Relaxation and Transport Phenomena in Conservative Dynamical Systems

Relaxation and Transport Phenomena in Conservative Dynamical Systems

2006

2

! " #$

Y[Z\^]

6_`L'a54Bb+cE2Q^d3e/f+9hg3i'j1k3l/2nm8JBo)p

Y

p5*-,ED-Frqhs'tuvfK9nw

Q=q/x'(+*'4vy>uBf

]

i89Bz

\|{

qK}

]

L-~''€)I-‚4nƒ-}

]/„†…

uBf+9[‡)ˆ‰.103254/6

i

]‹Š

L8g3i'j1k‰l@P)Œ‹[Ž)&n)fneEH‘)’'“‰”rCBo)pK*ED)Fnqh•—–h9Bz

\^˜™\

‡'ˆ‰.10

2nm‰J/š/›‚4vL/M3N-O-P‚4nƒK_œj/k3l

(

M')žHŸ- 

)

q/¡H• \¢]UŠ L¤£¦¥‰§@l>Q¢d3ehf+9^

)ž)Ÿ- q/¨'©5ª)C‰«H4|¬U9rw8Q¢qh­®œf ] 6_

(Kolmogolov-Arnold-Moser

&Hx

)

L>wEC

£¯¥'§@l‹Q¢j/k-l'Cv°-ˆK48ƒE} ] bcvPnq@±H²‰r9+Q¯³-´™u[f ] i‰9vz^µr¶EL£¯¥3§El·¸j

k3lh°'ˆ-2KCBp'¹)µ‰º‰mhL)¨ Y'Y p5Ch»‚¼ Y p5*|D)F3½1¾3¿-À)ÁQ^i+} {vÂ'à C|ˆ'Änq/Å

p)Æ'Ç>uÈf ] in9|zwrÉ \B{BÊ 9ÈËi3CvÌ'͂4/Î3i ] JBL'Ï-p5CBÐrÑ/Prq@o)Ò>uvf ] in9

q/L+i†Ó)fr4

\[]UŠ

j1k3l>QU£¦¥‰§hl8CBÔ'Õ)Ö-×U4BØÙHq8ÚÛ_`LÜw|CBÔ'Õ'Ö-×5C|ÝHÞUC|ß

à q/M'¿K4vá)âK,hãHärm‰Ú‰9Bz‚å

{

L棯¥‰§/l ·çj1k3lE°3ˆ)2KJ1g‰j†k3l@23½†Ð'è'é)254

ê'»

]

ƒK_ëš1›5*†m8ډ9

{-ì

L)°'ˆ)2KCBí'î-PQvï-CBÌ)͙[ßKð/+9rw8Qñq)gWóò™åEf

]

in9|z'š1€)L-M'bKc'*-,h.10'25C|ô)õ

Š

L'öø÷ñA£¢;œ2+CEô)õQÈJ)Ú89ÈI-ù)ú-û‚4vü

ì ®

f1L'D)F†G3I54/Ήi ] Cvx'(K*),Eß à ½†ý+þ@t)ùrÿ1Ah¥çx'(+,B4/6'i ] ÅXW=C

q®œf ] in9Bz \^˜™\ LÜwrÉ \B{ ô)õ8q à Q \^] i89ÈM'b+c'*h.†0'2+C-§hl>QU£¦¥

§hl>Q[j/k3l-qh°3ˆ8+9[‡)ˆ‰.†0'2QÈC Y[Z P5J)ðQ[J',-i/z

ïKwÈm3(mnJEL

2

ù)‡3ˆ‰.†0‰25416n789vD)F · ‰à CEí‰î+*|P™[p3¹)µ

ºÛQ ß à *! "K4nƒK_$#3»

{&%

54hÎ'i

]E…

»+9vzråvÓ'

1

⁽

m‰JBL)ô-õ+C!) *Q

\¢]

L

b+c3*|LHM'b+c'*/.10'2 +-,£ë¥‰§hl · j1k‰l@°'ˆ)254

Y

+9/. 0‹åhmn4È­®œf

]

in9

%

‚41Î3i

]

ß1

\

L5ïhfn4

Y[Z\^]

'(25C3v*'4/Î3i

]h…

»K9Bz

'

2

⁽

m‰JBL

2

⁴⁵⁷⁶²⁸

;&9 :[A7;'C&<2=KC/> ?U

„1…

r9

2

^&

ù-‡-ˆ3./0-2K4hÎ'i

]

CBp3¹-µ‰ºC

%

‚4/Î3i

]h…

»K9Bz5å@ÓBL-M'N-O@?nqA'éB>¼‚Wœ,r}

{

Qh¼¢L)¨H©‚ª'4

CED

l

8-FHG

†,EÝ-Þ>JIrΤ£¦¥8§hl'q/ˆ)Ä \ L5ï)C£ë¥‰§hlKLrmnCNM)Ä-O‰ªEéPrqH»

¼RQ‚4&.Éhw8Q@^ynEz‹u+®È4BLM)ÄSO‰ª|éP+CHlT‰¥

D

;U[o)pQ[j1k‰l@Ÿ- ‚CE VW

XYZ C†lT‰¥

D

;U[o)p>vê2[rK9nwrQ=m/L

CED

l

8-FHG

£¦¥8§/l\2K™4Hj†k3l/Ÿ- 

q]-O‰ª&^_>uBf+9nw8Qv4ƒ5_`L-¾'¿)À)Árq/¡-• \^] in9nwnQEJ`‰K9Bz5å { L 6 :;

jbadce+C|݋Jfgn9nw8Q¢m/Lhai

Fj

§lk£ÈQ^d'e1f+9J-G‰Inq@s'tuvfK9nw8Q

4/Ήi

]‚Š …

»K9|z

'

3

⁽

mrJhLUå/ÓnmEé‰N'O7ceUC@Ý7Q ß à &oXÉózw@Cce‚J

(A) indifferent fixed point (IFP)

pInÎ

{Hì

M'bc3*/m8ÚÜ_ L>wEC

IFP

2qU4†j†k'l@Ÿ- rq]rO‰ª^ _>uÈf+9vz

š1€8mhL

(B)

w|C

IFP

sq‚4†j/k'lEŸH rqtu2vuÈf98w‰Q|Rwx89 y/jsz { |rRInÎ1z

(B)

] ˜ {†…

CBP

(B)

4rƒ‚_`L ‡'è)‡3ˆ-P™/IrÎ

2

⁴⁷⁵

ce‰.H0'254vÀ-ˆ-+9rwnQ=q/ÐrÑr4-,89Bzu

®È4BLÛw|C&‡'è)‡)ˆce+CBÀB'€Š‰)C‹kŒ÷@l84/Î3i

]

L)žŽ)ù™p)N-OK,7m-ª1m

J@šl8m‰Ú'9+Q Ž-& \v{ ;†mhL‰ïHClO3ªB¡ ‘ ’2“2=KC1ls”-ø£`A†ß à

(

⁶

D/•

G

£– A‰ÿ/A

°—nC˜™

)

Jo™} {% ‚4/Î3i ]h… »K9Bz å { LÛwEC†l2”n£ ACBP ˜ ®[J!]SO‰ªE¨

Y q/¡)•8+9nw8Q=q/y>uÈf+9Bz

å { Lš

G

9›vA+¥s|nœ

Dž

¥ÈQ^d3ehf+9/W

475

C&Ÿ  n.10'2KC

6

:r;Bjba¡cerqUw

C&¢ à ./0S£ ¤†AøQ¦¥ ì1]§¨ª©J«¬­®7¯!°l±¬2«²³-­´µ®N¶·n¸N¹»ºd¼7½¾µ¯/¿lÀ

¾ ÁÂÃÄ-­/ÅÃÆlÇ·ÈÉ­Á¹Ê½ËÌ/Íκd¼½¾Ï2еÑJÒŠÓ Ô ¬´ÖÕN×&¹rØÙSÚ¿

Û¡ÜÝ

ÑpÞ2ßà ᆯ¦ÞâÑpã䆯 ©p«å橦¹çºè¼7½¾NéêëíìJ¶îÖïðñ7ÑpòÖ°&ó ôÖñ°

õ ö÷Ñ/Ï øÄ-­&´µ®¶õ2öŠ¸ù-úõ öÖ°2Ô7­Ál¹ûõ öŠ¶ ñ¶&üýn¸þÿ°­r®¯

Á ȁ¹ -Ѭs«¹ îŠïðñÁ

n

È7É­n¶

S _n ^out

Á

S _n ^out ∼ 1/n ²

¯R¬ ¾¼

Ú÷ÑnÓÄ®7¯¦¹°!îÖïðñlÁ

n

ÈÉ7­ ºd¼7½¾éên¶Ö°! "#%$ -­s¿lÀ

¾&'¶!()n¶!*

S _n ⁱⁿ

¸

S _n ⁱⁿ ∼ 1/n ³

¯p¬ƒ¾+7¼

ÚъÓÄ®¯NÑ,ÄN´b®¶-

±¶!.*/-¸¹021-¶34ÆlÇ562ÍS¶!./

(A)(B)

