Hrushovski’s
New
Proof of Manin-Mumford
Conjecture
板井 昌典
(ITAI Masanori)
東海大学 理学部
情報数理学科
(Department
of
Mathematical
Sciences,
Tokai
University)
1
はじめに
幾何的モデル理論の数論幾何への応用として,E. Hrushovski
による幾何的Mordell-Lang
予想の解決は有名である. ザリスキー幾何の理論を用いて, す べての標数に対してffl一的論法で予想を解いたのであった. 標数0
の場合は すでにA. Buium
によって微分代数的手法で解かれていたが, すべての正標 数に対する解決はHrushovski
による画期的な結果である. ここでは, やはりHrushovski
による数論幾何への応用として,Manin-Mumford 予想に対する
.,
新たな視点からの別証明について解説する.
2Manin-Mumford
予想
Manin-Mumf化rd 予想 $C$:
種数2
以上の代数曲線, $J(C)$:
$C$ のヤコビ多様体, $C\subset J(C)$ と考える. $C$ 上には $J(C)$ のtorsion points
は有限個しかない. - ちなみに, 種数1
の場合, $C$ は楕円曲線である. この場合$J(C)=C$ であり,
torsion points
は無限個ある. 群$G$ に対して $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)$ の構造が分かれば,有限性は自然な帰結として得られる. アーベル多様体に関しては次の結果が
有名である.
数理解析研究所講究録 1283 巻 2002 年 7-20
Theorem
1(Raynaud, 1983)$A$ をアーベル多様体, $X$ を部分多様体とする. ともにある数体$K$ 上定義され
ている. $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$ を $A(K^{a})$ の
torsion
$\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{s}$全体の群とすると,$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)\cap X=\cup i=1n(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A:)+c)$
である. ただし, $A_{:}$ は $A$ の部分群多様体, $ci\in A,$ $K^{a}$ は $K$ の代数的閉包
とする. アーベル多様体は完備な代数群である. 代数群の完備性を仮定せす, 単に 可換性のみを仮定しても同様の結果が得られることを,
Hrushovski
が示した.Theorem
2(Hrushovski) $G$ を可換代数群, $X$ を部分多様体とする. ともにある数体 $I\dot{(}$ 上定義されて いるとすると $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)\cap X=\cup=1n(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G:)+c:)$ である. ただし, $G$:
は $G$ の部分代数群, $c:\in G$ である. さらに, $n$ の大き さをeffective
に押さえることが出来る. すなわち, $n\leq c\deg(X)^{e}$であるような定数 $c,$$e$ が存在する. ここで $c,$$e$ は $G$ と $G$ の
2
っのgood
reductions
$p,$$q$ だけに依存して決まる.31-
基底群
(
$\mathrm{o}^{-}\mathrm{n}\mathrm{e}-\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{d}$Groups)
幾何的モデル理論を用いて解く場合,1-
基底群と呼ばれる群の構造定理が活 躍する. 次に述べる基本性質のうち,3
番目が特に重要である.Fact 1
$G$ を 1-基底群とする.1.
加群は 1-基底群である. よって可換群は 1-基底群である.2.
連結な1-
基底群は可換群である
.
(–\Re には, 可換群 $\cross$ 有限)3.
$G$ の任意の定義可能部分集合 $X$ は, 有限個の定義可能部分群たちの剰 余類のブール和である.8
1-
基底群の典型例である加群のモデル理論について考えてみよう.
$R$ を乗法の単位元
1
を持つ, 可換環とし, $R$-加群の言語, $LR\ovalbox{\tt\small REJECT}\{+, 0, \{\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT} r\mathrm{C}R\}\}$ ,(ただし $\ovalbox{\tt\small REJECT}$ は $r$倍を表す
1
変数関数記号) を一 固定する.Example 1
$\mathrm{Z}$-加群としての, $(\mathrm{Z}, +, 0, \{f_{n} : n\in \mathrm{Z}\})$ の定義可能部分集合 $X$ の形を考
える. $x\equiv k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} n$ という関係は, 論理式$\exists y(x=f_{n}(y)+k)$ で定義され
る. したがって定義可能集合$X$ は $x\equiv k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} n$ の形をした論理式のブー ル和によって定義されていることが分かる
.
