[ 東京工業大学 1961 年 ３ ]
2 2
1
x +y = なるとき x2−y2+2 3xy を最大または最小とするx y, の値を求めよ。
x2+y2 =1 より x=cos ,θ y=sinθ (0≦θ <2 )π とおける。
このとき，x2−y2+2 3xy =(cos )θ 2−(sin )θ 2+2 3 cosθ⋅sinθ
=cos 2θ + 3 sin 2θ
3 1 2 sin 2 cos 2
2 2
θ θ
⎛ ⎞
= ⎜⎜⎝ ⋅ + ⋅ ⎟⎟⎠
2 sin 2 6 θ π
⎛ ⎞
= ⎜ + ⎟
⎝ ⎠ "①
0≦θ <2π より 25
6 2 6 6
π ≦ θ+ π < π であるから
①が最大となるのは 5
2 ,
6 2 2
π π
θ+ = π のときで，このとき 7
6 , 6
θ = π π から
x y, の値は 3 1
cos , sin
6 2 6 2
x= π = y= π =
7 3 7 1
cos , sin
6 2 6 2
x= π = − y= π = −
①が最小となるのは 3 7
2 ,
6 2 2
θ+ π = π π のときで，このとき 2 5 3 , 3
θ = π π から
x y, の値は 2 1 2 3
cos , sin
3 2 3 2
x= π = − y= π =
5 1 5 3
cos , sin
3 2 3 2
x= π = y= π = −