¯798JÈÉ7­®¯NÑ:+;Ä-­

1

^´

<

4

⁼

ȸ?>2@·n¶BA!õCDŠÔ

ÜÝ

ÆlÇ·ÑJÏøª© ¹E+FŠ¶!.*/Š°±¬2«¶GH÷ÑR²r³

­!´IJ °s¸&¹r®¶&·S¶ÊK!LMNp¾%OQPKÚSRTU-¶l¾?P-Ë º Ísþ2ÿÑWVr¬¹2¶!GXH

ÛYXZ

ʽ?[º/¯\*] -­EF^*_Á2`a8p«¬­®¯NÑ,ÄN´7ÄÔbc/¹

ÜÝ

¶7Ê+KdLBM

N!¾eOfPKrÚgRT+Un¶hi*jÑkÖï-©¦¹ ¶!l+ml+nnú

(

^o

J+nSú

)

Ñpq­r®7¯È¹râ

õs-¶tvu!./÷Ñkï-©&ÓdGH¹ ® ÁXwxõsn¶y.{z/ä°|?}Ä-­r®¯NÑ,Ä´µ®

¶GHSëbì~¾€?Ö½‚s¼ÌS¯ƒwx:ä¹

(

^„†

$! Ó

)

^„‡

x 䆯/¶BzˆÑk‰R¹í®

Áä+j+ŠT ¯‹nl«ŒŽ|}Än­®7¯Ñ+‘ÄS­!´ ÕlÓ&¹®¶

ÜÝ

¶dŠ½‚l¼ÌÑRã+’“$

”•–

¹ õ

‡

Á—

‡ Ä •

ÛYXZ

ʽ?[º ëbì õ ‡

Á2inúԘ™N!¾B

„+‡›š

¶!œÁ2ž Ÿ

•

Ÿ –

¹¡¢* ¶&üýrÈ£2䤥‰$! ӘN/¾BE+F^*_ÁæÄ

• Ÿ –

ÑW,ÄN´

§¨9© <

5

⁼

È2ª«¬Š¶Õ

–

–®­

¨-¶¯°9©±B²³N²³

• ´

1

´¶µf·W¸º¹®»v¼W½¿¾SÀƒÁºÂWîÄÆÅ2ÇÉÈÊÌˋͿÅWÎÆÏÐÑÓÒÔÎÕ×ÖØvًÚSÛSÜfÅBÝÓ΃ÚßÞ¶à®á!âäãå®æÆç´

ÇéèSêë

2

^{ìºí¿îgïgð} Áƃָvñv½W´WÇäòóõôSöæ¶÷Sø¸Ôñv½¶ùÆè2´g´ú¸¹g»Ô¼½ÌûgügýØvÙgÚgۃÜÌņÝõΠںޏàSáâäãþÆÖvÿ®Ö v¼½v´WÇäùƒ¸Ôñv½

1

7

1.1

¿À7¾ –! #" $ E+F&%4

. . . . 7

1.2 KAM

x&' – º¡¼7½¾ $ ¿sÀ¾¶&ÂÃ

. . . . 9

1.3

^(*) ¶,+

. . . . 10

1.4

^-#.0/ ÆlÇ· – ùSú21â3sÍ54¼76É«

. . . . 11

1.5

^8&9;:

. . . . 14

2

<5=?>A@BDCFEHGJIJK2LM*N?OQPSRUT&VXW#Y

17 2.1

562Í – ó ôŠñNÏ2Ð

. . . . 17

2.2

[Z¼s¾PnËæº Í

. . . . 19

2.3

^{\#]+„+‡ –U^} ¾ ZD_ Ë5¼`6žÙX[½rÚ[6

. . . . 20

2.4

¾¼ Ú:äŠñ&a*zˆ

. . . . 23

2.5

ØÙ-Ú&¿ ÛDb {©`žÄ • Û2YXZ Ê&c?[ed

. . . . 24

3

f#gXh&iHCFE&G#IJKkj*lnmo

27 3.1

A/õC&p ÜÝ

. . . . 27

3.2

^q Psrtdvu2þÿ

. . . . 30

3.2.1

^wx uLQyzdÉRT+Usa!VJ{&|*}

. . . . 30

3.2.2

^~F?€ a,J‚&ƒ9©±*²X³

. . . . 32

3.2.3

^qH„ r…dvu&†#

. . . . 33

3.3

‡ˆX‰,ŠFs‹Œ*#Ž&&J‘n’S“”•

. . . . 36

3.4

^{–˜—š™J›} uSœFž0Ÿ ¡œ`¢

. . . . 38

£

4

^¤ ¥¦X§&¨H©Fª&«#¬J­,®#¯J°±

53 4.1

²2³H´&µ&¶¸·e¹»º¸¼#½;‹,µ#¾š¿*ÀFÁ?Â

-

^{„þÄDÅ#Æ#Ç}

. . . . 53

4.1.1

²š³´Hµ&¶·e¹º¸¼J½

. . . . 54

4.1.2

^{µ#¾2¿JÀFÁÂ}

-

„S¾SÄÅ#Æ&Ç

. . . . 54

4.1.3

²š³´È“”JÉJÅ#Æ&Ç

. . . . 57

4.1.4 FP

Å#Æ&Ç;‹n²Ê³´È“”#É#ÅJÆ&Çs“šËÌ

. . . . 58

4.1.5

€JÍJÎÏs“2Ð&Ñ

. . . . 59

4.2

^Ò †JÓ&ÔJÕ ‹ÖÂ&„0ׅ¹vØ #‚

. . . . 61

4.2.1

^{Ò J‘}

. . . . 62 4.2.2

^µ

œzŸUښÛ#Ü

. . . . 64 4.2.3

Ý#Þ#ß&à

. . . . 65 4.2.4

ÂH„0ׅ¹vØS“

ƒJá

. . . . 66 4.2.5

^â#ã

Ü#ä

. . . . 67

£

5

^{¤ åækç˜æè¡é}

73

ê ë

A

ìJí*î…ïðÊñ,òósô&õXök÷FªÈøSùšú

77

ê ë

B

^ökó*ûÃô

X O

^æ

X D 79

B.1

?€&üF‰

X O . . . . 79 B.2

?€&üF‰

X D . . . . 81

ê ë

C

^{ýQökó0õþ#ÿ}

83

C.1 | z | > 1

^X“

J‚&ƒ

. . . . 83 C.2 | z | < 1

^X“

J‚&ƒ

. . . . 84 C.3 | z | → 0

^“F‹

. . . . 86 C.4 | z | → 1

^“F‹

. . . . 87

ê ë

D

^{Sï¡î ¥¦0õ}

91

ê ë

E

^ökó

E ^α (x, )

^õ

93

1

“ Ó&Ô

º¸¼F“ "!$#&%('JÂ[‹")+*$,&-/.021ʺ¸¼J½0“345

ƒ76$89+:

â

ã;‹;=<>?@BA Ü#ä

C

ED

-F$3G+H+EI+-KJn‹

6ELMONKPQ

<?!R>

[1, 2]

^SUT7V

*#W&X

ƒ

‹Y;[Z]\+;%$'*Â

ƒ

Y^

D

-J‘Xº¸¼J½=K_#K`(a P?b

€˜?€R1

QU89#ÜJä=6

cdfe

,g-KJX‹

6hiM

,!;K-

[3]

^Sj>

6

<!#Gk

QUlnm

Ø ¹ÄֺȼJ½ Po

;!qp]#+\

;%'*ÂUrsf"t5

D

-KJX‹u(#

bvw"v

1

QU89=6$xBy7D

-0‹zV

M

,g-

6

#E`a21

Q

l{m

Ø ¹Ä½=K_U##Š&ü0‰

P ¹ œ

¶ÊÂ[‹)+*(,&-"|}#ÞB~

6

€O#=\;%('*Âr 6$‚

ƒ…„

> Q

;2JX‹

6$†‡

e

,!+;7-Sˆg‰#

lm

Ø ¹ÖĽÓ

v

͈EŠE=_#+‹

w/v

1

QU8

9

(

^I+-;_?#Š

wwYv

“U‹2 wYv

1/ŒB

)

:(Ž

”HÉt‹;<U>

ÜHäE6

/*R/*

cde

,7-?S

J7Z>

ÜJä

“+‘;‹B!+;’”“

N

“G=•r

6b– e

,!E;=-

6 # ¹ œ

¶šÂ[‹"%('nÂn“—

˜™šqP$o=›

-?Š&üs‰#“U.œBžE#Ÿ& +¡,

P

&¢

D

-/£¤

Q&¥

·(¦

m

×Ê 6$§

¢[‹

Q <

!+;7-0‹uzV

M

,R-Sn?>

6

<U!$#

l{m

Ø ¹Ä½0“`¹

œ

¶ÈÂ

+¨ P$o7›

-"Bž7‹

¥

·(¦

m

×,Â=uC©

D - D

-EJn‹Y_/#¡qZ">½S“

89ǻ

âHã Ü#ä

© LD

-UF3(G+H+I+-"S¡

J/¬+­B®7E_#

lnm

Ø ¹ÖÄD½0“.0&13+45r

(

^%('nÂ

)

^‹

89+:

âJã;‹Y;=<>U3Gk

Q

¯

ÎR1r

á

‹?“

w/°P

“;B!X“U#Ð&Ñ

P

“E;B!±=‹R-?Sq²U³$¬´7=_#Bµ¶ ‹ Q

-,º¸¼

½0“C­#

l{m

ØA¹ÖĽ

P

“+;!X“C­

ª

ˆKŠ…‹BY!·

PhiM

,!+;7-?ÐHÑ

P

“+;!$¸

c

¹#2º»¼j

LjMuN=P

!+;&$>B;$S

1.1

½ ¾ ¿ À{Á Â ÃÄ Å Æ Ç

ÈÊÉ 6qË

0R1 Q2ÜJä

UzV=-s‹

P

_#ÌÍ :B§

Íe²!¿&ØEX“Î N

MÏ

¤

QÐEÑ ªÓÒ

Ô

“&ÕgZ

Q

p2“K

‡

‘!+;=-7JX‹

6$Ö

;$SBˆg‰#7׸Ø=Ø&–5Ä_ÌÍ+­R1ÙÚ0“t5;‹Y)

*$,R-/tÛ?Ü=;!(3BGBk

Q

×Ø7ØH–5ÄDÅ#Æ#ÇfYÝÞ&?>

6

#nJ",=_UßÍ0‰#“,Š

w

"à0

D

-=ÕgZ

Q

+á

KI

ƒ

#ÌÍ Ð+Ñ

“ Ï ¤ e

"t5âY!+;=-Sq²>#7×ÈØ7Ø&–5ÄÅ#Æ&Ç7ã(ä

åæ

É

QÐ+Ñ

­212Å#Æ&Ç

(kinetic equations)

^åçè

P

pu#Gk

Qlm

Ø ¹ÖÄÅ#Æ#Ç

N{Mêé

ë

åì

w

Yà0

D

-KJEí

P

Õ(<!ÝqÞ

e

,g-

[4]

^SJ=Z$?>

Ï ¤ e

"t5

D

-7JEí"_î c 1

P

puïRðEI

ƒ # ÐÑ

­&1Å&ÆHÇ&_¡,=ñ,$#òjð Qó

¶ô(õKö

å

™š

(

^{÷Bøùúûü+ý ì}

þÿ

Ü(û

)

^{û å ÝqÞ å í}

Ï "!

å#$&%'(*) +

,

ò-.

, å

í0/132546&.$û87

å69&:

<;

3!

å=# $Rå>?

í0$û @

$A*)CB

DE

+FHG

JIK L M íNPOQ RTS

!

4&

96:J+

P=

B

DHE

+F6G

UVXW"ý

:ZYH[

û \ A]

%^_"`*abcaPde

(

^{^_fg}

)

^hijk

(

^{lm f g}

)

nopTJ+ýcqsrtvuJw x Wzx*.{|û6}~

+

û €$ý

% ‚

WYý

:ƒY [.+%

û

^ _.`&azb„a=de

(

^{^_f g}

)

^‚ ýcqsrt…W| /1H7

y

WC†‡

ˆ

h A, ρ i = ^R _X A(x)ρ(x)dx

^{+&9 <(û‰Š‹}

A(x)

y

fg

ρ(x)

^+<Œ x*<h Ž"u

$

]û

A t (x) = ˆ P ^{∗ t} A(x)

^{+9 <‘}

t

^+FG ‰Š|‹…W’x 770

X

^%=B

DE

$|

!

4ý

J“”&•û

P ˆ ^∗

%–—<˜™*š

Q

–

^{› — a’œ|ž}

yŸ 

œž

u0wx

(

^{/ 1PýH}

E

%¡‚

•

y¢£

B

DE

6W’x

)

^{–—˜ ™*š Q ¤› —Ha¥œ|ž}

P ˆ

^%

P ρ ˆ _t = ρ _t+1

y

9H:0+fg¦

§ y

 •uJ¨©H•ª&«

ÿ ¬

uz­H®û

¡P‚

•

B

DE

(

¢£

B

DE

)

^{+<FG < •¯|° œP}

ž

0P7|7zUû±‰|ŠP‹

A(x)

^{û ^P_PfPg}

ρ(x)

y

”•u

X O

^û

X D

^WC

(

^{x =²³}

A(x) ∈ X O

´µ

ρ(x) ∈ X D )

^{ûH70432 %¶·*¸º¹} ”&•C6W’xWêû704

+9&»¼–|—˜ ™*š

Q*½¾›

—Ha

œž

P ˆ

y<Ÿ 

œž

P ˆ ^∗

y<¿ À

PÁÂ

!

46v7

y

WC†uû

h A, P ˆ ^t ρ i = h P ˆ ^{∗ t} A, ρ i = h A t , ρ i

WYý

:ÃÄ

Å ÆT¹û ÇÈÉ

%ÃÊ

A(x)

^{W ÃÊ}

ρ(x)

y • y “

à ÃÊ

WËPx37HW¼ †

8<*<$û “

à ÃJÊ

y<ÌÍ

W¥hi jkn

y

U V

%

û&ÎÏ}Ð|ÑHx*H7HW¼ .†

*ÒÓ

Ê

y=ÔÕ.y=Ö

Ò<× “”•

y

Ð|Ø

+ŒÙ

x&J*Ò|Ú

eۖܖÞÝ

y

Y[

û ß [ M

WZ‰Š ‹

´&µ

^ _ fg yà

2zá

! u

# $

x4 âUûhi j kn y w

ÊÃÊ)

U V ÐPã )+

ä !

46

[3]

^{H{Pûå (}

A

¢ £æ

`Hçè–

¢ £&y

Y [*+

,

û7482

y E %

û&Ò|Ú eÛ

–¦é

uJêņ 7W0ác2

(

ÔÕ

B D y

ܖÞÝ

¢£

W y •

+ëì

í¨|î6

¿À

x*

«

)

^{ûPUV % w Ê*)+ H}

! 2 +

û|ï&ð E y

U VñM

y

9»óòf&ô(A

W|Cõöø÷

ÛH¸

Ý

–

eùPe&+69

úû

[8, 9, 10, 11, 12, 13]

^ü61â=õ

¢£

B

DE y

–—=˜™š

Q

–

^›

—a5œ  ž

u

ˆ P

Wzx&*W±õ

B

DE

ï*ð )ô

2Jâ*7

y

•<¯°

œ ž

ˆ P | ρ λ i = λ | ρ λ i

y

96:J+

õ

ÌÍ

x*ý

ÃÊ

(Reλ < 1)

^{u­6®7 W¼}

ä !

4þ377ÿPõ

| ρ λ i

^{% KL}

ÃÊ

(

^{Cþ % õ ÃJÊ õ Ü0e ¦}

§

)

ÿHH"<P6õ|w

ÊÃJÊ.)

ÌÍ*y

•|Q

e&%

õ

– —=˜™š

Q

–

^{› — azœ ž}

y

(

^ÐPã

!

4

)

^{ý=Ž +9} =&132’4&<

ÐõQ¤

e W

™6Û

÷’Q

%B DE

E

ÿH

Y [+ ‚$Ê

y

96:+

7 W<uwT

[14]

D = lim

L →∞

L ² π ²

( X

i

λ ⁽⁺⁾ _i − h KS

)

(1.1)

77JÿCõ

L

^{%‚ "!#%$}

y Ü

Q&'

b ()

õ

λ ⁽⁺⁾ _i

^%

i

^*TS

y+

÷

`,ç|–Ê

õ

h KS

%

Kolmogolov-Sinai(KS)

ùa"ݱ—-

¤<ÿH<7

y

W†¼õ|ï*ðMÞW

Ü

Q&'

y

‚

rt /.

0 y

‚

t1

∂ρ/∂t = D∂ ² ρ/∂x ²

⁺³² <þ6 7HW=u

# $

Hþ 37

y

96:J+

õ

‚

$Ê

u B D E

y

ñM ‹ ÿHH÷

`,ç–

w Ê

(

⁴⁵

y

l6

$ M

)

^W879ŋ6ÿ

KS

^ù

a3ݱ— -

(

^;

3!