これはまさにRaynaud
の定理やHrushovski
の定理における $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)$ の構造と同じである. -\Re の $R$-加群に関しては, 次のような構造定理が得られている.Theorem
3 $M$ を $R$-加群とする. $\psi(\overline{x})$ を論理式とする.p.p-
理式のブール和になって いる論理式 $\psi^{*}(\overline{x})$ が存在して, $M\models\psi(\overline{x})rightarrow\psi^{*}(\overline{x})$ が成り立つ. ここで, $\mathrm{p}.\mathrm{p}$-論理式というのは, 上の $x\equiv k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} n$ と同様のこ とを加群の言語$L_{R}$ で表現した論理式のことである. したがって本題に戻れば, アーベル多様体$A$ あるいは可換代数群$A$ に対し て, $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$ が 1-基底群であれlf–ff落着である. しかし大きな問題が待ち構 えている. 点$x$ がtorsion
point であるということの定義を振り返ってみよう.$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)\ni x\Leftrightarrow\exists n\in \mathrm{N}(nx=0)$
である. ここで,「$\exists n\in \mathrm{N}\mathrm{J}$ の部分が問題なのである. 幾何的モデル理論では
このような量記号は扱えないのである. つまり, $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$ という群をモデル理
論で直接扱う事が出来ない.
ではどうすればよいのか?
$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$ の代わりに, $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$ を含む 1-基底群を探せばよい. そのような群
を探すために
difference
fields
のモデル理論が登場するのである. すなわち,体 $K$ とその自己同型 $\sigma$ を一 ffi に考えるモデル理論である. 特に
ACFA
と呼ばれる, 代数的閉体と自己同型 $\sigma$ を一緒に考えるモデル理論が活躍するので
ある.
ACFA
に関しては, 本講究録にある桔梗宏孝氏の解説を参照されたい.4
幾何的
Mordell-Lang
予想との関連
ここで幾何的
Mordell-Lang
予想との関連を考えてみよう.Hrushovski
が証明したのは次の結果である.
Theorem 4
$k_{0}\subset I\acute{(}$ を異なる代数的閉体とする. $K$ 上で定義されたアーベル多様体$A$
と, $A$ の無限部分多様体$X$ を考える.
$\Gamma$ を $A(K)$ のランク有限な部分群とする. さらに,
Stabx
$=\{a\in A$:
$a+X=X\}$ は有限であるとする. このとき次の
1
または2
のいすれかが成り立つ.1.
$X\cap\Gamma$ は $X$ でザリスキー稠密でない力\searrow または2.
$A$ の部分アーベル多様体$B,$ $k_{\mathit{0}}$ 上定義されたアーベル多様体$S$, そし て $k_{0}$ 上定義されている $S$ の部分多様体$X_{0}$ と $K$ 上の同型射$h:Barrow$S\otimes
へ $K$ が存在して $X=a0+h^{-1}(X0\otimes_{k_{0}}K)(a_{0}\in A)$ となっている. 実は上の定理を幾何的モデル理論を用いて証明する場合, ランク有限な群 $\Gamma$ を扱うことが出来ないのである. ランク有限の定義にはやはり 口 $n$ \in N」 が必要だからである. この定理を証明するということは, 場合1
または場合2
のいずれかが成り立つということを示すことである.$1$
.
$arrow\vee$\emptyset場合に\acute \supsetいては, $\Gamma$ を含む 1-基底群を探さなければならない.・標数
0
の場合:differentially closed fields
のモデル理論を用いる$\bullet$ 正標数の場合
:separably closed fields
のモデル理論を用いる2. この場合ザリスキー幾何の理論を用いて, $k0$ と同型な体を再構成する. このように幾何的
Mordell-Lang
予$\mathrm{a}\mathrm{e}_{l\mathrm{u}}$ の解決にはザリスキー幾何の理論が 必要 1であるが,Manin-Mumford
予想では, ザリスキー幾何の理論は不要で ある. 1標数0の場合, ザリスキー幾何は不要であることが2002年初頭に証明された. 正標数の 揚合は依然として必要である.10
5Prime-tO-p
Torsions
$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$ を含むような 1-基底群を探さなければならないが, その前により簡単 な $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$ について考えることにする. $p$ を素数, $q=p^{n}(n\in\omega)$ とし$k=\mathrm{G}\mathrm{F}(q)$ を標数$p$ の有限体とする. また $k^{a}$ を $f_{\hat{v}}$ の代数的閉包とする.$\bullet$ $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)=$
{
$a\in A:\exists n(n,a=0)$ ただし, $n$ は $p$と互い}こ素}
$\bullet$ $\phi_{q}$:
$x-x^{q}$:
$k^{a}$ のFrobenius
自己同型とおく. 参考文献にあげた
Hrushovski
の論文にある次の補題が重要な働きをする.
