2.5 (Gauss) (flux) v(r)( ) S n S v n v n (1) v n S = v n S = v S, n S S. n n S v S v Minoru TANAKA (Osaka Univ.) I(2012), Sec p. 1/30

(1)

Minoru TANAKA (Osaka Univ.)

2.5 ガウス

(Gauss)

の法則

2.5.1

ベクトル場の面積分と流束

(flux) 各点での速度が

v

_(r)

₍

ベクトル場

₎

で与えられるような流体を考える．小さな面

_∆S

を考え，その法線方向の単位ベクトルを

n

とする．単位時間に

_∆S

を通って流れる流体の量は，

v

n を

v

の

n

方向成分として，

v

n

∆S = v · n ∆S = v · ∆S,

n

∆S ≡ ∆S.

(1) となる．

n

v

∆

S

n

v

∆

S

電磁気学 I(2012), Sec. 2. 5 – p. 1/30

(2)

一般の面

S

について，単位時間に

S

を通って流れる流体の量は，

S

を多数の小さな面

_∆S

i に分割して考えれば，

lim

∆Si→0

X

i

v

_(r

_i

_{) · ∆S}

_i

₌

Z

S

v

_{(r) · dS.}

(2) これを

S

を通る流束

(flux)

と言う． S ∆S

(3)

Minoru TANAKA (Osaka Univ.) 2.5.2

ガウスの法則

(

積分形

)

•

流束の考え方を電場にも当てはめてみる．

(

実際には何も流れていないけれども．

)

•

正の点電荷

q

が

1

個ある場合．

S

E

r

1 1 2 2 2 1

q

図のような半径

r

₁ と

r

₂ の球面の一部で挟まれた領域の表面

S

(

閉曲面

)

を考える．

S = S

₁

+ S

₂

+

側面 (3) 側面を通る電場は明らかにゼロ．

Z

S

E

_{(r) · dS =}

Z

S1

E

_{(r) · dS +}

Z

S2

E

_{(r) · dS}

(4) 電磁気学 I(2012), Sec. 2. 5 – p. 3/30

(4)

閉曲面の場合，法線ベクトルは外向きにとる．

Z

S1

E

_{(r) · dS = −}

q

4πε

₀

1 r

₁2

Z

S1

dS

(5)

Z

S2

E

_{(r) · dS =}

q

4πε

₀

1 r

₂2

Z

S2

dS

(6)

R

S1

dS

R

S2

dS

=

r

2 1

r

₂2 (7) ゆえ，

−

Z

S1

E

_{(r) · dS =}

Z

S2

E

_{(r) · dS}

(8) すなわち，

Z

E

_{(r) · dS = 0}

(9)

(5)

Minoru TANAKA (Osaka Univ.) 次に，中心部分の角度が小さいとして，

S

₁，

S

₂ が動径について

“

傾いて

”

いる場合を考えよう．

S

E

r

1 1 2 2

q

n

θ

∆

∆S

i の面積は傾いていないときの

1/ cos θ

倍になる．

_∆S

i は小さいから

E

の値はその上で一定とみなせ，

E

の法線成分は

E

n

= E·n = E cos θ

．よって，

− E · ∆S

1

= E · ∆S

2 (10) 式

(9)

が成り立つ．電磁気学 I(2012), Sec. 2. 5 – p. 5/30

(6)

内部に電荷

q

を含まないような一般の閉曲面

S

についても，図のような小錐体の集まりを考えれば，下面と上面で流束は打ち消し合う． S q

Z

S

E

_{(r) · dS = 0,}

_S

は

_q

を含まない閉曲面． (11)

(7)

S

が

q

をその内部に含む場合，明らかに

S

₁ と

S

₂ の寄与は打ち消さない． q S S E E 1 1 2 2 そこで，

q

を囲む小さな面

S

′ を考え，

S

の内部から

S

′ の内部を取り除く． S S’ q n n n S i e 電磁気学 I(2012), Sec. 2. 5 – p. 7/30

(8)