)

^Wþ :;:<.+CB DE

y

ñM‹>=

G

ÿ?3†

xv7HW¼ÿ*†|

ï&ð E y

(A*%

7 y

9:0ô @A)ô/BC6)

MDvuFET’õGÑ

)ôB

D

á„28H

yIJc,LK

²M

+

UV N  €ñ M"uPO q<7HW0 ÿ.†0õU V y Q

(

' Q R

e æ

 ‚$Ê

G Ñ ) ô

ñ

M ‹ +69

=

xv7 W¼ÿ.†|

IS

%

õIh i

$ 0

j k

y

(T*)ôVUW XY|e

WZ#[

ò

B6)+V\]^_

ªa`4[þb

[15]

^{cÐ õÐã} )ôC¹"d¼e ÝJa0B

DE y

Y[

õc7

y

9*:0ô

(T*) ôRef

Q

+g/h

` ô

þ"Wþ

:

7HW

^ i

þ•wj`4[†k clm6ÿ

g õ Ý ¤ f

Q3W

NPOQ

^

Ÿ¿

x%b

¹"dze Ý0a0B DE

+

®þ[

y

2n

y

\]*+

®þ[opqZ¥õ ï&ð E W

yr

1.2 KAM

s t u vxw y z {| } z ~€ 

¹qdze ݺ™ `&a#^

H(φ, I ) = h(I ) + f(φ, I )

^{‚ `3ƒ%b…„† ô}

n

^{‡ ˆ g}

yV‰Š‹Œ

¹ad

Ž

ݐ’‘”“V•–

bc——JÿCõ

I

^‚

φ

^g˜ ƒ ™/ƒš›œNžŸ  õ

h(I)

g3¡¢£‘%¤V¥¦d

Ž¨§ª©

« ­¬ ®"¯±°

f(φ, I )

^{gV²³¢£¬ ® bVc}

Kolmogolov-Arnold-Moser(KAM)

^{´µ gV¢£ ^}

¶·

³

`¸ƒ ¹

°¡¢£‘>º»¼

[½¾a¿3k

§ÁÀ f¤

†3Ã#ÄÅ

· Æ

¢£‘>º»¼Ç”È

½

¾ÉÊR—‚

“PË Ì

ɅÊÍ

¡¢£‘%¤V¥¦Î Ž¨§ª©R« 

h(I)

Æ ÏÐÑÒÓ

det ∂ω

∂I (I)

!

6

= 0

^“

(

^{Ô ÇR¤ š›}

I

^{º3Õ ¿ Ç}

)

^{֍×>¿ Ǽǰ”Ø ×/´} 

τ

^°

γ

Æ

τ > n − 1

^°

γ > 0

^{°¢£¤ ÄjÙÚ}

Æ

= O (γ ² )

^“ ֍×Ûɦ‚É%ÊVÍܗ

¤

‚Ù

°¡¢£‘

h(I)

^{¤ §ÁÀRÝ} ¬Þ>ß3à%áâ

§ Â

ÒÓ

| k · gradh(I) | ≥ γ

| k | ^τ

“

Ö%×É

È ¤ã¢£‘º»¼Ç”Èåä

½æڃÊÍ

Ø × ° — ¤ ç袣

‘¬éÈLä

½jÚ3ƒÊ

§;À Ý

ÂR¤/êëì%¤/íêë>¤/îï

Æ

O (γ)

^{¬ð>–jñ ƒÊVÍܗ ¤3òxóºÛ»}

¼ÇÛ°¢£

ƶ·

³

Ú¸ ƒ ¹

°¡¢£‘%¤

§;ÀÝ

¤

ÄÅ

· Æ

¢£‘xº»¼Ç”Èåô

ÙPõ”Ê

([5], p.412; [6])

^{Í Ø ×} °ö÷¤3ø덤ù/ú%û

´µ

ã

Moser

^{º…üx¯þý Úÿ Ǽ Ê}

[7]

^Í

—

¤ü#º3°¢£é“–

Ï

º…ü ÇÛà Æ

ô ¿

ǔÈL°

·

‘¤ §ÁÀRÝ Â Æ

ä

½jÚÿ%Ê — Æ

Œ

¬ ®¦¯±°

§ÁÀRÝ

 ÛàÂ

Æ

½RÉÊ — ºû

Ê3Í

°¥¦Î

Ž

§

L‘¤

  º…ü

Ê

º…ü>¯±°"!#

Œ

ÄjÙ

ûV¢£é“–

×

øë>º…È

§ÁÀÝ

 Æ

½¾

¿ ʅ—

Æ ý

ÚVÿ

Ç» ¯±°”Ø

×

˜$

¿/×

øRë>¤&%"'

Œ û

"(

È)+*

jÚ/ÿÊ Ǽ

ÊVÍ

, – ¹

°-".

[16, 17]

^{¬ ãV°}

2

^/0 ¤1&2436587%ß:9&5#ö÷>º»¼Ç°

§;ÀÝ

Â<;=ÛàÂ

Æ

½"¿

°>@?"A&BDC Æ

ô

ɍÊE

¼$

—

Æ

 "

ºü VÇý

¿

Ǽ

Ê3Í Ø ×

°-".

[18]

^‹

2

^{FHG ï%¤3¥¦Î Ž¨§ ’‘}

(

^?AIJ

)

º»¼Ç°ùVú%¤HKLé“

 

Œ

º­ý

¿

Ǽ

ÊÍ

°M-.

[19]

^¬ã3°

2

^/0 1…&2N3587 ßO9H5Fö÷º­ôQP

ÊRSTU

ºV¼ÛÇWXû

 

Š‹

ÆMYZ

ÿ

Ǽ

ÊÍ%—

¤…ü[ûH>?AHB\C ]_^¼&`a

)

^bRSTU ¤cdºV¼Çã3° á

Ý 5e Žf §ÁÀRÝ Âg¦ñih

ÊjMklm

(

,

¿

Ç°@n

2.1

^“op

)

^{q ÛàÂrs}

Æ

>@?AHt

u

Ú3ÿÊ —

[16, 18, 19]

Æv@w

¨

ÊEyx

*L¤8-.¬z{

Úÿ

Ç

Ù × Í

¬°-.

[20]

¬Rã|[}~1á¤

´µ ºÈ

€>Ù

§ÁÀÝ Â‚ƒ¬R¤8„…&†£

Æ

>@?A8B\C“Fô‡…[ˆ

Éé—

“‰Š

¿

Ç»"¯±°

‹

º-.

[21, 22]

^{¬ãŒD91Ž} ÀE‘’i“RÀ•”

‘

¼–˜—™"š›‘

º»¼Ç°”á

Ý

5e

§ÁÀRÝ

Â

lm

“œ

×

û¼º%Ègg

Z

ñž3°‡àÂMrs

Æ

§ÁÀÝ

Â&Ÿ

 

¬>@?AHt

u

Ú3ÿ%Ê —"

Æ ý

Úÿ Ǽ

Ê3ÍæÚ

ñ­º3°‡E¡

§ÁÀÝ

ÂRºü

Ê

B¢\A[£Û¤¤

§

E|\9M5 Æ¥¦

¬ ®

Ê\

¼§¨z{aÈ ®

Ê

[23]

^Íܗ ¤üE#ºV°>E?A8BNC¤Hc"d

¿ Ç©

 

¤

v@wÆ

•ª

Úÿ

Ç

Ù×

Æ

[24]

^{°¼ ÿ È §8ÀÝ Â} ÛàÂR¤8«¬­®xºÛ»

¸Ê

²X

lm

º6c w ¿

Ǽ

Ê3Í

Ø × °

§ÁÀÝ

 ÛàÂ

Æ

½RÉ%Ê

D¯

û ¥aΏ

§

¡:°¤[±²³ÜÎ5

Âã/°´Eµ¤ŒN}á

᦮

l

h·Rû&¸‡¹

¯

1ÛÂ7  ü>¯/È/ã

Ê

g º8©º ¬R®¦¯ °B\C

C»x¤¼

Ù

C»

¯

û&½¾

Æ

¿3¹x¿3¹H¿

î

ÚÿÊ[À

g¦ñȐ°jü>¯Á)¼š›°¤5 Ý Â@ÂMÃ

Ä

ʍÅ

¦ Æ

®

ʇ

Ã Ä ñ

ÿÊ͇À

¤…üû

T

̤

,

¿

Ç°

1.4

^{Æ ¬ã}

Ï

¸@¹

¯

ûš›

°¤ ºV¼ÇÇÈ

ÉÊ3Í

1.3

À ¤ Æ

¬…ã/°

‡‹

¤

[

¤ ,

ºV¼ÇÛ°

Solomon

^{ñ¤ -".}

[25, 26]

^{º8Í%¼ÎÏ É}

Ê3Í

ØM°

2

^{/"0ÐÑ ¤H†£ã ÐRÿ C6»ÒÂ}

ψ(x, y, t)

^LɍÊE

dx

dt = − dψ

dy , dy dt = dψ

dx (1.2)

˜ÓxÚFÿÊPÍMÀLÿ

ã

ψ(x, y, t)

^{ÂL¥ÜÎi § ©« ¡ ÉRÊ ¥æÎy § ¡Ô°¬® ÊFÍ È ¿}

ψ = ψ(x, y)

?"AºHÕ

½"¿

û

¸ÿ ¹

°

À­ÿ

ã

1

^F8G ï° ¬R®¦¯ÖàÂã

ô ¿

û¼ ×

° Ï

FyØ

°

ψ = ψ(x, y, t)

^{¬ ® ÿ…¹ °}

1.5

^{FMG ï°} û"¯ÙÛàÂã

ô ¿ Ê3Í

Solomon

ñ­ã/°ÚÛ"Ü Ý º

ÐÑ

(glycerol+water)

^{Â6Þ ÿ °Ú"ÛÜ}

Ý

Âßà

ÚáxÊ

(15Hz)

^Â

Y

× Í À ¤

Ù

°?AºHÕ

½RÉ%Ê

¢£

¿ Ç°Ü

Ý

¤8⍺ã

¸×

²³%û8äg¦ñ

ÐÑEå&Ð

Þ

yÐ

ˆÂ

Úá

ÊÀæ

ÛàÂE ô

Ú6á

(

Ú"ÛxºMçèéMêë>û&ä

å Ã

1/6

^{å3Åì ÂHí Ô4îï P ÊÀ}

æ

‚ðñš

î

BDò

ÉÊó

L4ÂÙôÞ§õPÇö

Ê

)

^{÷øåD ÙMå•ù} 3Ùú&ûüý

å6þÿEå (

¼

× Í øå KL

÷

à Æ

ô õ × øë

î

h (θ t − h θ t i ) ² i ∼ t ^γ

^{ö$\ö RSTU}

Æ

ô õ

Çö

ʇ

ö–

À"

Â

õÇö

Ê

(γ = 1.55 ± 0.25)

^͇ÀÀæ÷

θ

^ã6ÚÛÜ

Ý

å

Â

v

É%ÊÓ

ýÒÂõ

×N Ùå

ïÒÂFò>óxØ

×8÷

 ù

¡Ö°

å

Mrs

ù

ú!

