数 学 概 論 I ： 中 間 試 験

１ 枚 目（５枚あります）

₂₀₁₀

12

7

学生番号 氏名

[ 1 ]

{ a n }

a _n :=

 



 

m + 1

m (n = 2m − 1; m = 1, 2, . . . ) ( − 1) ^{m − 1} 1

m (n = 2m; m = 1, 2, . . . )

２ 枚 目（５枚あります）

₂₀₁₀

12

7

学生番号 氏名

[ 2 ]

{ a n } , { b n }

n

a n > 0

lim

n →∞

b n

a n

= 0

(1)

b n < ¹ ₂ a n

(2) lim

n →∞ a n = ∞

lim

n →∞

e ^b

e ^a

= 0

３ 枚 目（５枚あります）

₂₀₁₀

12

7

学生番号 氏名

[ 3 ] 0 5 r < 1

{ a n }

{ a n }

Cauchy

であることを示せ：ある自然数

N

n = N

| a n+2 − a n+1 | 5 r | a n+1 − a n | .

４ 枚 目（５枚あります）

₂₀₁₀

12

7

学生番号 氏名

[ 4 ] a n

P ^∞

n=1

a n

(1) a n := 1

n ² + 2n − 2 (2) a n := 1

log(n + 1)

５ 枚 目（最終ページ）

₂₀₁₀

12

7

学生番号 氏名

[ 5 ] (1)

cosh x := e ^x + e ^{− x}

2

(2)

x

cosh x 5 e