３次元空間形内の局所誘導階層について

(1)

３次元空間形内の局所誘導階層について

川久保哲

¹⁾

（平成

22

年

5

月

31

日受理）

On the localized induction hierarchy in three-dimensional space forms

Satoshi Kawakubo

¹⁾

（Received May 31, 2010）

Abstract

The localized induction hierarchy in three-dimensional space forms is studied; the traveling wave solutions are constructed and the expressions for the soliton curves are given in terms of cylindrical coordinates. These results are the generalization of those obtained in the case of three-dimensional Euclidean space by Langer ([11]). A detailed account will be published elsewhere.

1

_序

３次元

Euclid

空間における流体の運動を考える．流体の速度ベクトル場を

v

とする時，渦度ベクトル場の長さ

| rot v |

が，細い管状の領域上で非常に大きな値をとり，その外側ではほぼ零になる，という現象がよく起こる．このような細い管のことを渦糸

(vortex ﬁlament)

とよぶ．これは我々が日常的に渦とよんでいる現象，例えば，竜巻や排水口にできる吸い込み渦などで観察することができる．管がリング状になることもあり，イルカの作る渦

輪

(bubble ring)

や煙草の煙の輪などが代表的な例である．

ここでは渦糸の運動をモデルにした曲線の時間発展を考える．流体は非圧縮性非粘性と仮定し，局所誘導近似を用いると，渦糸の時間発展は次の偏微分方程式に従うことが知られている

(例えば [1]

を参照せよ)．

(1.1) ∂ � γ

∂t = ∂ � γ

∂s × ∂

²

� γ

∂s

²

.

ここで

� γ = � γ(s, t) ∈ R

³は渦糸の中心曲線の位置を表し，tは時間，sは曲線に沿う弧長パラメータ，

×

は外積である．これは局所誘導方程式

(localized induction equation)

とよばれ，20世紀初頭に

Levi-Civita

やその弟子の

Da Rios

によって研究が始められた．((1.1)は

Betchov-Da Rios

方程式，渦糸方程式，smoke ring ﬂowなどともよばれる．)

さて，局所誘導方程式は，(適切な境界条件を付けた)曲線のなす空間の上の，長さ汎関数を

Hamiltonian

とする

Hamilton

相流とみなせる

([15])．Langer-Perline([12])

は

[15]

と類似の枠組みの下で，無限個の可換な保存量，

1)福岡大学理学部応用数学科，〒814-0180福岡市城南区七隈8-19-1

Department of Applied Mathematics, Faculty of Science, Fukuoka University, 8-19-1, Nanakuma, Jonan-ku, Fukuoka, 814-0180, Japan

この論文は2008年11月22日の福岡大学微分幾何研究会に於ける講演の内容に，それを拡張した結果を加えてまとめ直したものである．

３次元空間形内の局所誘導階層について

川久保　哲^1）

（平成 22 年 5 月 31 日受理）

On the Localized Induction Hierarchy in Three-dimensional Space Forms

Satoshi K

awakubo¹⁾

（ReceivedMay31,2010）

Abstract

The localized induction hierarchy in three-dimensional space forms is studied; the traveling wave solutions are constructed and the expressions for the soliton curves are given in terms of cylindrical coordinates. These results are the generalization of those obtained in the case of three- dimensional Euclidean space by Langer ([11]). A detailed account will be published elsewhere.

1）福岡大学理学部応用数学科，〒 814-0180福岡市城南区七隈 8-19-1

DepartmentofAppliedMathematics,FacultyofScience,FukuokaUniversity,8-19-1Nanakuma,Jonan-ku,Fukuoka, 814-0180,Japan

この論文は 2008年 11月 22日の福岡大学微分幾何研究会に於ける講演の内容に，それを拡張した結果を加えてまとめ直したものである．

(2)

及びそれに対応する無限個の可換な

Hamilton

相流

(曲線の発展方程式)

を構成した．従って局所誘導方程式

(1.1)

は完全可積分

Hamilton

系である．ここで構成された曲線の発展方程式の無限系列

(その第一番目が (1.1)

である) を局所誘導階層

(localized induction hierarchy)