&Ÿ

  î

>@?"AHt u#"

ÿ

Rü@

î8÷ ù

3ú&ûüý$Ö>@?"A

å&%(' Û()

+*

ºÛ()[g-,#û.

A0/

¯12

ö43

RSTU\å v‡w

æ.5

À[

Â687Òõ9(:<;

÷=

 ù

¡Ö°

å

»>?@

åA

BDC

FE

9HGIQõ9"öJK

L

1.1: 40

^{MEå•ùN úûüý åKOP}

(90

^QSR

)

^TU

[26]

^{V ;XW&Y(}

L

1.2:

Z[\]Eå&^8_

\]`

Ca&b

ed4f

\]Fg4h.gikj

I(O)

^{l ,nm(oqpm(r}

(

^{m s}

)

"c

T.U

[26]

^{V ;XW0Y(}

1.4

t u v w x y z {}| ~  €  ‚ ƒ „ ….†

‡‰ˆ4ŠH‹ŒŽ‘ ‹0’(“”

g•–˜—

‡š™œ›8žŸ4 ¡

R¢ £

(

^¤F¥0¦§

)

^{¨‘©ª(«(¬}

C

¥8­

f® ¯J°q±²e±²³´¶µ·9

¥8¸

°

Ÿ¹‘ºJ‘Ÿ-»8¼

±f

RH½¾¿ÀÁS¥ gKÂÃ

C

±9

ŸÄ

ÅSÆ

¾(¿HÇÈ

›

gÉÊ

°ËÍÌÏÎÐ(· 9FÑ0f

[20, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34]

^{Ò f(Óe±}

ŸÔ»

·-Õ

gÉÊ

°HÖ(¯

C

±×

¥J¸Ç‘È

›ežŸ

m(o

¿qØKg¬Ù

›

gKÚ

¯8ÛÜ

— C

±×0Ýr¶µK·8fSÞ

g

.ßàáŸ

•–˜—

‡š™œ›

C g

Ö(â

žã

·8ä

Øåæ

Jž

¿¥Ò

»

·=Õ

gÉ(Ê

Jžç è0¹‘é.ê

g

ëì

ǑÈ

›

°Ö(¯

C

µK·(×(í

àîŸeã

gïð ¾4¿

Þ g ž

Pomeau–Manneville

ë ì

φ(x) = x + Cx ^B mod 1, B > 1, C > 0 (1.3)

.ß

¸Ò

» g ë ì

žñ(òeè

í ¥ ×

Ÿ(ó

Ñ

1

^gô&õ

èö

±

Ÿ-»

g&÷ø

Ž‘‹

OP

°

 S¡

R

ù(ú

µ·

¸ » C è V àÏ 8¡

R¢e£

°Hû4ü.ý

¸

(

L

1.3)

^{Ò d‘f}

ŸHþÿ

¿

C

±š×

Ÿ

B > 2

^g

è»

g ›

g

´.°

è

¿J¸

»

°D՘·×

¥J¸Ò ñ(ò

° » g ë ì

g

ò è

¿­

×

¥¸

°

Ÿ è

ò

(a marginally stable fixed point;

^Þ.±SÌ

ž

an indifferent fixed point)

!

²·(×

¥8¸KÒ

» g

"#

ò °

“$

ý ¸

»%è

V à Ÿ

(

¹&

)

Å

Æ

°"'.·

Ÿ

ÅFÆ

›eè

í ¥

×()

¾ è

³´¶µK·

¸+*,-.

Jž

¿ Ì Ÿ

¢e££+,eg/

Ñ

£+,

¾0-.

°1D՜·

¸Ò

df

Ÿ-»S¼

±0f

Ä ÅFÆ › è2

¥

׶Þ

Ÿ43#576%849‹

–

^:

5™<;=#>

g ‹ :@?

‡

—eg0

°"A

/

՜·×(í

à០¡B

¢ £4g

“$

¨

ŸC ŠDE%F

g÷ø

è

V4­

× ž

´

g

#

G

°H®J·

¸

»

¿kØ

°H-µK·×

¥.¸Ò

‹

:I?

‡

—8g0

±×

žŸJ#K8‹

:L?

‡ —

°HüNM

ŸFã

g0OP

±×

 ¡B

¢ £

Œ

©(ª«¬

°ûüJý

¸ ¥

¼H»

¿qØ

°H#µK· ×

¥J¸

[35, 36]

^Ò

Q h

ž&ŸSR

%7e¿

´T

=

RVUGW

´T

›

gX‘—@Y

E[Z]\Fè2

¥

×"^_

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

φ( x )

`

1.3: Pomeau-Manneville

ëì

(

^aõ

)

^Ò

CFŠD"EF

°

C = 1.0

Ÿ

B = 2.0

^g

Ñ Ò ' õ

žKó

Ñ

1

^gôõ4Ò

ñ4ò

°

ò

(a marginally stable fixed point;

^Þ±JÌ

ž

an indifferent fixed point

Þ ²·

¸Ò

)

è

¿8­

×

¥J¸Ò

ècbd

pý

¸

1

Ò7efghjiklÇÈ

žŸ

XH—@Y

EmZ]ndSè%o

­ × ã

icpqrs

° ¿ µ·

¸

<tu

Չ·(×

¥.¸KÒX—@Y EmZ

wv

n ý ¸

»è%oFàáŸxR ¡#B(ècy“

±

¿4¥

T

ef

ªg

hLiz

\

v+{|

 Ñ ¸

[38, 39]

^{Ò}¥7~ u ·8² Ÿ ª4iX4—wY E€Z\ež ¦§¨«¬k¿ÔØi}

R ¡#B(ècy“

ý ¸ T Ä

ª¿

®(¯

vƒ‚

Ð

¿4¥HÒ

±c„°

­ ×

Ÿ0Ä

ª ›

iX—@Y

EmZ]\…

¥ ¼

i

ž0†‡ˆd

¾

.ß

¸ ° Ÿ

´J°

 Ñ

¿¥

UjW

´

›eè

«‰

ý ¸

»XŸ

«(¬

i

o¼

¿ Ä ªS¿

® ¯

vƒŠ

u ¸

»%

°

è

¿J¸Ò

‹

T : X → X

^{° X‘—4Y}

E[Z

¾

ŸŒ(“

¾

2

¿

ëì

ý

¸Ò

»(»Ÿ

X

ž

¢

B‘.ß

¸Ò

Ž „

P ˆ

^v

Ÿ

ëì

T

ⁱ

356#849K‹

-

^:

58™;=> Ÿ

m

^v

T

^{i ´}

ý

¸Ò

Ž „ Ÿ

¢

B%

i ä

ƒ‘

Ø+i

ò

x ∈ X

è í ¥ ×

(

^´

m

è £

±×

)

ŸFß

¸+,’

a n

°

“$

±

(a n

ž

f (x)

x

èy“

±

¿¥

)

Ÿ

1 a n

n − 1

X

k=0

P ˆ ^k f (x) →

Z

f dm (n → ∞ ) (1.4)

1

“ƒ”–•˜—š™c›œ"ž Ÿ¢¡¤£¦¥ƒ§©¨«ª¦¬ƒ­¯®–°¦ª¢¬+±¦›¦¨²³¨¦´¶µ"·¸´”º¹»¯¼¶œ¶½¢¾¦¿+¨™·¸À¦Á<Â<“ƒ·³­

¼c֝Ä

2

ŏƏǏÈ

(

É!ÊÌË«ÍÎÐϚяÒ

¾¦Ó+­¶Ô¦Õ•š¨¢´cÖ!”Ш«×

Ï

ǏÈ

)

­¯Ø©Ù•š¨¢´¶œ·Ð´”¶“!·«Úй»¯ÛcÂÄ ÜݳÞß

Ë

™Úà!Û¤á¦â·¤•Ðã

Ï

”

^{ä Øcå}

”

·˜›š¹»¯­çæc¨<Ä

0 1 2 3 S_n

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Probability

0 1 2 3 4 5

S_n 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Probability

`

1.4: (

^è

)

^é

‹ ‡©ê(ŠëJž0Ÿ

Pomeau-Manneville

ë.ì



iì

W¡Bîícïð%ñ3

*,wiò

ó

(

^,ôl

=

)

^{Ò ³.´ £0,}

f (x)

ž

M (x)

^v

Pomeau-Manneville

ëì

ý ¸

‰Ÿõö

«÷ø

ln(M ⁰ (x))

^{ù"ú u Õ<ûIü0ý a#þ ÿ}

α = 0.8

^{i F ?}

-

^{3E ò}

ó ý

(

)

^{é êë}

ÿ

†67E

ù

1 _{[ − 50,50]} (x)

^v

f(x)

^{!" „} !$#7i&%ò('jicò

ó

(

^ôl)

)

^{ý a#þIÿ}

α = 0.5

^i!#i*+

-

^,

-

ò ó

ýj„.

