②・）早・．一撫・一瓢

NDC 414．7

Closed orientable hypersurface with constant mean curvature in． a Riemann space

   Takazi MmoRo

（Received August 31， 1987）

        1．Conf（｝rmal Km量ng vector

  Let us denote by G a continuous． one para−

meter transformation group of a Riemann space Rπgenerated by infinitesimal transformation．．

（1．1．） ili＝xi十 ξi（x）δτ

If the generating vector field ξzsatisfied the equatlon

（1．2） レgが＝ξi；ノ十．ξヵi＝2φ働      （ξi＝9毎ξつ

for a scaler fieldφ． 奄氏@Rn，ξ銭s called a confor−

mal Killing vector field and G is called a con−

formal transformation group， wh母re L． denotes

      ど

operation of L童e derivation with respect to the vector field ξt． If φ ＝：c（c＝constant）， then

ξtis called a homothetic Killing vector field and G is called a homothetic transformation group． If φ van孟shes identicaly， then ξtis ca1−

led a Killing vector field and G is called a motlon．

  A串 well−known， with．respect to the in−

finitesimal transformation（1，1）．we have

（13）？．．「1・結9ゴゐ｛（息差）・・＋（レ9・h）：k       一（極）・・｝

（1・4）叫・〒．（躬・）・・一（？FS，） ，k

（1・5）ξ1・、々一叫一R知ξ

  In particular， ifξzis a conformal Killing vec−

tor field， then by means of（1．2），（13）， and（1．4）

we have

（1・6）㌃R秘・＝δkφj，，一δ7φブlk＋φ惣

      一φlzgノゐ

whereφゴ＝φ∫ゴandφ1＝gzJφ∫ゴ．From（1．6＞it follows that

（1．7）レR」k＝（2一・）φ・・k一φligj・

（1・8）｝R 一2（1一・）φf一2φR

Where R顕and R denote the Ricci tensor and the sca1（lr curvature respectively．

      2．The mean curvature

．We shall denote by x1， x2，．．．， xn the roots of

      ほ      

the determinant equation

（2．1） det（bαβ 一xgαβ）＝0

。。（・一ゴ2，．，。）i，．6。11。d th。 p，i。。ip。1

サ      ヒ

curvature of Vm for the normal vector nz． Theソ

一th mean curvature of｝1。 Of Vm with respect to

ni is defined to be theンーth elementary symmet．

ロ

ric function of x1， x2，     ，xm divided by the

number of tenns．

  Thus we have

②・）早・．一撫・一瓢

（…）H，・一m（認一1）。P、5・苓・

      一．m（ 1m−1）四一ゆ

and in general we have

（・・4）早・一（毒）熟，．…，…．

         一（1mソ）（韓∴・・韓）（・≦・≦・）

where the symbol（pユ， p2，   ，pのmeans alter−

nating in リ induces．

     By means of（2．2）and（2．3）we get

（…）脚・．一漏可蒔，（5・一苓・）2

And furthermore we have

       （m」・一1）i

（2・6＞凹・．．噂・＋・＝レ！盃m！

津山高専紀要 第25号 （1987）

         Σ（Xα1−Xα2）2Xα3Xα4，＿．．吻Xαv＋1       aくa〈…くaP  P  P P   P

      （！≦り≦．m−1）．

      If we put

・i一 ?E・β・HE，

      リキ 

from H．ムβ＝．Σ．bαβnt（Gauss formula）and

       P≡m十l P      P

（2。3）we get

（・〃）・・一，業1（卿）一，二三1脚

His called the mean curvature vector and the mean curvature H！of V is defined to be the length

of Hl， i．e

       ヒ   ヒ  エ

     H・＝（9ii Ht Hノ）T

3．Closed orientable hypersurface with con・

   stant meah curvature in a Riemann space

  Let Vm be a closed orientable hypersurface in an（m十1）dimensional Riemann space Rm＋1， In this case， at eaCh poillt on Vm the unit耳ormal vector is determi耳とd uniquely．．Then we denote by n and b the unit nornlal vector and the second fundamental tensor of Vm respectively．

Then respective equation，．we immediately have

（3．1）

（3．2）

（3．3）

（3．4）

（3．5）

9ガー9αβB菱B多＋nZ・・

giJ・ ＝＝ gapBS・ Be・ ＋pinj

Hap＝baBni

nlla ＝ 一be BA

R〃瀕B5B2B彦Bタ

   ＝ Ra aB7 一 （bap b67 一 ba  7 bo p）

Rf罎nゴB農BS Bタ＝bαβ；γ一bα．γ；β   Through6ut the presept section the Latin iri−

dices i， i k， ．．．．．． run from 1 to ． m十1 and the Greek indices a， B．， 7， ．．．．，． run from 1 to m，

