Existence
of weakly
$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{r}_{1}11\mathrm{a}\mathrm{r}$solutions to
$1\mathrm{i}_{\mathrm{l}1}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}$
partial differential equationns with holornorphic coefficients
$\mathrm{s}_{\iota\iota}\mathrm{l}1\subset‘ \mathrm{t}\langle)\overline{()}1\mathfrak{s}(\mathrm{t}1\mathrm{I}\mathrm{I}(\mathrm{S}\mathrm{o}_{1(})1_{1}\mathrm{i}‘\iota \mathrm{U}_{1\mathrm{l}}\mathrm{i}\mathrm{v}.)$
大内
忠
(|-A|\lfloor ||
大学
)
\S 0
Introduction
Let,
$P(\mathrm{z}, \partial)$
be a
$1\mathrm{i}_{11\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}_{1)_{C}’\iota}}1^{\cdot}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}1$(
$1\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{t}^{\backslash },\mathrm{r}\mathrm{c}11\mathrm{t}$,ial
$\mathrm{t}$
)
$1)\mathrm{c}1^{\cdot}\mathrm{a}\mathrm{t}_{01}\cdot \mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{f}|111_{1}01(111\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{I})11\mathrm{i}$(’
coef-fi(
$\mathrm{i}$(
$\tau 11\mathrm{t}^{\mathrm{c}^{\mathrm{t}}},|’$ill
a
$11()\mathrm{i}\mathrm{b}^{\mathrm{J}}1_{1}|$)
$()1^{\cdot}11()()$
(
$1\zeta 2$
of
$\mathrm{z}=\mathrm{t}$
)
ill
$\mathbb{C}^{d}+\downarrow$$\mathrm{C}()1\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{i}(\mathrm{l}\mathrm{C}\mathrm{r}\mathrm{r},11(^{1}\text{ノ}\mathrm{G}(111\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{o}11}$
$(().1)$
$P(\mathrm{z}, \partial)?/,(\mathrm{z})=.f(\mathrm{z})$
,
$\mathrm{v}^{\gamma}1_{1}\mathrm{t}^{\backslash }\mathrm{l}\langle\backslash .f\cdot(\mathrm{z})$
is
$1_{1\langle)}1()111\langle$
$)1^{\cdot}1)1_{1}\mathrm{i}(’(^{\backslash }\mathrm{X}\mathrm{t}’ \mathrm{t}\backslash 1^{)\{}()11\mathrm{t},1_{1}\mathrm{t}^{\backslash }|\mathrm{s}^{\mathrm{t}}\iota\iota 1^{\cdot}\mathrm{f}C\backslash ((\mathrm{t}I\mathrm{t}^{r}=\{\wedge.f()= ()\}$,
but.
$f(_{\ }^{\alpha})$
$\mathrm{i}_{\sim}\mathrm{s}’ l\prime\prime(’(’,\lambda i/,?/,\backslash \cdot/\prime t\iota.(////’(l,7^{\cdot}\langle\rangle 11T\iota^{r}. \mathrm{I}_{\mathrm{l}1}\mathrm{t}1_{1\mathrm{t}^{\backslash }}]^{)1\mathrm{t}^{1}\mathrm{b}\mathrm{t}^{\backslash }1}.\mathfrak{t}’ 11])_{(}‘ \mathrm{t}1)\mathrm{t}^{\backslash }1^{\cdot}"\uparrow;)()(J_{(\lambda}jl(.(/\cdot \mathrm{b}.\uparrow 7|,.(\mathit{1}^{l/_{\mathit{1}}}l(l7^{\cdot}$
”
$111(\backslash ‘ \mathrm{a}11|\mathrm{s}’\}1_{1_{(\iota\}}}‘$
$./ \cdot(\sim)\vee 1_{1_{(}1}‘,\mathrm{s}^{\backslash }(1\prime 1\mathrm{J}\mathrm{c}‘\iota,\mathrm{b}’ \mathrm{Y}^{111}[^{)}\{\mathrm{t})(\mathrm{i}(.\mathrm{t}^{\backslash }\mathrm{X}|^{)i\iota 11\mathrm{s}^{\backslash }}‘ \mathrm{i}\mathrm{t})1\iota.f(\mathrm{z})\sim\sum_{||=\{)}^{\infty}f7[](\mathrm{z}’),.\sim()7|\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t}1_{1}1^{\cdot}(_{\mathrm{t}}^{\backslash }\mathrm{s}11)(^{\backslash }(.(\downarrow()\sim_{\mathrm{t})}$
.
as
$\wedge.’()arrow$
$()$
in
$|\mathrm{b}^{\mathrm{T}}\mathrm{O}\iota \mathrm{l}1(^{\tau}|\mathrm{b}^{}\mathrm{t}^{\backslash }\mathrm{t}1(1^{\cdot}\mathrm{i}_{C}‘\chi 1(10111_{C}‘ 1\mathrm{i}11$
.
We
study
$\mathrm{t}1_{1(}\backslash (^{\backslash }\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{s}^{1}\mathrm{t}(^{\backslash }11(‘^{\backslash }$of
a
$(\mathrm{s}(11\iota \mathrm{f},\mathrm{i}_{011}$$?/(\mathrm{z})\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t},11$
an
$\subset \mathrm{t}^{\mathrm{e}}’,\grave{3}.\mathrm{V}^{1}11\mathrm{I}^{)}|,()\mathrm{t}$it
$\cdot$$(^{\mathrm{Y}}\mathrm{x}_{1)\mathrm{a}}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{i}_{\mathrm{t}})11\iota \mathrm{s}\iota\iota(11(\gamma_{\lambda}\mathrm{s}.f\cdot(\mathrm{z})$
.
Firstly
we
$1^{\cdot}\mathrm{e}^{\backslash }111‘ \mathrm{d}x\mathrm{k}\mathrm{t},1_{1\subset}‘\iota \mathrm{t}$if
we
$(1_{\mathrm{t}})11()\iota,$
$1^{\cdot}(_{\iota}^{\backslash }\mathrm{s}\mathrm{t},1^{\cdot}\mathrm{i}(.\mathrm{t}\mathrm{t},1_{1(}\backslash , 1)(\backslash 1_{1}\subset\backslash \mathrm{v}\mathrm{i}()1^{\cdot}\mathrm{S}$of
$\mathrm{t}\mathrm{S}(\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{l}\{,\mathrm{i}()1\mathrm{l}\mathrm{S}11(_{C}^{\backslash \mathrm{u}}I\mathrm{t}^{r},$ $\mathrm{t},1_{1}\mathrm{e}\backslash 1^{\cdot}\{^{\backslash }$,
exists a
$\iota^{\mathrm{t}}\mathrm{c}_{(1_{\mathrm{t}1}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{o}1},1$ $?J(Z)\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t},1_{1}\mathrm{s}\mathrm{i}1_{1}11_{\dot{\mathrm{c}}})11’ \mathrm{i}\mathrm{f}_{}\mathrm{i}$(
$\backslash \mathrm{s}$Oll
$I\mathrm{t}^{r}111](1\mathrm{C}1^{\cdot}$
SOIIIC
condit,
$\mathrm{i}()11\mathrm{S}$Oll
$\mathrm{t},11(^{\tau},$$1)\mathrm{r}\mathrm{i}11\mathrm{c}\mathrm{i}_{1})\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}$
)
$\mathrm{o}\mathrm{l}$of
$P(\mathrm{z}, \mathrm{o})$
.