"/è(0!213e(4ô

5

1

^{67 ü}

o98

6&:<;=>"@?BA üý

†(DCE-(F

ÿGH v@IKJ

üLMN

ùOA üP

6

Q

"R

Pomeau-Manneville

ÿ&G(HESTI>JU7V(W J&X LYM(N

ùZA

üÌý[\^]P&_`

6D1/

Y*(+

-

^&,

2-

ò ó

6ab 6cedgfhBi üý

5

Z

| f | dm < ∞

^{S@jkX$iYlm P @}

f

6$nV?FoeprqBns!F#T

T

ÿ&t(u(v QBw

x-0y{z

(pointwise dual ergodic)

^!R|

8

ý}~<P



([37] p. 123)

5

oep€qBnEZ!

5$‚

]¢û

?V ücý

ƒ(„

T

5

t(u(v QBw

x-…y†z

ù

0 ≤ α ≤ 1

⁶

Q

"?

n

5$‡

#VE!$#T

a n ∼ n ^α

^PDˆ

8

6‰

ü&Š

8 1 P

!i ü0ý

 P

!2#(%<‹'ŒS

S n (x) ≡ ^{P n} k=0 ^{− 1} f (T ^k x)

^{ù(Di ü !R}

S n (x) a n

P

‹<jÿ$

n → ∞

^62ŽOV?2

α

^{ P *+}

-

^{U, -}

(Mittag-Leffler)

‹< 6F(‘Di üý

X .

"’ZU

f (x)

^ÿ

Z

f dm < ∞ , f ≥ 0

^{SUj^Xi2lm P} UjùOA“p”•(XF–—˜ø

™

p(

^–(—u

x

^P ˜ø(™%ùY:;(=sš

û

?ZV

ü 1 P

!3i

ü

)

^ÿF›

ƒ

™

m

6Yn<V(?Yœ

Q

<ž

!3i üý

•FŸ

α = 1

^P_<` ÿ& <b P w

xY-ey

(6¡¢K"/tu

x(

^{£Z˜ 6ÿ ¤!¥ [§¦xü !}

Y¨

)

^{ù$©9ªO«F¬4}

5Y­(®

¬46$f2hDi ücý

iO7Y¯

\

n lim →∞

S n (x)

n = lim

n →∞

1 n

n

X

k=0

f(T ^k x) =

Z

f dm (1.5)

(°(±2²0!³²@ÿ&´µ6&¶·X&©9ª<«¬4sS¸>"/Y²Lÿ™

m

^{6nV(? P}

­®

¬4

S¸Di

ý

&°2

x

ÿF©kªZ«¬4sS^!

ü

´µ

P

–—<uES¸¹"’^¤!¥

[ȼ

? P

–<—u

x

⁶

nV?Zª<«¬4

5

f(¼

(

^{² P}

­(®

¬4¼

)

^{6‘Bi ücý  P&½ ÿ}

w

x-…y”¾

S@¿

Oi ûDÀ

ªZ«F¬4ŒS

­®

¬46Ák#

„kÂ

]¢ûjü

O!FS@m Ã^"’¬(ÄÅÆ LYM

°ÿk

P

O!

SÇ<ȓ"?YDªZ«6Éʓ"&7(VFË L2M

z

7<&Ì

½

5ÍÎ

š

ûIüý

fÏabk7

N

°ÿ

α 6 = 1

^{!U7“pЖ(—u}

x

^{P ¼}

5Ñ

7

ûBÀ

©9ªZ«$¬4¼

S n (x) a n

5

fYÒ 6

Ñ

7<·FX¼SD!OpÐ$˜Ó

z

6&‹<i ücý

 P

‹

5

n → ∞

^{PÔ9Õ °$–(—˜Ó(™}

p

^!§&

f(x)

^{6É ] ŸÖ×}

z 6

α

^{ P *+}

-

^U,

-

‹

(

^{Ø P}

α

^ÿ

a n ∼ n ^α

P

α

^!ÙJ

)

^{6FÚ 8 ý <*+}

-

^{&, (- ‹LÿF}

Y _α

^S

α

^{ P *+}

-

^{, - ‹ 6FÚ}

8

˜(Ó

ƒ

0!"X!Y#Y6&

(Û

ƒ„

SUÈBV(?Y

E(e ^{zY α} ) =

X ∞

k=0

Γ(1 + α) ^k z ^k

Γ(1 + kα) (1.6)

!»(ܚ

ûjü

[37, 41]

^{ý U°}

E

ÿF¬(4ŒS@¸Bi

ý

Ý^Â

À

Pomeau-Manneville

Z

ÿk

P



5

o(qDi

ü

O!

5Þ

š û X

[40]

Ý

°OA>p

(

^ß

3)

^9•2Xàá

Câãäåæ

[4]

^{7 [} G(HESI>JFç

N

°1’è

P



5Féê

°^#2çk!V 8 

! 5

¼

z

6˜BëBì ]Tí

ç

(

^ß

3)

^{îs P9ˆ}

8

6è9WJFX

LMN .Zï

°Z7KdÐè(GHsSUð^ìZX

a<¬(Ä ñòabk7kó

å2ôsõ

+öO6

Q

"@?2o÷p†qDn øù(

z

6(úèKûýü

Õ

™ N P

w

âx2-

y”þ<ÿ

ú¹!»GH 6

Q

"@?1

é

È Z7

w

âx-ey”þ

!

Â

çOO!

5

° #çî

1.5

°“"X

ˆ 8

6&è

L2MN

6YŽ<V?'

®

P !

6Yn<V(?f2Ò

z

7 "#

5

$

]’í

?VBç

P

úèv&%

N('*)<À2í

ç,+<V-/.Zö

¾

S*0Bi9ç

N^P1

°32Oç&îs

í“]

v4%

N

°OúØ5 5

z6

798f2Ò

z:<;=

š í

ç,82è?>

í :

QA@CBEDF

ö ñG-H.<ö8IÊBikç

J

õ3â BLK

N

°Oúè©9ª<«

®

Ñ

bMN

'

Vk·YX<OP98Q d

;=

š

íR

VBçî&>

PTSU

:

n<V

R

úV>d»në

P

WV,8X

Â

]’íR

Ž¹pÐèÖ×

z

°Oú

6

V

'

S@ØYDikçZ[\A]&V

ç

[24]

^î

@ ë @

èDVŸ

í_^

CV

:

n<V

R

]Tè

BDF

ö ñ`-.Zö

^<abcd

: Ž ï

ç<ó å2ô

õe

ö8áf

6 ghji

# X

@ R

Ž¹pÐè܁

^<abcd

: Ž ï

çkl 6 ó

å2ô õe

ö ^

m

'

> í :

V*nBikçUÅÆop

^

m4q/8YáfD°32<ç ' X Â

]’í

ç 82èZf2Ò

:

r

@ X

abcd

°

ús

F

etUâ9z6

BuDF

övw8Hxosš

í

çXì

þ^z6

my^úz {D°92<çî •Xè5¼

Æ|

:

n}

R

]3èÆ|~(™

^(Õ b

ë ]

klvw

i



z:

q ] ë :

ikçD

'

ú<{

@ } ' X

Â

]’í

ç&îfÏB°YèaØ5 5

z6 ®

5 ^ 7

i Þ

ia<v&%

z6

f€

^/‚ƒ?^

Z

[„]…Qed‡† ì

]’íR4ˆ‰

8è

1

^{€ ^ av&% ƒ}

i‹Š

Ê ƒ

(

^Œ

K

ێe ‘“’ e@æ”

] @ d3ú

•–

Š Ê æ”

)

^{— ^ M9˜Zú 6 š íR} Žš™/Ÿ&è

@ ‰

8D·

R

av%

z6

1

^{€ æ” H‚ƒ›'}

BœD

F ö ñG-/.<ö,Iʝ

^ J õ3â

BžK

ƒ4^

« : úÅÆ

z6TŸ (¾

892Zç

:

]Uë믡™’Ÿè>

^

¢ ê

Ì : n}

R

úqW™’ë°Oú

6

ë^·

‰ î

>9&°

þ£

°Oúè•FŸ¤

2

°Y襦

:

£§Ï

½ : ˆ

pœ¨©¡ª

í ç

2

^{«<V¬ J}

õTâ

BžK

ƒ

i­

}$è5®¥¯

iž°

@

RH±²&³ 6T´



:µ

}

R¶,·

i*¸&¹

è?>

íº»3^

¤

3

¼

½ ¤

4

^{P ³}

6 •– ŠÃĔWi

vÅ ¤

2

;=

ªTÈ

‰

tÉ3Ê

^ ±²4³

´



8H¥Ë :Ì

^ À r 6

/‚³<SU9Í

™ÏÎÐ

@

r<Ñ

Í

i‹ÒÓ

Ñ<ÔÕÖ

³ :

¿TÆ

¤

3

^×

¾9¿<Ø

ÙÚ<ێÜ

(

^{Ý4} Þ7}

)

^8ÎÐ_ßÑ

2

^{à€ ^}

•–

ŠÃ

ƒ i

vÅ

@á

^

ÙÚ

Îâã|ä

^åæ

e

Bèç

^ ´ 

i*ÒÓ

Æ

>,È

i

]é

:

Þê

^ ´  i

qŽ™

Í :

ßÑ

(

^{¥_Ë ^ my}

¿

Mëì&í

^

1

^à

€

Ĕ4îµ

}

Rï

r

)

^{Ô9ð ‰}

Ǝá

^

Âñ

H‚ƒ

éòó/ô

Ÿ &õ3ö,ÉH÷jø,ù

å ¼ ½

±²

´Wúžû

ßHÕÖ

³üTƒ

é/ýžôþ

’

Œÿ

ç

õ Ä4î µ

ô

¶T·

úž¸¹

ÑÔ

ð

Æ ¤

4

^×

¾_¿TÆ

¤

2

^×

¾

ø

ç

õ EÄ?î!"