  In this section we consider the relation of the Killing vector 6   and mean curvature H， in the closed orientable hypersurface VM in Riemann space RM＋ i． By virtue of Greens theorem we

have

X．n・ f・ adv ＝ o

If we put

      n．・． ＝＝ 6．iB3

and them

      77 f． ． ＝＝ gaBn．，B

       ＝b宴ρ十ξらゴgαβBぎB畜

（3．6） 7 f， ． ＝ mHiP ＋ 一1］一ga．P B3BA  llJgij

Integrating both menbers of （3．6） over the whole VM we obtain

ムmH・・＋去・・βB差B細・・一・．

then we get   Therorem 1

Let VM be a closed orientable hypersurface in RM＋i．admitting a continuous one ・par ≠高?狽?

transformation by （1．1）， then

か1pd・＋、論・βB興・、d一・

where P ＝ n 6i and dv is the value element of Vm．

  From the theorem 1 we get   Theorem 2

Let VM be a closed orientable hypersurfaces in RM＋i admitting a conformal Killing vector field

6 ， then

（…）か・…＋∫。φ・・〒・

（proof） ．

When 6 i is ．a conformal Killing vector field， by means of （1．2）

9αβBぎB癌・一2mφ

then，

21．IT ．LgaB BA B； ］i」gi」・ dv ＝ X．￠ dv

  Next we put

      η・・β＝訊・・β｝

where

      ηα＝b；Bよξi

      ほ 

Then， it follows that   η・∫β＝（η       ほ 

      （2｝

       ＝（b；B3

7．， a，p C2）

 ．εξ

．露rB

rαb

＝

竹7麟

a）yB 一（7 a）；B

6i）；B   （b ．r B f 6，）；B

Closed orientable hypersurface with constant mean curvature in a Riemann space

       ＋b二B差B彦ξ痘一b乙∫βB多ξi−b乙bγβρ        一b乙BタB畜ξゴ∫ゴ

ラα∫。一9αβラ。、β

       ±gaP （bl ，BB3 6 i＋ bl b．pP HL b：

         BぎB畜．ξi j）一gαβ（b乙βB多ξi        十b護bγβρ†b乙．B3B畜ξ勾ゴ）．

Since we have

H、一 ?Db暮

H・一 ^戟i 1香￨1）面一・鋤

（3．8） 7a，．

Consequently， integrating both memb over the

theorem， we get the following theorem   Theorem 3

Let VM be a closed orientable hypersurface in RM＋i admitting a continuous one parameter transformation by （1．1） then

（・．・痂・〜鴫d・＋血（瓢一11・1…

     ＋XgiHigaB BR Bfi6i，」dv  一Xg Pg7  b．a ，p

     ・紬一桑・βB碑晦、d・一9

  Theorem 4

Let VM be a closed orientable hypersurface in RM＋i admitting a conformal Killing vector field

6 ， then

（3・10） ，（］｛ggaB Hi ， BBA 6i dv ＋ m（m−1）．L−2Pdv ．

＝＝@mgaBH，，flBA 6i＋m（m 1）H2P 十mHlgαβB菱B多ξ勾ゴ

ー gaB g7S b−tv． ，．p BS 6i 

一9αβB碑b乙ら

；mgαβHi∫βB菱鳥十m（m−1）H2ρ

＋号・・9αβB浅B癌

 gaBg7a b．a ， p BJ 6i

一÷・・βB四脚

       ers of （3．9）

whole． VM and applYing Greens

X｛ggaB Hi，BB

＋ m（m−i）．k￠．Hidv

       T． MIDORO

      −XaaBg7ab．e ，p． BP 6idv ＝ O

（proof）

Frorn （1．2） 1・gi，一＝ 6i；j十 6j； i＝2￠gi）一

      号H・glβ脇癌一m乞≠・・

      音・・β咄・：．協一mφHl

theri， we get （3，10）

  Theorem 5

Let VM be a closed orientable hypersurface in a constant curvature space Rm＋1admittlng a con−

formal Killing vector field 6i， then

（3，11） ．Lu，pdv ＋X￥，￠dv 一 o

（proo f）

By virtue of （3．5） and constant curvature space       bαβ∫γ一bαγ∫β＝＝R吻々nゴB2B畜Bタ＝・O

then，

      gaP g7a b．s，B BP6， 一一 gaB g76 bap，6 BJ6i        ＝ t）亀γ9γδB多ξ，

       ＝ mHi，p gaB B3 6，

From （3．10）

愈9αβH・、βB即・一かH・、β9αβ鴫d・k・

we get （3．11）．

  Theorem 6

Let VM be a closed oriengable hypersurface in a constant curvature space RM＋i admitting a con−

formal Killing vector field 6 i． lf has fixed sign on VM and Hi ＝ constant， then every point of VM is umbilic．