But
$\mathrm{t},11\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{i}_{1\mathrm{l}}\mathrm{g}\iota 11\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{t}’ 0\iota \mathrm{s}$of
$?$”
$(\mathrm{z})_{111\lambda}C\mathrm{y}^{1\cdot 1_{1}})\mathrm{c}111\iota 1(\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{l}\cdot \mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{t},1_{1}\mathrm{a}1\prime 1f(Z)$(see
[1], [2], [4]
$\mathrm{a}11(1[8])$
.
$\mathrm{T}11\mathrm{t}^{i}\mathrm{b}(^{\backslash }1_{1\mathrm{a}}\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{r}\backslash \mathrm{S}\mathfrak{c}1_{!}t11\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{g}_{\mathrm{l}\mathrm{O}\mathrm{W}}\iota 1_{1}\mathrm{I})1^{\cdot}\mathrm{o}_{\mathrm{I})(}\mathrm{Y}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}^{1}‘ \text{ノ}@$
of solutions
$11\mathrm{t}_{\text{ノ}^{})}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}_{11}\mathrm{g}_{\mathrm{l}\mathrm{l}1_{C\lambda \mathrm{r}\mathrm{i}}}‘ \mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}\mathrm{s}$are
studied
$\mathrm{i}_{11}[5],$
$[\mathfrak{t}\dot{)}]$allel [7]
$\mathrm{a}11(1\mathrm{t},11‘_{\text{ノ}}\backslash \mathrm{y}$are
$\mathrm{C}1_{1\mathrm{a}\mathrm{r}\iota}\mathrm{c}\subset \mathrm{e}j\mathrm{t}\{^{\supset},\mathrm{r}\mathrm{i}7\mathrm{J}\mathrm{C}\langle 1$by
$\mathrm{t}_{\mathit{1}}11\mathrm{C}$lower order
terllls
of
$()1)\mathrm{t}^{\backslash }\text{ノ}1_{(\gamma}\mathrm{t},\mathrm{t})\mathrm{r}_{\iota}\mathrm{S}$.
$\mathrm{T}1_{1(^{\mathrm{Y}}}$
lower
$()1^{\cdot}$
(
$1(^{\backslash }1^{\cdot}$t,erms
of
$\mathrm{o}\mathrm{l})\mathrm{e}\mathrm{l}\cdot \mathrm{a}\mathrm{t},()\mathrm{r}\mathrm{s}$
are
$\mathrm{i}_{111}1$)
$\mathrm{e})\mathrm{r}\mathrm{t},rc)_{\lrcorner}\mathrm{D}\mathrm{t}$t,o
$\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{l}()\mathrm{w}$tllc
[
$)(^{\backslash 1_{1}\mathrm{v}},\mathrm{c}‘ 1\mathrm{i}\mathrm{o}\Gamma \mathrm{S}$of
$\mathrm{k}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}\iota \mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\iota \mathrm{s}$.
However the
$\mathrm{c}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{C}11(\backslash \mathfrak{t}^{i}’$of
$\mathrm{s}\mathrm{o}1_{1}1\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{o}11\iota \mathrm{s}^{\urcorner}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t},1_{1}$asylllptV(tic
$(^{1}\mathrm{x}\uparrow)_{C\iota 1}\prime 1\iota \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{o}111\mathrm{S}\mathrm{i}_{\iota}\mathrm{s}$llot,
$\mathrm{s}\mathrm{t},\iota 1(1\mathrm{i}(^{\backslash }\text{ノ}(1\mathrm{i}_{1}1\mathrm{t}_{(}11$
(
$‘ \mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{P}(^{\backslash \mathrm{r}\mathrm{s}},$
.
So we
study
it
$\mathrm{i}_{11}\mathrm{t}1_{1}\mathrm{i}_{\mathrm{S}}\mathrm{I})\mathrm{a}\mathrm{l}$
)
$\mathrm{c}\mathrm{l}\cdot$.
\S 1
Notations and Results
$\mathrm{I}_{11}\langle$
$)1^{\cdot}$
(
$1$(
$1$ $\mathrm{t}\mathrm{o}$st
at
$\mathrm{e}$ $\mathrm{t}1_{1(^{\backslash }}1$)
$1()|$ )
$11^{1}111$
we
(
$()11((^{\backslash }1^{\cdot}11\subset‘\lambda 11\mathrm{t}11^{\cdot}(_{\text{ノ}^{}\backslash }\mathrm{S}\iota 11[\mathrm{s}111()1^{\cdot}\zeta^{\tau}1^{)1(^{\mathrm{Y}}}(\mathrm{i}_{\mathrm{S}(^{)]}}.\mathrm{v}$we
give
$\mathrm{s}\mathrm{i}1111^{)}1\mathrm{y}1\iota\langle$$)(_{(}‘\iota \mathrm{t}\mathrm{i}_{011}\mathrm{s}$alltl
(
$1\mathrm{t}^{1}\mathrm{f}\mathrm{i}11\mathrm{i}\{\mathrm{i}(11\mathrm{k}\mathrm{s}\backslash$.
$\mathrm{T}\mathrm{l}1(,\backslash (()\mathrm{o}\mathrm{r}(1\mathrm{i}11\mathrm{a}\mathrm{t}\{_{\text{ノ}^{}1}$of
$\mathbb{C}^{d+1}$
is
$(1‘^{\backslash }11\mathrm{t})\mathrm{f}()(1$$\dagger).\mathrm{Y}z=(’.\sim(), Z|, \cdots, \gamma_{rl}.)=(\mathrm{z}_{()}, \mathrm{z}’)\in \mathbb{C}\mathrm{x}\mathbb{C}^{d}$
.
$|\mathrm{z}|=111’\lambda \mathrm{X}\{|_{Z}i|).
()\leq i\leq d\}$
alltl
$|\mathrm{z}’|=111\mathrm{a}\mathrm{x}\{|\mathrm{z}_{?}|; 1 \leq?_{\text{ノ}}\leq d\}$
.
If,s
dual
variables
are
$\xi=(\zeta_{()}, \xi/)=$
(
$\xi_{()},$
$\xi_{1},$
$\cdots,$
$\xi_{l}()$
.
$\mathbb{N}$is
$\mathrm{t},11\mathrm{C}^{\backslash }\mathrm{S}\mathrm{e}^{\mathrm{y}}\text{ノ}\mathrm{t}_{)}$of
$\mathrm{a}\mathrm{l}111()\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{t}^{\supset}\text{ノ}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{V}\mathrm{e}}\backslash$
i
$\text{ノ}$
lltegel
$\cdot$S,
$\mathbb{N}=\{0,1,2, \cdots\}$
.
$\mathrm{T}1_{1}\mathrm{e}$ $1)\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{d}}‘ 1(1\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}_{\mathrm{C}}\backslash 1^{\cdot}(^{\tau}11\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{f},\mathrm{i}\langle)11\mathrm{i}_{\iota}\mathrm{s}^{\backslash }\mathrm{t}1(^{\mathrm{Y}}11\mathrm{o}\mathrm{t}(\backslash (11)\mathrm{y}\partial_{i}=\partial/\partial \mathrm{z}_{j},$allcl
$\partial=(\partial_{0}, \partial_{\mathrm{L}}, , , .
