平成２４年度　東京農工大学　解答例

平成２４年度　東京農工大学　解答例　

1.

　

f

x

= 3x

²

+ 2x + y

²

− 1, f

y

= 2xy − 4y

で，

f

x

= 0, f

y

= 0

とおくと，

3x

²

+ 2x + y

²

− 1 = 0, 2y(x − 2) = 0

より，

x = 2

のとき

12 + 4 + y

²

− 1 = 0, y

²

= − 15 < 0

から，f_x

= 0, f

_y

= 0

を満たす実数 は存在しない．

y = 0

のとき

3x

²

+ 2x − 1 = (3x − 1)(x + 1) = 0

から，

x = − 1, x = 1

3

． よって，実数解は

(x, y) = ( − 1, 0),

³ 1 3 , 0

´

． 　

f

xx

= 6x + 2, f

xy

= 2y, f

yy

= 2x − 4

で，

D(x, y) = f

_xy²

(x, y) − f

_xx

(x, y)f

_yy

(x, y) = 4y

²

− (6x+2)(2x − 4) = 4 { y

²

− (3x+1)(x − 2) }

とおくと，

D( − 1, 0) = − 24 < 0, f

_xx

( − 1, 0) = − 4 <

から，

( − 1, 0)

で極大になり，極大値は

1

． 　

D

³ 1 3 , 0

´

= 40

3 > 0

だから，極値をとらない．

∴　

(x, y) = ( − 1, 0)

で極大になり，極大値は

1．

2.

　

x = r cos θ, y = r sin θ

とおくと，ヤコビアンは

r

．

x

²

+ y

²

≤ x

は

r

²

≤ r cos θ

より，

r ≤ cos θ

．

I =

ZZ

D

p 1 − x

²

− y

²

dxdy = 2 Z

^π₂

0

Z

cosθ 0

r p

1 − r

²

drdθ = 2 Z

^π₂

0

h³

− 1 3

´ ( p

1 − r

²

)

³²

i

cosθ

0

dθ

= − 2 3

Z

^π₂

0

(sin

³

θ − 1) dθ = − 2 3

³ 2 3 − π

2

´

= 3π − 4

9

．

3.

　

(1)

　

| A | =

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

1 2 − a a

0 2 − a − 2 + a 2 4 − a

²

a

²

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

=

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

1 2 a

0 0 − 2 + a 2 4 a

²

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

=

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

1 2 a

0 0 − 2 + a 0 0 a

²

− 2a

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

= 0 (rankA ≤ 2)

．

a 6 = 2

のとき，

A =

⎛

⎜ ⎝

1 2 − a 2

0 2 − a − 2 + a 2 4 − a

²

a

²

⎞

⎟ ⎠

～

⎛

⎜ ⎝

1 0 2

0 2 − a − 2 + a 2 4 − a

²

a

²

⎞

⎟ ⎠

～

⎛

⎜ ⎝

1 0 2

0 2 − a − 2 + a

2 0 4

⎞

⎟ ⎠

～

⎛

⎜ ⎝

1 0 2 0 1 − 1 0 0 0

⎞

⎟ ⎠

より，

rankA = 2

である．

1

a = 2

のとき，

A =

⎛

⎜ ⎝

1 0 2 0 0 0 2 0 4

⎞

⎟ ⎠

～

⎛

⎜ ⎝

1 0 2 0 0 0 0 0 0

⎞

⎟ ⎠

より，

rankA = 1

である．

（

a = 2

のとき，

rank(A, b) = 2

となります．）

a 6 = 2

のとき，拡大行列

(A, b) =

⎛

⎜ ⎝

1 2 − a a 4

0 2 − a − 2 + a 2 − a 2 4 − a

²

a

²

10 + 3a − a

²

⎞

⎟ ⎠

～

⎛

⎜ ⎝

1 2 − a a 4

0 2 − a − 2 + a 2 − a

2 0 4 6 + 3a

⎞

⎟ ⎠

～

⎛

⎜ ⎝

1 0 2 2 + a

0 2 − a − 2 + a 2 − a

2 0 4 6 + 3a

⎞

⎟ ⎠

～

⎛

⎜ ⎝

1 0 2 2 + a

0 1 − 1 1

2 0 4 6 + 3a

⎞

⎟ ⎠

～

⎛

⎜ ⎝

1 0 2 2 + a 0 1 − 1 1 0 0 0 2 + a

⎞

⎟ ⎠

より，

a = − 2

のときに限り，

rankA = rank(A, b) = 2

である．

(この掃き出し法から，a = 2

なら解が存在しないことが分かる)

　∴　解をもつためには　

a = − 2

である．

(2)

　

上の掃き出し法の結果から，

( x

1

+ 2x

3

= 0

x

₂

− x

₃

= 1

より，

x =

⎛

⎜ ⎝ x

₁

x

2

x

₃

⎞

⎟ ⎠ =

⎛

⎜ ⎝

− 2x

₃

1 + x

3

x

₃

⎞

⎟ ⎠ = x

3

⎛

⎜ ⎝

− 2 1 1

⎞

⎟ ⎠ +

⎛

⎜ ⎝ 0 1 0

⎞

⎟ ⎠

（

x

3 は任意の実数）．

4.

　

特性方程式

t

²

− 2t + 1 = (t − 1)

²

= 0

より，t

= 1．

特殊解

η

は演算子法を用いると，

1

(D − 1)

²

e

^x

(3x + 1) = e

^x

1

(D + 1 − 1)

²

(3x + 1) = e

^x

1

D

²

(3x + 1) = e

^x

³ x

³

2 + x

²

2

´

．

[η = (Ax

³

+ Bx

²

)e

^xとおいて，

η

⁰

, η

⁰⁰を計算して，与式に代入して

A, B

を求めても よい．

]

よって，一般解は　

y = (C

1

x + C

2

)e

^x

+ e

^x

³ x

³

2 + x

²

2

´

．

y

⁰

= C

1

(xe

^x

+ e

^x

) + C

2

e

^x

+ e

^x

³ 3x

²

2 + x

´

．

y(0) = C

₂

= 3, y

⁰

(0) = C

₁

+ C

₂

= − 2

より，C₁

= − 5, C

₂

= 3．

∴　

y = ( − 5x + 3)e

^x

+ e

^x

³ x

³

2 + x

²

2

´

= x

³

+ x

²

− 10x + 6

2 e

^x．

2