付録C MATLABによる行列と数式の計算（pdf）

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付録

C

MATLAB

による行列と数式の計算

C.1 MATLAB

の基本操作

MATLABは，行列計算を中心とした科学技術計算アプリケーションであり，各種領域向けのツール群の他，プログラミング言語によるプログラム作りも可能である．以下は，「バージョンR2020b」による実行例である1)_． MATLABを起動すると，画面の中央付近にプロンプト「>>」が表示されたコマンドウィンドウが表示される．プロンプトに対してコマンドを入力し，を打てば結果が「ans = 」に続けて表示される．このとき，「; 」とすれば，結果は表示されない． >> 1+2+3 ans = 6 >> 1+2+3; >> なお，プロンプトのもとでカーソルキーÒ と Ó が使えば，コマンド行に入力した履歴が再表示される．

C.2 MATLAB

の基本事項

以下に，使用上，必要となる用語や記号について示す．変数英字で始まる英数字（A„Z, a„z, 0„9）と特殊文字（_）の文字列．大文字と小文字は区別される．ただし，処理系にあらかじめ登録されている関数名（i, j,char, mode, sizeなど）を変数とすることができない2)．

データ型 int型（整数），real（実数），logical（論理型）

定数 pi=3.1416．Infは8．

1)_{最新情報は，https://jp.mathworks.com/を参照のこと．} 2)_{i, j は虚数単位として用いられるため，変数名として使用できない．}

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論理値真ならば1，偽ならば0．trueとfalseも用いることができる．算術演算子加減乗除は，+, -, *, /，ベキ乗は ^．演算子には優先順位あり，2*3^2+4*5ùñ 38．比較演算子不等号・等号のą, ŕ, ă, ő, “, “は，順に>，>=，<，<=，==， ~=．計算結果は真ならば1，偽ならば0．論理演算子 ^と_は，|と&．計算結果は真ならば1，偽ならば0．コメント記号「%」はコメントのはじまりを表す．この記号から行末までは実行されない．

C.3 行列の表し方

MATLABでは，行の要素は「空白」で区切り，行どうしは「;」で区切る．そのため，たとえば， M “ ˜ a11 a12 a13 a21 a22 a23 ¸ は， [a11 a12; a21 a22] と表す．行列を表す主なコマンドを次表に示す．項目コマンド説明例単位行列 eye(n) nˆn型の単位行列 eye(3) 零行列 zeros(m, n) mˆn型の零行列 zeros(3, 3)

C.4 行列の演算

行列の演算に関する主なコマンドを次表に示す．項目コマンド説明例行列の和 A+B 行列A とBの和 [1 2;3 4]+[1 -1;-2 1] 行列の積 A*B 行列A とBの積 [1 2]*[3; 4] （A*AはA^2も可） [1 2; 3 4]^2 転置行列 M ’ 行列M の転置行列 [1 0; 0 1]’ 以下に，一般的な行列の演算例や，，0-1行列の演算例を本文で示した例題をとりあげながら述べる．なお，紙面の都合上，処理系からの出力の一部（空白行など）を省略している3)_． 3)_{format compact を入力することで出力結果の行数が少なくなる．}

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【例C.1】行列の演算— 【例A.2】 >> [3 2;1 0]+[0 -1;3 -2] ans = 3 1 4 -2 >> [2 1;1 2]*[3 2;4 1] ans = 10 5 11 4 >> [1 2 3;2 0 1;3 1 0]*[1 0 0;0 2 0;0 0 3] ans = 1 4 9 2 0 3 3 2 0

C.5 0-1

行列の演算

0-1行列に対する演算‘とbにあたる演算子はMATLABにはなく，+と*による計算結果は0と1とは限らない．そのため，各要素に対して「>= 1」かどうかの判定をすることで計算結果を0-1行列にする（1以上である要素だけが1）．【例C.2】0-1行列の演算— 【例5.8】 >> MR = [1 1;0 0]; % M_R >> MQ = [1 1;0 1]; % M_Q >> MR+MQ % 関係の和（一般的な行列の和） ans = 2 2 0 1 >> MR+MQ >= 1 % 行列の和の各要素が >=1 かどうかの判定 ans = 2×2 の logical 配列 1 1 % 0-1行列としての計算結果 0 1 >> MR*MQ >= 1 % 関係の積（行列の積）の各要素が ans = % >=1 かどうかの判定 2×2 の logical 配列 1 1 % 0-1行列の積としての計算結果 0 0