, \partial_{d})=$
$(^{\tau_{-}}111\subset‘ 1\mathrm{i}1_{\mathrm{S}_{-}},\mathrm{t})1_{1\iota 1}1,\mathrm{i}^{(}\langle$$))11\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}_{11}\subset\iota 11.\mathrm{t}\cdot \mathrm{C}.\backslash \mathrm{b}’ 01)1_{1}\prime \mathrm{i}_{r\iota}‘$
.
ac.jp
$\mathrm{K}\mathrm{I}^{_{}^{\backslash }}\gamma \mathrm{w}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathfrak{s})^{\mathrm{c}},):(’\langle)1\iota 11y1(\backslash \mathrm{x}1)\mathrm{a}\mathrm{l}\cdot \mathrm{t},\mathrm{i}(\iota 1(1\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{t}^{\backslash }1^{\cdot}(^{\tau}11\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}1\in^{\backslash }(1^{1\iota_{\dot{\mathfrak{c}}}\iota}\mathrm{t}\mathrm{i}(\mathrm{n},\mathrm{s}, \mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{l})\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{C}\mathrm{c}\mathrm{x}_{1^{)}}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{o}11,$
$\mathrm{e}^{\mathrm{Y}}\mathrm{x}\mathrm{i}_{\mathrm{S}}\mathrm{t}\mathrm{C}^{1}11\mathrm{c}\mathrm{e}$
of
$,\mathrm{s}\mathrm{i}1\iota\iota 1_{\subset}’\iota 1^{\cdot}‘ \mathrm{s}\mathrm{o}1_{11}\mathrm{f}J\mathrm{i}\mathrm{t}11|\mathrm{s}$
.
1
$\mathrm{t}$)
$\mathrm{t}$)
$1,.\mathrm{M}_{\mathrm{c}\iota}^{r}\mathrm{t}11\mathrm{t}^{\backslash }111\mathrm{a}\mathrm{t},\mathrm{i}(\backslash \subset 11\mathrm{S}\iota\iota 1).|\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\text{ノ}$
Classification(s):
$\mathrm{P}_{1}\cdot \mathrm{i}_{111}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}3_{()}^{\ulcorner}\mathrm{A}2()$;
$(()_{\mathrm{t}}’‘)’),$
$()$
.
$]_{()}^{\urcorner}1^{\cdot}$a
$1111111\mathrm{i}- \mathrm{i}11(1\langle^{\backslash }\mathrm{x}(\iota’=(()_{()}’, (\mathrm{t}’)/\in \mathbb{N}\cross \mathbb{N}^{c}’,$
$|( \mathrm{v}|=c\mathrm{v}()+|(y’|=\sum_{i}^{rl}=\mathrm{t})(\mathrm{y}i\cdot$
$\mathrm{W}(\backslash 11,\mathrm{b}^{\tau}(^{\backslash (11(^{\backslash }}1\mathrm{l}\mathrm{t})\mathrm{f}(\iota’\{\mathrm{i}\langle)\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{b}\mathrm{l}(‘)^{C\tau}=\prod_{i=}^{(l\gamma}(\mathrm{J}io\mathrm{v}_{j}c‘ 111\langle 1\xi()’=\prod_{?=\mathrm{I}}^{l.\tau}\xi i(\mathrm{r}i$
.
Next let
us
$\mathrm{t}1(\backslash \mathrm{f}\mathrm{i}_{1}1$(
$\backslash \mathrm{S}1^{)\mathrm{a}\mathrm{t}^{\tau}}(\backslash \mathrm{S}\text{ノ}$of
$11\circ 1()111()1^{\cdot}\mathrm{I})1_{1\mathrm{i}_{\mathrm{C}}}\mathrm{f}_{\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{n}\mathrm{C}}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{e}$
)
$11\mathrm{s}$ill
$\mathrm{S}()111\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{C}\mathrm{g}\mathrm{i}()1\mathrm{l}\mathrm{s}$.
Let
$1l=\iota l\mathrm{t})\cross \mathrm{t}l’1)\mathrm{t}\backslash$
a
$1$
)
$()\mathrm{l}\mathrm{y}(\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{s}(i(^{\backslash }(^{\backslash }11\mathrm{t}_{}(^{\mathrm{y}}1^{\cdot}(_{\text{ノ}^{}1}\{1$
at
$z=0,$
$\mathrm{w}1_{1}(^{\backslash },\mathrm{r}\mathrm{C}^{\supset}\int 1_{0}=\{Z_{0}\in \mathbb{C}\mathrm{I};|z_{0}|<R_{\langle)}\}$
$\subset(1,11(15l’=\{z’\in \mathbb{C}^{(l})|z’|<R\}$
for
$\mathrm{s}()\mathrm{O}\mathrm{l}\mathrm{e}$positive
$\mathrm{c}()1\mathrm{l}\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{s}R_{\text{ノ}()}$and R.
$\mathrm{P}_{\mathrm{l}1}\mathrm{t}\mathfrak{l}$$\mathrm{f}l_{()}(\theta)=\{\text{ノ^{}\wedge/}.()\in\zeta\}_{()}-\{()\};|$
rmrg
$z_{()}|<\theta$
}
alld
$\Omega(\theta)=\zeta l_{()}(\theta)\cross\zeta 2’,$
$\Omega(\theta)$
is
sectorial
$\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathfrak{l}1_{1}1^{\cdot}(^{\backslash },\mathrm{S}1)(^{\backslash },(i\mathrm{t}, \mathrm{t}_{\mathrm{I}}()/\cdot()\sim\cdot$
$O(\Omega)(O(\zeta 1’), O(\mathrm{f}\}(\theta)))$
is
$\mathrm{t},1_{1}\mathrm{e}$
set,
of
all
$1_{1\mathrm{O}}1_{01}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}1_{1\mathrm{i}}\mathrm{c}$ $\mathrm{f}\mathrm{i}111(.\mathrm{f},\mathrm{i}_{\mathrm{t}})11\mathrm{s}()11\zeta\}(r\mathrm{r}\supset.\mathrm{s}q)$.
$\mathrm{I}\}’$,
S2
$(\theta))$
.
Definition 1.1.
(i)
$As.?/\{\kappa\}(\Omega(\theta))$
$(0<\kappa\leq+\infty)$
is
$th,(\supset$
,
$set$
of
all
$u(z)\in$
$O(\zeta\}(\theta))\mathrm{t}9ql\mathrm{c},’[|\text{ノ}t,fl_{\text{ノ}}at\text{ノ}.f_{\dot{C}Jr\cdot(\lambda \mathrm{t}/}\theta’$
with
$()<\theta’<\theta$
$($
[.
$\rfloor)$$| \uparrow/(Z)-,\sum_{1=()}^{N-\mathrm{I}}\uparrow\prime 71(Z)_{Z_{1}}/7\mathrm{t})|\leq A]\mathit{3}^{N}|^{\sim|^{N}\Gamma(\begin{array}{l}\underline{N}+1\prime’\end{array})}’\cdot \mathrm{t})\backslash$
$z\in\Omega(\theta/)$
,
$(l)[_{1(\gamma},.(’\{/(\prime 1\mathcal{Z}’)\in o(^{\zeta l’})(/l\in \mathbb{N}),$
$f_{l()}/(l,\mathrm{s}’.f()7^{\cdot}(i()7\iota.\mathrm{s}\dagger(\prime_{3}77,t_{\text{ノ}}SA=A(\theta’)(r,\tau’(f\ell D=D(\theta/)$
.