Lemma
5.0.9 (Hrushovski の論文のp.
104)$A$ を $k$ 上の可換代数群とする. このとき
$F(\phi_{q})(a)=0(\forall a\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A))$
を満たす $F(T)\in \mathrm{Z}[T]$ が存在する. ただし, $F(T)$ は
1
のべき乗根を根として持たない. また, 多項式$F[T]$ は次の性質を持っ.
$\bullet$ $\deg(F)\leq 2\dim(A)$
$\bullet$ $F$ の係数の絶対値の和 $\leq(1+q^{1/2})^{2\dim(A)}$
この補題があるので, $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$ で
0
となるような自己同型を規定する整数係数多項式の存在が保障される. そじてこのような多項式が存在するの
で, $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}_{-}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}$
fields
のモデル理論が活躍出来る.ACFA
の結果を駆使して,$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$ を含む1-基底群を探すのである. その結果として
Manin-Mumford
予想を解く事が出来る. 2
Lemma
5.0.9 の証明$A$ を $k$ 上の可換代数群とする.
Step 1: $A$ の分解
$0arrow Larrow Aarrow\overline{A}$ ($k$ 上の完全列)
を考える. ここで, $L$ は線形代数群, $\overline{A}$
はアーベル多様体である. よって
$0arrow \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(L)arrow \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)arrow \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(\overline{A})$ $2\mathrm{H}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{i}$
は 1-基底的 (onebased) ではな$<\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{y}$ modular と呼ぶ.
である. したがって,
$(F_{1}(\phi_{q})|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(L)=0\wedge F_{2}(\phi_{q})|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(\overline{A})=0)\Rightarrow F_{1}F_{2}(\phi_{q})|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)=0$
である. ここで, $F_{1}(\phi_{q})|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(L)=0$ というのは, 任意の $a\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(L)$ に対し
て $F_{1}(\phi_{q})(a)=0$ が成り立つということである.
Step
2: 3
つの場合がある.
$[egg1]:A$ がアーベル多様体のとき.
Weil
の古典的結果を用いて, 多項式 $F[T]$ の存在を示す. 得られる多項式$F[T]$ は, 次数2
$\dim(A)$ のモニツクで, 固有 値はすべて $|q^{1/2}|$ である. 概略:
$l$ を $k$ の標数と異なる素数とする.$T^{*}=\{(a_{1},a_{2}, \ldots) : a:\in A, l\cdot a_{1}=0, l\cdot a_{1+1}.=a:\}$
とおくと, $T^{*}$ は自由 $\mathrm{z}_{l}$-加群であり, $\dim(T^{*})=2\dim(A)$ である.
任意の $\alpha\in$
End(A)
は $\mathrm{Z}_{l}$-linear map
として $T^{*}$ に作用する. 一方,ratinal endmorphism
$\alpha$ は, $T^{*}$ への作用によって決まり,Frobenius
$\phi_{q}$ は $A$の
rational end
を定める. また任意の $F(T)\in \mathrm{Z}[T]$ に対して, $F(\phi_{q})$is
0on
$A\Leftrightarrow$ $F(\phi_{q})$is
0on
$T^{*}$である. $P(T)$ を $\phi_{q}$ の特性多項式, すなわち $\det(T-\phi_{q})$ とする. $P(\phi_{q})$ は
$T^{*}$ 上
0
である. ここで, $P(T)\in \mathrm{Z}[T]$ であることを示すのがポイントである(Weil の理論が必要).