とよぶ．また，第

n

番目の発展方程式に附随する定常方程式の解を第

n

ソリトン曲線とよぶ．

ここでは，局所誘導階層及びソリトン曲線を，Euclid空間とは限らない３次元

Riemann

多様体の中で考える．

一般に

Riemann

多様体内の曲線の研究は，測地線を除いてあまり多くなされていないが，ソリトン曲線を考え

ることで，測地線よりも複雑で豊かな曲線の例を得ることができる．また，ソリトン曲線は曲面論への応用があることも知られているが，この際，定曲率球面や双曲空間などのいわゆる空間形の中で考えることが有用である

([13],[17], etc.)．さらに，３次元空間形内においては，第３ソリトン曲線は Kirchhoﬀ

弾性棒

(一次元弾性体の数

学的モデル)に一致することが分かる．ソリトン曲線は，あくまで渦糸運動から導かれた曲線であり，弾性体理論とは無関係のように思われるのであるが，にも関わらず，そこに

Kirchhoﬀ

弾性棒が現れるのは興味深い．このような意味で，Riemann多様体の中でも，特に３次元空間形内の局所誘導階層は重要であると考えられる．

本稿では，３次元空間形

R

³

, S

³

, H

³ における局所誘導階層の進行波解の構成

(定理 9),

及びソリトン解の円柱座標による表示式

(定理 15)

が得られたことを報告する．なお，証明の詳細については別の所で発表する予定である．

2

局所誘導階層

この節では，Langer([11])による

R

³ 内の局所誘導階層の通常の微分を共変微分に置き換えることにより，向き付けられた３次元

Riemann

多様体内の局所誘導階層を定義する．なお，R³の場合の，然るべき境界条件をみたす曲線の空間やその上の

Poisson

構造，Hamiltonianの定義，無限個の可換な保存量，などについてはここでは述べない．これらについては，例えば

[12]

などを参照せよ．

M

を向き付けられた３次元

Riemann

多様体とする．M の

Riemann

計量を

� , �

で，Levi-Civita接続を

∇

で，

外積を

×

で表す．以下，断りがない限りは，曲線，ベクトル場などは全て

C

^∞とする．

局所誘導階層の各発展方程式は，弧長パラメータを保存するという特徴をもつ．まずは，弧長パラメータを保存する変分について復習しよう．次の補題は容易に示せる．

補題

1 (cf. [11]). γ(u, t) = γ

t

(u)

を，tを変分パラメータとする

M

内の曲線の変分とし，W

= ∂γ/∂t

をその変分ベクトル場とする．また曲線

u �→ γ

0

(u)

は速さが１であるとする．(即ち

| ∂γ(u, 0)/∂u | = 1( ∀ u)

と仮定する．) この時，任意の

t

に対して曲線

u �→ γ

t

(u)

が速さ１であるための必要十分条件は，

�∇

∂/∂u

W, ∂γ/∂u � = 0( ∀ (u, t))

が成り立つことである．

以下では，γ(s)を

s

を弧長パラメータとする

M

内の曲線とし，T

= ∂γ/∂s

でその接ベクトルを表す．補題

1

が成り立つので，次のような定義をする．

定義

2. W

を

γ

に沿ったベクトル場とする．

�∇

^T

W, T � = 0

が成り立つとき，Wは局所弧長保存

(locally arclength preserving，あるいは簡単に LAP)

であるという．

接ベクトル場

T

及び

− T

は明らかに局所弧長保存である．以下で，これら以外の局所弧長保存ベクトル場を多く作る．このベクトル場達が局所誘導階層の変形方向を与える．

さて，W を

γ

に沿った

(必ずしも局所弧長保存とは限らない)

ベクトル場とする．この時，接成分のみを変え

ることにより，Wを局所弧長保存ベクトル場に修正することができる．実際，γに沿ったベクトル場

P (W )

を，

P (W ) = (∂

_s⁻¹

� W, ∇

^T

T � )T + W

^⊥

で定義する．(ただし

∂

_s⁻¹は

s

による積分，W^⊥は

W

の法成分を表す．)すると，簡単な計算で

P (W )

は局所弧長保存となることが分かる．

(3)

次に再帰作用素

(recursion operator)

を定義しよう．これは，一つの局所弧長保存ベクトル場から，別の局所弧長保存ベクトル場を作る方法である．W を

γ

に沿った局所弧長保存ベクトル場とし，

R (W ) = P ( − T × ∇

^T

W )