(ii)
$\Lambda_{}‘,\uparrow/_{\mathrm{t}}()\}(\zeta)(\theta))7_{}.\mathrm{b}$
the set
of
$(;,ll\prime 1/(\mathcal{Z})\in O(\mathrm{f}l(\theta))(\mathrm{b}\uparrow lCht_{\text{ノ}}h(\lambda t_{\text{ノ}}$
for
$ar\iota y\theta’$
with
$\langle)<(\rangle’<\theta$
(1.2)
$| \uparrow\iota(Z)-\sum_{?}^{1}N-\mathrm{t}=0u_{\gamma 1}(z’)Z_{\{}^{n}|)\leq A_{N}|’\sim-0|^{N}$
$z\in\Omega(\theta’)$
,
$w’,(^{y}\gamma\cdot(^{)}?\mathit{4}_{7l}(Z’)\in O(\zeta l’)(r|, \in \mathrm{N})$
,
holds.
for
constants
$A_{N}=A(N, \theta’)$
depending
on
$N$
and
$\theta’$We
say
$\mathrm{t},1_{1}\mathrm{a}\mathrm{t},$$?/(Z)\in Asy_{\{\}}\kappa(\Omega(\theta))$
llats
all
$\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{y}_{\mathrm{I}1}\mathrm{u}\mathrm{I}^{)}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{C}$expansion
$\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t}1_{1}$$\mathrm{G}\mathrm{t}^{1}\mathrm{V}1^{\cdot}()\mathrm{y}(^{\mathrm{Y}}\mathrm{x}_{1^{)\mathrm{t}}})11\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}$
(or
$\mathrm{i}_{\mathrm{l}1(}1\mathrm{e}\mathrm{x}$)
$\kappa$
.
$\mathrm{t}l(Z)\in Asy_{\{+\infty\}}(\Omega(\theta))\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}$
t,llat,
$u(z)$
is
$1_{1\{)}1()1\mathrm{l}1()1^{\cdot}1^{)}11\mathrm{i}$
(.
at,
$z=()$ .
$u(z)\in A_{S?/_{\mathrm{t}\mathrm{t}}}.()\}\Omega(\theta)$
)
lneans
t,hat
it
$1\mathrm{l}\mathrm{a}\iota \mathrm{s}$
lnerely
an
$c‘\iota_{1}\mathrm{s}\mathrm{y}_{\mathrm{l}1}11^{)}\mathrm{f},()\mathrm{t}\mathrm{i}\langle$.
$\mathrm{R}\mathrm{s}\mathrm{y}1111^{)}\mathrm{t}()\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}\mathrm{e}\mathrm{x}_{\mathrm{I})}\mathrm{a}11|\mathrm{s}^{\urcorner}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}1$.
$\mathrm{s}^{1}()1^{)1}1\mathrm{t},$$A\mathit{8}.?/(\Omega(\theta)):=Asy_{\{0}\}(\Omega(\theta))$
.
$\mathrm{N}$
ow let
$P(z, (‘))\iota)(^{\backslash _{\zeta}}‘ \mathrm{t}11?\prime l- \mathrm{f},1_{1}(1^{\cdot}(1_{\mathrm{t}}\backslash ,1^{\cdot}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathfrak{t})\mathrm{a}\mathrm{r}1)\prime \mathrm{d}\mathrm{J}^{\cdot}\mathrm{t}$,ial
(
$1\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}_{\mathrm{C}\mathrm{r}}\mathrm{e}11\mathrm{t}_{}$
ial
(1
$\mathrm{t}\mathrm{o}1^{\cdot}$wirll
$11\mathrm{t})1()111\langle$
$)1^{\cdot}])11\mathrm{i}(\backslash (.\{)\mathrm{t}^{\backslash }\mathrm{f}\{\mathrm{i}$(
$.\mathrm{i}\mathrm{t}^{\backslash }11\mathrm{t}_{\mathrm{S}}$ill
a
$11(^{\backslash \mathrm{i}\mathrm{g}11}\iota)\langle$)
$1^{\cdot}11()()\mathrm{t}1$
of
$z=()$
,
(1.3)
$P(z, \partial’)=\sum_{\leq|_{\mathrm{t}\backslash }|m}a((\mathrm{v}z)\acute{(})^{r}\gamma$
We
$\mathrm{i}_{11}\mathrm{t}_{1},()(1_{11(}\cdot(\backslash ,$ $\mathrm{t},11\mathrm{c}^{1}\mathrm{c}^{\iota}1_{1}\mathrm{a}\Gamma \mathrm{a}(^{\backslash }\text{ノ}\mathrm{t}\mathrm{e}1^{\cdot}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{e}^{\backslash }1)\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{y}\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}$of
$P(z, \partial’)\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t}1_{1}$
respect
to
$K$
,
wlli(.11
is
$\mathrm{i}1111$)(
$1^{\cdot}\mathrm{t}_{\mathrm{e}}^{\mathrm{r}}|,11\mathrm{t}$t,o
study
tlle
$1$)
$\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{l}c‘\iota \mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{S}$of
$\mathrm{s}\mathrm{o}1_{1\mathrm{t}}\mathrm{i}_{0}11\mathrm{S}$of (0.1)
llear
$IC$
.
Let
$.j_{(\mathrm{v}}1)(^{1}\mathrm{t}1_{1(^{\tau}\mathrm{v}\mathrm{a}}1\iota 1\mathrm{a}\mathrm{t},\mathrm{i}()11$
of
$\mathrm{o}_{\alpha}(z)\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t},111^{\cdot}(^{\mathrm{Y}}\mathrm{s}1)\mathrm{t}\backslash (\mathrm{t}$t,o
$z_{0}.$
Hellce if
$a_{\alpha}(z)\not\equiv \mathrm{O},$
$a_{\alpha}(z)=$
$,\sim^{j_{C\backslash }}.()()b(z)\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t},11/)_{(\mathrm{Y}}((), z\mathrm{I}/\not\equiv()$
and for
(
$l_{\mathrm{C}\mathrm{Y}}(Z)\equiv()$
put,
$j_{\alpha}=\infty$
.
Put,
1vl1
$(^{\backslash }\mathrm{l}(\backslash (_{()}^{)}=+\infty \mathrm{i}[(_{()}’(z)\equiv()$
.
We
$\langle$$|_{(^{\backslash }1}\iota \mathrm{o}(\mathrm{t}\backslash$
by
[I
$((l, l))\mathrm{t}11\mathrm{t}^{\backslash }\mathrm{S}(^{\mathrm{Y}}1\{(.\mathfrak{j}j,,?J)\in \mathbb{R}^{\mathit{2}}‘;.1^{\cdot}\leq$
$(l, ?/\geq l)\}$
.
$\mathrm{T}1_{1}\mathrm{o}\mathrm{t}11_{\dot{C}}\mathfrak{j}1^{\cdot}(‘ 1(’ \mathrm{t},(^{\backslash }1^{\cdot}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{t}_{)}^{\mathrm{t}}\mathrm{t}\mathrm{i}(’ 1^{)\mathrm{t}}1_{V\mathrm{g}}.011$of
$\Sigma$is
$\mathrm{t}1(\backslash \mathrm{f}_{11}\backslash 1\mathrm{t}^{\mathrm{Y}}(11)\mathrm{y}$$\Sigma:=fh"(i()7/,U(y..l,\cdot f_{b?l},’,l().f\bigcup_{(\gamma}\square (|(1/|, (^{)})\alpha\cdot$
$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{g}\iota\iota 1^{\cdot}(^{\backslash }1:\mathrm{C}1_{1}\mathrm{a}\mathrm{I}^{\cdot}\mathrm{a}\mathrm{c}^{\iota}\text{ノ}\mathrm{t}(^{\backslash }\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}\iota,,\uparrow\int \mathrm{i}\mathrm{t}\backslash 1)()1.V\mathrm{g}()11$
We
(all
$\{_{\mathrm{I}}11\mathrm{C}\iota \mathrm{b}’ 10_{1^{)(^{\backslash }}\gamma i}$of
$\Sigma(’/)\mathrm{t}11(^{\backslash },\dot{7}$
-th
$cf_{la7ac}t_{\mathrm{C},}J7^{\cdot}t,.\mathrm{b}’ it_{C}in(f()x$
of
$P(z, \partial)\mathrm{w}\mathrm{i}\lceil_{}11$
$1^{\cdot}(^{\backslash },\mathrm{S}\mathrm{I})$
(’
$\mathrm{t}$
,
t,o
$I\mathrm{c}^{\Gamma}=\{/\sim.=\mathrm{t}$
)
$()\}$
.