ô

$#&%('&)É

³ü

*+,.-/

ªÈ0 á é

ú2143

ô Æ $#%('&)É 5,

ÎÐ3ß4Ñ7689

ÃĎú7:

Å¡ý Ƅá õ

;< ú

ï>=

Ô

2

^{? @ A B C D E F}

G

1

^«H‹¬

õ ø çI

&¿KJ

îL

8&M

¾N

Ñ

,Æ

1.5

^{«H¬ ºPO}

õ ø çI

3¾3¿

Q

å

,

ÐSR Æ¡á

õQ

åTU

õ.V"W&X´

¿,Æ

7YZ\[

ç õ

Þê"](^P_

ú&`a7b

á

ß,Ôcì

Æ

def3¾N0g

ôih Æ L

8M

î\!P

ô

Ãj

ý*ô

k

) å õ"l

¾\m

È&n îKo

Ñh õ ,

N Ñ á é ú

Kolmogolov-Arnold-Moser(KAM)

õKXp

¿rq0s

ýžô

!

珮

.Q

å

õPl/îtu

³

ü

k

)

åvT(U ,$w

Ã

ß_яÔ

2.5

^{xKH‹¬ ºPO}

õryz4î

¿

{žçI

^&_(é}|~ÈÑ2

ñ,

Ð

R

ƀ

­&‚4õ dJ

î$ƒ

g…„Á

éýr

†

,

ÎÐ3ßÑ ,Æ

1.5

^xKH‹¬

¼ ½

2

^xKH‹¬

õ ø ç

9¾¿‡"ˆ,ç4‰KŠŒ‹

6

¿Ž

) å î À&g

ô

î

M‘…’È

Æ

Q

åvT&U

¿“”

) å

ú7•

‘ß&Ñ á é

,¾

a ü Ô á

õK–…—

¾

2

^xH¬

?¿v

ø

ç

õ"l

¾

h™˜š

ü

ù)

å

¾N

Ñ

,Æ 0

‘$6

õ

ì›

ü

̏î À?ÁŽœ îrLž&Ÿ ¾ a Ñ á é

ÍZ ”¡

„£¢¤,

ï"¥

Èô

a

,Ô

á õ ×

¾3¿

2

^xHr¦

õ ø ç§

î\¨"

ô

Æ©Ž

) å ª Q

å õ w à ,

õ

«¬­

üK®¯

î̏õ À =

îr°±

ß&Ñ õ Í Æ

‚P²&³"´ú2µ

ý‹ô¶$·9ß&ÑTÔ

2.1

^{¸ ¹ º »½¼ ¾ ¿ÁÀ Â}

ÃÃÄ"ÅÆÇ"È

õ

2

^{xvH¦ õ}

ø çI

[42]

^î\¨ ô¶$·ÉŒÊ<Ô

H = 1

2 (p ² ₁ + p ² ₂ ) +

cos q ₁ − 1 + µ

2 p ₁ ² cos q ₂

(2.1)

Ã&Ã7Ä.Æ

q 1

^Ë

q 2

ÅrÌ&ÍÎ&Ï&Æ

p 1

^Ë

p 2

ÅÌ&Í(Ð

†(Ñ

Ä N

ʏÔ_ð

Æ

µ

^Ë

^ÅÒ

†Ó…)&Ô Õ

Ä N

ʏÔ

Ã

õKÖ×Øl

Ä"ÅKÆ4ÃÚÙ

 

õӅ)&Ô Õ

õK²

Å

µ = = 0.4

^ÛÜ

X ý Æ 

‡Pˆv݉\

E

ú7Ӆ)(Ô Õ

Ë

ýžô

&Ÿ

’7ÞŒÊÔ ø

ÝIàß

(2.1)

^{á   Æ"â}

õ

Ì&Íã&äåÅ.ÇPÈ õ å

Ä.æç

  Ù

Ê<Ô



 

 

 

 



 

 

 

 



˙

q 1 = p 1 + µp 1 cos q 2 ,

˙

q 2 = p 2 ,

˙

p 1 = sin q 1 ,

˙

p ₂ = ^µ ₂ p ₁ ² sin q ₂ .

è Û Æ O.éŒê ø

Ý

êvë&ì…íê

:(îšú7ï

Ê<Ô

wðñ

ê

óò™Ý§

ê yz

Æ

Ž

).ô

êõö

Û0’

 

ÛK÷’

ü

Ž

).ô ,.ø

R Æ

')ù

ÕÝ­

ü&ú$û

:(î ü

c\ý4Û fþ

ɌÊ

,

3.93 3.95 3.97 3.99 0.1

0.11 0.12 0.13

0 2 4 6

−1

−0.5 0 0.5 1

3.97 3.975 3.98

0.108 0.11 0.112 0.114 0.116 0.118

3.9 4.1 4.3 4.5

0.03 0.08 0.13

(a) (b)

(c) (d)

ÿ

2.1:

^

‡"ˆ\݅‰(,

H = 0.1

^{ê Ë}

a ê

0Z

‘\6

(q 2 − p 2

6

)

ü

(a)

^á  

(d)

^Û

&è

^K,Ô

[20]

^{ÆÃ ê ê}

yz

Û0h

â

ê =

:î ï

’ Ù ÊÔ

ÿ

2.1

^Û7

H H = 0.1

ê

yPz

ê

‘\6

ü

Ô ‘\6

Å

q 1 = 2(n + 1)π (n = 0, ± 1, ± 2, · · · ) p 1 > 0

^{ê"!# Û}

X%$

Æ

‘&

OPê('()

‚ ü

q 2

Æ

p 2

^Ë

Ô

(a)

^á  

(d)

^{* ÄÆ}

è,+

Ûr^-/.Øh

Æ ’  

ÛK÷ ’

%021 3

ô465,7

Ä a

Ê<Ô

2.2

8 9 : ; < = > º

ÇÈ

ê@?

ÄÅÆBA

?

Ä6C

$ ED

ò™Ý

1/GFê

«¬Œ­

v®¯

üIH²

­

Û@JK

ML%N

Û ¨

.EOBKʏÔ*MP Æ\ÐQ

Ñ

ë R

ü

J,KŒÊ S

Æ\ÐQ

Ñ

p 1

ê(T"FVUê

ÓXW ôY…ù

1 Ý üZ

[ Ô â ê

LN

Æ ÿ

2.2

^{ê \G}

(

^{] ^%_}

Ý`

H = 0.1

^{ê ËEa}

)

^Æ

1/f ^α

ñ

ê@b(c

4

f → 0

Ä

ïed

Ù

Ô*

Æ Ó 3 Ô Õ

ê"f

Û

g

.

ÅÆ

ÿ

2.2

^{êh\ Û Æ}

f → 0

^Ûi

.