= (∂

_s⁻¹

�− T × ∇

^T

W, ∇

^T

T � )T − T × ∇

^T

W

とおく．定義により，

R (W )

は

γ

に沿った局所弧長保存ベクトル場である．この

R

を再帰作用素とよぶ．ただし，

R (W )

は一意的には定まらず，CT

(ここで C ∈ R)

を加えるだけの任意性を含むことに注意する．

γ

に沿ったベクトル場の列

X

nで

(2.1)

� X

0

= − T,

X

n

= R (X

n−1

) (n � 1)

をみたすものを考えよう．X0は局所弧長保存だから，Xnは局所弧長保存ベクトル場の列である．Xnは一意には定まらず，実数列一つ分の任意性を含むことに注意する．

X

nを扱いやすい形に書き直そう．Xnを

X

n−1から作る際，

R

を作用させるので，積分が出てくる．しかし，

実は

− T

が出発点であることが効いて，被積分関数は

X

1

, . . . , X

n−1の式の微分の形になることが分かり，積分記号を含まない表示式が得られる．

命題

3 (本質的に [11]). { C

n

}

^∞n=1を任意の実数列とする．γに沿ったベクトル場の列

{ X

n

}

^∞n=0を次によって帰納的に定義する．

X

0

= − T, (2.2)

X

n

= f

n

T − T × ∇

^T

X

n−1

(n � 1), (2.3)

ここで

(2.4) f

n

=

 

 

 



− C

1

2 (n = 1)

− C

n

2 + 1 2

n−1

�

k=1

� X

k

, X

_n−k

� (n � 2)

この時，

{ X

n

}

^∞n=0は

(2.1)

をみたす局所弧長保存ベクトル場の列となる．逆に，もし

{ X

n

}

^∞n=0が

(2.1)

をみたす局所弧長保存ベクトル場の列ならば，ある実数列

{ C

n

}

^∞n=1が一意的に存在して，(2.2)，(2.3)，(2.4)が成り立つ．

注

4.

実数列

{ C

n

}

^∞n=1に対して

{ X

n

}

^∞n=0が定まるのだが，上の式から容易にわかるように，実際には

X

nは

n

個の実数

C

1

, C

2

, . . . , C

nのみから決まることを注意しておく．このことを強調する時は

X

nを

X

_n^C¹^,...,Cⁿと書く．

{ C

n

}

^∞n=1が与えられた時，X0

, X

1

, X

2を命題

3

に従って計算してみると次のようになる．

X

0

= − T, (2.5)

X

1

= − C

1

2 T + T × ∇

^T

T, (2.6)

X

2

= � 3

2 |∇

^T

T |

²

+ C

₁²

8 − C

2

2 �

T + ( ∇

^T

)

²

T + C

1

2 T × ∇

^T

T. (2.7)

一般に

X

n

= X

n

[γ]

は

γ

の

s

による

n + 1

階までの微分で書ける．つまり

X

nは

γ

に作用する

n + 1

階微分作用素とみなせる．

局所誘導階層を定義しよう．M 内の曲線の時間発展方程式の列

(2.8) ∂ � γ(s, t)

∂t = X

n

[ � γ(s, t)] (n = 0, 1, 2, . . . )

を考える．Xnが局所弧長保存であることから，(2.8)は弧長パラメータを保つことがわかる．即ち，(2.8)の解

� γ(s, t)

に対して，もし

s

が初期曲線

� γ(s, 0)

の弧長パラメータであるならば，任意の時刻

t

に対して，sは曲線

� γ(s, t)

の弧長パラメータとなる．

(4)

定義

5. { C

n

}

^∞n=1を実数列とし，

{ X

n

}

^∞n=0を

(2.2)，(2.3)，(2.4)

によって定義される微分作用素の列とする．M 内の弧長パラメータ曲線の時間発展方程式の列

(2.8)

を局所誘導階層という．ここで

s

は曲線に沿う弧長パラメータ，tは時間を表す．

n = 1

で

C

1

= 0

のとき，(2.8)は局所誘導方程式

(1.1)

に一致する．本稿では考察しないが，(1.1)に対する基本的問題として初期値問題が考えられる．これについては

[9], [10], [16]

