Colored Jones

Colored Jones ^多項式の 3 ^{番目の係数の安定性}

中元駿弥

大阪大学理学研究科数学専攻

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary

JN,L(q):link LのN-colored Jones多項式（N≥2） N= 2のときJones多項式, unknot Uに対しJN,U(q) = 1 G^′_A, G^′_B:reduced A,B-graph

Def(adequate)

link Lを表すdiagramでG^′_A(G^′_B)がloopをもたないものが存在すると き、L^はA(B)-adequate^{であるという。}

ex)alternating knot

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary

Def

Laurent多項式f, gについて、f, gあるいはf,−gの下から非自明なk番 目までの係数が全て一致するときf .

=k gで表す。

ex)−1 +q²+ 3q⁵ .

=6q⁻⁴−q⁻²−3q Thm(Armond[2013])

L:A-adequate link JN,L(q) .

=N JN+1,L(q) (Conjectured by Dasbach,Lin[2006])

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary

Cor of Thm

L:A-adeqaute link,N ≥3 J_N,L(q) .

=₃J_3,L(q)

Question

N≥3→N ≥2にどのようなlinkならば拡張できるか？

つまり、J_2,L(q) .

=₃J_3,L(q)となるA-adequate^なlink^はどんなlink^か？

Thm1(N)

K:alternating knot J2,K(q) .

=3J3,K(q)となるK^はunknot^{のみである。}

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary

Thm(Dasbach,Lin[2006])

K：A-adequate knot, D:A-adequate diagram of K

Coef1−th(J2,K(q)) = (−1)^|SA|+ω(D)+1

Coef_2−th(J_2,K(q)) = (−1)^|SA|+ω(D)+1(−e_A+|S_A| −1) Coef3−th(J2,K(q)) = (−1)^|SA|+ω(D)+1

(1

2(eA− |SA|)²+3

2(eA− |SA|) + 1−τA+µA−θA) ただし、ω(D)はDのwrithe,

eA,|SA|, τA:=#(edges, vertices, triangles inG^′_A)

µA:=#(^{重複度が２以上の}edge inG^′_A) θA:=#(mixed egdes inG^′_A)

e_A= 3,|S_A|= 3, τ_A= 1, µ_A= 1, θ_A= 0よりCoef_3−th(J_2,K(q)) = 1

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary

Thm2(N)

N≥3 L：A-adequate link D:A-adequate diagram of L

Coef_1−th(JN,L(q)) = (−1)^{(N−1)(|SA|+ω(D)+1)}

Coef2−th(JN,L(q)) = (−1)^{(N−1)(|SA|+ω(D)+1)}(−eA+|SA| −1) Coef3−th(JN,L(q)) = (−1)^{(N−1)(|SA|+ω(D)+1)}

(1

2(eA− |SA|)²+1

2(eA− |SA|)−τA__) ただし、ω(D)はDのwrithe, 

e_A,|S_A|, τ_A:=#(edges, vertices, triangles inG^′_A)

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary

Thm1(N)

K:alternating knot J_2,K(q) .

=₃J_3,K(q)となるK^はunknot^{のみである。}

∵J2,K(q), J3,K(q)の係数比較  Rmk

一般のlinkに対しては上は必ずしも成立しない

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary Step1:JN,L(q)→JN,D(A)→ΓN スケイン空間の元に帰着

Def(^{スケイン空間}) F:曲面

S(F) :=Q(A)< non oriented link in F×[0,1]> /Skein relation

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary Step1:JN,L(q)→JN,D(A)→ΓN スケイン空間の元に帰着

Def(Jones-Wenzlべき等元)

次式で定まるTemperliy-Lieb^{代数の元を}Jones-Wenzl^{べき等元とよぶ。}

ここで、∆N := (−1)^{N A2(N+1)}_A2⁻−^AA^{−2(N+1)−2}

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary Step1:JN,L(q)→JN,D(A)→ΓN スケイン空間の元に帰着

Fact

J_N+1,L(q) = (−A)^{(−N2−2N)ω(D)}JN,D(A)

∆_N

A=q⁻¹⁴

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary Step1:JN,L(q)→JN,D(A)→ΓN スケイン空間の元に帰着

Def(ΓN,j1,···,jk,Γ_N,j

1,···,jk)

link diagram Dの各twist regionを下のように置き換えてできるスケイン 空間の元をΓ_{N,j1,···,jk},Γ_N,j

1,···,jkで表す。特に、Γ_N := Γ_N,N,···,N

Thm(Armond[2013])

D:B-adequate diagram JN,D(A) .