$\phi_{q}$ を$T^{*}\otimes \mathrm{Q}_{l}$ の $\mathrm{Q}_{l^{-}}$線形変換とみたとき, $P(T)$ の根と $\phi_{q}$ の固有値が一
致する.
もしある固有値が
1
のべき乗根ならば,1
は$\phi_{q}^{N}$ の固有値 ($N$ は自然数)よって, $\phi_{q}^{N}(v)=v$ となる $0\neq v\in T^{*}$ が存在する. $\phi_{q}^{N}$ は $A$ の無限個の元
を固定する. ところで$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(\phi_{q}^{N})$ は有限だから矛盾する. したがって, $A$ 上で
$P(\phi_{q})$ は
0
である.参考文献
A. Weil, Courbes algibriques et variiti ab\’elienne
A. Pillay, Fact 2.2, p. 198
:
$A$ がalgebraic
torus のとき. $\mathrm{G}\mathrm{F}(q^{l})$ 上定義された同型写像$g$
:
$Aarrow \mathrm{G}_{m}^{n}$ が存在する. $\phi_{q}(g)$:
$Aarrow$$\mathrm{G}_{m}^{n}$ もやはり同型写像である. $\psi=g\mathrm{o}\phi_{q}(g)^{-1}$ とおくと, $\psi$ は $\mathrm{G}_{m}^{n}$ の自己同
型であり, $\psi\in \mathrm{G}\mathrm{L}_{n}(\mathrm{Z})$ である.
$\psi$ は $\phi_{q}$ で動かない. また, $\psi^{l}=\psi\circ\phi_{q}(\psi)\circ\cdots\circ\psi_{q}^{l-1}=id$ なので $g$ は
$\phi_{q}^{l}$ で動かないことに注意する.
この$g$ を用いると, $(A, \phi_{q})\cong(G_{m}^{n},g\phi_{q}g^{-1})$ であることが分かる.
$g\phi_{q}g^{-1}=\psi 0\phi_{q}$ かつ $(\psi 0\phi_{q})^{l}=(\phi_{q})^{l}=\phi_{q^{l}}$ なので, $A$ が
algebraic torus
である揚合[ま多項式として $F[T]=T^{l}-q^{l}$ を使えばよい.
:
$A$ がunipotent
group
のとき.$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)=\emptyset$ なので $F[T]=1$ とする.
標数 $p$ から標数
0
へ最終的には数体上で議論しなければならないので,
Lemma
509
を標数0
へ持ち上げなければならない. $A$ を数体 $I\acute{\mathrm{t}}$ 上の, 連結な可換代数群とし,
$\wp$
を
aprime of good reduction
とする.$L$ を $I\mathrm{f}_{p}$ の完備化の極大な非分岐拡大とすると, $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A)\underline{\mathrm{C}}A(L)$である.
さて, $k^{a}$ の
Frobenius
自己同型 $\phi_{q}$ は $L$ の自己同型 $\phi$ へ持ち上げられる (理由
:algebraically closed valued fields
の理論は$\mathrm{Q}$ $\mathrm{E}$を持つので). また, $L$ から $k^{a}$ への制限は, $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A)$ 上の
1
対1
写像を定義する.任意の多項式$F[T]\in \mathrm{Z}[T]$ に対して,
$F(\phi)(a)=0(\forall a\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A))\Leftrightarrow F(\phi_{q})(a)=0(\forall a\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A_{k}))$
である. これらを用いて,
Lemma
509
を次のように標数0
版へと持ち上げる.Lemma 5.0.10.
$\sigma_{0}$ を $K^{a}$ の自己同型とする. このとき, 1 のべき乗根を解としてもたな
い, 次数 $\dim(A)$ の多項式 $F[T]\in \mathrm{Z}[T]$ で, $F$ の係数の絶対値の和 $\leq(1+$
$q^{1/2}.)^{2\dim(A)}$ であるようなものが存在して,
$F(\sigma 0)(a)=0(.\forall a\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A))$
が成り立つ.
