｎｌＩＡ）ｖｏｉｏｎ（Ｓｅｃｔｉｆ敷ｉｕｃａｉｖｅｔｆＨｏｋｋａｉｄｏＵｎｔｌｏｔｒｓｔ副Ｐ１ａｅＰＪ．４７，ｔｙｏＱｕａｏｕｒｎａ．１．２６，ＰｒｚＣｒｙｓ，Ｎｏ，１ “ ｉｆ：“Ｐｒｉｎｃｉｐｌｌｒｋｅｓｓｅｓｏｆｏｐｔｃｓ０３）Ｍ．ＢｏｒｎａｎｄＥ．Ｗｒｏ．６９４－６９８，，ｐｐ，１９７０，ＮｅｗＹｏ，ＰｅｒｇａｍｏｎＰｒ. ’北大工最終講議資料（１５９７ ◎ 安田一次，”結晶光学を応用した水晶発振器’ ．．２．５）てＪＡＰＰ ” ｌ１９５１ＩＩＰ１ｉｏｎｏｆＣｒｙｓ１ｌｖｉｂｒｔａｔｄＦＳｈＴｈｉｋｉｎａｅｓ′ ａｔｒａｎｅｘｕｒａ．３ｃｅｓｓｅａ．Ｐｈｙｓ．．２２．，Ｎｏ，（ ◎ Ｒ，ｖｏ，．Ｃ．ＭｉｎｄｌＭａ）ｒｃｈ，３１６，，ｐ. ｌ４）９８７仰山潮，加川：日本音響学会誌，Ｖｏ．３．７（１９，ｐ，３０，Ｎｏ．１，１９７８，節山形積冶：光弾性効果による光線の変調とその応用研究，第３報，北教大紀要（２部Ａ），Ｎｏ，ｖｏＬ２９ｐ．１５，．. 附録. ２. Ａ，２Ｓｅｃｏｎｄｒａｎｋｔｅｎｓｏｒの座標変換 ’ ×’， ×’ 基準座標系 ×，２， × ３で示すと，ｘ２，ｘ３で示されている２次のテンソルを新しい座標系１. き，変換式は. ， ’ βｘ） × 為 ’ ）．（ａｘｘ’ 乙た！ｊｘ‘＝（ａｘノ焔ｘｆ. （Ａ２．１）. ／βｘ々）は２次テンソルの変換係数であって，各々（）内は方向となる．ここで（ａズメａｘａ・（ａズ乙１姉をＡ２－ヱのようになる．又，同図余弦となる．Ｆを．ＡＺ－ヱに示すような場合，その方向余弦は７Ｚの‘ ｅＡ２－２となる．のような回転角（の，メ亨）の場合 α”は座標変換の２～３の例を示す，今，Ｓｔｒｅｓｓｍａｉｘｔｒ. 〔Ｂ〕. Ｓｔｉｎｍａｉｘｔｒｒａ. 〔Ａ〕. ｉａｎｃｅｍａｔｒｉｘｃｏｍｐｌ. 〔ｓ〕. ｉｉｘｆｆｎｅｓｓｍａｔｔｒｓ. 〔ｃ〕. （Ａ２．３）. －－－－ｙ. 冊. . . . ｉｌｉｖｅｄｂｙｔｈｒｔ ‐ ｃｕｔＯＡ．ｉｑｕｅｐｌｌｒｏｍａＺｅｅｒｏａｏｎｓｆＦｉｇ．Ａ２－ＩＡｎｏｂａｔｅｏ’Ａ’ ，ｄｅｒ. ０）（３.