C.6 グラフの解析

第7章「グラフ」における隣接行列と連結行列を使った解析の計算例を示す．

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【例C.3】グラフの行列演算— 【例7.18】 >> I4=eye(4); % 4×4の単位行列 >> A=[0 1 1 0;1 0 0 1;1 0 0 1;0 1 1 0]; % 隣接行列 >> I4+A+A^2+A^3 >= 1 % 連結行列の計算 ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 さらに，第9章「ネットワーク」における到達可能行列の計算例を示す．【例C.4】ネットワークの到達可能行列— 【例9.17】 >> I4=eye(4); >> A=[0 1 0 0;0 0 1 0;0 1 0 1;0 0 0 0]; % 隣接行列 >> L=(A+I4)^3 >= 1 % 到達可能行列の計算 L = 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1

C.7 整数関数

第6章の「関数」で現れる整数関数（【例6.3】）のうち，MATLABの関数として次のものが利用できる．項目コマンド例床関数 floor(x) floor(3.14)ñ 3 天井関数 ceil(x) ceil(3.14)ñ 4 剰余関数 modl(x, y) ceil(10, 3)ñ 1

C.8 シンボリック計算

C.8.1 シンボリック変数

MATLABには，数値計算以外に，文字式，たとえば，px ` yq2をx2_{` 2xy ` y}2_と展開するための数式処理の機能もある．この機能により，論理演算，多項式の演算，文字を要素とする行列の演算などが行える．そのための変数はシンボリック変数とよばれ，次のように宣言する．

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syms var1 var2 ¨ ¨ ¨ varn type

これらの変数var1, var2, ¨ ¨ ¨ , varn はデータ型typeを値とする．なお，typeが省略さ

れた場合には，複素数を値とするシンボリック変数とされる．

C.8.2 命題論理

bool型を値とする変数をシンボリック変数として宣言することで，第1章の命題論理に関する計算が行える．

【例C.5】命題論理の演算— 第1章「命題論理」

>> syms p q r bool % bool型のシンボリック変数の宣言 >> p | ~p % 【例1.6】 p∨(￢p) ans = symtrue % 真を表す（恒真） >> p & ~p % 【例1.6】 p∧(￢p) ans = symfalse % 偽を表す（恒偽） >> ~(p | q) % 1.3.5 ド・モルガンの法則￢(p∨q) ans = ~p & ~q >> ~(p & q) % 1.3.5 ドモルガンの法則￢(p∧q) ans = ~p | ~q >> p | ~(p & q) % [問1.10] p∨(￢(p∧q)) ans = symtrue % 真を表す（恒真） >> (p & q) & ~(p | q) % [問1.10] (p∧q)∧(￢(p∨q)) ans = symfalse % 偽を表す（恒偽）

C.8.3 多項式

文字x, y, z を変数とする多項式の計算は次のようにして行える．【例C.6】多項式の演算 >> syms x y z real >> 2*x+x+y-3*y % 2x+x+y-3y の計算 ans = 3*x - 2*y >> expand((x+y)^2) % (x+y)^2 の展開 ans = x^2 + 2*x*y + y^2 多項式の計算により，第4章の母関数（4.8節）の計算が行える．

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【例C.7】母関数— 【例4.10】 p1 ` x ` x2` x3` x4` x5qp1 ` xqp1 ` x ` x2` x3qを展開して得られる多項式の係数は次のようにして求められる． >> expand((1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)*(1+x)*(1+x+x^2+x^3)) ans = x^9 + 3*x^8 + 5*x^7 + 7*x^6 + 8*x^5 + 8*x^4 + 7*x^3 + 5*x^2 + 3*x + 1