ケプラー軌道のまとめ

ケプラー軌道方程式のまとめ

注意１）詳細は下記の引用文献を参照。

James R. Wertz, Mission Geometry; Orbit and Constellation Design and Management, Space Technology Library, Kluwer Academic Publishers, 2001, pp.835-852.

注意２）記号は、慣用とは異なる場合があるので、それぞれ定義を確認すること。 中心物体の重力定数(gravitational constant)



について： 重力定数は





GM

と定義されるが、その値自身は、それぞれ質量 M や万有引力定数 G = 6.673 e-11 m3_/s2_{/kg 単独の計測値よりもはるかに正確に求められている。なお、万有引力定数 G の計測} 値は、独立した質量そのものを高精度に計測することが困難であることもあり、基礎物理定数の 中で最も精度が低い。 中心物体





軌道速度 周期 脱出速度 2 3

s

/

m

m

1.5

/

s

km/s min km/s 太陽（表面） 1.327 124 38 e+20 11,520,088,436 436.822 167.0 617.760 （1 AU） 29.716 529,642 42.024 水星 2.203 4 e+13 4,694,000 3.005 85.0 4.250 金星 3.249 e+14 18,020,000 7.327 86.5 10.362 地球 3.986 004 41 e+14 19,964,980.4 7.905 84.5 11.180 月 4.902 798 98 e+12 2,214,226.5 1.680 108.3 2.376 火星 4.283 200 00 e+13 6,544,616.1 3.551 100.2 5.022 木星 1.266 9 e+17 355,935,000 42.097 177.8 59.534 土星 3.793 4 e+16 194,767,000 25.088 251.6 35.480 天王星 5.795 1 e+15 76,125,600 15.058 177.8 21.295 海王星 6.835 4 e+15 82,676,500 16.614 156.1 23.496 冥王星 8.7 e+11 9.33 e+5 0.852 146.9 1.205 [小惑星] セレス 7.83 e+10 2.80 e+5 0.414 115.4 0.586 パラス 1.46 e+10 1.21 e+5 0.236 115.9 0.334 ベスタ 1.59 e+10 1.26 e+5 0.252 104.0 0.357 イトカワ G*(3.510+-0.105) e+10 （注意： 14

10

41

004

986

.

3

14

e

41

004

986

.

3







） 共通記号：



：真近点離角 true anomaly 近点から軌道物体までの角度。とも書く。 M：平均近点離角（平均近点角）mean anomaly

M



n

(

t



T

)

t：観測時刻 the time of observation

T：近点通過時刻 the time of perifocal passage

t

_pとも書く。 n：平均（角）運動 mean (angular) motion

１． 円軌道 circular orbits

円軌道の物理量であることを強調するために頭に C.を付ける

C.定義パラメータ： a = 長半径（長半径）semimajor axis = r = 半径 radius C.幾何方程式：

x

2



y

2



a

2 C.焦点からの距離, r： r = a C.比エネルギーspecific energy,



（単位質量あたりの全エネルギー、h とも書く）：

r

V

a















2

2

2

C.比角運動量 specific angular momentum, h（c とも書く）：

h



h





a

C.角運動量ベクトル, h（c とも書く）：

h



r



V

(

c



r



r



とも書く) C.ノード（交線）ベクトル node vector, N：

N



z

ˆ



h

ˆ



z

ˆ



h

h

C.軌道傾斜角 inclination, i：

i



arccos



h

z

h



C.昇交点赤径 right ascension of the ascending node,

Ω

：

Ω



arctan

2

(

N

_y

,

N

_x

)

C.飛行経路角 flight path angle,



_fpa（



,



とも書く）：



_fpa



0

C.近点距離 perifocal distance, q： q = a

C.半直弦 semi-parameter, p： p = a

C.長半径（長半径）semimajor axis, a： a = r

C.離心率 eccentricity, e： e = 0 C.平均運動 mean motion, n：

P

a

n



2



3





C.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M：

M



M

₀



nt

C.真近点離角 true anomaly,



：





M

C.真近点離角レート,





：







n

C.軌道周期 orbital period, P：

P



2



/

n



2



a

3



）

（太陽；

）

（火星；

）

（月；

）

（地球；

]

km

[

],

[

10

1

78

228

996

.