Now
we
$11\mathrm{t}$)
$\mathrm{t}_{}\mathrm{i}\mathrm{C}\mathrm{e}\mathrm{f}_{}11(\backslash \text{ノ}$verticcs
of
$\mathrm{t}_{}11(\backslash 1^{)()}1\mathrm{y}\mathrm{g}\mathrm{o}11\mathrm{S}\Sigma$.
So
$1)\iota\iota \mathrm{t}$
subsets
$\triangle(7,)$
of
$111\mathrm{t}\iota 1\mathrm{t}\mathrm{i}_{-}\mathrm{i}1\iota \mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{i}(\mathrm{e}\mathrm{s}$
alld
$\mathrm{c}_{1^{1}}1\mathrm{a}\mathrm{I}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{b}^{\backslash }l_{i}\in \mathbb{N}(()\leq\prime i\leq p^{*}-1)$
as
follows:
(1.5)
$\mathrm{D}\mathrm{c}\mathrm{f}_{\grave{1}1}1$
(
tlle
$\mathrm{s}\iota 1\iota$$\int)^{*}$
.
$-\rfloor)|).\mathrm{V}$
(1.6)
$,\backslash l^{\supset},?\cdot(Z’, \xi’)$
is
$1_{1(11}1(\mathrm{g}(^{\backslash }11(\backslash ,\langle)11\mathrm{s}$ill
$\xi/\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{f},1_{1}$degree
$l_{i},$.
Let,
$11\mathrm{s}\mathrm{r}(^{\backslash },\mathrm{t}\iota 1\mathrm{r}11$t,o
$\mathrm{t}\mathrm{l}1(^{\mathrm{Y}}, \mathrm{C}(1^{\iota \mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}1}1(().1)$. Our
$\mathrm{p}_{\mathrm{l}\mathrm{O}}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{l}11$is
precisely the followillg.
$Doc_{\backslash },9$
the
$(^{\supset}q?/,ati_{on}$
$P(z, \partial)u(z)=f(_{Z)}\in AS?/\{\kappa\}(\zeta](\theta))$
$h(\iota\eta)c$
a
$s()l\uparrow l_{}f\text{ノ}ion\mathrm{t}l(Z)\in A_{9?},/\{’)\}(U(\theta’))$
for
a
$polydi\mathit{8}CU\subset\Omega ar\iota d$
a
constant
$()’(()<\theta’<\theta)$
?
$\mathrm{I}_{11()1}\cdot \mathrm{t}1_{\mathrm{t}}\backslash 1^{\cdot}(\mathrm{t})\subset‘ \mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{W}\mathrm{t}\backslash \mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{f}$
we
give
$(()\mathrm{l}\mathrm{l}(\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathfrak{l}\mathrm{i}()1\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{b}’(C_{i}\text{ノ})$
.
$\Gamma,()1^{\cdot}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{x}\mathrm{c}(17(()\leq’/_{\text{ノ}}\leq l)^{*}-1)$
$(C_{i})$
$.\prime j_{c\mathrm{v}}=()f(7^{\cdot}(\chi\in\triangle_{\mathrm{t})}(i)$
and
$x_{l^{J},i}(0, \xi/)\not\equiv()$
.
Firstly
we
$11_{t}^{\mathrm{r}}1\mathrm{v}\mathrm{t}^{\backslash }\text{ノ}$Theorem 1.2.
$s_{\mathrm{t}\iota ppoS(}\supset$
,
tfiat
$P(z, \partial)$
satisfies
$(C_{i})$
and
$f(z)\in Asy_{\{\gamma}\}(\Omega(\theta))$
with
$\gamma_{i-\vdash 1}\leq\gamma<\gamma_{i}$
.
Let
$\theta’$be
a
$c,0$
nstant
$\mathit{8}uch$
that
if
$i\neq$
$()$
,
$0<\theta’<$
$111\mathrm{i}_{1}1\mathrm{t}\theta,$
$\pi/2\gamma_{i}\}$
and
if
$i=0,0<\theta’<\theta$
.
Then
there
is
$\mathrm{t}(/(z)\in Asy_{\mathrm{t}\gamma}\}(U(\theta/))$
for
some
polydisc
$U$
centered at
$z=0$
$.\mathrm{s}\uparrow/,cf\iota$
that
$(R,f)(Z):=P(,.\sim, \partial).q(Z)-.f(z)\sim \mathrm{O}$
in
$Asy_{\{\gamma_{i}}$
}
$(U(\theta’))$
.
If
$\dot{7,}=\mathrm{t}$
),
$\mathrm{f}\prime 1_{1}(^{\backslash }\text{ノ}11(Rf)(_{/}\sim.)=\mathrm{t}),$
$\mathrm{t},11_{(}‘\{\mathrm{f}$)
is,
$P(z, \partial).q(z)=f(Z)$
.
We
$\mathrm{s}\mathrm{l}_{1()\mathrm{W}}$
Theorem
1.2
by
((llst,]
$\iota 1$(
$\mathrm{f},\mathrm{i}_{1}$a
$1$)
$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}11\mathrm{C}\mathrm{t}_{1}\cdot \mathrm{i}\mathrm{x}$
.
As for
$\mathrm{t}1_{1}\mathrm{c}$existellcG of
a
solutioll
$u(z)$
$\mathrm{w}1_{1}\langle$$)\iota \mathrm{c}^{\tau},$
(
$.$
a
$\mathrm{s}\mathrm{y}111\mathrm{I}$)
$\mathrm{t},()\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{e}\text{ノ}(^{\backslash }\backslash ,\mathrm{x}1^{)}\mathrm{a}11\mathrm{S}\mathrm{i}()11$is
$\mathrm{t}1_{1(^{\backslash }},|\mathrm{s}$allle
$\mathrm{t},\mathrm{y}\mathrm{l}$)
$\mathrm{e}\mathrm{a}_{n}\mathrm{s}f(Z)$
,
we
$11_{C}\backslash \mathrm{v}\xi^{1}$,
Theorem 1.3.
$S\uparrow/_{\mathit{1})},\tau JOS\rho t,f|,(\lambda tP(z, (‘ J),9(xt_{\text{ノ}}i\mathrm{s}\cdot.fi\prime cs(C_{i})$
for
$\dot{7_{\text{ノ}}}=$$()$
,
1,
$\cdots s,$
$a7t(f$
$/,()\dagger$
,
.
$f\cdot(z)\in\Lambda.‘,,,\mathrm{t}/\{\gamma\}(\zeta\iota(\theta))wi,f_{\text{
ノ
}}fl’\gamma_{9+1}.\leq\gamma<\gamma_{9}.\cdot Tf_{ly}C7t$
,
for
any
$()<\theta’<$
$1\mathrm{l}\iota \mathrm{i}_{1}1\{\theta, \pi/‘ \mathit{2}\gamma_{1}\}\mathrm{f}_{\text{ノ}}f/_{\text{ノ}}(\supset 7^{\cdot}(^{\mathrm{J}}’/,\cdot,\mathrm{b}$
.
$?l,(Z) \in \mathit{1}1.\mathrm{t},|y\{\gamma \mathrm{I}(U(\theta’)),9(xt\prime i.;f.\uparrow/i_{7}\iota j\prime P(z, \partial)?\int(Z)=f(z)$
in
$U(\theta’)$
.
for
some
$p()[,.\iota/(ti\mathrm{t}9c\cdot UCC7/\text{
ノ
}\dagger \text{
ノ
}e7\mathrm{r}2d$
at
$z=()$
.