この

S

と

S

′ に挟まれた領域については，

(

q

を含まないから

)

Z

S+S′

E

_{· dS = 0,}

(12) が成り立つ．

(

このとき，

S

′ の法線ベクトルは内向きの

_n

i．

)

S

′ の法線ベクトルを外向きの

_n

e にとることにすれば，

Z

S

E

_{· dS =}

Z

S′

E

_{· dS.}

(13)

(

すなわち，

S

を通る流束は

S

′ を通る流束に等しい．

)

S

′ の形は任意だから，半径

r

の球面を考えることにすると，

Z

S′

E

_{· dS =}

1 4πε

₀

q

r

2

4πr

2

₌

q

ε

₀

(= N ⇐

電気力線の本数

).

(14)

(

うまく，

r

に依らない数になっている．

)

(9)

Minoru TANAKA (Osaka Univ.) 式

(13)

より，

Z

S

E

_{· dS =}

q

ε

₀

,

S

は

q

を含む閉曲面

.

(15) まとめると，

Z

S

E

_{· dS =}

0,

q

が

S

の外部にあるとき

q/ε

₀

,

q

が

S

の内部にあるとき (16)

(

S

は任意の閉曲面．

)

電磁気学 I(2012), Sec. 2. 5 – p. 9/30

(10)

•

点電荷が複数あるとき．

E

₌

X

i

E

_i (17) から，

Z

S

E

_{· dS =}

X

i

Z

S

E

_i

_{· dS =}

X

i∈ 内部

q

i

ε

₀

=

Q

_int.

ε

₀

,

(18)

Q

_int.

≡

X

i∈ 内部

q

i

= S

の内部にある電荷の和

.

(11)

•

連続的な電荷分布の場合．

(

和を積分に置き換えればよい．

)

Z

S

E

_{· dS =}

Q

int.

ε

₀

,

Q

int.

≡

Z

V

ρ(r) dV

(19) ただし，

V

は

S

の内部の領域．

•

まとめ積分形のガウスの法則

Z

S

E

_{(r) · dS =}

Q

int.

ε

₀

Q

int.

≡ S

の内部の電荷 (20)

1/r

2 則の帰結電磁気学 I(2012), Sec. 2. 5 – p. 11/30

(12)

•

例

1:

一様な球状電荷分布原点

O

を中心とする半径

a

の球の内部に電荷が一様に分布しているとする．全電荷を

Q

，

r ≤ a

での電荷

(

体積

)

密度を

ρ

とすると，

Q =

4π

3 a

3

_{ρ .}

(21) 中心

O

，半径

r(> a)

の球面を

S

としてガウスの法則を適用すると，

r

a

O

Z

S

E

_{(r) · dS =}

Q

ε

₀ (22)

(13)

Minoru TANAKA (Osaka Univ.) 対称性から，

E

_(r)

は動径方向を向き，

_S

上では一定の大きさ

_E(r)

を持つから，

Z

S

E

_{(r) · dS = E(r)}

Z

S

dS = 4πr

2

E(r)

(23) よって，

E(r) =

Q

4πε

₀

1 r

2

,

r > a .

(24)

(

中心に点電荷

Q

があるときと同じ．

)

r < a

のときは，ガウスの法則は，

Z

S

E

_{(r) · dS =}

1 ε

₀

4

3 πr

3

_{ρ .}

(25) 左辺は上と同じで，電磁気学 I(2012), Sec. 2. 5 – p. 13/30

(14)

Z

S

E

_{(r) · dS = 4πr}

2

_{E(r) .}

(26) よって，

E(r) =

ρ

3ε

0

r =

1 4πε

0

Q

a

3

r .