1

]

km

[

[min],

10

211

429

059

.

5

]

km

[

[min],

10

413

569

495

.

1

]

km

[

[min],

10

010

669

658

.

1

10 4 3 4 2 / 3

a

days

P

a

P

a

P

a

P

a

P

   

















C.軌道速度 orbital velocity, V：

V





a



an

C.レンジ・レンジレート range・range rate,

r 

r

：

r 

r



0

C.面積速度 areal velocity,

A

：

A





0

.

5



a



0

.

5

a

2

n

C.脱出速度 escape velocity,

V

_E：

V

_E



2



a



2

V

C.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude,



_E'：

_

















i

n

i

n

E E

cos

sin

arctan

'





（火星）

（月）

（地球）

ート

中心物体の慣性回転レ

s

deg/

249

061

004

.

0

s

deg/

4

50

52

1

0

00

.

0

s

deg/

074

178

004

.

0









E



ケプラー軌道方程式のまとめ

C.角半径 angular radius,



：





arcsin(

R

_E

/

a

)

（球を仮定。）

（火星）

（月）

（地球）

中心物体の半径

km

3397

km

2

.

1738

km

140

.

6378









E

R

C.水平面までの距離 distance to the horizon, D：

D



arccos





a

2



R

_E2

C.最大地球中心角 maximum Earth central angle,



max：



max



90

deg







arc

cos(

R

E

/

a

)

C.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA：

IAA



K

_A

(

1



cos



_max

)

（火星）

（月）

（地球）

]

km

[

10

550

250

.

7

]

km

[

10

363

898

.

1

]

km

[

10

87

041

556

.

2

]

[deg

62

480

.

626

,

20

)

2

/(

360

]

steradians

[

311

185

283

.

6

2

2 7 2 7 2 8 2 2

























A

K

C.アクセス面レート area access rate, AAR：

P

K

AAR

A max

sin

2





C.最大可視時間 maximum time in view,

T

_max：

T

_max



P



_max

/

180

deg

C.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground,





_max：

)

(

deg

360

max E

R

a

P

a









C.

J

₂項によるノード歳差レート node precession rate due to

J

₂,



Ω

_J2：

）

（火星、

）

（月、

）

（地球、

]

km

[

]

day

calender

[deg/

cos

10

483

.

3

]

km

[

]

day

calender

[deg/

cos

10

220

.

3

]

km

[

]

day

calender

[deg/

cos

10

74

064

.

2

cos

cos

)

/

(

5

.

1

Ω

2 / 7 3 1 2 / 7 11 2 / 7 14 2 / 7 2 2 2 2

a

i

a

a

i

a

a

i

a

i

a

K

i

a

R

n

nJ

_{E J} J    



























C.太陽同期傾斜角 Sun-synchronous inclination,

i

_ss：

）

（火星、

）

（月、

）

（地球、

]

km

[

)

10

1.505

arccos(

]

km

[

)

10

061

.

3

arccos(

]

km

[

)

10

7

773

.

4

arccos(

360

arccos

2 / 7 4 1 2 / 7 12 2 / 7 15 2 2 / 7

a

a

a

a

a

a

SP

K

a

i

J ss   

































SP = 恒星周期 sidereal period [calendar day]

C.1 日当りの回転数 revolutions per day, Rev/d：

対象とする惑星が恒星に対して自転軸周りに 1 回転する間の軌道周回数

）

（火星、

）

（月、

）

（地球、

[min]

/

38

.

77

4

,

1

[min]

/

343

,

39

[min]

/

07

.

436

,

1

/

P

P

P

P

P

P

P

Day

ev/d

R









Day =中心物体の恒星日 sidereal day

）

（火星、

）

（月、

）

（地球、

[min]

675

243

.

0

[min]

3

150

009

.

0

[min]

684

250

.