以後, $(K^{a}, \sigma 0)\subset(L, \sigma)$ を
difference field
とすると,$F(\sigma)(a)=0,$ $(\forall a\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A))$
なので, $(K^{a}, \sigma_{0})$ を
generic
なdifference ffleds
に埋め込む.5.1- ACFA
の登場ACFA
に関しては桔梗氏の解説を参照して欲しいが, 1-基底群に関連した定理を
3
つ列挙しておく.Proposition
1$(K, \sigma)\models \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{A},$ $E=\mathrm{a}c1_{\sigma}(E)\subseteq Kk\mathrm{L}$,
$p:E$ 上の非自明な
modular
タイ7,
$\mathrm{S}\mathrm{U}(p)=1$ とするとァ
1
$\{$$\mathrm{g}^{\backslash }$ffl7–^‘‘J
多様体, または
$\mathrm{G}_{m}$
$\mathrm{T}$
heorem
($\mathrm{D}$ichotomy)$p$ は $E=\mathrm{a}\mathrm{c}1_{\sigma}(E)$ 上の $\mathrm{S}\mathrm{U}$
-rank1
のタイプとすると$pf(\sigma(x)=x)$ または ( $p$ は
modular, stable, stably embedded,
stationary)さらに,
$pX(\sigma(x)=x)\Leftrightarrow\{\begin{array}{l}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}_{\sigma}(p)=1,t>\vee\supset\mathrm{g}_{l}*_{\backslash \backslash }\Re Nl^{\mathrm{i}}ff\Xi \mathrm{L}T,\not\in \text{意の} k\in \mathrm{Z}\text{に対して}[E(a,\sigma^{k}(a))\cdot.E(a)]\leq N\end{array}$
Proposition 2
If
をACFAのモデルとする. $H$ を$K$上定義された代数群, $G$を$\mathrm{S}\mathrm{U}(G)<\omega$であるような$H(K)$ の定義可能部分群とする. さらに, $G$ は $E=\mathrm{a}\mathrm{c}1_{\sigma}(E)$ 上
定義されていて, $G[perp] \mathrm{a}11$
fixed fields
とする.このとき, 量記号を用いずに定義される任意の部分集合$X\subseteq H(K)^{m}$ に 対して, $X\cap G^{m}$ $=$ 量記号なしで$E$上定義可能な $G^{m}$ の 有限個の剰余類のブール和 である.
5.2ACFA
の1-
基底群Definition
1$A$ を可換代数群とし, $V$ を極大な, vector subgroup (つまり $\cong(\mathrm{G}_{a})^{m}$) と
する. $\mathrm{Y}$ を $V(K)$
の定義可能部分集合, $C$ を $A(K)$ の定義可能部分群の剰余
類とする. このとき, $\mathrm{Y}+C$ を spcial と呼ぶ.
Theorem
5(If,$\sigma$
)
$\models \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{A}$ とし, $A$ をFix(\sigma ) 上定義された可換代数群とする.
1
のべき乗根を解に持たない $F[\text{利}\in \mathrm{Z}[T]$ に対して, $G=\{g\in A(K\}$:
$F(\sigma)(g)=0\}$ とおくと,
$\mathrm{L}G$ のすべての定義可能部分集合は, $G$ の
special subsets
の有限ブール和である.
2.
$X$ が $A$ の部分多様体であるとき, $X\cap G$ は $A$ のspecial
部分多様体の有限和である.
$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A)\subseteq G$ となっているので, $G$ がこの
Porposition
1
のような性質を持てば, $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$ も同様の性質を持ち, $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$ に関する
Manin-Mumford
予想を解くことが出来る.
6All
Torsions
もともとの問題は$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}’p(A)$ ではなくで$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$ に関するものである. $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$
の結果を利用して $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$ に関する結論を得るには
3
つの方法がある. 1 つ目の道:2
つの自己同型を用いるProposition
6.1.1 (Hrushovski,p.
106) $A$ を数体 $K$ 上定義された準アーベル多様体, $X$ を $A$ の部分多様体とす ると, $X\cap \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)=A$ の有限個の群部分多様体の剰余類の和. となる. 概要:
$p\neq l$ を$A$の異なる
good reduction
とする. $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)=\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A)\oplus \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{l’}(A)$と考える.
