4. 複素数とその性質 , 4.1 複素数の計算

基礎数学 No.10 2006. 6.26

4. 複素数とその性質 , 4.1 複素数の計算

¶ 虚数単位 ³

2乗すると−1となる数を虚数単位といい,iで表す. つまり,i²=−1である.

µ ´

例題 26 i³,i⁴を計算しなさい.

¶ 複素数 ³

実数a,bを用いてz=a+biと表される数zを複素数という.

• aをzの実部,bをzの虚部という.

• 複素数z=a+biに対して,a−biをzの共役複素数といい, ¯zで表す.

• 複素数z=a+biに対し,√

a²+b²をzの絶対値といい,|z|で表す.

µ ´

例題 27 3−5iをzとする. 次を求めなさい. (1)zの共役複素数z¯

(2)zの絶対値|z|

定理 8 (複素数の計算) z=a+bi, w =c+diに対し,

• z+w= (a+c) + (b+d)i, z−w= (a−c) + (b−d)i

• z×w= (a+bi)(c+di) =ac+bd·i²+ad·i+bc·i= (ac−bd) + (ad+bc)i

• z÷w= a+bi

c+di ^{（分子分母に}c−diをかけることで分母を実数にできる）

例題 28 次の計算をしなさい. (1)i(7−8i) + (3−i)(2 + 5i)

(2) (5−i)÷(6 +i)

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基礎数学 No.10 2006. 6.26

4. 複素数とその性質 , 4.1 複素数の計算

問題 27 次の計算をして,なるべく簡単にしなさい. ただしiは虚数単位を表す. (1)−2(2 +i)−4((3−i)−5(i+ 3i))

(2) (1 +√

2i)(2−√ 2i)

(3) 1 +i

3 +i−2 +i 1−i

(4) 1

(1 +i)(2−i)

(5) 3 + 6i

−i

問題 28 次の式においてz= 1 +i ,w= 2−iと代入し計算しなさい．

(1)zw¯−zw¯

(2)|w−z+ 1|

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