0

)

/

deg(

360

P

P

P

P

P

P

Day

P

N











C.最大日食時間 maximum eclipse,

T

_E：

T

_E



P





/

180

deg





P

arcsin(

R

_E

/

a

)

/

180

deg

C.明暗界線のための太陽角条件,



'

：

90















'



90













は大気屈折を考慮した太陽不可視角、暗角 dark angle

C.天体座標が既知の宇宙機の通過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are known, T：

T







L



GST

ここで、



：赤径、L：観測者東経 observer east longitude、GST：グリニッジ恒星時 Greenwich Sidereal time

２． 楕円軌道 elliptical orbits

楕円軌道の物理量であることを強調するために頭に E.を付ける E.定義パラメータ： a = 長半径（半長径）semimajor axis

b = 短半径（半短径）semiminor axis E.幾何方程式： ₂

1

2 2 2





b

y

a

x

E.焦点からの距離, r：







1

cos

)

1

(

cos

1

)

cos

1

(

cos

1

)

1

(

e

e

r

e

p

E

e

a

e

e

q

r

a





















E.比エネルギーspecific energy,



（単位質量あたりの全エネルギー、h とも書く）：

0

2

2

2











a

r

V







E.比角運動量 specific angular momentum, h（c とも書く）：

p p a a fpa

r

r

V

r

V

rV

p

h



h







cos





2









E.角運動量ベクトル, h（c とも書く）：

h



r



V

(

c



r



r



とも書く) E.ノード（交線）ベクトル node vector, N：

N



z

ˆ



h

ˆ



z

ˆ



h

h

E.離心率ベクトル eccentricity vector（ラプラス・ルンゲベクトル）, e（f とも書く）：

r

r

h

V

e









E.軌道傾斜角 inclination, i：

i



arccos



h

z

h



E.昇交点赤径 right ascension of the ascending node,

Ω

：

Ω



arctan

2

(

N

_y

,

N

_x

)

E.飛行経路角 flight path angle,



_fpa（



,



とも書く）：

)

/

arccos(

)

sin

,

(cos

2

arctan

_{fpa fpa}

p

rV

fpa













E

e

e

E

e

E

e

fpa fpa 2 2 2 2 2

₁

_cos

1

cos

,

cos

1

sin

sin















E.近点距離 perifocal distance,

q



r

_p：

p a a a a p

V

V

r

r

b

e

e

r

e

p

e

a

r

q





















2

1

1

1

)

1

(

E.半直弦 semi-parameter, p：

ケプラー軌道方程式のまとめ





2 2 2

)

1

(

)

cos

1

(

)

1

(

h

a

b

e

q

e

r

e

a

p

















E.遠点距離 radius of apoaxis,

r

_a：

c

a

b

e

e

q

r

b

r

a

e

a

r

p p a





















2 2

1

1

2

)

1

(

E.長半径（長半径）semimajor axis, a：

3 / 1 2 2

2

1

1

1

2



































n

e

p

e

r

e

r

r

r

a

a p p a







E.短半径（短半径）semiminor axis, b：

h

p

r

r

ap

e

a

b



1



2





_{a p}





E.離心率 eccentricity, e： 0 < e <1

a

c

a

r

a

r

r

r

r

r

a

b

a

h

e

a p p a p a



























1

2

1

1

2 2 2 2





e

E.平均運動 mean motion, n：

P

a

n



2



3





E.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M：

M



M

₀



nt



E



e

sin

E

E.離心近点離角 eccentric anomaly, E：















































 























p

r

a

r

a

b

r

ae

r

a

e

e

E

E

E

arccos

sin

arcsin

arccos

2

tan

1

1

arctan

2

)

sin

,

arctan(cos













cos

1

1

sin

sin

,

cos

1

cos

cos

2

e

e

E

e

e

E













M から E の逐次解法：

E

₀を初期推定値、例えば

E

0



M

E の i 番目の推定値

E

i i i i i i

E

e

E

e

E

M

E

E

cos

1

sin

1

_











E.真近点離角 true anomaly,



：























































E

e

e

E

e

r

p

E

e

e

cos

1

cos

arccos

1

/

arccos

2

tan

1

1

arctan

2

)

sin

,

arctan(cos







e

E

e

E

E

e

e

E













cos

1

sin

sin

,

cos

1

cos

cos

2





M に関する展開：

 

4 3 3 2

3

sin

12

13

sin

4

1

2

sin

4

5

sin

2

e

M

e

M

e

M

e

M

O

e

M















E.真近点離角レート,





： 2 2 2 2 2 2

1 e

r

na

r

r

V

r

r

V

r

p

_

p p

_

_{a a}

_

_









E.軌道周期 orbital period, P：

P



2



/

n



2



a

3



）

（太陽；

）

（火星；

）

（月；

）

（地球；

]

km

[

],

[

10

1

78

228

996

.