などを参照せよ．また，n

= 2, 3

の時の方程式も物理的な意味があることが知られている．例えば，M

= R

³で，n

= 2，C

2

= C

₁²

/4

のとき，(2.8)は軸流効果を考慮した渦糸の運動方程式である

Fukumoto-Miyazaki

方程式である

(cf. [3], [2])．

なお，向き付けられた３次元

Riemann

多様体内の場合，(2.8)が完全可積分系になることは，一般には期待できないが，空間形内の場合に限っては完全可積分系となることが示されている

([18])．

3

進行波解

この節では，空間形の場合に

(2.8)

の進行波解を構成する．これ以降，M は常に空間形

R

³

, S

³

, H

³とし，断面曲率を

G

で表す．進行波解とは，形を変えずに動く解のことであり，厳密には次のように定義する．

定義

6.

次のように表される

(2.8)

の解

� γ : R × R → M

を

(2.8)

の進行波解という．

M

内のある曲線

γ : R → M

，

M

のある１径数等長変換群

{ ϕ

t

}

t∈R，及びある定数

c ∈ R

が存在して，

� γ(s, t) = ϕ

t

(γ(s − ct))

と表せる．

次にソリトン曲線を定義しよう．これは

(2.8)

に対応する定常方程式の解である．

定義

7. n � 1

とする．

γ : R → M

を弧長パラメータの曲線とする．ある

C

1

, . . . , C

n

∈ R

が存在して

X

_n^C¹^,...,Cⁿ

[γ] = 0

が成り立つとき

γ

を第

n

ソリトン曲線という．第

n

ソリトン曲線全体の集合を第

n

ソリトンクラスとよび，Γn

で表す．Γ :=

�

∞

n=1

Γ

n を単にソリトンクラスとよぶ．Γの元を，単にソリトン曲線とよぶ．

すると次の包含関係が成り立つことが示せる．

命題

8. Γ

n

⊂ Γ

n+1

( ∀ n � 1)

ソリトンクラスには，幾何学的，物理的に興味深い曲線が現われる．例えば，Γ1は測地線全体の集合，Γ2は螺旋全体の集合に一致する

(これは M

が空間形でなくても成り立つ)．さらに，Γ3は

Kirchhoﬀ

弾性棒の中心曲線全体の集合に一致することが示せる．Kirchhoﬀ弾性棒とは，曲げ及び捩れのエネルギーを考慮した一次元弾性体の数学的モデルである．３次元空間形内の

Kirchhoﬀ

弾性棒については，[6], [7]などを参照せよ．

ソリトン曲線を用いて

(2.8)

の進行波解を作ろう．まず，γ

∈ Γ

nならば，

� γ(s, t) := γ(s)

は明らかに

(2.8)

の進行波解である．この解は

t

に依存しないから，“ 静止した ”進行波解であり，自明なものといえる．そこで非自明な進行波解を構成したいのだが，次のように

Γ

n+2の元を用いて

(2.8)

の進行波解を作れることがわかる．(これにより，screw motion によって動く進行波解の例も作れる．)

定理

9. M = R

³

, S

³

, H

³とし，nを

0

以上の整数とする．γ

: R → M

を弧長パラメータの曲線とする時，次の条件

(i),(ii)

は同値である．

(i) γ ∈ Γ

n+2

(ii)

ある

c, C

1

, C

2

, . . . , C

n

∈ R

及び

M

の１径数等長変換群

{ ϕ

t

}

t∈R が存在して，

� γ(s, t) := ϕ

t

(γ(s − ct))

は

(2.8)

の解である．(つまり進行波解である．)

(証明の概略). (i) ⇒ (ii)

の証明の概略を述べる．((ii)

⇒ (i)

については少し工夫が必要だが，基本的には

(i) ⇒ (ii)

の逆を辿ればよい．

)

証明を簡単に述べるため，ここでは

γ

の曲率は常に正であるとする．γ

∈ Γ

n+2とすると，定義により，ある

C

1

, . . . , C

n+2

∈ R

が存在して

X

_n+2^C¹^,...,Cⁿ⁺²

[γ] = 0

である．まず

C

1

, . . . , C

n+2を付け替えよう．

補題

10.