(14) . ＡＴ－Ｃｒｔ水晶振動子の応力分布ＴａｂｌｅＡ２－１残. . . . α １１＝方面÷－ａ差. . . Ｔａｂｌｅ. ′ . る. . . α １１＝寄宿 ÷ ÷－寓さ ≦ ÷. α ２１；富三；÷－言う『. α ２；言２夜毎÷－βズを. . α ！３に箸－簾. 伽‐ 器－鰭. 伽－嘉－鰭. Ａ２－２. Ｇ（の， γ，．１１．ＣＯＳのＣｏｉｓγＣｏｉｓ夢－ｓｎのｓｎ彰. 夢）. ．＾１Ｚ一ＣｏｉｓのＣｏｉｓγｓｎ彰一ｓｎのＣｏｓ夢１＾・× Ｃ｝ｏｓのＣｏｓγ “ ．２１ｓｌｎのＣＯＳγＣｏｉｓ夢十Ｃｏｓのｓｎ夢２２ＭＹ－ｓｉ１ｎのＣｏｓγｓｎ夢十ＣｏｓのＣｏｓ夢２＾ “ロｓｌｎのｓｌｎｒ＾．３１－ｓｉｎγＣｏｓ夢＾＾３２ｓｉｉｎ夢ｎγｓゴ＾ーロ. とすれば. ［Ａ］＝［ｓ］［Ｂ］［Ｂ］＝［ｃ］［Ａ］. （Ａ２，，３）. と示される，座標系を（ｘ，）から（ズ，，ｘ２，ｘ３，，ズ２，ズ３）に変換すると. ［Ｂ’ ］＝［Ｆ，］［Ｂ］＝［Ｆ，］［ｃ］［Ａ］となれ，［Ｆ．］は［Ｂ］の変換ｍａｉｔｒｘで（Ａ２．１）式により，. 匝Ｊ＝. （Ａ２，４）. 〆．. メー. メー. ２α２・α ３．. ２α３・α ・・. α＆. α＆. 噂２. ２α２２α ３２. ２α３２α ・２. ２α ・２α ２２. 〆３. 牙 α ３. 〆３. ２α ２３α ３３. ２α ３３α ・３. ２α ・３α ２３. ２α・・α ２・. α １２α ）（の２α １３ α ２２α２３ α ２α３３３（α ２２α３３十α ２３α３２）（α ３２α ヱ３十α ３３α ，３２３十α ，３α ２２）. （Ａ２．５）. αｕα１３ α ２１α ２３ α ３１α ３３（α ）２３α３１十α ２１α３３）（α ３３α”＋α ３ぬ１３）（α １３α２１十α“α ２３ α“α１２ α ２，α２２ α ３，α３２（α ２１α３２十α２２αａｌ）（α ３１α１２十α ３２α ，１）（α ，１α２２十α ，２α ２，）. となる．又，逆変換は. ［Ｂ］＝［Ｆ，］ ‐１［Ｂ’ ］＝［Ｆ２］［Ｂ’ ］（３１）. （Ａ２．６）.

(15) . 山. ［Ｆ２］；. ２α２２α ２３. ２α２・α ２３. ２α２・α ２２. ２α３２α ３３. ２α３・α ３３. ２α３・α ３２. ば３. ２Ｑピ白３ー２４. 〆．. 〆２. α者３ば３. 治. ２α・・α ・２. 〆２吋２. 積. ２α ・・α ・３. 〆．〆．. 形. ２十α ２２α３１１α ３３ α ２１α３ α ２ α ３２ α ２３α ３１十α２２２α３２２α ３３十α ２３α ２３α３３ α ２１α３１ α α３１α”. （Ａ２，７）. α ３２α ーー１α１３ α ３１の２十α １２ α ３３α １，十α３１３２α １３十α３３α ３３α １３ α ３２α ２ α. ２２十α１２α ２ー α＝α２３の１α ２ α １３α２１十α＝α２２α２３十α １３α２２２ α １３α ２３ α １１ α １２α. ｉｘはｉｎ［Ａ］に対する変換ｍａｔｔｒとなる，更にｓｒａ ’ ］［Ａ］＝［Ｄ，］［Ａ］＝［Ｄ，［ｓ］［Ｂ］. （Ａ２．８）. より，. αみ. αず．. α２．α ３・. α３・１α・. の１α ２１. α＆. α＆. 