1

]

km

[

[min],

10

211

429

059

.

5

]

km

[

[min],

10

413

569

495

.

1

]

km

[

[min],

10

010

669

658

.

1

10 4 3 4 2 / 3

a

days

P

a

P

a

P

a

P

a

P

   

















E.軌道速度 orbital velocity, V：

fpa

r

p

e

e

r

r

a

r

V

















cos

cos

1

1

2

2

2

2

































 







a p p a

r

r

V

V







_

_





a p p a a a p a a p a a p p p a p a p p

r

r

V

a

r

r

ar

r

e

r

V

r

r

V

a

r

r

r

r

r

r

e

r

V













 



































2

1

2

2

1













E.アジマス速度 azimuthal velocity,

V

_az：

V

_az



V

cos



_fpa



r





E.動径速度 radial velocity,

V

_r：











cos

1

sin

sin

sin

e

e

r

q

e

V

V

V

_{r fpa az}











E.レンジ・レンジレート range・range rate,

r 

r

：

r

r





e

a



sin

E

E.面積速度 areal velocity,

A

：





2 2





5

.

0

)

1

(

5

.

0

a

e

r

A







E.脱出速度 escape velocity,

V

_E：

V

_E



2



r

E.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude,



_E' ：

_

















i

i

E E

cos

sin

arctan

'













（火星）

（月）

（地球）

ート

中心物体の慣性回転レ

s

deg/

249

061

004

.

0

s

deg/

4

50

52

1

0

00

.

0

s

deg/

074

178

004

.

0









E



E.オイラー回転レート Euler rotation rate,



_E： E

sin

i

/

sin

E E

2

E

cos

i

2 2 '





























E.角半径 angular radius,



：





arcsin(

R

E

/

a

)

（球を仮定。）

（火星）

（月）

（地球）

中心物体の半径

km

3397

km

2

.

1738

km

140

.

6378









E

R

E.水平面までの距離 distance to the horizon, D：

D



r

cos





a

2



R

E2

E.水平面までの距離の最大値 maximum distance to the horizon,

D

max： 2 2 min

max

r

a

cos

r

a

R

E

D









ケプラー軌道方程式のまとめ 2 2 max min

r

p

cos

r

p

R

E

D









E.最大地球中心角 maximum Earth central angle,



_max：



_max



90

deg







arc

cos(

R

_E

/

r

)

E.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA：

IAA



K

_A

(

1



cos



_max

)

（火星）

（月）

（地球）

]

km

[

10

550

250

.

7

]

km

[

10

363

898

.

1

]

km

[

10

87

041

556

.

2

]

[deg

62

480

.

626

,

20

)

2

/(

360

]

steradians

[

311

185

283

.

6

2

2 7 2 7 2 8 2 2

























A

K

E.アクセス面レート area access rate, AAR：

sin



_max







A

K

AAR



E.最大可視時間 maximum time in view,

T

_max：

T

_max



2



_max

/





E.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground,





_max：

E

R

r

r













max

E.

J

₂項によるノード歳差レート node precession rate due to

J

₂,



Ω

_J2：

）

（火星、

）

（月、

）

（地球、

]

km

[

]

day

calender

[deg/

cos

)

1

(

10

483

.

3

]

km

[

]

day

calender

[deg/

cos

)

1

(

10

220

.

3

]

km

[

]

day

calender

[deg/

cos

)

1

(

10

74

064

.

2

cos

)

1

(

cos

)

1

(

)

/

(

5

.