ある

C �

1

, . . . , C �

n+2

∈ R

が存在して

X

^C

�

¹^,...,^C

�

ⁿ⁺²

n+2

[γ] − GX

_n^C

�

¹^,...,^C

�

ⁿ

[γ] = 0

が成り立つ．

(5)

補題

10

は，M

= R

³の時は自明であるが

(実際 C �

j

= C

j

(j = 1, · · · , n + 2)

とすればよい)，S³

, H

³の時は自明ではないことを注意しておく．以降，

C �

1

, . . . , C �

n+2を改めて

C

1

, . . . , C

n+2と書く．すると，次が成り立つ．

補題

11. X

n

, X

n+1は

M

上のある

Killing

ベクトル場

X �

n

, X �

n+1に一意的に拡張できる．

この補題

11

により，

X �

nの定める１径数等長変換群を

{ ϕ

t

}

t∈Rとし，c

= 0

とすれば，

� γ(s, t) := ϕ

t

(γ(s − ct))

は

(2.8)

の解となることが容易に分かる．従って

(i) ⇒ (ii)

が証明された．(なお，上の

X �

n+1はここでは用いないが，次節で重要な役割を果たす．)

後は補題

11

を示せばよい．次の補題が成り立つ．(補題

12

により，再帰作用素

R

は純粋に幾何的な意味をもつものであると言える．)

補題

12. γ = γ(s)

を

M

内の，弧長パラメータの曲線とする．

γ

の曲率

κ(s)

は全ての点で正と仮定し，γの

Frenet

枠を

(T, N, B)

とする．W を

γ

に沿う局所弧長保存ベクトル場とする．この時，Wが

M

上の

Killing

ベクトル場

に拡張できるための必要十分条件は次の

(1),(2)

が成り立つことである．

(1) �−R

²

W + GW, N � = 0 (2) ∂

∂s

� �−R

²

W + GW, B � κ

�

= 0.

(

なお

R

²

W

には不定性があるが，(1),(2)の左辺は確定することに注意する．)さらに，拡張ができる場合は，その拡張の仕方は一意的である．

補題

10

より

− X

n+2

+ GX

n

= 0

である．よって

�−R

²

X

n

+ GX

n

, N � = �− X

n+2

+ GX

n

, N � = 0

となり，

W = X

nは補題

12

の条件

(1)

を満たしていることが分かる．同様に

(2)

も満たすことが分かる．従って

X

n は

M

上のある

Killing

ベクトル場に拡張できる．Xn+1についても類似の方法で示すことができ，以上で補題

11

が示

された．

注

13.

特に

M = R

³

, n = 1, C

1

= 0

の時は，(2.8)は局所誘導方程式であり，[4],[5],[8],[14]などで進行波解が調べられている．

4

_{ソリトン曲線の性質}

前節ではソリトン曲線を用いて局所誘導階層の進行波解を構成した．ここでは，ソリトン曲線の円柱座標による表示式について述べる

(定理 15)．円柱座標を構成する際，補題 11

の二つの

Killing

ベクトル場が重要な役割を果たす．さて，前節で述べたように

Γ

1の元は測地線であり，これは既によく知られている．また命題

8

が成り立つから，差集合

Γ

n

\ Γ

n−1

(n � 2)

の元を調べれば十分である．まず，Langerによる

M = R

³の時の結果を述べよう．

定理

14 (Langer([11])). M = R

³とする．n

� 2

とし，γ

∈ Γ

n

\ Γ

n−1とする．この時，

X �

n−1は定ベクトル場となり，

X �

n−2は

X �

n−1に平行な直線を軸とする

screw

場となる．また，この

X �

n−1

, X �

n−2 に付随する円柱座標を

(r, θ, z)

とする．この時，γ(s)の

r, θ, z

成分，r(s), θ(s), z(s)は，γ(s)の曲率

κ(s)

と捩率

τ(s)

によって

explicit

に表せる．詳しく述べると，r(s)²

, z

^�

(s) (

ただし^�は

s

による微分

)

は，κ(s), τ

(s)

とその導関数の多項式で書け，

θ

^�

(s)

は，κ(s), τ(s)とその導関数の有理式で書ける．

この結果を空間形に拡張したい．以下

M = S

³

, H

³とする．さて，曲線

γ ∈ Γ

n

\ Γ

_n−1にうまく適合した座標を構成したいのだが，まずは

M

を

R

⁴

(標準座標を (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

)

とする)に埋め込んで，次のような座標を定めておく．

Case 1. M = S

³ の時

S

³ を

R

⁴ の原点中心の半径

1/ √

G

の球面として等長的に埋め込んでおき，次の関係によって

S

³ 内の座標系

(r, θ, ψ)