$\mathrm{T}1_{1^{\mathrm{J}}}‘ 1)1^{\cdot}()[_{)}1(^{\backslash }111$
of
$\mathrm{t},11$(
$\text{ノ}\mathrm{c}\mathrm{X}\mathrm{i}\mathrm{S}\uparrow,\mathrm{C}11\mathrm{c}\mathrm{t}_{\text{ノ}}\backslash$of
$\mathrm{s}()1\iota 1\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{o}\mathrm{n}}\mathrm{S}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t}1_{1\mathrm{a}\mathrm{S}}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{x}_{1}$)
$\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}11$was
$\mathrm{s}\mathrm{t},\iota 1(\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{e}(1\mathrm{i}_{11}[3],$ $\mathrm{w}1_{1}\mathrm{c}\Gamma(^{\backslash }\text{ノ}\mathrm{t},1_{1(^{3}}\text{ノ}(,1_{1}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}_{\mathrm{C}}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}\mathrm{c}_{\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{C}}11\mathrm{y}\mathrm{I}^{y\mathrm{r}\mathrm{o}\iota})1\mathrm{e}\mathrm{n}1$was
treated. The
$(i1_{1\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}(^{\backslash }\uparrow_{\mathrm{t}}},\backslash ,\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t},\mathrm{i}(_{\text{ノ}}\mathrm{C}\mathrm{a}\iota\iota(^{\backslash },1_{1}.\mathrm{y}1)\Gamma \mathrm{e})|)\mathrm{l}\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}$
a
$\mathrm{f}_{\mathrm{t})\mathrm{r}\mathrm{n}1}\mathrm{a}1$power
$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{l}\cdot \mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{S}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{o}1}1$.
The
pur-pose of [3] was to
$\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{I}n\mathrm{t}\mathrm{l}.\mathrm{y}\mathrm{t}11\mathrm{C}$relatioll
$1$)
$\mathrm{c}\{,\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\iota \mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{S}$and
$\mathrm{f}_{\mathrm{o}\mathrm{r}1}\mathrm{n}\mathrm{a}1$$1)\langle$
$)\mathrm{w}\mathfrak{c}\mathrm{Y}1^{\cdot}\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{l}\cdot \mathrm{i}\mathfrak{t}\backslash \mathrm{s}\mathrm{S}\mathrm{t})1\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{t}_{J}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{S}$
.
We
$\mathrm{s}\mathrm{t},\mathrm{u}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{d}$ill
[3]
the
existence of a genuine
solut,ion
witll
$\mathrm{t}1_{1(_{\text{ノ}^{}1}\mathrm{S}\mathrm{a}}111(1\mathrm{a}\text{ノ}\mathrm{S}\mathrm{y}_{111}1^{)}\uparrow \mathrm{c}()\uparrow,\mathrm{i}(^{\backslash }\text{ノ}(^{\backslash },\mathrm{X}1)\mathrm{a}11\mathrm{s}\mathrm{i}()11$as
the
$\mathrm{f}\mathrm{e}$)
$\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}$power
series
solution.
$\mathrm{T}1_{1}\mathrm{e}$ $111\mathrm{a}\mathrm{i}_{1}11^{\cdot}(^{\tau_{\text{ノ}}\mathrm{c}\backslash }\mathrm{k}\urcorner 111\mathrm{t},$ill
$\backslash \lambda^{\prime_{\langle^{\tau}}}\mathrm{b})\mathrm{i}\mathrm{V}\mathrm{t}^{\backslash }(‘|\mathrm{l}1\langle\backslash \mathrm{X}\epsilon‘ \mathrm{t}1111^{)}]_{()}$
.
$]_{A(}\backslash \{11|\mathrm{b}$.
$(.()11\iota \mathrm{s}.\mathrm{i}([_{(^{\backslash }}1^{\cdot}$
(1. 7)
$J^{)}(7., ()’)=\partial_{1}^{\ulcorner_{)}}’+(Ji,\cdot|$
}(
$‘ j_{\mathrm{t})}+\dot{(}J_{()}^{\mathit{2}}.,$$\nearrow_{\vee}=(Z_{0}, Z_{1})\in \mathbb{C}^{\mathit{2}}$
‘
$\mathrm{w}_{\mathrm{t}^{1}}1_{1c1\mathrm{V}(}‘\backslash$
$\{$
$\gamma_{()}=+\infty$
,
$\gamma_{1}=1$
,
$\gamma_{2}=1/2$
,
$\gamma.\cdot\}=()$
,
$\chi_{l^{)},\mathrm{t})}(_{Z_{)}}/\zeta_{1})=\xi_{1}^{1})\ulcorner$
,
$\lambda l^{\supset_{1}(z’,\xi)},1=\xi_{1}^{1}.;$
,
$\chi_{J)},()(z’, \xi_{1})=1$
.
$()1)\mathrm{v}\mathrm{i}(\iota \mathrm{t}\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{y}P(z, \partial)$
satisfies
$(C_{i})\mathrm{a}\mathrm{l}1(1x_{T^{y}},i(z’, 1)\neq()$
for
$\dot{7}_{\text{ノ}}=0,1,2$
.
$\mathrm{s}_{\mathrm{l}\mathrm{t}}1^{)}1)()\mathrm{s}(\backslash , .f\cdot(z)\in Asy(\zeta 2(\theta)),$
t,llat
is,
it
has lllercly
an
$\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{y}_{111}1$)
$\mathrm{t}_{\mathrm{o}\mathrm{t}}\mathrm{i}\mathrm{C}$
expall-si
$()11,$
alltl
(”
$()1\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{l}\cdot$(1.8)
$(\partial_{1}^{r_{)}}’+(‘)_{1}‘’\partial_{(})+\partial_{()}^{\mathit{2}}‘)v(Z)=.f(Z)$
.
$]_{\lrcorner(}\backslash \dagger()<\theta’<$
ltlil\iota
$\{\theta, \pi/2\}$
.
$\ulcorner \mathrm{r}11$(
$11$
we
$1_{1c\iota \mathrm{V}(}‘\tau$a
$\iota \mathrm{t}^{\mathrm{t}},\langle$)
$111\mathrm{t}$
ioll
$?l(z)\in A.\mathrm{s}y(U(\theta’))l\cdot \mathrm{t})1^{\cdot}$
$\mathrm{S}\mathrm{t})111\mathrm{t}^{\backslash }$
[
$)\langle$$)1.\mathrm{v}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{s}$(.
$lf\mathrm{t}.\mathrm{t}^{\backslash }11(\langle\backslash 1^{\cdot}\mathrm{t}^{\backslash }(\iota(.\iota \mathrm{t}\wedge\cdot\vee\sim=$$()$
by
$\mathrm{T}11(^{\backslash }()1^{\cdot}(^{\backslash }1111.3$
.
\S 2
Construction of
Parametrix
Ill
(
$1^{\cdot}(1_{\mathrm{C}\mathrm{r}}$to
f\‘ill(l.q(z)
$\mathrm{i}_{1}1$Tlleorelll 1.2
we
collstruct
a
$\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}111\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}_{\mathrm{X}}$of
$P(z, \partial_{z})$
.