〆２. α２２２α ３. α３２α ・２. αｉ２２α ２. αｆ３. ば３. 好３. α ２３３３α. α３３α ・３. α１２３３α. メー. ［Ｄ．｝＝. ２α ２ α ・２α２３十αー３α２２・３２α・３十α ３３α ３十α ２３α ３２ α ２２α２３２α ３２α ３３ α ２２α ３，２α，３２α. （Ａ２．９）. ２の．α，ＩＩ３α２Ｉ十αＩＩα２３３α”＋α ３・α ３ α ２，十α ２，α３３ α３，α３３ α ３α ３２，α ２３２α３３２α ２αｕα，２α２１３２α １１ α １１α ２２十α１・ α ３・αＩ２十α ２ α ２，α ３２十α ２２α３２２α ２，α ２２２α ３．α３. ｉｘはｒとなり，又逆変換ｍａｔ］］［Ａ，］＝［Ｄ２［Ａ］＝［ｂｌ］－［Ａ’. （Ａ２．１０）. より，. ［Ｄ２］＝. 〆．. ば２. αゐ. α．２α ．３. α １１α ・３. α １２１１α. ｄ．. ば２. 瞬３. α２２α ２３. α ２２１α ３. α２１α ２２. メー. α＆. α＆. α３２α３３. α３・α ３３. α ３ｉα ３２. ２α醐引２吻伽２α叩溺. 伽伽＋鍍伽. α筋伽十α姻澗 α鱈伽＋ぬぬ，. ）（Ａ２．１１. ２α ３２α １１３ α ３１α １２十α １Ｉ２ α ３３α ＩＩ十α ３Ｉα ３２α ，３十α ３３α ３３α，３ α ２α１２２α ３．の，２α ３２α ２１２α １３ α ＩＩα２２十α ・３α２・十α”α２２ α ，２α２３十α ，３α２２３ α ，２α ．２α２２２仏３α ，．α ２. ］の逆行列であることが］，［Ｄ２］は［Ｆｄ，［Ｄ．０）式から［Ｆ２６）式，（Ａ２．１となる，（Ａ２．Ａ２）Ａ２式と（９１１（７））を比較しＡ２５）式と（Ａ２わかる，又，（，．を比較すると．，．２）（Ａ２．１１（Ａ２Ｄ］＝［２ｒ［Ｆ２．３）. となりお互いに転置行列の関係にある．０）式を代入し次に弾性定数［ｃ］及び［ｓ］の変換について考察すると（Ａ２．４）式に（Ａ２．１て. ］］［Ａ’ ］＝［ｃ］［Ａ’ ］［ｃ］［Ｄ２］＝［Ｆ，］［ｃ］［Ａ］＝［Ｆ，［Ｂ’. （Ａ２．１４）. ）（３２.

(16) . ＡＴ－Ｃｒｔ水晶振動子の応力分布. ］＝［Ｆ，］［ｃ］［Ｄ２］ｗｈｅｒｅ［ｃ’ ．. ８）式に（Ａ２．６）式を代入してとなり，（Ａ２．；］＝［ｓ’ ］］］〔ｓ］［Ｆ２］［Ｂ’ ［Ｂ’ ］＝［Ｄ，［Ａ’ ］お］［Ｂ］＝［Ｄ．］＝［Ｄ’ ｅ［ｓ’ ｗｈｅｒ，］［ｓ］［Ｆ. を得る，（Ａ２，１５）式及び（Ａ２．１７）式はＦｏｕｔｈｒａ曲ｐｏｌａｒｔｅｎｓｏｒの座標変換である．. （Ａ２，１５）. （Ａ２，１）６（Ａ２，１７）. 附録の参考文献 “ ＩＰｈｙｓｉｃｆｌｉｔａａｃ１ｔ１，Ｖ．Ｐ，Ｎｒｋｌ９６６ｒｓｓｅｓｅｓｓｓｏｎ：”ＣｒｙｓｓｏｎｔｅｏｎＰｒｏｃｅａ．１１一３５，，ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒ，ＮｅｗＹｏ，ＰＰ “ ” ｉｅｚｏｅｌｉｃｉＤＰｂＩＮＹｋｌ９４６６５８３ＮＣｔｙ２，い，Ｃ．Ｃａｄｙ：Ｐ－ｅｃｔｒｒｅｏｒｏｖｅｕｗＰＰ．．．，，，，，. （３３）.

(17)