1

Ω

2 2 2 / 7 3 1 2 2 2 / 7 11 2 2 2 / 7 14 2 2 2 / 7 2 2 2 2 2 2

a

i

e

a

a

i

e

a

a

i

e

a

i

e

a

K

i

e

a

R

n

J

E J J         





































E.太陽同期傾斜角 Sun-synchronous inclination,

i

_ss：

）

（火星、

）

（月、

）

（地球、

]

km

[

)

)

1

(

10

1.505

arccos(

]

km

[

)

)

1

(

10

061

.

3

arccos(

]

km

[

)

)

1

(

10

7

773

.

4

arccos(

)

1

(

360

arccos

2 2 2 / 7 4 1 2 2 2 / 7 12 2 2 2 / 7 15 2 2 2 2 / 7

a

e

a

a

e

a

a

e

a

SP

e

K

a

i

J ss









































  

SP = 恒星周期 sidereal period [calendar day]

E.

J

₂項による近点回転レート periapsis rotation rate due to

J

₂,





_J2：











 















 





  

i

e

a

K

i

e

a

R

n

J

E J J 2 2 2 2 / 7 2 2 2 2 2 2 2

sin

2

5

2

)

1

(

sin

2

5

2

)

1

(

)

/

(

5

.

1





E.1 日当りの回転数 revolutions per day, Rev/d：

対象とする惑星が恒星に対して自転軸周りに 1 回転する間の軌道周回数

）

（火星、

）

（月、

）

（地球、

[min]

/

38

.

77

4

,

1

[min]

/

343

,

39

[min]

/

07

.

436

,

1

/

P

P

P

P

P

P

P

Day

ev/d

R









Day =中心物体の恒星日 sidereal day

）

（火星、

）

（月、

）

（地球、

[min]

675

243

.

0

[min]

3

150

009

.

0

[min]

684

250

.

0

)

/

deg(

360

P

P

P

P

P

P

Day

P

N











Ｅ.指定された真近点離角における最大日食時間 maximum eclipse,

T

_E：

)

/

arcsin(

)

/

2

(

/

2

R

r

T

E















E E.明暗界線のための太陽角条件,



'

：

90















'



90













は大気屈折を考慮した太陽不可視角、暗角 dark angle

E.天体座標が既知の宇宙機の経過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are known, T：

T







L



GST

ここで、



：赤径、L：観測者東経 observer east longitude、GST：グリニッジ恒星時 Greenwich Sidereal time

３． 放物線軌道 parabolic orbits

放物線軌道の物理量であることを強調するために頭に P.を付ける P.定義パラメータ： p = 半直弦 semi-latus rectum = semiparameter

q= 近点距離 perifocal distance P.幾何方程式：

x

2



4

qy

P.焦点からの距離, r：

2

cos

1

)

1

(

cos

1

2

D

q

e

e

q

p

r



















P.比エネルギーspecific energy,



（単位質量あたりの全エネルギー、h とも書く）：





0

P.比角運動量 specific angular momentum, h（c とも書く）：

p p fpa

r

r

V

rV

p

h



h







cos





2







P.角運動量ベクトル, h（c とも書く）：

h



r



V

(

c



r



r



とも書く) P.ノード（交線）ベクトル node vector, N：

N



z

ˆ



h

ˆ



z

ˆ



h

h

P.離心率ベクトル eccentricity vector（ラプラス・ルンゲベクトル）, e（f とも書く）：

r

r

h

V

e









P.軌道傾斜角 inclination, i：

i



a

cos



h

_z

h



P.昇交点赤径 right ascension of the ascending node,

Ω

：

Ω



arctan

2

(

N

_y

,

N

_x

)

P.飛行経路角 flight path angle,



_fpa（



,



とも書く）：



fpa





/

2



arccos(



p

/

rV

)

P.近点距離 perifocal distance,

q



r

_p：

2

p

r

q



_p



P.半直弦 semi-parameter, p：





)