$\Gamma\{\mathrm{t}$)
$1^{\cdot}\mathrm{t},1\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{s}_{1)1}1\mathrm{r}\iota$)
$\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{C}$we
$\iota\iota \mathrm{s}\mathrm{e}$stlllc,
$\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}\prime c\iota \mathrm{r}\mathrm{y}$functions. Let
$0<\delta\leq 1$
alld put
(2.1)
$. \hat{q}_{l^{y}}(\lambda)=\{\lambda^{-f)}f(J\gamma\frac{\lambda^{\delta}}{\Gamma(\frac{T^{J}}{\delta}+1)}\cdot\int_{0}d\mathrm{e}\mathrm{x}l)\leq 0\mathrm{p}(,-\lambda^{\delta}\zeta)(^{2}\delta d$
(
for
$p>0$
$\mathrm{w}11(^{\backslash }\mathrm{r}(^{1}(f>$
$()$
is
a
$\mathrm{S}\mathrm{l}11\mathrm{e}‘\iota 11(^{\tau},\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}11\mathrm{t},$.
If
$p>$
$()$
,
$.\hat{q}_{p}(\lambda)\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}_{\mathrm{P}^{(_{\text{ノ}^{}\mathrm{Y}}11(}}1_{\mathrm{S}}()11\delta \mathrm{a}\mathrm{l}1(1d$but if
$\int)\leq$
$()$
,
$.\hat{(f}\uparrow)(\lambda)$does
llot.
$\mathrm{D}_{\mathrm{t}}\supset \mathrm{f}\mathrm{i}11(\backslash$(2.2)
$l1_{1)}’(()^{\vee};t)= \frac{1}{2\pi/},$
$\int_{\mathrm{I}}^{\infty}\mathrm{e}\mathrm{x}_{1^{)}}(-/\backslash t).\hat{q}_{p}(\lambda)d\lambda$
$\mathrm{a}11(1$
(2.3)
$I\iota_{\uparrow)}’,q(\delta;?\mathit{1})_{(})-z0,$
$u)())=w_{0}^{q}(- \frac{\partial}{\partial uJ_{0}})\mathrm{t}\prime I\mathrm{f}_{p}(\delta;\eta v0-z())$
.
If
$0<\delta<1,$
$I\mathrm{f}_{p}(\delta\cdot, t)$
is
$111111\mathrm{t}\mathrm{i}_{- \mathrm{v}}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}(1\mathrm{h}_{0}10111\mathrm{o}\mathrm{r}_{\mathrm{I}^{1}})1\mathrm{i}\mathrm{c}$on
$t\neq 0$
.
We
(
$i$(
$11\mathrm{S}\mathrm{t}_{\mathrm{l}1}1(_{\text{ノ}}\mathrm{t}\mathrm{t}1_{1(^{\backslash }}\mathrm{I})\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}1\iota 1\mathrm{e}\mathrm{t},\mathrm{r}\mathrm{i}_{\mathrm{X}}G$as
follows: Let
$w=(w_{0},$
$v)’$
)
$\in \mathbb{C}\mathrm{x}\mathbb{C}^{d}$
.
Let,
$C_{0}$
be
a
$1$)
$\mathrm{a}\mathrm{t}1_{1}\mathrm{i}_{11}ul_{0}$
-space
$\mathrm{w}1_{1}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}$
starts
at
$w_{0}=0$
,
encloses
(
$‘|111\mathrm{i}(1\mathrm{t})\mathrm{t}|_{\langle \mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}^{\backslash }}|$
and
$(^{\backslash }\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{S}$al
$71^{1_{()}}=$
$()$
$\mathrm{a}11(1C’|)\mathrm{c}1_{}11(\backslash d-(1\mathrm{i}_{111}\mathrm{t}\backslash ,11\mathrm{s}\mathrm{i}(11\mathrm{a}11)1^{\cdot}((1\iota 1(\mathrm{f}$
,
of
$(. \mathrm{i}\mathrm{l}.\mathrm{t}’\iota(\backslash ‘ \mathrm{b}^{\backslash }\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{t}^{\backslash }l^{\backslash }111(\backslash (1|).V\prod’’,|=\mathrm{I}\{|\uparrow\{)j|=7_{1}^{\cdot}\}\mathrm{i}_{\mathrm{l}1}\mathbb{C}^{(f}.\mathrm{S}111^{)}1)\mathrm{t})\mathrm{S}(\backslash \text{ノ} .f(\uparrow f))\in A_{l}^{\mathrm{B}}‘,.?/\mathrm{t}\gamma\}$
(S2
$(\theta)$
).
$\ulcorner 1^{\urcorner}1\mathrm{l}(\backslash 11 (,1_{1(^{i}}1)_{\zeta}‘|\mathrm{l}.C‘ \mathrm{t}\mathrm{l}11()\iota \mathrm{i}_{\mathrm{X}}$
is of
$\mathrm{t},11\mathrm{t}^{\tau}\mathrm{f}\langle)1^{\cdot}111$$(C_{J}f)(Z)= \int_{C’}(f\prime u)’\int_{C_{0}}G(z, w)f(w)d\mathrm{t}rl_{(})$
,
wlli(
$11$
is
all
illt
$(^{\mathrm{Y}}\mathrm{g}_{1}\cdot \mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{I}^{)}(^{\backslash }J1^{\cdot}\mathrm{a}\mathrm{t}$,or
witll
$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}\cdot 1\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{l}$
(2.4)
$c(_{Z,u}))= \sum_{\infty p=-}^{\infty}+\sum_{=q()}^{+\infty}h\cdot(p,q’.)Ic)p,q(\delta_{i})0-Z0u)’w,$
$w0\sim,\cdot),$
$\delta_{i}=\gamma_{i}/(\gamma_{i}+1)$
.
$\mathrm{T}11\mathrm{t}^{\backslash }(^{\backslash },(\{\backslash \prime \mathrm{f}\mathrm{f}_{\grave{1}(},\mathrm{i}_{\mathrm{C}11}\mathrm{t},‘ \mathrm{S}\mathrm{A}_{p,q}(Z, \mathrm{t};\prime’)’(9$
are
(
$1_{\mathrm{C}\mathrm{t}\mathrm{C}}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{i}_{1}1\mathrm{e}\mathrm{C}1$so as
to satisfy
$P(_{Z_{\}\partial_{\sim}} \vee)G(’.\iota\sim,\mathrm{t}’)=\frac{1}{(2\pi\dot{7})’(}‘\frac{I\mathrm{t}_{\mathrm{t}}^{r}),()(\delta_{?}\cdot \mathrm{t}1)1)-\prime.,.vJ_{\mathrm{t}}\sim_{()},))}{\prod_{/1=}’|(llJ/|-\sim)/|},+R(Z, \mathrm{t}\int))$
,
$\mathrm{w}1\mathrm{l}(^{\backslash }1^{\cdot}(\backslash R(z, \uparrow \mathit{1}f)$
sat,isfies
$(Rf)(Z)= \int_{c_{\mathrm{t})}\mathrm{x}C},$
$R(z, \mathrm{t}\mathit{1}\mathit{1})f(w)dw\sim()$
in
$A_{9}\mathrm{c}y_{\{\gamma_{i}}$}
$(U(\theta’))$
.
So
$1^{)11\{},$
$.(j(_{Z)}:=(G.f)(Z)$
.
$\mathrm{T}11$
(
$,$
details,
$\mathrm{t},1_{1}\mathrm{a}\mathrm{t}$
is,
$\mathrm{t},11\mathrm{C}$cxistcllce
of
$k_{p,q}(z,$
$v)$
)
$/$
, its
$\mathrm{C}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}_{1}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}$and the
prop-$\mathrm{e}1^{\cdot}\mathrm{t}_{J}\mathrm{i}\mathrm{C}\mathrm{S}$
of
$C_{J}(z, \mathrm{t}\mathit{1}))\mathrm{a}11(1R(z, ?r))$
etc. will be
published
$\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}$.