Æjk

f =

^{l C Ë Ê}

LVNmGned

Ù Ô Ã ê LVN

á d Æ(Ð,Q

Ñ

êTíMop

Û@q

TíërR

4\ïsd

Ù

Ê Ã Ë 46t

áÊ<Ô

1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1

Frequency 10 ¹

10 ² 10 ³ 10 ⁴

Power spectral density

slope ~ -0.41

ÿ

2.2: H = 0.1

^{ê Ë(a ê}

ÓW ôVY4ù

1

Ý(uv

Ô

5V7Ñ

Å7ÐQ

Ñ

p 1

^Ë

Ô/wx

Å

y,z|{/} z ~€

1e-06 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1

Frequency 10 ¹

10 ² 10 ³ 10 ⁴

Power spectral density

slope ~ -0.12

ÿ

2.3: H = 0.5

^{ê Ë(a ê}

ÓW ôVY4ù

1

Ýuv



57Ñ

Å7ÐVQ

Ñ

p 1

^Ë



wx

Å

yz{I}z 6~€

2.3

^{‚ ƒ „ … †ˆ‡ ‰-Š ‹ ŒŽ}

1000 10000 1e+05

Time 10000

1e+05 1e+06 1e+07 1e+08

Mean square displacement

slope ~ 1.29

ÿ

2.4:

^{] ^V_M–}

`6

4

H = 0.1

^{—˜ a —}

™%š%›

o%!

h (∆q 1 ) ² i (log-log scale)

^

30000

— 3

6œ@%Ÿž (¡¢h£Ÿ¤X¥|¦

™¨§©

g 

1000 10000 1e+05

Time 1e+05

1e+06 1e+07 1e+08

Mean square displacement

slope ~ 1.1

ª

2.5:

^{] ^%_M–}

`6«

4

H = 0.1

^{—˜ a — ¦}

™š%›

o%!

h (∆q 1 ) ² i (log-log scale)

^

30000

—

3¬

œŸ%­@ž (¡V¢®£Ÿ¤¥|¦

™¨§G©

g 

¯(°±4

bV² ³´®µ

˜G¶·V¸ ¹®º

£@»%c

4

²Ž¼"´

4½

1

«B3

± ˜

¯(°±46¾¿

³´

DÁÀ

– 1 ¬ ')F

¶BÂ

½%ÃÄ

»%c

˜IÅÆÇ

´ÈVÉ

4

²-¼"´ µ

˜

4 Ê

´

ÃÄ

»Vc

Â@Ë

Ä

»c

—

»®Ì

¶

ÊÍνBÏÐ

—MÑ®¶

CVÒXÓ

Ç

´

h (∆x) ² i ' t ^γ , (0 < γ < 2 ) (2.2)

ÃÄ

»c ÔbV² ³´@ÕhÖ

 ½

·V¸r¹%—×"¶6Ø

  ÙMÚÛ

§IÜ

gÝsÞ

«ß

±àá

£

¯(°,±6âVã

Ô q T

¹@äVå Ó Ç

´Ý

S

˜GæVç

d

ÇVèVé

´

[43, 44]

^{ µ — ê \­ Ø  VÚ(Û}

§/Üë

Þ

«,ß

± —

µ ˜ §

½hì

—Ø

 Ù­

·V¸¹í

t £ ê g è îðïsñ

±

}hz|{EòEó

«õô÷ö(øBß ¬’ô

(

^ùú%ûü

)

^ý

þ Ý Â îðÿ

ó

«õô öøß®¬Xô

(

^{Q ûü}

)

^ý-˜

t

Ó Ç

´M

Ó d £

γ

^{— f £ ê g èé}

»%c

(γ > 1)

½ Ë Ä

»%c

(γ = 1)

½

é

»%c

(γ < 1)

^˜

t

Ó Ç

´

ù%ú o H

q 1

^ûüV—

¦

™Vš%›

o

— H f Z [ — LN

§ ½ ª

2.4(

^{]®^_E–}

`(«

Ô

H = 0.1

^—

˜ a

)

ª

2.5(

]h^,_"–

`«

Ô

H = 0.5

^{—¨˜ a}

)

^£¥ÝE

H f Z [

 Q

ß6«B§

µ = = 0.4

^{£ ¶ Ê ´M}

þ Ý ½

ž% V¡¢

Â

},ò

ñ

{6ò

(q ₁ = p ₁ = 0

^½

q ₂ = π)

á!

¶,—"l"

t$#

¶ ½

30000

^{%— žV ¡%¢h£}

ë

é(è

¦

™¨§'&

gMÝM

H = 0.1

^{—r˜ a £  ½}

ª

2.4

⁽

d ½

h (∆q 1 ) ² i ∼ t ^γ with γ = 1.29 (2.3)

0 2 4 6 q_2

−1

−0.5 0 0.5 1

p_2

0 2 4 6

q_2

−1

−0.5 0 0.5 1

0 2 4 6

q_2

−1

−0.5 0 0.5

(a) (b) 1 (c)

ª

2.6:

]h^B_"–

`«

Ô

H = 0.1

^{¶ ´}

Ê ˜ a

—)

ö®¬ ¯+*-,.



˜/é

\

Ã%Ä

»Vc ÔE²¼

èVé

´Bµ

˜ Ô t (

´@hµµ

¶ ½

∆q ₁ (t) = q ₁ (t) − q ₁ (0)

^{˜Gi%é Ý}

.

^{µ —}

γ

^{— f} Â]h^,_"–

`(«

— R H ˜ ¥ è

o,pB³´

(

^/O

)

^{0 ç,Æ ½}

H = 0.5

^{—12 £ Â}

γ ∼ 1.1

¶

ÊÁÍν

»Vc

Â@Ë

Ä

»%cr£

á é µ ˜ Ô t (

´@

Ó è ½ ª

2.6

^{£ ½ ]^ _6–}

`«

Ô

H = 0.1

^{—31 2 —)}

öh¬

¯4*5,.

§ 6

é

Ý

3

ë — ª

 ì Ç87"Ç

½

(a) q 1 = 2nπ

½

(b) q 1 = ^π ₂ + 2nπ

½

(c) q 1 = π + 2nπ

^{—12 £ ·:9 ³´}

þ Ý

½,.;

¶Â<—

Q

p 1 > 0

^{˜ ­´ ê \I£= Ò ¥@Ý" µ Ç}

d

3

ë — ª

—,×>

£?

d

Ç

´@ Þ

«ß

± ˜ ì

—MØ

Í

—BADC

Þ

«ß

±

Â$E

¼’Þ

«ß

± § Ã

­B´

,.;

¶

?Ý

m

—(¶

Ê

´@

þ

Ýhµ

Ç d —

@õÞ

«,ß

± Â

q 2 = 2nπ (n = 0, ± 1, · · · )

§'F

,

¥Ÿ­

é

r¥ŸÝÔ®g

è ½ µ Ç

q2

0 q1

−2π

−4π 4π

2π

ballistic mode island

ª

2.7:

^{·V¸ ¹¨˜|ï ñ}

±

}z|{6òEó

« ô öøBß ¬Xô

—HGVÑ

ª

10 ¹ 10 ² 10 ³ 10 ⁴ 10 ⁵ Waiting time

10 ^-4 10 ^-2 10 ⁰ 10 ² 10 ⁴ 10 ⁶ 10 ⁸

Waiting time distribution

slope ~ -2.66

ª

2.8:

^{]®^B_6–}

`«

Ô

H = 0.1

^{—r˜ a —}

I$J

T ¹ t#



10 100 1000 10000 1e+05

Waiting time 10 ^-4

10 ^-2 10 ⁰ 10 ² 10 ⁴ 10 ⁶ 10 ⁸

Waiting time distribution

slope ~ -3.05

ª

2.9:

]h^B_"–

`«

Ô

H = 0.5

^{— ˜ a —}

I$J

T ¹ t#



d — Þ

«ß

±;

—

â%ã

ÂEïõñ

±

}z{"ò ­ Q

(

^{K3L Q}

)

§&

\NM ³­ODP

½ Þ

«ß

± Â

ï ñ ±

}z{"ò6ó

«õô

Þ

«ß

± ¶ Ê

´E

lû

½

q 2

^ÂMØ

 rÙV­

Q

£­®´

ÏQ;

— µ ˜ § ½

ª

2.7

^{£ GVÑ} Ù£-¥@Ý"

ÏR;

— µ

˜'(

d ½ÃÄ

»chÔ²-¼EÝMÕÖ

 µ

—"ï ñ ±

}z{6ò"ó

«õô

Þ

«Bß

± £

¯°,±

âVã

Ô q T

¹äå Ó Ç

´Bµ

˜ £ ê Í

bV² ³h´

˜TSU Ó Ç

´@

ì µ ¶ ½ µ — Þ

«ß

±Eá!V

—äå —WX

ÙYZ

§'[

´Ý\,£

½ þ3]

IJ8^

¹H_

# § = Ò ¥

½ ì

—` acbdh—Hef

£ ë

éè3gQh

´i þH] ½

·¸¹

§

2nπ < q 2 < (2n + 1)π for n = 0, ± 1, ± 2, · · ·

^{¶ = ÒXÓ Ç ´cj}

ñ ¬ œ « ;

—kl

£

_cm

³h´

(

ª

2.7)

ⁱ

IJR^

¹

τ

§ ½ µ

—Bn

ë — j ñ ¬ œ «

kcl

£

IJ

¥

èé

´ ^

¹¶

= Ò

³h´irµRo|³

Ç Æ

½

τ → ∞

^¶Â

½ µ — IJR^

¹V—_

# ˜ ½ Þ

«,ß

±Má!

V

—ä,å

^

¹%—H_

#

Ânp

³´

˜IæçrqÇ

´i

`a$bQd —3ef

§ ª

2.8(

^stQu–wv

« Ô

H = 0.1

^{— ˜x}

)

½

ª

2.9(

^syt8u6–wv

« Ô

H = 0.1

^—r˜Bx

)

^{£z%¤ `${ ¶ ¥@Ý3i}

IJR^

¹

τ

^{ÔB| xMé ˜ µ} ¶ ½ h~x ` Ù­H€c}

Ԃ

Ç,èé

´ µ

˜ Ô _R(

´iƒ$„

¶BÂH…

±†

« ñ

¬‡'ˆ

`¹— ‰

£ ë

éèBgRh

´i