z  cos   i sin ,  w  cos   i sin , 0  ≦ ≦  2 , 0  ≦ ≦  2 

(1)

[ 東京工業大学 1968 年３ ]

z  cos   i sin ,  w  cos   i sin , 0  ≦ ≦  2 , 0  ≦ ≦  2 

とするとき

|1   z w | 1 ≦

を満たす

  ,

^{を直交座標とする点}

( ,   )

の範囲を図示せよ。

1     z w 1 cos   i sin   cos   i sin  (1 cos  cos ) (sin   sin )i 

    

なので

2 2 2

|1   z w |   (1 cos   cos )   (sin   sin ) 

3 2(cos  cos ) 2 cos   cos  2 sin  sin 

    

3 2(cos  cos ) 2 cos(    )

    

|1   z w |

2

≦ 1

であるから

3 2(cos    cos ) 2 cos(      ) ≦ 1

⇔

1 cos    cos   cos(    ) ≦ 0 ( 0 ≦ ≦  2 , 0  ≦ ≦  2 ) 

⇔

cos   cos    1 cos(    ) ≦ 0

⇔

2 cos cos 2 cos

²

0 2 2 2

        

 ≦

⇔

cos cos cos 0

2 2 2

                ≦

⇔

cos 2 cos cos 0

2 2 2

      

 

  ≦

⇔

cos cos cos 0

2 2 2

    

≦

…①

①の等号が成り立つときが境界線になる。

cos 0

2    

のとき

2    ^ 

 ≦ ≦

であるから

,

2 2 2

      

よって

        ,  

…②

cos 0

2  _

のとき

0 2

 

≦ ≦

であるから

2 2

 _ 

よって

 

 …③

cos 0

2  _

のとき

(2)

0 2

 

≦ ≦

であるから

2 2

 _ 

よって

  

…④

したがって ②，③，④ が境界線の方程式で，原点

(0, 0)

が①を満たさないことも考えて求める領域は図の斜線部のようになる。ただし，境界線上の点も含む。

O a

b

p p

2p

z  cos   i sin ,  w  cos   i sin , 0  ≦ ≦  2 , 0  ≦ ≦  2 