(27) まとめると，

E(r) =











Q

4πε

₀

r

a

3

,

r < a

Q

4πε

₀

1 r

2

,

r > a

(28) EHrL

(15)

•

半径

a

のうすいい球殻上に一様に分布した電荷の場合は，

E(r) =











,

r < a

,

r > a

となる．

(

全電荷

Q

．

)

a

Q

電磁気学 I(2012), Sec. 2. 5 – p. 15/30

(16)

•

例

2:

一様な直線状電荷分布

(cf. §§ 2. 3. 3

例

2)

電荷の線密度を

λ

とし，直線電荷を中心とする半径

R

，長さ

L

の円柱の表面

S

を考える．

E

_(r)

は中心軸に垂直で，軸対称性より，中心軸からの距離

R

のみの関数のはず．ガウスの法則より，

Z

S

E

_{(r) · dS =}

λL

ε

₀

,

(29) 左辺

= E(R)

Z

S の側面

dS = 2πRLE(R) .

よって，

E(R) =

λ

2πε

₀

1 R

.

(30)

(§§ 2. 3. 3

例

2

と同じ結果

)

．

L

R

S

E(R)

(17)

•

例

3:

一様な平面状電荷分布無限に広い一様な平面電荷分布

(

電荷の面密度

σ

)

を考える．電場は面に垂直で面の上下で反対向き．また，面上の位置に依らない．面を垂直に貫く円柱

(

底面積

A

)

を考え，その表面

S

についてガウスの法則を用いると，

E

A

Z

S

E

_{(r) · dS =}

Aσ

ε

₀

.

(31) 側面は積分に寄与しないから，底面での電場の大きさを

E

とすれば，

E A(

上面

) + E A(

下面

) =

Aσ

ε

₀

.

(32) 電磁気学 I(2012), Sec. 2. 5 – p. 17/30

(18)

よって，

E =

σ

2ε

₀

.

(33)

(19)

•

静電場内での釣り合い静電場内でクーロン力が釣り合う点

P

₀ を考える．このような点が安定がどうか，すなわち，この点に正の試験電荷

(test charge

，静電場を変えないような仮想的な点電荷

)

を置き，すこし位置をずらしたときに復元力が働くかどうか，を考える．

P

₀ を囲む仮想的な小さな面

S

を考えると，もし

P

₀ が安定な釣り合い点ならば，

S

上では常に

P

₀ 方向

(

内向き

)

の電場

E

があるはず．このとき，

Z

S

E

_{· dS < 0 .}

(34) つまり，ガウスの法則より

S

内には負の電荷がなければならない．

S

を無限小にとると，

P

₀ に負の電荷がなければならない．従って，電荷のない場所では安定な釣り合い点はない．

-q

P

₀

P

₀

E

S

電磁気学 I(2012), Sec. 2. 5 – p. 19/30

(20)

E

_{= −∇φ}

であったから，安定な釣り合いの点

P

₀ では，

E

_{= −∇φ = 0}

で，

_φ

は極小値または極大値をとる．あるいは，

φ(P ) = −

R

_PP 0

E

_{· dr}

で，安定な釣り合いの点からどの方向に向かってこの積分をしても，

P

₀ の近傍では

φ

は増えるだけか減るだけである．

E

_{· dr < 0 ⇒ φ(P ) > 0 .}

(

φ(P

₀

) = 0

とした．

)

つまり，安定な釣り合いの点では極小値または極大値をとる．

P

₀

E

φ

P

₀

_E

P

dr

電荷のない場所では安定な釣り合いの点がないということは，ポテンシャルの言葉でいうと，電荷のない領域ではポテンシャルは極小値も極大値もとらない，ということになる．

(21)

2.5.3

ガウスの法則

(

微分形

)

•

ベクトル場の発散

ベクトル場

A

_(r)

について

∇

_{· A(r)(= divA) =}

∂A

x

∂x

+

∂A

y

∂y

+

∂A

z

∂z

(

スカラー量

)

(35) を

A

の発散

_(divergence)

という．

•

ガウスの定理

◦

図のような小さい直方体

V

₀ を考える．この直方体の表面

S

₀ を通るベクトル場

A

の流束を考えよう． n n ( ) ( ( ( ) ) ) x₀_, x₀ x₀ y 0 y 0 y 0 z₀ z0 z₀ x₀ y 0 z0 , , , , +∆ +∆ +∆ z , , x , y Sz0+∆z Sz₀ 電磁気学 I(2012), Sec. 2. 5 – p. 21/30

(22)

まず，

z

軸に垂直な面

S

z0

(

下面

)

と

S

z0+∆z

(

上面

)

について考える．

S

z0 を通る流束は

(

法線ベクトルの向きに注意して

)

，

−

Z

S_z0

A

z

(x, y, z

0

) dxdy .