=4(N+1)ΓN

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary Step1:JN,L(q)→JN,D(A)→ΓN スケイン空間の元に帰着

Thm(Armond[2013])

D:B-adequate diagram J_N,D(A) .

=_4(N+1)Γ_N

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary step2:ΓN^をΓN,i1,···,ik^{で展開する}

Lem(N)

Laurent多項式Ai=A^(N_i ⁾(i= 0,1,2,· · ·, N)が存在して次を満たす。

Γ_N = ∑

0≤i₁,···,i_k≤N

A_N−i1· · ·A_N−ikΓ_N,i

1,···,ik

mindeq(A_i) = 2i²

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary step2:ΓN^をΓN,i1,···,ik^{で展開する}

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary Step3:ΓN,i1,···,ik^はadequate

Lem(N) Γ_N,i

1,···,i_kはadequate

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary Step4:ΓN,i1,···,ik^とΓN^{の最低次数を比較}

Lem(N)

mindeg(ΓN) =−2|ΓN| mindeg(Γ_N,i

1,···,i_k) =−2|Γ_N,i

1,···,i_k| ただし、|ΓN|,|Γ_N,i

1,···,i_k|^はΓN,Γ_N,i

1,···,i_kのcomponentの数を表す。

Lem(N)

ΓN =∑

0≤i1,···ik≤NAN−i₁· · ·AN−i_kΓ_N,i

1,···,i_k

mindeg(A_i) = 2i²

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary Step4:ΓN,i1,···,ik^とΓN^{の最低次数を比較}

Thm(N) D:B-adequate

A₁:{1} ⊂ {i₁,· · ·, i_k} ⊂ {0,1}, |Γ_N,i

1,···,ik|=|Γ_N|+ (i₁+· · ·i_k)−2 A₂:{1} ⊂ {i₁,· · ·, i_k} ⊂ {0,1}, |Γ_N,i

1,···,ik|=|Γ_N|+ (i₁+· · ·i_k)−4 B₁: (i₁,· · · , i_k)の内一つだけが2それ以外は0,1,

|Γ_N,i

1,···,ik|=|ΓN|+ (i1+· · ·ik)−2 (−1)^N|SB|Coef9th(ΓN) =

Coef9th(Γ_{N,N ,···,N}) + ∑

(i₁,···,i_k)∈A₁

Coef5th(AN−i₁· · ·AN−i_kΓ_{N,i1,···,i}

k)

 + ∑

(i1,···,i_k)∈A2∪B1

Coef1th(AN−i₁· · ·AN−i_kΓ_N,i

1,···,i_k)

=|SB|(|SB|+ 1)

2 +

∑k ℓ=1

(−1)^ℓ|SB|p⁽¹⁾_ℓ +

k+1∑

ℓ=2

(−1)^ℓp⁽²⁾_ℓ

=^|SB|(|S₂^B|+1)−eB|SB|+^eB(e₂^B−1)−τB

ただし、p⁽¹⁾_ℓ ,p⁽²⁾_ℓ はそれぞれ、ℓ=i1+· · ·+ik を満たすA1,A2の元の個 数。eB,|SB|, τB:=#(edge, vertex, triangle in G^′_B)

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary

Thm1(N)

K:alternating knot J_2,K(q) .

=₃J_3,K(q)となるKはunknotに限る。

Thm2(N)

N≥3 L：A-adequate link D:A-adequate diagram of L

Coef1−th(JN,L(q)) = (−1)^{(N−1)(|SA|+ω(D)+1)}

Coef2−th(JN,L(q)) = (−1)^{(N−1)(|SA|+ω(D)+1)}(−eA+|SA| −1) Coef_3−th(JN,L(q)) = (−1)^{(N−1)(|SA|+ω(D)+1)}

(1

2(eA− |SA|)²+1

2(eA− |SA|)−τA) ただし、ω(D)はDのwrithe,eA,|SA|, τAはそれぞれreduced A-graph G^′_Aのedge, vertex, triangleの数とする。

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary

Step1:JN,L(q)の計算をJ_N,D(A),Γ_N に帰着

Step2:ΓN をΓ_N,i

1,···,i_kで展開 Step3:Γ_N,i

1,···,i_kはadequate Step4:最低次数を比較

Coef_i−th(JN,L(q))を得る(i= 1,2,3) Thm1(N)

K:alternating knot J2,K(q) .

=3J3,K(q)となるK^はunknot^に限る。

Introduction Proof of Thm1 Proof of Thm2 summary

Question

K:alternating knot J3,K(q) .

=4J4,K(q)となるKはunknotのみである。

Question

K:alternating knot JN,K(q) .

=N+1JN+1,K(q)となるK^はunknot^{のみである。}