今回のメニュー：指数関数と対数関数の微分（教科書 公式
5.6
）
1.y = e
x⇔ y = log x = log
ex
2. (e
x )′= e
x 3. (log x
)′=
1
x
1
Warming Up
問 1 上下の式で、ペアになるものどうしを線で結びなさい。u = log
aM
⇔ a
u= M
· · ·
これも思い出して
log
a1
a
0a
1a
r+s◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
0
a
r· a
s1
a
問 2 だまされた♥ と思って、上の公式を使い以下の関数の微分を求めなさい。なお、必要ならば、積の微分 公式を使いなさい：(
f · g)
′= f′· g + f · g′ 1.f (x) = x
· e
xf
′(x) =
2.f (x) = x
· log x
f
′(x) =
2
接戦の傾きからでる自然対数の底
e
2.1
デッサンで実感
♥
♥♥ 問 3 (接線) 下表 1∼2 を見ながら、下図 1∼2 にふたつの曲線のグラフを完成させ、さらに、x-切片と y-切片 で接線 を描きなさい（2 本）。って、ほとんど描いてあるも同然なので、なぞりなさい（接線はできれば定規 を使って）。 x −2 −1 0 1 2 y = log2x y = 2x 0.25 0.50 1.00 2.00 4.00 x 表 1: y = 2x, y = log2x x −2 −1 0 1 2 y = log3x y = 3x 0.11 0.33 1.00 3.00 9.00 x 表 2: y = 3x, y = log3x x y -6 a a b a a aa b a a p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 図 1: y = 2x, y = log 2x x y -6 a a b a a aa b a a p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 図 2: y = 3x, y = log 3x2.2
仮説
y = ax, y = logaxの底 a をうまく選べば、y = axの y-切片と、logaxの x-切片に、傾きが 1 の接線が引 ける。問 3 の結果から、その a の値は
2.3
エクセルの図で確認
図 3: y = 2x, y = log 2x 図 4: y = ex, y = log x 図 5: y = 3x, y = log 3x 図 6: y = 4x, y = log4x2.4
ソリューション：どうしてもちゃんと知りたい人は数学サプリか教科書 4.6 節を
定義 1 次の値を自然対数の底といい、記号 e で表す∗：e = lim
h→0(1 + h)
1 h= lim
n→∞(1 +
1
n
)
n(1)
この e が仮説 2.2 のソリューション。 ∗円周率を π（パイ）= 3.141592· · · で表すのと同じ感覚。なので単なるアルファベットのイーではないという気持ちが大事（読み方は 普通にイー）。実際の値は（1）式でなくても、=EXP()ってエクセルに仕込んで、近似値を知ることができる。e = 2.71828· · ·3
自然対数の底を用いた特別な関数
1.
指数関数：
e
x2.
対数関数：
log x := log
ex
· · ·
通常底の
e
を省略する：自然対数
†3.1
指数関数の微分
定理 1 f (x) = ex とする。このとき、次の微分公式が成立する。f
′(0) = 1
(2)
f
′(x) = e
x· · ·
すなわち
(e
x )′= e
x(3)
証明. (2)式 ：e が仮説 2.2 のソリューションであるから。 (3)式準備 ：f′(a)は x = a での接線の傾き。なので、f′(a)· h ≒ f(a + h) − f(a) (4)
特に f′(0)· h ≒ f(h) − f(0) = eh− 1 (5)
(3)式 ：
f′(a)· h ≒ f(a + h) − f(a) (6)
= ea+h− ea= ea· eh− ea= ea(eh− 1) (7) ≒ ea· f′(0) = ea. (8) 従って、f′(a) = eaすなわち、f′(x) = exとなる。 // †log 10M（底が 10 の対数）を常用対数という。自然対数と常用対数を特に区別したい時、自然対数を ln x と書くことがある。
3.2
微分係数の図解：役に立つ一次式
めんどう♠ かんたん♥f (a + h)
− f(a)
≒
f
′(a)
· h
r a a + h⇔
½½ ½½ ½½ ½½ r a a + h3.3
対数関数の微分
問 4 下図を参考にして、指数関数と対数関数とで対応する関係を考えなさい。 関数 f (x) = ex g(x) = log x 切片（軸との交点） (0, 1) ( , ) 切片での接線の傾き f′(0) = 1 g′( ) = 図 7: 指数関数と対数関数の対称性 定理 2 g(x) = log xとする。このとき、次の微分公式が成立する。g
′(1) = 1
(9)
g
′(x) =
1
x
· · ·
すなわち
(log x
)′=
1
x
(10)
証明. (9)式 ： -6 ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ f (x) = ex g(x) = log x s s ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ I 回転 y = x 対称性 • f(x) = ex i y切片：(0, 1)⇔ e0= 1 ii 接線の傾き： f′(0) = 1 • g(x) = log x i x切片：(0, 1)⇔ log 1 = 0 ii 接線の傾き：g′(1) = 1 (10)式 ： -6 ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ f (x) = ex a b g(x) = log x a b s s ¢¢ ¢ ©©© I 回転 y = x 対称性 • f(x) = ex i y = ex ii 接線の傾き： f′(x) = a b = e x • g(x) = log x i y = log x ⇔ ey= x ii 接線の傾き：g′(x) = b a = 1 ey = 1 x //
4
指数関数・対数関数の微分∼トレーニング∼
4.1
積の公式を使った練習：(f
· g)
′= f
′· g + f · g
′1.