を定める．

x

1

= r cos θ, x

2

= r sin θ, x

3

= r cos ψ, x

4

= r sin ψ

(6)

ここで

r > 0

であり，また

r = �

1/G − r

² とおいた．

Case 2. M = H

³ の時

双曲面モデルを使う．即ち

M

を，Lorentz計量

dx

²₁

+ dx

²₂

+ dx

²₃

− dx

²₄ を入れた

R

⁴に双曲面

{

^t

(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) ∈ R

⁴

; x

²₁

+ x

²₂

+ x

²₃

− x

²₄

= 1/G, x

4

> 0 }

として等長的に埋め込む．次の関係によって

H

³ 内に座標系

(r, θ, ψ)

を定める．

x

1

= r cos θ, x

2

= r sin θ, x

3

= − r sinh ψ, x

4

= r cosh ψ

ここで

r > 0

であり，また

r = �

− 1/G + r

²とおいた．

上の埋め込み

M → R

⁴を

ι

で表し，座標

(r, θ, ψ)

を，埋め込み

ι

に関する円柱座標という．

また

I(M )

で

M

の等長変換群を，

Lie(I(M ))

でその

Lie

環を表す．即ち

M = S

³

, H

³に対して，

I(M ) = O(4), O

⁺

(3, 1) ( ⊂ GL(4, R))

であり，Lie(I(M

)) = o(4), o(3, 1) ( ⊂ M (4; R))

である．すると，次が成り立つ．

定理

15. M = S

³

, H

³とする．n

� 2

とし，γ

∈ Γ

n

\ Γ

_n−1とする．また

M = H

³ の時は，Killing ベクトル場

X �

n−1 は放物型ではないと仮定する．この時，

X �

n−1と

X �

n−2 は互いに可換な

Killing

ベクトル場になる．また，ある

P ∈ I(M )

が存在して，埋め込み

P ◦ ι : M → R

⁴に対する円柱座標

(r, θ, ψ)

をとると，次が成り立つ．

γ(s)

の

r, θ, ψ

成分，r(s), θ(s), ψ(s)は，γ(s)の曲率

κ(s)

と捩率

τ (s)

によって

explicit

に表せる．詳しく述べると，r(s)²は，κ(s), τ

(s)

とその導関数の多項式で書け，θ^�

(s), ψ

^�

(s)

は，κ(s), τ

(s)

とその導関数の有理式で書ける．

注

16. n � 3

の時，κ(s),

τ (s)

は

Jacobi

の

sn

関数によって

explicit

に書けることが分かっているので，γの成分

r(s), θ(s), ψ(s)

も

sn

関数と楕円積分で

explicit

に書ける

(cf. [6],[7])．

ここでは，定理

14 (つまり M = R

³の時)との証明の違いについて述べることにする．最も大きな違いは，円柱座標を構成する際の困難さである．

まず，M

= R

³としてみよう．この時は，

X �

n−1が

R

³上の定ベクトル場であることが容易に示せる．(実際，

γ ∈ Γ

nより

X

n

− GX

_n−2

= 0

であるが，G

= 0

が効いて

X

n

= 0

となる．従って

(2.3)

より

∇

^T

X

_n−1

= 0，つま

り

X

n−1は

γ

に沿って平行である．よって

X �

n−1は

R

³上の定ベクトル場となる．ここでは

Killing

ベクトル場への拡張が一意的であることを使った．)このことを用いると，

X �

n−2が

X �

n−1に平行な直線を軸とする

screw

場となることも比較的容易に示すことができ，円柱座標が自然にとれることが分かる．

次に

M = S

³

, H

³の時を考えよう．この時は，

X �

n−2と

X �

n−1がどのようなベクトル場となるかが容易には分からない．そこでこの２つの

Killing

ベクトル場の関係を調べるため，[

X �

_n−2

, X �

_n−1

] = 0

が成り立つことを示す．

この部分が証明の一番の難点であるが，ソリトン曲線の第一積分などを使って計算することにより，示すことができる．この可換性を用いると，

X �

n−2

, X �

n−1 の行列表示が同時標準化できることが分かり，

X �

n−2

, X �

n−1の両方に適合した円柱座標をとることが可能になる．

References

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