このとき, $\sigma,$ $\tau,$ $F_{p}[T],$ $F_{l}[T]\in \mathrm{Z}[T]$ が Lemma
509
より存在する. $F_{p}(\sigma)$は$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A)$ で
0
であり, $F_{l}(\tau)$ は $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{l’}(A)$ 上で0
である.$A_{p}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(F_{p}(\sigma)),$ $A_{l}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(F_{l}(\tau))$ とおく. また$\mathcal{F}$ を
$\sigma,$$\tau$ で生成される
自由群とする.
このとき, $A_{p}^{F}\cross A_{l}^{\mathcal{F}}$ は
one-based
(algebraically modular) (Prop. 452)である. よって $A_{p}^{\mathcal{F}}+A_{l}^{\mathcal{F}}$ も
one-based.
である.$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A)\subseteq A_{p}$ かつ $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}$ は
$\mathcal{F}$-不変なので$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A)\subseteq A_{p}^{F}$である. 同様
に $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}\iota’(A)\subseteq A_{l}^{\mathcal{F}}$ である.
よって $T\subset A^{F}$ なので $T$ は
one
based
(alg.modular)
である.2
つ目の道 :1 つの自己同型$A$ を数体 $I\mathrm{t}^{-}$ 上定義された可換代数群, $V$ を $A$ の極大 vector
subgroup
とし, $B=A/V$ とおく.
目標
:
$G(\sigma’)|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)=0$ となる $\sigma’$\in G
峨
Qalg/If)
と $G(T)\in \mathrm{Z}[T]$ を探すreduction map
$Aarrow B$ は $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$ 上1
対1 なので, $G(\sigma’)|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(B)=0$が成り立っていれば充分である
. Lemma
509
より,$\bullet$ $B$ の
good reductions
$p,l$, $\bullet$$\sigma\in \mathrm{G}\mathrm{a}1(K(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(B))/K)\text{と}\tau\in \mathrm{G}\mathrm{a}1(K(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}(B))/K)$
$\bullet$ $F_{p}(T),$$F_{l}(T)\in \mathrm{Z}[T]$
:
ともに1
のべき乗根を解に持たない,
が存在して,
$F_{p}(\sigma)|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(B)=0$ かつ$F_{q}(\tau)|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}(B)=0$
である.
Serre
の結果より(Collected
Papers,
$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{I}\mathrm{V}$,
p. 33-34, p. 56-59)
$L=K(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(B))\cap I\mathrm{f}(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}(B))$ は$K$ の有限次ガロア拡大であり, $K(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(B))$
と $K(\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}(B))$ は $L$ 上線形無関連である.
ここで $m=[L : K]$ とお$\text{く}$
.
$\alpha_{1},$ $\cdots,$$\alpha_{2d}$ を $F_{p}(T)$ の根, $\beta_{1},$ $\cdots$
,
鳥$d$ を 6(T) の根とし,$G(T)=. \cdot\prod_{=1}^{2d}(T-\alpha_{}^{m})(T-\beta_{1}^{m}. )$
とおく.
結論
:
このとき $\sigma^{m}$ と $\tau^{m}$ を拡大する $\sigma’\in \mathrm{G}\mathrm{a}1(\mathrm{Q}^{alg}/L)$が存在して,
1.
$G(\sigma’)|\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(B)=0$ かつ,2.
$(\mathrm{Q}^{alg}, \sigma’)$ を拡大するACFA
のどんなモデノレにおいても, $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(G(\sigma’))$ は
$B$ の
one-based subgroup
(modular subgroup)を定義する
3 つ目の道
:
コンパクト性定理の応用[Pillay]
コンパクト性定理を用いる方法もあるが, 詳しくは参考文献にある
Pillay
の論文を参照されたい.
7
Effective Bounds
1-基底群の定義可能部分集合は, 有限個の剰余類のブール和になることが分 かったが, 何個の剰余類が必要なのだろうか.
与えられた定義可能集合ごと に個数が変わることは用意に想像できるが,
果たして個数の上限は存在する のだろうか. もし上限が存在するとして計算可能だろうか.Hrushovski
は上 限を計算する方法を明示している. $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$ と $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$ について分かっているが, $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(A)$ の場合は$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$ に比べ, 議論ははるかに複雑である. $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$
の場合のみ論ずることにする.