2

cos

1

(

2

q

r

h

p









P.長半径（長半径）semimajor axis, a：

a





P.短半径（短半径）semiminor axis, b：

b





P.離心率 eccentricity, e： e = 1 P.平均運動 mean motion, n：









_





2

tan

3

1

2

tan

1

2

3 3







t

p

n

t は近点通過後の経過時刻

ケプラー軌道方程式のまとめ P.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M：

M



M

₀



nt



qD



D

3

/

6

P.放物線近点離角 parabolic anomaly, D：

2

tan

2

q



D



P.真近点離角 true anomaly,



：





arctan(cos



,

sin



)

q

r

Dp

E

r

r

p

2

sin

,

cos









P.真近点離角レート,





： 2 2

r

r

V

r

p

_

p p









P.軌道周期 orbital period, P：

P





P.軌道速度 orbital velocity, V： fpa E

r

p

r

V

V







cos

2

_





P.近点速度 velocity at periapsis,

V

_p： p p

r

V



2



P.放物線速度 = 脱出速度 escape velocity,

V

_E：

V

_E



2



r

P.アジマス速度 azimuthal velocity,

V

_az：

V

_az



V

cos



_fpa



r





P.動径速度 radial velocity,

V

_r：











cos

1

sin

sin

sin

e

e

r

q

V

V

V

r fpa az











P.レンジ・レンジレート range・range rate,

r 

r

：

r

r







D

P.面積速度 areal velocity,

A

：





2





5

.

0

2

/

r

q

A





以下は双曲線軌道と同じ。 ４． 双曲線軌道 hyperbolic orbits 双曲線軌道の物理量であることを強調するために頭に H.を付ける H.定義パラメータ： a = 半横断軸 semi-transverse axis (a < 0) b = 半共役軸 semi-conjugate axis H.幾何方程式： ₂

1

2 2 2





b

y

a

x

H.焦点からの距離, r：







sin

1

cos

tan

1

1

cos

)

cosh

1

(

cos

1

)

1

(

2

e

p

H

e

a

H

e

a

F

e

a

e

e

q

r





















_













H.比エネルギーspecific energy,



（単位質量あたりの全エネルギー、h とも書く）：

0

2

2

2











a

r

V







H.比角運動量 specific angular momentum, h（c とも書く）：

p p fpa

r

r

V

rV

p

h



h







cos





2







H.角運動量ベクトル, h（c とも書く）：

h



r



V

(

c



r



r



とも書く) H.ノード（交線）ベクトル node vector, N：

N



z

ˆ



h

ˆ



z

ˆ



h

h

H.離心率ベクトル eccentricity vector（ラプラス・ルンゲベクトル）, e（f とも書く）：

r

r

h

V

e









H.軌道傾斜角 inclination, i：

i



arccos



h

_z

h



H.昇交点赤径 right ascension of the ascending node,

Ω

：

Ω



arctan

2

(

N

_y

,

N

_x

)

H.飛行経路角 flight path angle,



_fpa（



,



とも書く）：



fpa





/

2



arccos(



p

/

rV

)

H.双曲線補助角 auxiliary angle of the hyperbola, H：



/

1

arccos

arccos

rh

e

r

a

e

H









H.曲折角 turn angle,



： fpa p p

V

r

V

V

b

a

q

V

e















cos

arctan

2

arctan

2

arcsin

2

/

1

1

arcsin

2

1

arcsin

2

₂













  H.近点距離 perifocal distance,

q



r

_p：

)

1

(

)

1

(

1

)

1

(



₂





₂















e

V

e

V

e

p

e

a

r

q

p p





H.半直弦 semi-parameter, p：





2 2 2

)

1

(

)

cos

1

(

)

1

(

h

a

b

e

q

e

r

e

a

p

















H.長半径（長半径、半横断軸）semimajor axis, semi-transverse axis, a： a < 0

1

1

2

2 2 3 / 1 2



_



























e

p

e

q

V

n

a









H.短半径（短半径、半共役軸）semiminor axis, semi-conjugate axis, b：

)