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de-$1^{\cdot}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{c}^{\acute{\tau}}\mathrm{c}\mathrm{s}_{1})\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t},\mathrm{i}(\backslash 1\text{ノ}1_{\mathrm{C}\mathrm{s}}$\‘a
$(_{\text{ノ}^{}\backslash }\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}’(^{\backslash }\text{ノ}\mathrm{r}\mathrm{i}_{\mathrm{S}}\mathrm{t},\mathrm{i}_{\mathrm{C}\mathrm{n}1}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}\iota)1\mathrm{e}\mathrm{s}$; probl\‘eme
de Cauchy
ran)ifi\’e;
$1_{1}\mathrm{y}\mathrm{I})\mathrm{c}\mathrm{r}\iota)\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}_{\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{t}’},(\backslash 1)\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e},$(I.
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$\mathrm{i}_{\mathrm{l}\mathrm{a}}$,
P.,
$\mathrm{p}_{1\langle)}\iota$)
$1\grave{\mathrm{C}}111\mathrm{c}$de
$\mathrm{c}_{\mathrm{a}\iota 1}\mathrm{C}11.\mathrm{v}$
pour les
syst,clllcs
111i
$(1^{\cdot}\langle)\langle 1\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}_{\mathrm{t}^{\backslash }1(^{1}}111\mathrm{i}\mathrm{t}^{i}1_{\mathrm{S}}(1^{i}‘ 111\mathrm{S}$le
(
$1_{\mathrm{t}1}11\mathrm{a}\mathrm{i}_{11}(^{\backslash }(1111^{)}1\mathrm{c}\mathrm{X}‘^{1},$Inv.
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,
S.,
$\mathrm{C}11l1\mathrm{J}^{\cdot}\subset‘ 1\mathrm{t}\cdot \mathrm{t}(^{\backslash }1^{\cdot}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}(\mathrm{C}\mathrm{a}\iota \mathrm{t}\mathrm{c}1_{1}\mathrm{y}1^{)1(1})1\mathrm{e}111\mathrm{s}$
and
$\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\iota \mathrm{f}\downarrow \mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{S}$of
$\mathrm{f}_{0111}1\mathrm{a}1$
$1)(\mathrm{w}(^{1}1^{\cdot}$
series
,
Ann.
L’institut
Fourier,
33
(1983),
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$\mathfrak{c}^{-})_{\mathrm{t}}\iota(’ 11\mathrm{i}$,
S.,
$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{f}_{J}\mathrm{e}11\mathrm{C}\mathrm{e}$of
$\mathrm{s}\mathrm{i}_{11}\mathrm{g}_{1}\iota 1\mathrm{a}1’ \mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{t},\mathrm{i}_{\mathrm{o}\mathrm{l}1}\mathrm{s}$and null solutions for
linear
$1^{)_{C}^{\mathrm{r}}1\mathrm{r}}\mathrm{f},\mathrm{i}C\iota 1\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{C}\backslash 1^{\cdot}\epsilon^{\backslash },11\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{o}\iota ry\mathrm{e}\mathrm{l}\cdot \mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}$,
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Sci.
Univ.
$Tokyo_{y}32$
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$(^{-})_{\mathrm{t}1}(11\mathrm{i}$,
S.,
$\mathrm{s}\mathrm{i}_{1\mathrm{l}}\mathrm{g}_{1}11\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{l}\iota\iota \mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{S}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t}_{\downarrow}1_{1\mathrm{a}\mathrm{s}}\mathrm{y}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{C}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\mathrm{a}11\mathrm{S}\mathrm{i}_{0}11$of linear
par-t,ial
$\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{e}1^{\cdot}‘^{\backslash }\mathrm{n}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{C}(1^{\iota\iota}\mathrm{a}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{o}11\mathrm{S}\mathrm{i}_{\mathrm{l}1}\mathrm{t}_{1}1\iota \mathrm{e}(^{\backslash }\text{ノ}01111)1\mathrm{e}\mathrm{X}\mathrm{d}_{01\mathrm{n}\mathrm{a}}\mathrm{i}_{1}1$,
Publ.
RIMS
Kyoto
$[(\mathrm{j}]$
$(^{-})_{1}\iota \mathrm{t}.1_{1}\mathrm{i}$
,
S.,
$\mathrm{G}_{1()\mathrm{W}}.\mathrm{t}111^{)1}.()1^{)(^{\backslash }}1^{\cdot}\mathrm{f},.\mathrm{v}\iota 111\mathrm{d}\mathrm{s}1_{\mathrm{t})\mathrm{w}1}\mathrm{v}\mathrm{i}11(.1^{\cdot}\mathrm{t}^{\backslash },C‘\iota \mathrm{s}\mathrm{i}_{1}1)\mathrm{t}^{\backslash }1_{1}\subset‘ 1_{}\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{e})1^{\cdot}()\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{s}’ \mathrm{i}\mathrm{l}\iota 11(‘ \mathrm{t}\mathrm{l}$.
$\mathrm{s}\mathrm{e})1_{11}\mathrm{r}\int \mathrm{i}()11\mathrm{s}()\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{i}11(^{\backslash }\mathrm{a}1^{\cdot}1)\mathrm{f}1x1$,ial
{
$1\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}.(^{\mathrm{Y}}1^{\cdot}(\supset,11\mathrm{t},\mathrm{i}$(
$‘\iota 1(\backslash (1^{1\mathrm{t}\mathrm{l}_{J}}\subset‘ \mathrm{f}’\mathrm{i}\mathrm{t})11\mathrm{s}$ill
$\mathrm{r}1_{1(})\mathrm{e}\cdot \mathrm{e}$
)
$1111^{)}1_{\mathrm{C}\mathrm{X}}(1_{\mathrm{t})111}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{l}1$,
$f_{\text{
ノ
}}()app$
ear
$i_{7t_{\mathrm{c}}}I$.
Math.
Soc.
Japan.
$(20()())$
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$(^{-})_{11\mathrm{C}1_{1}}\mathrm{i}$,
S.,
Asyllll)tot)ic
$\mathrm{e}\mathrm{x}_{1)\mathrm{a}}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{e}$
)n
of
$\mathrm{s}\mathrm{i}_{11}\mathrm{g}_{1}\iota 1\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{S}()1\iota 1\mathrm{f}_{\mathrm{I}}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{S}\mathrm{a}11(1\mathrm{t}1_{1(}\mathrm{Y},$$\mathrm{C}1_{1\mathrm{a}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{e}:-$ $\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}_{\mathrm{S}}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{c}\cdot 1)\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{y}\mathrm{g}_{011}$of
$1\mathrm{i}_{11\mathrm{e}\mathrm{a}1}\cdot 1^{)\mathrm{a}\mathrm{r}}\mathrm{t},\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}$differclltial
$\mathrm{c}\mathrm{q}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}_{011}\mathrm{s}\mathrm{i}_{11}\mathrm{t}1_{1}\mathrm{e}(j\mathrm{O}111\mathrm{P}^{1\backslash }(_{\text{ノ}}\mathrm{x}$$(1\mathrm{e})111\mathrm{a}\mathrm{i}_{1}1,$
$p_{7}.ep_{7i}.7\iota f_{\text{ノ}}$
.
[8]
Pel.ssoll, J.,
$\mathrm{S}\mathrm{i}_{\mathrm{l}1}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}1_{1}()101\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{c}$solllt,iolls
of linear partial diffcrential
$\mathrm{e}^{\backslash }\text{ノ}\mathrm{q}\iota 1\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}11\mathrm{s}\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{t}1_{1}\mathrm{h}\mathrm{o}1(\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{p}11\mathrm{i}_{\mathrm{C}}$
cocfficients and
nonanalytic
$\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}\iota \mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{S}\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{f}_{1}11$
$\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{y}\mathrm{t}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}$