7.1
$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p}’(A)$ の場合Theorem
6 $X$ を定義可能集合とする. この$X$ に対して$X\cap \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A)=\cup a_{i}i=1M+\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(A_{i})$
となっているとする. ここで
$\bullet d\leq\dim(A)$
$\bullet$ $d+:A^{3}$ の中で, $A$ の加法を定義するグラフの次数
$M\leq(\deg(X)^{2d+1}(d_{+})^{2d^{2}(2d+1)(\log_{2}(1+q^{1/2})+1)^{2}})^{2^{d\dim(X)}}$
概略
:
$\bullet$ $F(T)= \sum_{i=0}^{2d}m_{i}T^{i},$
$m_{1}$. $\in \mathrm{Z}$
$\bullet(\mathrm{Q}^{a}, \sigma)\subset(K, \sigma)\models \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{A}$
$\bullet\tilde{S}=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}F(\sigma)$
$S= \{(a0, \ldots, a_{2d})\in A^{2d+1} : \sum_{\dot{l}=0}^{2d}[m_{i}]ai=0\}$
とおく.
$\bullet\sum|m|.|\leq(1+q^{1/2})^{2d}$ であり
$\bullet$
2
以上の数$M$ を掛ける $=\log_{2}(M)(\log_{2}(M)+1)/2$ 回の足し算ょって, $\deg(S)\leq(d_{+})^{2d^{2}(2d+1)(\log_{2}(1+q^{1/2})+1)^{2}}$ $Z$ を $\tilde{S}\cap X$ のザリスキー閉包とすると $\deg(Z)\leq(\deg(X)^{2d+1}\deg(S))^{2^{2d\dim(\mathrm{X})}}$
8
$\mathrm{b}\mathrm{t}\mathrm{e}$-Voloch
予想
$\mathrm{Q}_{p}$ を?進体, $\mathrm{C}_{p}$ を$\mathrm{Q}_{p}$ の代数的閉包の完備化とする
.
4
を?
進距離とする.
Tate-Voloch
$*\mathrm{a}\mathrm{e}$$G$ を $\mathrm{C}_{p}$ 上定義された準アーベル多様体, $X$ を $G$ の部分多様体とする.
自然数 $N$ が存在して,
任意の $P\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)$ に対して $(P\not\in X\Rightarrow d_{p}(P,X)>N)$
が成り立つ.
要するに, 点$P\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}(G)$ に対して, $P$が $X$ に入ってぃなければ$X$ と $P$
の間の
?
進距離には下限が存在するという予想である.
Theorem
(Tateand Voloch,
1996)$G$ がトーラスの時, 予想は正しい.
$\mathrm{T}$
heorem
(Hrushovski, 1996)$G$ が $\mathrm{Q}_{p}^{alg}$
上定義されていて,
good
reduction
を持ち, $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(G)$ に対して予想は正しい.
Theorem
(Scanlon, 1998, 1999)$G$ が $\mathrm{Q}_{p}^{alg}$
上定義されている時, 予想は正しい.
T-V 予想. 証明の概要 (Hrushovski)
$\bullet$
1
のべき乗根を解に持たない $F[T]\in \mathrm{Z}[T]$に対して,
$\mathrm{C}_{p}$ の自己同型 $\sigma$ が存在して
$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(G)\subseteq\{a\in G(\mathrm{Q}_{p}^{alg}) : F(\sigma(a))=0\}$
$\bullet$
$a0,$ $\cdots,$$a_{n},$$\cdots\in \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(G),$ $\lim d_{p}(a:,X)=0$ とする.
目標
:
ほとんどの $i$ こついて $a_{i}\in X$ を示す.背理法で示す.
$\{i\in \mathrm{N}:a_{i}\in X\}\not\in \mathcal{U}$ であるような $\mathrm{N}$ 上の
non-principal untrafflter
$\mathcal{U}$ が存在する.
$R=l^{\infty}(\mathrm{C}_{p})$ を $\mathrm{C}_{p}$ の中の
r
進ノルム有界な列全体とする
.
各 $n$ に対して, $I_{n}=\{r\in R : \{i\in \mathrm{N} : |r(i)|_{p}\leq p^{-n}\}\in \mathcal{U}\}$, とおき, $I=\cap I_{n}$ とする
と, $I$ は $R$ のイデアノレである.