(36)

S

z0+∆z を通る流束は

Z

S_z0+∆z

A

z

(x, y, z

0

+ ∆z) dxdy .

(37) これらの和は

(

_∆V

₀ を小直方体の体積として

)

，

Z

{A

z

(x, y, z

0

+ ∆z) − A

z

(x, y, z

0

)} dxdy

(38)

≃

Z

∂A

z

(x, y, z

0

)

(23)

x

軸，

y

軸に垂直な面についても同様．よって，小直方体の表面から出る流束は，

Z

S0

A

_{(r) · dS ≃}

∂A

x

∂x

+

∂A

y

∂y

+

∂A

z

∂z

∆V

0 (39)

= (∇ · A)|r

_=(x₀,y0,z0)

∆V

0

.

ある点での

∇

· A

はその点の近傍での単位体積あたりの外向きの流れ

(

わき出し

)

を表わす．

◦

流束の分割

:

図のような

2

つの小直方体

V

₁

, V

₂ を考える．

V

₁₍₂₎ の表面

S

₁₍₂₎ の流束は，

Z

S1

A

_{· dS = ∇ · A ∆V}

₁

_,

(40)

Z

S2

A

_{· dS = ∇ · A ∆V}

₂

_.

(41)

_V

1 V

2 n

₁

n

₂

電磁気学 I(2012), Sec. 2. 5 – p. 23/30

(24)

V

1 と

V

2 を合わせたものを

V

1+2，その表面を

S

1+2 とすると，

V

₁ と

V

₂ の境界面での面積分は打ち消し合うから

(

n

が逆向き

₎

，

Z

S1

A

_{· dS +}

Z

S2

A

_{· dS =}

Z

S1+2

A

_{· dS .}

(42) よって，

Z

S1+2

A

_{· dS = ∇ · A ∆V}

₁

_{+ ∇ · A ∆V}

₂

_.

このことから，一般の

(

小さくない

)

領域

V

を小直方体に分割すると，

V

の表面を

S

として，

(

_∆V

_i は

i

番目の小直方体の体積

)

Z

S

A

_{· dS =}

X

i

∇

_{· A ∆V}

_i

₌

Z

V

∇

_{· A dV}

₍

体積積分

₎

(43)

(25)

◦

まとめると，ベクトル場

A

_(r)

について，領域

V

とその表面

S

(

あるいは閉曲面

S

とそれに囲まれた領域

V

)

を考えると，

Z

S

A

_{(r) · dS =}

Z

V

∇

· A(r) dV

(44) これをガウスの定理という．電磁気学 I(2012), Sec. 2. 5 – p. 25/30

(26)

•

微分形のガウスの法則

◦

積分形のガウスの法則は

Z

S

E

_{(r) · dS =}

Q

int.

ε

₀

=

1 ε

₀

Z

V

ρ(r) dV .

(45) これは，閉曲面

S

上の電場とその内部の電荷との関係を表わす．一般に電荷と面は離れていてもよいから

(§§2. 5. 2

の例

)

，近接相互作用の考え方になっていない．

◦

ガウスの定理を用いると，

Z

S

E

_{(r) · dS =}

Z

V

∇

_{· E(r) dV .}

(46) 従って，式

(45)

は，

Z

∇

_{· E(r) dV =}

1 Z

ρ(r) dV .

(47)

(27)

V

は任意の領域だから，これが成り立つためには，

∇

_{· E(r) =}

ρ(r)

ε

₀ 微分形のガウスの法則

.

(48) 点

r

での電荷密度が同じ点

r

での電場の

_“

微分

_”

を決定していると考えられるから，近接相互作用の考え方になっている．例えば，