2

/

tan(

1

2





r

a

V

V

h

p

ap

e

a

b











p _p



 H.離心率 eccentricity, e： 0 < e <1 2 2 2 2 2

1

1

1

2

1



















_





r

V

a

r

a

p

a

b

a

h

e

a p







e

H.平均運動 mean motion, n： 3

a

n







H.平均近点離角（平均近点角）mean anomaly, M：

M



M

₀



nt



e

sinh

F



F

H.双曲線近点離角 hyperbolic anomaly, F：





















2

tan

1

1

h

arctan

2

)

sinh

,

(cosh

h

arctan



e

e

F

F

F









cos

1

1

sin

sinh

,

cos

1

cos

cosh

2

e

e

F

e

e

F













M から F の逐次解法：

F

₀を初期推定値 F の i 番目の推定値

F

_i

1

cosh

sinh

1

_









 i i i i i

F

e

F

F

e

M

F

F

H.真近点離角 true anomaly,



：































_























2

tan

1

1

arctan

2

tan

1

arcsin

2

2

tanh

1

1

arctan

2

)

sin

,

arctan(cos

2

H

e

e

H

e

r

a

F

e

e







ケプラー軌道方程式のまとめ

F

e

e

F

v

F

e

e

F

v

cosh

1

1

sinh

sin

,

cosh

1

cosh

cos

2















H.真近点離角レート,





： 2 2

r

r

V

r

p

_

p p









H.軌道周期 orbital period, P：

P





H.軌道速度 orbital velocity, V：

2

2

cos

2













V

r

r

p

a

r

V

fpa











H.近点速度 velocity at periapsis,

V

_p：



e



r

V

r

V

p p p









1



2



2



H.双曲線無限点速度 hyperbolic excess velocity,

V

_：

)

1

(

2

2

2 2

















e

r

b

V

r

r

V

r

V

V

p p p p p







H.規準打ち上げエネルギーreference launch energy,

C

₃：

C

₃



V

_2 H.アジマス速度 azimuthal velocity,

V

az：

V

az



V

cos



fpa



r





H.動径速度 radial velocity,

V

_r：











cos

1

sin

sin

sin

e

e

r

q

e

V

V

V

_{r fpa az}











H.レンジ・レンジレート range・range rate,

r 

r

：

r

r





e



a



sinh

F

H.面積速度 areal velocity,

A

：





2 2





5

.

0

)

1

(

5

.

0

a

e

r

A







H.脱出速度 escape velocity,

V

_E：

V

_E



2



r

H.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude,



_E'：

_

















i

i

E E

cos

sin

arctan

'













（火星）

（月）

（地球）

ート

中心物体の慣性回転レ

s

deg/

249

061

004

.

0

s

deg/

4

50

52

1

0

00

.

0

s

deg/

074

178

004

.

0









E



H.オイラー回転レート Euler rotation rate,



_E： E

sin

i

/

sin

E E

2

E

cos

i

2 2 '





























H.角半径 angular radius,



：





arcsin(

R

_E

/

r

)

（球を仮定。）

（火星）

（月）

（地球）

中心物体の半径

km

3397

km

2

.

1738

km

140

.

6378









E

R

H.最大角半径 maximum angular radius,



_max：



_max



arcsin(

R

_E

/

r

_p

)

H.水平面までの距離 distance to the horizon, D：

D



r

cos





a

2



R

_E2

H.水平面までの距離の最小値 minimum distance to the horizon,

D

_min： 2 2 max

min

r

p

cos

r

p

R

E

D









H.最大地球中心角 maximum Earth central angle,



max：

)

/

cos(

arc

deg

90

max









R

E

r



H.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA：

IAA



K

_A

(

1



cos



_max

)

（火星）

（月）

（地球）

]

km

[

10

550

250

.

7

]

km

[

10

363

898

.

1

]

km

[

10

87

041

556

.

2

]

[deg

62

480

.

626

,

20

)

2

/(

360

]

steradians

[

311

185

283

.

6

2

2 7 2 7 2 8 2 2

























A

K

H.アクセス面レート area access rate, AAR：

sin



_max







A

K

AAR



H.最大可視時間 maximum time in view,

T

_max：

T

_max



2



_max

/





H.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground,





_max：

E

R

r

r













max H.指定された真近点離角における最大日食時間 maximum eclipse,

T

_E：

)

/

arcsin(

)

/

2

(

/

2

R

r

T

E















E H.明暗界線のための太陽角条件,



'

：

90















'



90













は大気屈折を考慮した太陽不可視角、暗角 dark angle

H.天体座標が既知の宇宙機の経過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are known, T：

T







L



GST

ここで、



：赤径、L：観測者東経 observer east longitude、GST：グリニッジ恒星時 Greenwich Sidereal time