$D=R/I$ は体であり, $\mathrm{C}_{p}$ を $D$ に埋め込む. $\sigma$ を $D$ の自己同型に拡張
する.
$a^{*}$
:
$D$ の中の $(a_{0}, \ldots, a_{n}, \ldots)$ の像とする. そうすると, $a\in G(D)$, $F(\sigma)(a^{*})=0,$ $a^{*}\in X(D)$ である.ここで $(D, \sigma)\prec(L, \sigma)$
,
generic
diff. fields
I こ移る.$X(L)\cap \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(F(\sigma))\subseteq\cup(c_{i}+B_{i})$ (有限和) ただし, $B_{i}$ は $G$ の準アーベ
ル部分多様体, $c_{\dot{l}}+B_{i}\subset X$ である.
よって, $a^{*}\in c+B\subset X,$ $B$ は $G$ の部分準アーベル多様体である.
$\pi$
:
$G\mapsto G/B$ とすると, $\pi(a_{i})arrow\pi(a^{*})$ となる.ほとんどすべての $i$ こついて $\pi(a_{i})$ の, 剰余体における像は一致ので,
reduction
は $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}_{p’}(G/B)$ 上 1 対 1 である.よって, ほとんどすべての $i$ について $\pi(ai)=\pi(a^{*})$ であり, ほとんど
すべての $i$ について $ai\in c+B$ である. したがって, ほとんどすべての $i$ に
ついて $a_{i}\in X$ である.
9Drinfeld
加群
$\bullet$ $I\acute{\mathrm{C}}$
:
標数$p>0$ の代数的閉体, 超越次数は正$\bullet$
EndK
$(\mathrm{G}_{a})=I\acute{\mathrm{e}}$ 上定義されたG
。の自己同型全体の環 $\bullet \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}_{K}(\mathrm{G}_{a})\cong I\iota^{-}[\phi_{p}]$$\bullet$ $T$ を
$I\acute{\dot{\mathrm{t}}}$ の超越元と考えて,
$A=\mathrm{F}_{p}[T]$ を $I\acute{\mathrm{i}}$
の部分環と考える.
Definition
環準同型 $\varphi$
:
$Aarrow \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}K(A)$ は,$\varphi(T)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\phi_{p}^{i}\Rightarrow a\mathit{0}=t$かつ$a_{n}=1$
が成り立つ時, $A$ 上の
Drinfeld
加群であると言う.Theorem
(Scanlon 1999)$\bullet$ $\varphi$ は
Drinfeld
加群 $\bullet$ $I\acute{\mathrm{i}}^{N}$ を $A$-module
と見なす $\bullet$ $X$ は $I\dot{\mathrm{t}}^{N}$ の部分多様体$X\cap$(the $A$
-torsion subgroup
of
$K^{N}$) $=\{x\in K^{N} : \varphi(a)(x)=0(\exists 0\neq a\in A)\}$は $I\dot{\mathrm{i}}^{N}$
の有限個の部分代数群たちの $A$
-torsion
部分群の剰余類の和集合である.
証明には, 標数 $p$ の
difference
ffleds
のモデル理論 $(\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{A}_{p})$ の結果が必要である.
$\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{A}_{p}$ の
Dichotomy Theorem
の証明には,Zariski
幾何の議論が必要最後に, どのような集合が
Zarisiki
幾何を定義するかをまとめておく. い ずれの場合も 「次元定理」 と呼ばれる定理が成り立っかどうかが鍵となって いるJ次元定理」はまた, 対応するある種の環 (微分多項式環など) のKrull
次元を用いて証明される. 以T
の例以外の新たな例を探すことは興味深い問 題である.Zariski
幾何$\{$diff. closed fields
のランク 1 の集合sep. closd fields
のランク 1 の集合difference fields
のランク1
の集合参考文献
E.
Hrushovski,The
Manin-Afumforvl
conjectureand the model theory
of
dif-ference
fields,Annals
of Pure and Applied Logic,
112(2001)43-115
(Received
September
1995;accepted 17 April
2001)E. Bouscaren, Th\’eorie des Mod\‘eleset Conjecture de