f (x) = x
· e
x· · · 例題
f
′(x) = (x)
′· e
x+ x
· (e
x)
′= e
x+ x
· e
x= e
x(1 + x) = e
x(x + 1) //
2.
f (x) = x
2· e
xf
′(x) =
3.
f (x) = e
2x= e
x· e
xf
′(x) =
4.
f (x) = e
3x= e
2x· e
xf
′(x) =
5.
f (x) = e
4x· · ·
小問 3, 4 から類推して
♥
f
′(x) =
6.
f (x) = 3e
3· x − e
3xf
′(x) =
7.
f (x) = x
· log x
· · · 例題
f
′(x) = (x)
′· log x + x · (log x)
′= log x + x
·
1
x
= log x + 1 //
8.
f (x) = x
2· log x
f
′(x) =
9.
f (x) = e
x· log x
f
′(x) =
10.
f (x) = log x
α= α
· log x
· · ·
例題
′06
年度「社会政策」期末試験改題
f
′(x) = α
· (log x)
′= α
·
1
x
=
α
x
//
11.
f (x) = log x
12=
1 2· log x
f
′(x) =
12.
f (x) = log x
12− 3x
· · ·
教科書 練習問題 5.4 類題
f
′(x) =
5
数学サプリ：指数関数と対数関数の微分公式（ほんのすこし厳密な）証明
数学好きなひとはここから楽しんで下さい！そうでない人は無理はせずに！でも理屈があることを尊重して ください♥5.1
予備的性質
性質 1 (要の式の値) lim h→0log ( 1 + h) 1 h = 1 (11) lim h→0 ( eh− 1) h = 1 (12) 証明.（11）式： log(1 + h) 1 h h−→ log e→0 = logee = 1 ∴ lim h→0log ( 1 + h) 1 h = 1 （12）式：eh− 1 = k と書き換える。h = log (1 + k) となることに注意。また h → 0 のとき、k → 0 である。 h ( eh− 1) = log (1 + k) k k→0 −→ log e = 1 ∴ lim h→0 ( eh− 1) h = 1 //5.2
微分公式とその証明 その１：(e
x)
′= e
x 定理 3 (指数関数の微分)(e
x)
′= e
x(13)
証明. ( ex)′ = lim h→0 ex+h− ex h = lim h→0 exeh− ex h · · · 指数法則 ：e res= ers = lim h→0 ex(eh− 1) h = ex· lim h→0 ( eh− 1) h = ex · · ·（12）式 //5.3
微分公式とその証明 その２：
(log x
)′=
1
x
5.3.1 思い出そう：合成関数の微分（前期Ｓクラスではやってない） dy dx=
dy du·
du dx（連鎖律）
5.3.2 対数関数の微分公式と証明 定理 4 (対数関数の微分)(log x)
′=
1
x
(14)
証明. u = logeM ⇔ eu= M に立ち返る： f (x) = log x = logex ⇔ ef (x)= x (15) （15）式の両辺微分：左辺→合成関数， 右辺→かんたん (x)′= 1 分解 ： y = eu · · · y を u の関数として表す u = f (x) · · · u を x の関数として表す 各々 微分 ： dy du = e u du dx = f ′(x) Chain Rule： 左辺 = dy dx = dy du· du dx = e u· f′(x) = ef (x)· f′(x) = 1 =右辺 (16) (∴) f′(x) = 1 ef (x) · · ·（16）式の両辺を割る = 1 x · · ·（15）式 //参考1：ジョン・Ｄ・バロウ『数学で分かる100のこと』青土社（2009）「第18章 未来の消費税」 より
参考2：教科書 第4章 例題4.4
引用省略
参考3：高橋信夫【編】『170のkeywordsによるものづくり経営講義』日経BP社（2005）
今回のネタは、いちおう「キャリーオーバー効果‡（経営学）」や「割引因子（経済学）」という学問的なテー マに結びつくように考えてます（言い訳）。教科書では第 4 章。 調査 1 おなじみホワイト家族のお父さん。おぼえてる？該当するものに○を 1