        1

（proof）

Multipiyi．ng （3，7） by Hi ＝＝ constqnt we get      カH子…＋f．H・φ・・一・

On the other hand， from （3．11） we get      X．H2dv ＋X．H，￠dv 一＝ O

Then， by means of the above two relations we have

（3．12） X．（H？ 一 H，） Pdv ＝ O

      津山高専紀要

From （2，5） and our・assumption ．forP， （3，12） holds if and only if H？ 一 H2 ＝ O at every point of VM．

Then we get

      Xl ＝ X2 ＝＝ ． ＝ Xm at every point of VM．

Next 翌?@cosider that RM＋i is Einstein space，

then we obtain the following tWo theorem， The

first is

  Theorem 7 

tor fierd 6 Z， then

XSφ＋聴）・・一・．

（proof）

We put

（3．13） Lα＝B賜ξノ

Differentiating （3．13） covariantly， we obtain

（3．14） Lα∫β＝bαβRがnゴξゴ十BぎR癖Blξ」

       十RijB差B多gゴθξ雄 Multyplying （3．14） by ggP and

     Rij＝一iirl；一Tt gi」  （k ＝＝ constant）

we obtain

（・・15）．噺m隼ユ面ξ・＋9〃B凄曝・）

       ÷1爾ξ、＋mφ）

       mk  ．．   ，        ＝m．＋1（φ＋H・ntξ・）

By virtue of Greens theorem we hav6

       X．La，．dv−o ／・ ． ．，

Consequehtly， @integrating both @menibers of・

（3．15） over the whole VM， we 6btain

（・．16）X！（φ＋賦）・・一・

  Theorem 8

Let vM be a closed orientable hYpersurface in Einstein space RM＋i admitting a． conformal Killing vector field 6i， and

第25号 （1987）

       （2） nt6i has fixed sign on VM   then， VM is umbilic．

  （proof）

  We put

  （3．17） Lα＝b多B浅Rガξゴーb乙B多R々ξゴ   and differentiate． the above equation covariantT   正y，we get

  （3．18） Lα∫β＝b貌βBぎRがξゴ＋bζbαβRゴブnゴξゴ          十bζB3R髄B汐ξゴ

         ＋bζB菱Rウξ騒B窪一ba∫βB多Rがξブ          一b乙 bγβniRij eゴーb乙BタR誘々Bβξ∫

         一b乙B多Rかξ襲B言   VM is Einstein space， then

       Ri」  ＝ 一ill−1；一Tt gi」  （k ＝ constant）

We sgbstitute above  equation to （3．18）， then

（3．19）L・、β一．皿旱1（・；、・BA・e，・＋・bl・b・β義

       十b多ξ．麺BぎB三一b乙βB多ξi        −b乙bγβni（？i−b乙ξ，，， B多B汐）

Multiplying （3，19） by g P and Hi ＝ constant    （3．20） Lf． a ＝： g P La，p

      ㌔旱、｛（b：・β一・紬・iξi

      ＋b多ξ罐gαβB浅B彦一b護 6i，k gαβ Bj・ B彦｝

  ？ is conformal Killing vector field

．（・・21）L3・≒隼1！ゆ71聴

       ＋ （in2−ln）￠Hil ．

By viftue．Greens theorem we have

か・d・一・

Consequentfy， integrating both・ membef of

（3．21） over the whole VM， we get

（3・22） X．（￠Hi ＋ H2ni6i） dv ＝＝ O

Since Hi ＝＝ constant， we obtain from （3．16）

（3．23） f．．（￠Hi ＋ H？ni6i） dv ＝ O

From． （3．22） and （3．23）， we get

（3．24） X．（Hi 一 H2） niei dv ＝ o

Closed orientable hypersurface with constant mean curvature in a Riemann space T． MIDORO

then ni 6 i has fixed sign on VM， （3．24） holds if and only if

      H？ 一 H2 ＝O

at every point of VM． Therefore we mugt have

      Xl＝X2F： ＝Xm・

at every point on VM．

1）

2）

3）

． 4．）

5）

6）

7）

      Referrence

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